2016-2018年高考全國卷理科數學試題答案解析

2016-2018全國卷理數

2018/2017/2016全國I卷

2018/2017/2016全國II卷

2018/2017/2016全國III卷

1

2018年全國卷1理數解析

1—i

1.設z=--；+2i,則|z|=

1L

A.0B.-C.1D.J2

2

【答案】C

【解析】分析：首先根據復數的運算法則，將其化簡得到2=:根據復數模的公式，得到|Z|=1,

從而選出正確結果.

、￥白刀m1—i(l-i)2-2i

洋斛：因為z=----1-2i=---------F2i=---F21=i>

1+i(l+i)(l-i)2

所以因=Jo+J=l,故選c.

點睛：該題考查的是有關復數的運算以及復數模的概念及求解公式，利用復數的除法及加法

運算法則求得結果，屬于簡單題目.

2.已知集合人={小2個一2>0},則CRA=

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|x<-1}u{x|x>2}D.{x|x<-1}u{x|x>2}

【答案】B

【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出x2-x-2>0的解集，從而求得集合A,

之后根據集合補集中元素的特征，求得結果.

詳解：解不等式x2-x-2>0得x〈T或x>2,

所以A={x|xv-l或x>2},

所以可以求得CRA={x|TSXW2},故選B.

點睛：該題考查的是有關一元二次不等式的解法以及集合的補集的求解問題，在解題的過程

中，需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補集中元素的特征，從而求得結果.

3.某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍.實現翻番.為更好地了解

該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比

例.得到如下餅圖：

也沒前經濟收入構成比例

2

則下面結論中不正確的是

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半

【答案】A

【解析】分析：首先設出新農村建設前的經濟收入為M,根據題意，得到新農村建設后的經

濟收入為2M,之后從圖中各項收入所占的比例，得到其對應的收入是多少，從而可以比較

其大小，并且得到其相應的關系，從而得出正確的選項.

詳解：設新農村建設前的收入為M,而新農村建設后的收入為2M,

則新農村建設前種植收入為0.6M,而新農村建設后的種植收入為0.74M,所以種植收入增加

了，所以A項不正確；

新農村建設前其他收入我0.04M,新農村建設后其他收入為0.1M,故增加了一倍以上，所以

B項正確；

新農村建設前，養(yǎng)殖收入為0.3M,新農村建設后為0.6M,所以增加了一倍，所以C項正確；

新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的綜合占經濟收入的30%+28%=58%>50%,所以

超過了經濟收入的一半，所以D正確；

故選A.

點睛：該題考查的是有關新農村建設前后的經濟收入的構成比例的餅形圖，要會從圖中讀出

相應的信息即可得結果.

4.設Sn為等差數列｛a4的前n項和，若3s3Ks2+S4,a1=2,則a$=

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】B

詳解：設該等差數列的公差為d,

3x24x3

根據題中的條件可得3(3x2+-d)=2x2+d+4><2+;一?d,

整理解得d=-3,所以=a1+4d=2T2=TO,故選B.

點睛：該題考查的是有關等差數列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，需要利

用題中的條件，結合等差數列的求和公式，得到公差d的值，之后利用等差數列的通項公式

得到與力和￡1的關系，從而求得結果.

3

5.設函數f(x)=x，+(a-l)x2+ax,若f(x)為奇函數，則曲線丫=f(x)在點(0,0)處的切線方程為

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【答案】D

【解析】分析：利用奇函數偶此項系數為零求得a=l,進而得到f(x)的解析式，再對f(x)求導

得出切線的斜率k,進而求得切線方程.

詳解：因為函數f(x)是奇函數，所以a-1=0,解得a=l,

所以f(x)=x34+f(x)=3x2+L

所以f(0)=l,f(0)=0,

所以曲線丫=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f(0)x,

化簡可得丫=乂，故選D.

點睛：該題考查的是有關曲線y=f(x)在某個點(Xo，f(xJ)處的切線方程的問題，在求解的過程

中，首先需要確定函數解析式，此時利用到結論多項式函數中，奇函數不存在偶次項，偶函

數不存在奇次項，從而求得相應的參數值，之后利用求導公式求得f(x),借助于導數的幾何

意義，結合直線方程的點斜式求得結果.

