專題01集合與常用邏輯用語(yǔ)（講義）

專題01集合與常用邏輯用語(yǔ)易錯(cuò)點(diǎn)一對(duì)集合表示方法理解存在偏差易錯(cuò)點(diǎn)二忽視集合元素的互異性易錯(cuò)點(diǎn)三忽視最高項(xiàng)系數(shù)為0易錯(cuò)點(diǎn)四函數(shù)不等式解集的補(bǔ)集,忽略函數(shù)的定義域易錯(cuò)點(diǎn)五根據(jù)或求參數(shù)取值范圍,忽略的情況易錯(cuò)點(diǎn)六全稱命題與特稱命題的否定出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)七判斷充分性必要性位置顛倒易錯(cuò)點(diǎn)八混淆“充分條件”與“充分不必要條件”易錯(cuò)點(diǎn)一對(duì)集合表示方法理解存在偏差注意：①一定要清楚符號(hào)“{的屬性}”表示的是具有某種屬性的的全體，而不是部分；②一定要從代表元素入手，弄清代表元素是什么例1．（湘豫名校聯(lián)考2023屆高三4月二模理科數(shù)學(xué)試題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式不等式求出集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，結(jié)合交集的定義和運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得，解得，所以；由，得，所以，所以.故選：D.例2．（2023·廣西桂林·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合，則集合的子集的個(gè)數(shù)為（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】結(jié)合集合交集的定義、子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，，因此集合的子集的個(gè)數(shù)為，故選：A易錯(cuò)點(diǎn)二忽視集合元素的互異性注意：當(dāng)集合含字母時(shí)，要記得檢驗(yàn)，否則可能導(dǎo)致集合中出現(xiàn)相同元素例3．（2023·天津河?xùn)|·一模）已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)知，討論、求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.【詳解】由知：，當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；當(dāng)，即或，若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；若，則，，滿足要求.綜上，.故選：A例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，結(jié)合元素的互異性求解.【詳解】因?yàn)榧希?，且，所以，所以若，不滿足元素互異性，則或，滿足互異性，所以.故選：C．易錯(cuò)點(diǎn)三忽視最高項(xiàng)系數(shù)為0注意：最高項(xiàng)的系數(shù)直接影響方程的求解方式，故要分類討論例5．（江西贛州·高三上猶中學(xué)?？贾軠y(cè)）已知集合中至多含有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程至多只有一個(gè)根，分，即可求解.【詳解】由題意，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程至多只有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程為，解得，此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，所以，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：D例6．（2022春·重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高三模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【分析】討論和兩種情況，當(dāng)時(shí)，結(jié)合一元二次不等式知識(shí)列出不等式組，解得a的范圍，綜合可求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，即，該式不成立，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使集合，需滿足，解得，綜合可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：易錯(cuò)點(diǎn)四分式不等式求補(bǔ)集不能直接改變不等號(hào)方向注意：分式不等式求解需考慮分母不等于0，故不可直接改變不等號(hào)方向例7．（2023·山西朔州·統(tǒng)考二模）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)分式不等式的解法求出集合，再根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義即可得解.【詳解】由得，則，解得，所以，則，所以.故選：D.例8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】求解分式不等式化簡(jiǎn)集合，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，再由數(shù)軸法得出．【詳解】因?yàn)?，所以且，解得，所以，所以或．又因?yàn)?，所以，解得，所以，所以或．故選：B．易錯(cuò)點(diǎn)五根據(jù)或求參數(shù)取值范圍,忽略的情況注意：解隱含有空集參與的集合問(wèn)題時(shí)，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性例9．（2022秋·江西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，且，則a的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【分析】求得集合，根據(jù)，分和兩種情況討論，即可求解.【詳解】由題意，集合，當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)滿足，當(dāng)時(shí)，要使得，則或，當(dāng)時(shí)，可得，即，此時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，可得，即，此時(shí)，不滿足，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例10．（2023春·湖南·高三階段練習(xí)）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式，確定集合A，討論m的范圍，確定B，根據(jù)題意推出，由此列出不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意集合，，若，則，此時(shí)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故,故；若，則，此時(shí)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故,故；若，則，此時(shí)，滿足,綜合以上可得，故選：C易錯(cuò)點(diǎn)六全稱命題與特稱命題的否定出錯(cuò)注意：對(duì)全稱、特稱命題的否定，不僅要否定結(jié)論，而且還要對(duì)量詞“”進(jìn)行否定，其余不需要否定例11．（2022秋·遼寧本溪·高三本溪高中?？计谥校┤裘}，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題改寫(xiě)即可.【詳解】因?yàn)槊}，所以為，故選：C.例12．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）命題：，的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】全稱命題的否定：將任意改存在并否定原結(jié)論，即可得答案.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為，.故選：D易錯(cuò)點(diǎn)七判斷充分性必要性位置顛倒注意：“是的充分條件”與“的充分條件是”例13．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）條件，，則的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)于命題，由參變量分離法可得，求出函數(shù)在上的最大值，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用必要不充分條件的定義可得出合適的選項(xiàng).【詳解】若，使得，則，可得，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，，即，所以，的一個(gè)必要不充分條件是.故選：A.例14．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）使“”成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】對(duì)于A，若，，當(dāng)時(shí)，成立，所以“，”“”，A不滿足條件；對(duì)于B，，，則，即，所以“，”“”，若，則，不妨取，，，則，所以“，”“”，所以“，”是“”的充分不必要條件，B滿足條件；對(duì)于C，若，則，使得，即，即“”“，”，所以“，”是“”的充分條件，C不滿足條件；對(duì)于D，若，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以“，”“”，D不滿足條件.故選：B.易錯(cuò)點(diǎn)八混淆“充分條件”與“充分不必要條件”注意：充分條件包含充分必要條件和充分不必要條件例15．（2023秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）若關(guān)于的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則它成立的必要條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用的判別式，求出的范圍，再利用必要條件的定義即可求得.【詳解】因?yàn)榉匠讨炼嘤幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根，所以方程的判別式，即：，解得，利用必要條件的定義，結(jié)合選項(xiàng)可知，成立的必要條件可以是選項(xiàng)B和選項(xiàng)C.故選：BC.例16．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知直線與平面，，，能使的充分條件是（

