高中數學第二章平面向量2.4平面向量的數量積第2課時教學設計新人教A版必修4

2.4平面對量的數量積（第2課時）2.4.2平面對量數量積的坐標表示、模、夾角一、教學分析平面對量的數量積,教材將其分為兩部分.在第一部分向量的數量積中,首先探討平面對量所成的角,其次,介紹了向量數量積的定義,最終探討了向量數量積的基本運算法則和基本結論;在其次部分平面對量數量積的坐標表示中,在平面對量數量積的坐標表示的基礎上,利用數量積的坐標表示研討了平面對量所成角的計算方式,得到了兩向量垂直的判定方法,本節(jié)是平面對量數量積的其次部分.前面我們學習了平面對量的數量積,以及平面對量的坐標表示.那么在有了平面對量的坐標表示以及坐標運算的閱歷和引進平面對量的數量積后,就順其自然地要考慮到平面對量的數量積是否也能用坐標表示的問題.另一方面,由于平面對量數量積涉及了向量的模、夾角,因此在實現向量數量積的坐標表示后,向量的模、夾角也都可以與向量的坐標聯(lián)系起來.利用平面對量的坐標表示和坐標運算,結合平面對量與平面對量數量積的關系來推導出平面對量數量積以及向量的模、夾角的坐標表示.老師應在坐標基底向量的數量積的基礎上,推導向量數量積的坐標表示.通過例題分析、課堂訓練,讓學生總結歸納出對于向量的坐標、數量積、向量所成角及模等幾個因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本題型的求解方法.平面對量數量積的坐標表示是在學生學習了平面對量的坐標表示和平面對量數量積的基礎上進一步學習的,這都為數量積的坐標表示奠定了學問和方法基礎.二、教學目標1．學問與技能駕馭數量積的坐標表達式，會進行平面對量數量積的運算；能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積推斷兩個平面對量的垂直關系。2．過程與方法通過用坐標表示平面對量數量積的有關運算，揭示幾何圖形與代數運算之間的內在聯(lián)系，明確數學是探討數與形有機結合的學科。3．情感看法與價值觀能用所學學問解決有關綜合問題。三、重點難點教學重點:平面對量數量積的坐標表示.教學難點:向量數量積的坐標表示的應用.四、教學設想（一）導入新課思路1.平面對量的表示方法有幾何法和坐標法,向量的表示形式不同,對其運算的表示方式也會變更.向量的坐標表示,為我們解決有關向量的加、減、數乘運算帶來了極大的便利.上一節(jié),我們學習了平面對量的數量積,那么向量的坐標表示,對平面對量的數量積的表示方式又會帶來哪些變更呢？由此干脆進入主題.思路2.在平面直角坐標系中,平面對量可以用有序實數對來表示,兩個平面對量共線的條件也可以用坐標運算的形式刻畫出來,那么學習了平面對量的數量積之后,它能否用坐標來表示？若能,如何通過坐標來實現呢？平面對量的數量積還會是一個有序實數對嗎？同時,平面對量的模、夾角又該如何用坐標來表示呢？通過回顧兩個向量的數量積的定義和向量的坐標表示,在此基礎上引導學生推導、探究平面對量數量積的坐標表示.（二）推動新課、新知探究、提出問題①平面對量的數量積能否用坐標表示?②已知兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎樣用a與b的坐標表示a·b呢?③怎樣用向量的坐標表示兩個平面對量垂直的條件？④你能否依據所學學問推導出向量的長度、距離和夾角公式？活動:老師引導學生利用前面所學學問對問題進行推導和探究.前面學習了向量的坐標可以用平面直角坐標系中的有序實數對來表示,而且我們也知道了向量的加、減以及實數與向量積的線性運算都可以用坐標來表示.兩個向量共線時它們對應的坐標也具備某種關系,那么我們就自然而然地想到既然向量具有數量積的運算關系,這種運算關系能否用向量的坐標來表示呢？老師提示學生在向量坐標表示的基礎上結合向量的坐標運算進行推導數量積的坐標表示.老師可以組織學生到黑板上板書推導過程,老師賜予必要的提示和補充.推導過程如下:∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0,∴a·b=x1x2+y1y2.老師給出結論性的總結,由此可歸納如下:1°平面對量數量積的坐標表示兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.2°向量模的坐標表示若a=(x,y),則|a|2=x2+y2,或|a|=.假如表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=3°兩向量垂直的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥bx1x2+y1y2=0.4°兩向量夾角的坐標表示設a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a與b的夾角,依據向量數量積的定義及坐標表示,可得cosθ=探討結果:略.（三）應用示例例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試推斷△ABC的形態(tài),并給出證明.