6.在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則矗=

3-1-「3-

A.—AB—ACB.-AB—AC

4444

3-1-143一

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

一—一

【解析】分析:首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得BE=-BA+-BC,

22

之后應用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到Bb=Bk+At,之后將其合并，得

一3-1一一3-1一

到BE=-BA+-AC,下一步應用相反向量，求得EB=-AB--AC,從而求得結果.

4444

詳解：根據向量的運算法則，可得

4

--「-1--「「-3-「

BE=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC)=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222224444

-3--

所以EB=-AB--AC,故選A.

44

點睛：該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向

量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要

認真對待每一步運算.

7.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對

應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上，從M到N的路徑

匕口

A.2#7B.2小

C.3D.2

【答案】B

【解析】分析：首先根據題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，點M

在上底面上，點N在下底面上，并且將圓柱的側面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩

形的對角線的端點處，根據平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結果.

詳解：根據圓柱的三視圖以及其本身的特征，

可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長

方形的對角線的端點處，

所以所求的最短路徑的長度為""7m=2而，故選B.

點睛：該題考查的是有關幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，

需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就

是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關特征求得結果.

2

8.設拋物線C：/=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為-的直線與C交于〃N兩點,

3

則F欣-FN=

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

5

【解析】分析：首先根據題中的條件，利用點斜式寫出直線的方程，涉及到直線與拋物線相

交，聯立方程組，消元化簡，求得兩點M(1,2),N(4,4),再利用所給的拋物線的方程，寫出其

焦點坐標，之后應用向量坐標公式，求得：?立=(0,2),木=(3,4),最后應用向量數量積坐標公

式求得結果.

22

詳解：根據題意，過點(-2,0)且斜率為g的直線方程為y=-(x+2),

(=2

與拋物線方程聯立y=§(x+2)，消元整理得：y2_6y+8=0,

Iy2=4x

解得M(1⑵,N(4,4),又F(l,0),

所以F立=(0,2)向=(3,4),

從而可以求得Fid-曲=0/3+2x4=8,故選D.

點睛：該題考查的是有關直線與拋物線相交求有關交點坐標所滿足的條件的問題，在求解的

過程中，首先需要根據題意確定直線的方程，之后需要聯立方程組，消元化簡求解，從而確

定出M(1,2),N(4,4),之后借助于拋物線的方程求得F(l,0),最后一步應用向量坐標公式求得向

量的坐標，之后應用向量數量積坐標公式求得結果，也可以不求點M、N的坐標，應用韋達

定理得到結果.

9.已知函數f(x)=(e，xW0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個零點，則a的取值

(Inx,x>0,"

范圍是

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【答案】C

【解析】分析：首先根據g(x)存在2個零點，得到方程及*)+*+2=0有兩個解，將其轉

化為f(x)=-x-a有兩個解，即直線y=-x-a與曲線y=f(x)有兩個交點，根據題中所給的函數解

析式，畫出函數f(x)的圖像(將e'x,。)去掉)，再畫出直線y=-x,并將其上下移動，從圖中

可以發(fā)現，當-aSl時，滿足y=-x-a與曲線y=f(x)有兩個交點，從而求得結果.

詳解：畫出函數f(x)的圖像，y=e*在y軸右側的去掉，

再畫出直線y=-x,之后上下移動，

可以發(fā)現當直線過點A時，直線與函數圖像有兩個交點，

并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數的圖像有兩個交點，

即方程f(x)=-x-a有兩個解，

也就是函數g(x)有兩個零點，

6

此時滿足-aS1,即a^T,故選C.

點睛：該題考查的是有關已知函數零點個數求有關參數的取值范圍問題，在求解的過程中，

解題的思路是將函數零點個數問題轉化為方程解的個數問題，將式子移項變形，轉化為兩條

曲線交點的問題，畫出函數的圖像以及相應的直線，在直線移動的過程中，利用數形結合思

想，求得相應的結果.

10.下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構成，三個

半圓的直徑分別為直角三角形/8C的斜邊8a直角邊AC.△48C的三邊所圍成的

區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III.在整個圖形中隨機取一點，此點取

自I,II,III的概率分別記為口，.，P3,則

A.pFpiB.P\:fk

C.D.P\Pi

【答案】A

詳解：設AC=b,AB=c,BC=a,?J<b2+c2=a2,

從而可以求得AABC的面積為Si=-be,

12

黑色部分的面積為52=兀?(-)2+n-(-)2-[TC,(~)2_-bc]=jt(—+-——)+-be

c2+b2-a211

=7C-----------1--be=-be,

422

其余部分的面積為S3=兀?(|)2-lbc=(；bc,所以有Si=S?，

根據面積型幾何概型的概率公式，可以得到Pi=P2，故選A.