）A．， B．，C．， D．，，【答案】C【分析】對(duì)于A，判斷可能平行，可能相交，可知A的正誤；對(duì)于B，判斷，可判斷B；對(duì)于C，根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷；對(duì)于D，判斷相交但不一定垂直，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，可能平行，可能相交，但不一定垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，根據(jù)面面垂直判定定理可知，C正確；對(duì)于D，當(dāng)，，時(shí)，，但相交但不一定垂直，如圖示：故D錯(cuò)誤；故選：C例17．（2022秋·高一單元測(cè)試）下列命題中真命題的是（

）A．“”是“”的充分條件B．“”是“”的充要條件C．“”是“”的充分條件D．“”是“”的必要條件【答案】AB【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，判斷各選項(xiàng)的結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，A選項(xiàng)正確；時(shí)有，時(shí)有，B選項(xiàng)正確；當(dāng)，時(shí)，滿足，但，故C選項(xiàng)不正確；與沒(méi)有關(guān)系，不能相互推出，因此D選項(xiàng)不正確．故選：AB一、單選題1．（江西省吉安市2023屆高三模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）（一模）試題）已知全集.設(shè)集合,則(

)A． B．或C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)已知分別求出集合,再根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義求解即可.【詳解】由不等式,解得,∴或;由不等式,解得或,∴.故選:D.2．（2023春·山西大同·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)集合，判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系即可得答案.【詳解】由題可得，，所以，且，，.故選：B.3．（2023·北京海淀·校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.【詳解】設(shè)集合，若，，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；所以或.故選：C4．（2022秋·浙江金華·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)組成的集合的子集個(gè)數(shù)有（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【分析】解方程可得，再根據(jù)可得或或，分別求解得的值，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)組成的集合的子集個(gè)數(shù).【詳解】，，，或或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，實(shí)數(shù)組成的集合為，其子集的個(gè)數(shù)為.故選：D.5．（2023·河南鄭州·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知得出全集，即可根據(jù)集合的補(bǔ)集運(yùn)算得出答案.【詳解】解得，則全集，則，故選：D.6．（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式解法求得集合，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可求出集合，再運(yùn)用集合運(yùn)算法則即可求解.【詳解】依題意，由，得，解得；由，得，解得；所以，，所以．故選：C.二、多選題7．（2023秋·福建廈門·高三統(tǒng)考期末）已知集合,若是的充分條件,則a可以是（

）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】AB【分析】根據(jù)充分條件的概念,得出集合之間的包含關(guān)系,即可得出的范圍,選出選項(xiàng).【詳解】解:因?yàn)槭堑某浞謼l件,所以,所以有.故選:AB8．（2022秋·廣東汕頭·高三汕頭市第一中學(xué)?？计谥校┦共坏仁匠闪⒌某浞植槐匾獥l件可以是（

）A． B． C．

D．【答案】BC【分析】根據(jù)一元二次不等式的求解得解集為，進(jìn)而根據(jù)集合的包含關(guān)系即可判斷.【詳解】不等式的解為，由于，，故使不等式成立的充分不必要條件可以是以及，是成立的充要條件，是成立必要不充分條件.故選：BC9．（2022秋·福建福州·高三期末）若是關(guān)于的不等式成立的必要條件，則的值可以是（

）A．1 B．0 C． D．【答案】BC【分析】首先求出這兩個(gè)不等式的解集A、B，根據(jù)題意可得，即可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，解得：，設(shè)，設(shè)不等式的解集為，因?yàn)槭顷P(guān)于的不等式成立的必要條件，所以，因?yàn)?，則，當(dāng)即，，滿足題意；當(dāng)即，則，所以，所以符合題意；當(dāng)即，則，所以，因?yàn)?，所以，解得：，所?綜上所述，的取值范圍為：.故選：BC.三、填空題10．已知命題”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____________.【答案】【分析】為真命題，即方程在范圍內(nèi)有實(shí)根，解得答案.【詳解】為真命題，即方程在范圍內(nèi)有實(shí)根，故，故.故答案為：11．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】分析可知命題“，”為真命題，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次不等式恒成立可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，命題“，”為真命題.當(dāng)時(shí)，由可得，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，由題意可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.12．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知集合，集合，且，則實(shí)數(shù)的值是______.【答案】【分析】根據(jù)集合交集的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】由，知，若，則，此時(shí)，，，舍去；若，則，此時(shí)，，，滿足題意；若，此時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)解，綜上知，，故答案為：13．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出“”的一個(gè)充分非必