57三角函數(shù)的應(yīng)用(典例精講)-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)精講檢測(cè)(人教A版2019)(原卷版)

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用典例精講典例精講本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)目錄：本節(jié)課應(yīng)用題中大多數(shù)是構(gòu)造三角函數(shù)式子求最值換元+均值；正余弦和與積。非特殊角的輔助角軸動(dòng)區(qū)間定拆角恒等變形（難）扇形+內(nèi)接圓+三角函數(shù)定義切化弦恒等變形一元二次+輔助角多元基本不等式【例1】換元法和均值不等式求最值如圖，扇形區(qū)域（含邊界）是一蔬果種植園，其中P、Q分別在公路和上．經(jīng)測(cè)得，扇形區(qū)域的圓心角，半徑為1千米，為了方便菜農(nóng)營(yíng)銷，打算在扇形區(qū)城外修建一條公路，分別與和交于M、N兩點(diǎn)，并要求與扇形弧相切于點(diǎn)S，設(shè)（弧度），假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì)．（1）將公路的長(zhǎng)度（單位：千米）表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）求公路長(zhǎng)度的最小值，并求此時(shí)的值．【例2】應(yīng)用題中，正余弦和與積求最值如圖，某市一學(xué)校位于該市火車站北偏東方向，且，已知是經(jīng)過火車站的兩條互相垂直的筆直公路，CE,DF及圓弧都是學(xué)校道路，其中，，以學(xué)校為圓心，半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點(diǎn).當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì)，其中分別在公路上，且與圓弧相切，設(shè)，的面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面積為最小，政府投資最低？【例3】非特殊角的輔助角從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡(jiǎn)稱“孔方兄”）是我國使用時(shí)間長(zhǎng)達(dá)兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個(gè)字“同治重寶”．某模具廠計(jì)劃仿制這樣的銅錢作為紀(jì)念品，其小圓內(nèi)部圖紙?jiān)O(shè)計(jì)如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔，四周是四個(gè)全等的小正方形（邊長(zhǎng)比孔的邊長(zhǎng)小），每個(gè)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在孔邊上，四個(gè)小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字．設(shè)，五個(gè)正方形的面積和為．（1）求面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求的范圍；（2）求面積最小值．【例4】軸動(dòng)區(qū)間定已知：函數(shù)求函數(shù)的周期T與單調(diào)增區(qū)間．函數(shù)與的圖象有幾個(gè)公共交點(diǎn)．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的最小值為，試確定滿足的a的值．【例5】拆角恒等變形（難）某商圈準(zhǔn)備在其室外廣場(chǎng)上設(shè)計(jì)一個(gè)綠化人文景觀帶，具體操作如下：下圖中的正方形的邊長(zhǎng)為40米，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，引出放射角為的陰影部分的區(qū)域作為綠化人文景觀排，其中，根據(jù)預(yù)測(cè)，修好后人流量基本上都集中在兩條線段附近，所以該景觀帶的邊界長(zhǎng)度之和越大，人流量就越大，現(xiàn)在記的長(zhǎng)度之和為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求的最大值．【例6】扇形+內(nèi)接如圖，在半徑為，圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)N，M在OB上，設(shè)矩形PNMQ的面積為y.（1）按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：①設(shè)PN＝x，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)∠POB＝θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求出y的最大值.【例7】圓+三角函數(shù)如圖所示，某游樂園的一個(gè)摩天輪的半徑為10米，輪子的底部到地面的距離為2米，該摩天輪沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且每20分鐘旋轉(zhuǎn)一圈，當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)（到地面的高度為17米）時(shí)開始計(jì)時(shí)，.（1）求此人轉(zhuǎn)動(dòng)5分鐘后相對(duì)于地面的高度；（2）當(dāng)摩天輪上此人經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，求.【例8】切化弦恒等變形如圖，射線和均為筆直的公路，扇形區(qū)域（含邊界）是規(guī)劃的生態(tài)文旅園區(qū)，其中、分別在射線和上.經(jīng)測(cè)量得，扇形的圓心角（即）為、半徑為千米.根據(jù)發(fā)展規(guī)劃，要在扇形區(qū)域外修建一條公路，分別與射線、交于、兩點(diǎn)，并要求與扇形弧相切于點(diǎn)（不與重合）.設(shè)（單位：弧度），假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì).（1）試將公路的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)；（2）已知公路每千米的造價(jià)為萬元，問建造這樣一條公路，至少要投入多少萬元？【例9】一元二次+輔助角某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)為半圈上一點(diǎn)（異于，），點(diǎn)在線段上，且滿足.已知，，設(shè).（1）為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果；（2）為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達(dá)到最大.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求該最大值.【例10】多元基本不等式如圖，在矩形紙片中，，，在線段上取一點(diǎn)，沿著過點(diǎn)的直線將矩形右下角折起，使得右下角頂點(diǎn)恰好落在矩形的左邊