7

點睛：該題考查的是面積型幾何概型的有關問題，題中需要解決的是概率的大小，根據面積

型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問題轉化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關圖

形的面積公式求得結果.

2

2

11.已知雙曲線C:—V=1,。為坐標原點，尸為C的右焦點，過尸的直線與C的兩條

3

漸近線的交點分別為K〃若為直角三角形，貝H掰V|=

3，-

A.-B.3C.2布D.4

【答案】B

【解析】分析：首先根據雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點的坐標，從而

得到z_FON=30°,根據直角三角形的條件，可以確定直線MN的傾斜角為60°或120°，根據相

關圖形的對稱性，得知兩種情況求得的結果是相等的，從而設其傾斜角為60°,利用點斜式

寫出直線的方程，之后分別與兩條漸近線方程聯立，求得M(3,回,利用兩點間距離

同時求得|MN|的值.

詳解：根據題意，可知其漸近線的斜率為土L,且右焦點為F(2,0),

3

從而得到乙FON=30°，所以直線MN的傾斜角為60°或120°，

根據雙曲線的對稱性，設其傾斜角為60°,

可以得出直線MN的方程為y=g<x-2),

分別與兩條漸近線丫=—x^y=-工-x聯立,

求得M(3,技

所以|MN|=}-：)2+(g+g)2=3,故選B.

點睛：該題考查的是有關線段長度的問題，在解題的過程中，需要先確定哪兩個點之間的距

離，再分析點是怎么來的，從而得到是直線的交點，這樣需要先求直線的方程，利用雙曲線

的方程，可以確定其漸近線方程，利用直角三角形的條件得到直線MN的斜率，結合過右焦

點的條件，利用點斜式方程寫出直線的方程，之后聯立求得對應點的坐標，之后應用兩點間

距離公式求得結果.

12.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面。所成的角相等，則。截此正方體

所得截面面積的最大值為

8

A.B.C.D.

4342

【答案】A

【解析】分析：首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成

角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方

體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應用面積公式求得結果.

詳解：根據相互平行的直線與平面所成的角是相等的，

所以在正方體ABCD-AiBigDi中，

平面ABQi與線AAi，AiBi，AQi所成的角是相等的，

所以平面ABQi與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，

同理平面CiBD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，

要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面ABQi與CiBD中間的，

且過棱的中點的正六邊形，且邊長為上，

2

所以其面積為S=6x：?（，）2=號"，故選A.

點睛：該題考查的是有關平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務是需要先

確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關的字眼，從而得到其為過六條棱的中點的

正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應用相關的公式求得結果.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

/X—2y—2<0

13.若x,y滿足約束條件k-y+120，則z=3x+2y的最大值為______________.

（y<0

【答案】6

【解析】分析：首先根據題中所給的約束條件，畫出相應的可行域，再將目標函數化成斜截

3131

=--x+-z,之后在圖中畫出直線y=-于，在上下移動的過程中，結合,的幾何意義，可

31

以發(fā)現直線y=-子+,過8點時取得最大值，聯立方程組，求得點B的坐標代入目標函數解

析式，求得最大值.

詳解：根據題中所給的約束條件，畫出其對應的可行域，如圖所示：

9

3

畫出直線丫=-y，將其上下移動，

z

結合-的幾何意義，可知當直線過點B時，z取得最大值，

2

由1x-2y、=0,解得B(2,0),

(y=u

此時2inax=3x2+0=6,故答案為6.

點睛：該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對

應的可行域，之后根據目標函數的形式，判斷Z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，

判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數的

形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據不同的形式，應用相應的方法求解.

14.記Sn為數列｛aj的前n項和，^Sn=2an+1,則$6=.

【答案】-63

【解析】分析：首先根據題中所給的Sn=2%+1,類比著寫出Sn+I=2an+1+1,兩式相減，

整理得到%+1=2%,從而確定出數列｛5｝為等比數列，再令n=l,結合a^Si的關系，求得

電=-1,之后應用等比數列的求和公式求得$6的值.

詳解：<<Sn=2an+1,可得511+1=2211+1+1,

兩式相減得%+1=2an+1-2an,即/+1=2an,

當n=l時，Sj=aj=2aj+1,解得a]=-l,

所以數列｛%｝是以-1為首項，以2為公布的等比數列，

所以%=工二〉=-63,故答案是-63.