活動:老師引導學生利用向量數量積的坐標運算來解決平面圖形的形態(tài)問題.推斷平面圖形的形態(tài),特殊是三角形的形態(tài)時主要看邊長是否相等,角是否為直角.可先作出草圖,進行直觀判定,再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個邊所在的向量共線或者模相等,則此平面圖形與平行四邊形有關;若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數量積為零,則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形.老師可以讓學生多總結幾種推斷平面圖形形態(tài)的方法.解:在平面直角坐標系中標出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三點,我們發(fā)覺△ABC是直角三角形.下面給出證明.∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0.∴⊥.∴△ABC是直角三角形.點評:本題考查的是向量數量積的應用,利用向量垂直的條件和模長公式來推斷三角形的形態(tài).當給出要判定的三角形的頂點坐標時,首先要作出草圖,得到直觀判定,然后對你的結論給出充分的證明.變式訓練在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一個內角為直角,求k的值.解:由于題設中未指明哪一個角為直角,故需分別探討.若∠A=90°,則⊥,所以·=0.于是2×1+3k=0.故k=.同理可求,若∠B=90°時,k的值為;若∠C=90°時,k的值為.故所求k的值為或或.例2(1)已知三點A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值;(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a與b的夾角.活動:老師讓學生利用向量的坐標運算求出兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2)的數量積a·b=x1x2+y1y2和模|a|=,|b|=的積,其比值就是這兩個向量夾角的余弦值,即cosθ=.當求出兩向量夾角的余弦值后再求兩向量的夾角大小時,需留意兩向量夾角的范圍是0≤θ≤π.學生在解這方面的題目時須要把向量的坐標表示清晰,以免出現不必要的錯誤.解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3),=(1,4)-(2,-2)=(-1,6),∴·=3×(-1)+3×6=15.又∵||==3,||==,∴cos∠BAC=(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52.設a與b的夾角為θ,則cosθ=又∵0≤θ≤π,∴θ=.點評:本題考查的是利用向量的坐標表示來求兩向量的夾角.利用基本公式進行運算與求解主要是對基礎學問的鞏固與提高.變式訓練設a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b間的夾角θ.(精確到1°)解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a|=,|b|=由計算器得cosθ=≈-0.03.利用計算器中得θ≈92°.例3已知|a|=3,b=(2,3),試分別解答下面兩個問題:(1)若a⊥b,求a;(2)若a∥b,求a.活動:對平面中的兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2),要讓學生在應用中深刻領悟其本質屬性,向量垂直的坐標表示x1x2+y1y2=0與向量共線的坐標表示x1y2-x2y1=0很簡單混淆,應細致比較并熟記,當難以區(qū)分時,要從意義上鑒別,兩向量垂直是a·b=0,而共線是方向相同或相反.老師可多加強反例練習,多給出這兩種類型的同式變形訓練.解:(1)設a=(x,y),由|a|=3且a⊥b,得解得∴a=a=(2)設a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得解得或∴a=a=.點評:本題主要考查學生對公式的駕馭狀況,學生能嫻熟運用兩向量的坐標運算來推斷垂直或者共線,也能嫻熟地進行公式的逆用,利用已知關系來求向量的坐標.變式訓練求證:一次函數y=2x-3的圖象(直線l1)與一次函數y=x的圖象(直線l2)相互垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取兩點A(1,-1),B(2,1).同理,在直線l2上取兩點C(-2,1),D(-4,2),于是:=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(