2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章函數(shù)應(yīng)用1.1利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程解的存在課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析北師大版必修1

PAGE利用函數(shù)性質(zhì)推斷方程解的存在[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．函數(shù)f(x)＝x2－3x－4的零點(diǎn)是()A．1，－4 B．4，－1C．1,3 D．不存在解析：函數(shù)f(x)＝x2－3x－4的零點(diǎn)就是方程x2－3x－4＝0的兩根4與－1.答案：B2．設(shè)x0是方程lnx＋x＝4的解，則x0所在的區(qū)間是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：設(shè)f(x)＝lnx＋x－4，則f(1)＝－3＜0，f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3－1＞0，f(4)＝ln4＞0，則x0∈(2,3)．答案：C3．下列函數(shù)：①y＝lgx；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有2個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)是()A．①②B．③④C．②③ D．④解析：分別作出這四個(gè)函數(shù)的圖像(圖略)，其中④y＝|x|－1的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)，選D.答案：D4．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連綿不斷的一條曲線，則下列說(shuō)法正確的是()A．若f(a)·f(b)＞0，不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)＜0，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)＞0，有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)＜0，有可能不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)使得f(c)＝0解析：依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可推斷，若f(a)·f(b)＜0，則肯定存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的個(gè)數(shù)不確定，故B、D錯(cuò)．若f(a)·f(b)＞0，有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)＞0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)，C正確．答案：C5．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且該函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則三個(gè)零點(diǎn)之和等于()A．0B．1C解析：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若有三個(gè)零點(diǎn)，則三個(gè)零點(diǎn)之和為0.答案：A6．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像是連綿不斷的，且有如下部分對(duì)應(yīng)值表：x123456f(x)136.13515.552－3.9210.88－52.488－232.064可以看出函數(shù)至少有________個(gè)零點(diǎn)．解析：由表可知f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，又函數(shù)f(x)的圖像是連綿不斷的，故在(2,3)、(3,4)和(4,5)之間各至少存在一個(gè)零點(diǎn)．答案：37．若關(guān)于x的方程f(x)－2＝0在(－∞，0)內(nèi)有解，則y＝f(x)的圖像可以是________．解析：在對(duì)應(yīng)①②③④四個(gè)函數(shù)圖像中，作直線y＝2，會(huì)發(fā)覺(jué)①中f(x)＝2時(shí)，x＝0?(－∞，0)；②中f(x)＝2無(wú)解；③中f(x)＝2時(shí)得到的解x＞0，不合題意；④中f(x)＝2得到的解x＜0，合題意，綜上可知填④.答案：④8．已知方程x2＋(a－1)x＋(a－2)＝0的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1，則a的取值范圍是________．解析：由已知，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1.結(jié)合函數(shù)圖像(圖略)得f(1)＜0，即1＋(a－1)＋(a－2)＜0，解得a＜1.答案：(－∞，1)9．若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．解析：若a＝0，則f(x)＝－x－1為一次函數(shù)，易知該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．若a≠0，則函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，若f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則方程ax2－x－1＝0僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．所以判別式Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq\f(1,4).綜上所述，當(dāng)a＝0或a＝－eq\f(1,4)時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．10．已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a(a＜0)，且f(x)＝－2x的實(shí)根為1和3，若函數(shù)y＝f(x)＋6a只有一個(gè)零點(diǎn)，求f(x解析：∵f(x)＝－2x的實(shí)根為1和3，∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)．∴f(x)＝ax2－(2＋4a)x＋3a.又函數(shù)y＝f(x)＋6a只有一個(gè)零點(diǎn)，∴方程f(x)＋6a＝0有兩個(gè)相等實(shí)根．∴ax2－(2＋4a)x＋9a＝0有兩個(gè)相等實(shí)根．∴Δ＝(2＋4a)2－36a2＝0，即5a2－4a－1＝0.∴a＝1或a＝－eq\f(1,5).又a＜0，∴a＝－eq\f(1,5).∴f(x)＝－eq\f(1,5)x2－eq\f(6,5)x－eq\f(3,5).[B組實(shí)力提升]11．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)為偶函數(shù)，又f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有()A．一個(gè)B．兩個(gè)C．至少兩個(gè) D．無(wú)法推斷解析：依據(jù)給出的函數(shù)性質(zhì)，易知f(－2)＝0，畫(huà)出函數(shù)的大致圖像如圖所示：由圖可知f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．答案：B12．若方程xlg(x＋2)＝1的實(shí)根在區(qū)間(k，k＋1)(k∈Z)上，則k等于()A．－2 B．1C．－2或1 D．0解析：由題意知，x≠0，則原方程即為lg(x＋2)＝eq\f(1,x)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝lg(x＋2)與y＝eq\f(1,x)的圖像，如圖所示，由圖像可知，原方程有兩個(gè)根，一個(gè)在區(qū)間(－2，－1)上，一個(gè)在區(qū)間(1,2)上，所以k＝－2或k＝1.故選C.答案：C13．若函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點(diǎn)為2，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是________．解析：由題意可知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a.∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－eq\f(1,2).答案：0或－eq\f(1,2)14．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2，x≥1，,x2－2x，x＜1，))則函數(shù)y＝f(x)－eq\f(1,4)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．解析：令y＝f(x)－eq\f(1,4)＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,2x－\f(9,4)＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜1，,x2－2x－\f(1,4)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＝\f(9,8)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜1，,x＝1±\f(\r(5),2)，))∴x＝eq\f(9,8)或x＝1－eq\f(\r(5),2).答案：215．若函數(shù)f(x)＝|x2－2x|－a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：函數(shù)f(x)＝|x2－2x|－a的零點(diǎn)就是方程|x2－2x|－a＝0的解．由|x2－2x|－a＝0，得|x2－2x|＝a.在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y＝|x2－2x|的圖像，再作出直線y＝a，使它們有4個(gè)交點(diǎn)，如圖：則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)．16．已知函數(shù)f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有兩個(gè)零點(diǎn)．(1)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是－1和－3，求k的值；(2)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是α和β，求α2＋β2的取值范圍．解析：(1)∵－1和－3是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－3＝k－2，,－1×－3＝k2＋3k＋5，))解得k＝－2.(2)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為α和β，則α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的兩根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＝k－2，,αβ＝k2＋3k＋5，,Δ＝k－22－4×k2＋3k＋5≥0，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α2＋β2＝α＋β2－2αβ＝－k2－10k－6，,－4≤k≤－\f(4,3)，))設(shè)y＝α2＋β2，即y＝－k2－10k－6，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4≤k≤－\f(4,3)))且y在區(qū)間eq