61-2

點睛：該題考查的是有關數列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比

著往后寫一個式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項之間的關系，從而確定出該數列是等比數

10

列，之后令n=l,求得數列的首項，最后應用等比數列的求和公式求解即可，只要明確對既

有項又有和的式子的變形方向即可得結果.

15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的

選法共有種.(用數字填寫答案)

【答案】16

【解析】分析：首先想到所選的人中沒有女生，有多少種選法，再者需要確定從6人中

任選3人總共有多少種選法，之后應用減法運算，求得結果.

詳解：根據題意，沒有女生入選有C：=4種選法，

從6名學生中任意選3人有C：=20種選法，

故至少有1位女生入選，則不同的選法共有20-4=16種，故答案是16.

點睛：該題是一道關于組合計數的題目，并且在涉及到至多至少問題時多采用間接法，總體

方法是得出選3人的選法種數，間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數，該題還可以

用直接法，分別求出有1名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運算求解.

16.已知函數f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是.

【答案】-油

2

【解析】分析：首先對函數進行求導，化簡求得f(x)=4(cosx+IXCOSX-Q),從而確定出函數

的單調區(qū)間，減區(qū)間為［2k7t-丁2k兀一］(k€Z),增區(qū)間為［2k?L?2E+J(k€Z),確定出函數的

最小值點，從而求得sinx=sin2x=代入求得函數的最小值.

2'2

1

詳解：f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx+l)(cosx-),

所以當cosxv-時函數單調減，當cosx>-時函數單調增，

22

57r7i

從而得到函數的減區(qū)間為［2匕1-］,2k無-J(keZ),

7T%

函數的增區(qū)間為［2k?L］2H+-］(keZ),

71

所以當x=2kTT--,kEZ時，函數f(x)取得最小值，

3

,J3由

此時sinx=---,sin2x=---，

22

所以f(X)min=2*故答案是一

11

點睛：該題考查的是有關應用導數研究函數的最小值問題，在求解的過程中，需要明確相關

的函數的求導公式，需要明白導數的符號與函數的單調性的關系，確定出函數的單調增區(qū)間

和單調減區(qū)間，進而求得函數的最小值點，從而求得相應的三角函數值，代入求得函數的最

小值.

17.在平面四邊形ABCD中，ZADC=9O°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cosZADB;

(2)若DC=2也，求BC.

【答案】⑴J

5

(2)BC=5.

RDAB

【解析】分析：(1)根據正弦定理可以得到-----=--------,根據題設條件，求得

sinZ.AsinZ.ADB

sin/-ADB=一，結合角的范圍，利用同角三角函數關系式，求得cos4ADB=

5

也

(2)根據題設條件以及第一問的結論可以求得cos4BDC=sin^ADB=—,之后在△BCD中,

5

用余弦定理得到BC所滿足的關系，從而求得結果.

詳解：(1)在aABD中，由正弦定理得--------------.

sinZ-AsinZ.ADB

52

由題設知，-----=--------,所以sinNADB=上b.

sin450sinZ.ADB5

由題設知，ZADB<90°,所以cosNADB=

(2)由題設及(1)知，cos/BDC=sinNADB=上.

5

在ABCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2-BD-DC-cosZBDC

I-啦

=25+8-2x5x2J2x]

=25.

所以BC=5.

點睛：該題考查的是有關解三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理、同角三角函數關系

式、誘導公式以及余弦定理，在解題的過程中，需要時刻關注題的條件，以及開方時對于正

負號的取舍要從題的條件中尋找角的范圍所滿足的關系，從而正確求得結果.

18.如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，

使點C到達點P的位置，且PF_LBF.

12

(1)證明：平面PEF-L平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

⑵

4

【解析】分析：(1)首先從題的條件中確定相應的垂直關系，賈BFLPF,BF1EF,又因為

PFHEF=F,利用線面垂直的判定定理可以得出8尸_L平面陽又BFu平面A67N,利用面

面垂直的判定定理證得平面陽」平面ABFD.

⑵結合題意，建立相應的空間直角坐標系，正確寫出相應的點的坐標，求得平面4身2的法

3

向量，設分與平面力附9所成角為0,利用線面角的定義，可以求得HPDP4B

sinQ=|----3—|=~F=—

|HP|-|DP|小4

得到結果.

詳解：(1)由已知可得，BFLPF,BFLEF,又PFI"IEF=F,所以8/」平面際

又BFu平面ABFD,所以平面PEFL中面ABFD.

(2)作PHIEF,垂足為//由(1)得，PHL平面ABFD.

以〃為坐標原點，山的方向為"軸正方向，|威|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系

H-xyz.

由(1)可得，DELPE.叉DP=2,DB=1,所以唱。又戶片1,E0,奴PE1PF.

七2而3

可得PH=JEH=

22

n,陋3-

為平面4BFD的法向量.

則11(0,0,0*(0,0,萬加(-1,-2；O),DP=(1,HP=

3

設73與平面/甌所成角為0,則HP-DPJ_=坦.

sin9=|------

|HP|-|DP|有4

13

所以。戶與平面/4S&7所成角的正弦值為二.

4

點睛：該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的證明以及線面角的

正弦值的求解，屬于常規(guī)題目，在解題的過程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這

里需要先證明線面垂直，所以要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關系，從而證得結果；

對于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量來完成，注意相對應的等量關系即可.

2

19.設橢圓c?土+y2=1的右焦點為F,過F的直線1與C交于A,B兩點，點M的坐標為(2,0).

2

(1)當1與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：ZOMA=ZOMB.

【答案】(1)4/的方程為y=-1+4或丫=Cx-啦.

(2)證明見解析.

【解析】分析：(1)首先根據1與x軸垂直，且過點F(l,0),求得直線/的方程為產1,代入橢

圓方程求得點/的坐標為(1,，)或(1，一f),利用兩點式求得直線AM的方程；

⑵分直線/與x軸重合、/與x軸垂直、/與x軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況

比較簡單，也比較直觀，對于一般情況將角相等通過直線的斜率的關系來體現，從而證得結

果.

詳解：(1)由已知得F(l,0),/的方程為『1.

由已知可得，點4的坐標為(1,與或

行也

所以47的方程為丫=-—x+垓或y=—x-A/5-

(2)當/與x軸重合時，ZOMA=ZOMB=0°.

當/與x軸垂直時，。的為48的垂直平分線，所以43MA=4DMB.

當/與x軸不重合也不垂直時，設/的方程為y=k(x-0),AIXpyl'B&y》

Yiy2

貝以1＜屈X2〈W，直線胡，肥的斜率之和為+-------------1--------------,

X]-2x2-2

由y1=Icq-k,y2=kx2-k得

2kxix?-3k(X1+x2)+4k

k+k=----------------------

KK、

MAMB(ZX1-2)(X2-C2),

2

將y=k(x-1)代入土+丫2=i得

2

14

(2k2+l)x2-4k2x+2k2-2=0-

2k2-2

所以，

+x2=2k2+1'X2k2+1

4k3-4k-12k3+81?+4k

貝12kxix?-3k(X]+x2)+4k==0.

2k2+1

從而kj^+k1MB=0,故MA,雨的傾斜角互補，所以NOMA=NOMB.

綜上，ZOMA=ZOMB.

點睛：該題考查的是有關直線與橢圓的問題，涉及到的知識點有直線方程的兩點式、直線與

橢圓相交的綜合問題、關于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方程的

時候，需要注意方法比較簡單，需要注意的就是應該是兩個，關于第二問，在做題的時候需

要先將特殊情況說明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯立方程組，之后韋達定

理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關系來得到南是相等的結論.

20.某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗,

如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據

檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為

p(O<p<l),且各件產品是否為不合格品相互獨立.

(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點P0.

(2)現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的Po作為p的

值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不

合格品支付25元的賠償費用.

(i)若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,

求EX;

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作

檢驗？

【答案】】⑴Po=O.L

⑵⑴490.

(ii)應該對余下的產品作檢驗.

【解析】分析：(1)利用獨立重復實驗成功次數對應的概率，求得f(p)-p)%之后

對其求導，利用導數在相應區(qū)間上的符號，確定其單調性，從而得到其最大值點，這里要注

15

意Ovpvl的條件；

⑵先根據第一問的條件，確定出p=0.1,在解(i)的時候，先求件數對應的期望，之后應

用變量之間的關系，求得賠償費用的期望；在解(ii)的時候，就通過比較兩個期望的大小，

得到結果.

詳解：(1)20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C4p2(l-p)i8因此

f(P)=C就2P(1-p)18-18p2(l-p)17]=2c盍)(1-p)17(l-10p).

令f'(p)=O,得p=0」.當pC(OOl)時，f(p)>0；當p6(0.1,l)時，f'(p)<0.

所以f(p)的最大值點為Po=0」.

(2)由(1)知，p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知Y~B(180,0.1),

X=20x2+25Y,即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.

由于EX>400,故應該對余下的產品作檢驗.

點睛：該題考查的是有關隨機變量的問題，在解題的過程中，一是需要明確獨立重復試驗成

功次數對應的概率公式，再者就是對其用函數的思想來研究，應用導數求得其最小值點，在

做第二問的時候，需要明確離散型隨機變量的可取值以及對應的概率，應用期望公式求得結

果，再有就是通過期望的大小關系得到結論.

21.已知函數f(x)=—x+alnx.

x

(1)討論f(x)的單調性；

f(Xj)-f(x2)

(2)若f(x)存在兩個極值點XpX2，證明：-------」<a-2.

Xi

【答案】(1)當aS2時，f(x)在(0,+8)單調遞減.，

當a>2時，f(x)在(°：一手")：++⑸單調遞減,在；-a+手彳單調遞增.

(2)證明見解析.

【解析】分析：(1)首先確定函數的定義域，之后對函數求導，之后對a進行分類討論，從而

確定出導數在相應區(qū)間上的符號，從而求得函數對應的單調區(qū)間；

(2)根據f(x)存在兩個極值點，結合第一問的結論，可以確定a>2,令f(x)=O,得到兩個極值

16

點XpX2是方程x2.ax+1=0的兩個不等的正實根，利用韋達定理將其轉換，構造新函數證得

結果.

,1ax2-ax-_1__]1

詳解：(1)f(x)的定義域為(0,+oo),f(x)=---1+-=----------.

X2X丫X2

⑴若aS2,則f'(x)W。，當且僅當a=2,x=1f(x)=0,所以f(x)在(0,+oo)單調遞減.

(ii)若a>2,令f'(x)=0得，x=a-戶或*=2+戶.

22

22

也a-Ja-4a+Ja-4n,,

當xe(0,—[——)U(—1——,+8)時，f(x)<0；

當xeE一斤a+春)時,《伏)〉。.所以及刈在@匚｛三),(上耳Z,+8)單調遞減，在

(匚莊Z,二莊Z)單調遞增.

(2)由(1)知，f(x)存在兩個極值點當且僅當a>2.

由于f(x)的兩個極值點XpX2滿足x?-ax+l=0,所以X]X2=1,不妨設X1〈X2，則X2>1.由于

f(X])_4xj]InX]-lnx2Inx】-In^-21nx2

---------=------1+a---------=-2+a---------=-2+a------

X】-x2x/2Xj-x2X1-x21,

所以f（Xi）-f（xJva_2等價于L-X2+21nx,<0.

x

Xi-X22

設函數g(x)=--x+21nx,由(1)知，g(x)在(0,+8)單調遞減，又g(l)=0,從而當x6(1,+8)

x

時，g(x)<0.

1f(x?-f(x。

VX--x2+21nx2<0,即---------<a-2.

X

2X］-X2

點睛：該題考查的是應用導數研究函數的問題，涉及到的知識點有應用導數研究函數的單調

性、應用導數研究函數的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過程中，需要明確導數的符

號對單調性的決定性作用，再者就是要先保證函數的生存權，先確定函數的定義域，要對參

數進行討論，還有就是在做題的時候，要時刻關注第一問對第二問的影響，再者就是通過構

造新函數來解決問題的思路要明確.

22.［選修4一4：坐標系與參數方程］

17

在直角坐標系xOy中，曲線g的方程為y=k岡+2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建

立極坐標系，曲線。2的極坐標方程為p2+2pcos0-3=0-

(1)求C2的直角坐標方程；

(2)若Ci與。2有且僅有三個公共點，求Ci的方程.

【答案】(1)(x+l)2+y2=4.

(2)綜上，所求C1的方程為y=-：x|+2.

【解析】分析：(1)就根據x=pcosO,y=psinO以及p?=x?+y2,將方程p?+2pcos0-3=0中的

相關的量代換，求得直角坐標方程；

⑵結合方程的形式，可以斷定曲線。2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓，C］是過點BQ2)且關

于y軸對稱的兩條射線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會出現三個公共點，結合直

線與圓的位置關系，得到k所滿足的關系式，從而求得結果.

詳解：(1)由x=pcos。，y=psin9得。2的直角坐標方程為

(x+l)2+y2=4-

(2)由(1)知。2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.

由題設知，J是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為％y軸左邊的射

線為b由于B在圓的外面，故Ci與。2有且僅有三個公共點等價于L與02只有一個公共點且

一與。2有兩個公共點，或U與。2只有一個公共點且L與。2有兩個公共點.

,|-k+2|4

當L與。2只有一個公共點時，A到L所在直線的距離為2,所以廠廠==2,故卜=--或k=0.

Jk+13

4

經檢驗，當k=o時，L與。2沒有公共點；當卜=--時，L與。2只有一個公共點，與02有兩個

3

公共點.

,|k+2|4

當與。2只有一個公共點時，A到1,所在直線的距離為2,所以廠;一==2,故卜=0或卜=-.

Vk2+13

4

經檢驗，當k=0時，L與沒有公共點；當卜=，時，與沒有公共點.

、八、4

綜上，所求C］的方程為丫=-,岡+2.

點睛：該題考查的是有關坐標系與參數方程的問題，涉及到的知識點有曲線的極坐標方程向

平面直角坐標方程的轉化以及有關曲線相交交點個數的問題，在解題的過程中，需要明確極

坐標和平面直角坐標之間的轉換關系，以及曲線相交交點個數結合圖形，將其轉化為直線與

18

圓的位置關系所對應的需要滿足的條件，從而求得結果.

23.[選修4-5:不等式選講]

已知f(x)=|x+l|-|ax-l|.

(1)當a=l時，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若xE(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

【答案】(1){x|x>

(2)(0,2].

【解析】分析：⑴將a=l代入函數解析式，求得f(x)=|x+l|-|x-l|,利用零點分段將解析

(~2,x<-1,

式化為f(x)=2x,-l〈xvl,,然后利用分段函數，分情況討論求得不等式f(x)>l的解集為

I2,x>l.

1

{x|x>-)；

⑵根據題中所給的xE(0,1),其中一個絕對值符號可以去掉，不等式f(x)>x可以化為x€(0,1)

時|ax-1|<1,分情況討論即可求得結果.

(~2,x<-1,

詳解：(1)當a=l時,f(x)=|x+l|-|x-l|,即f(x)=2x,-1<x<l,

I2,x>l.

故不等式f(x)>1的解集為{x[x>]}.

(2)當x€(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x€(0,1)時|ax-1|v1成立.

若agO,則當x€(0,1)時|ax-1|21;

、22

若a>0,|ax-1|v1的解集為0<xv-，所以-21,故0<aS2.

aa

綜上，a的取值范圍為(0,2].

19

2017全國卷1理科數學試題解析

1.已知集合爾{x|K1},B=[x]3r<1},則

A.AnB={%|x<0}B.A|J3=R

C.AUB={x|x>l}D.AC\B=0

【答案】A

【解析】試題分析：由3*<1可得3*<3°,則x<0,即5={x|x<0},所以

AQS={x|x<1}0{%|x<0}

={x|x<0},AIJ5={x|%<1}U{%l%<0}={%l無<1},故選A.

【考點】集合的運算，指數運算性質

【拓展】集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，常常借助數軸或韋恩圖

進行處理.

2.如圖，正方形內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色

部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率

是

20

【答案】B

【解析】試題分析：設正方形邊長為。，則圓的半徑為3,正方形的面積為圓的面

2

積為——.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由

4

171a之

幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是2,4=,選民

a28

秒殺解析：由題意可知，此點取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個面積的比例，

由圖可知其概率2滿足;<p<；,故選B.

【考點】幾何概型

【拓展】對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長度、

面積、體積或時間)，其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后

計算P(A).

3.設有下面四個命題

Pi：若復數z滿足一eR,則zeR;

z

p2：若復數z滿足z?eR,則zeR;

：2z/2ez=Z2；

p3若復數々/滿足R,則

P4：若復數zeR,則5eR.

其中的真命題為

A.Pi，P3B.p?p4C.p2,p3D.p2,p4

【答案】B

【考點】復數的運算與性質

【拓展】分式形式的復數，分子、分母同乘以分母的共朝復數，化簡成z=a+bi(a,beR)

的形式進行判斷，共軻復數只需實部不變，虛部變?yōu)樵瓉淼南喾磾导纯?

4.記S”為等差數列｛&“｝