2024-2025學年北京市東城區(qū)第一七一中學高三上學期期中考試數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市東城區(qū)第一七一中學高三上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U是實數(shù)集R.下邊的韋恩圖表示集合M=xx2與N={x|1<x<3}關(guān)系，那么陰影部分所表示的集合可能為(

)

A.{x∣x>2} B.x∣x≤2 C.{x∣x>1} D.x∣x≤12.如果復數(shù)2+bii(b∈R)的實部與虛部相等，那么b=(

)A.?2 B.1 C.2 D.43.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a3=2，a1A.6 B.7 C.8 D.94.已知函數(shù)f(x)=2x?log2xA.(0,1) B.(?∞,2) C.(2,+∞) D.(0,2)5.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，點P為C上一動點，線段PF的垂直平分線與x=?1交于點Q，那么A.QF≥PF B.QF>PF C.6.若函數(shù)fx=sinωx+π3ω>0在π2,π上單調(diào)，且在0,A.13,2 B.23,767.在?ABC中，∠C=90°,∠B=30°，∠BAC的平分線交BC于點D.若ADA.13 B.12 C.2 8.已知數(shù)列an為無窮項等比數(shù)列，Sn為其前n項的和，“S1>0，且S2>0”是“?n∈A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不必要又不充分條件9.已知在三棱錐P?ABC中，PA=BC=234，PB=AC=10，PC=AB=241，則三棱錐P?ABCA.40 B.80 C.160 D.24010.恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀數(shù)學的三大成就.其中對數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀法國數(shù)學家拉普拉斯評價為“用縮短計算時間延長了天文學家的壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個83位數(shù)，則由下面表格中部分對數(shù)的近似值(精確到0.001)，可得N的值為(

)M2371113lg0.3010.4770.8451.0411.114A.13 B.14 C.15 D.16二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=4?x2x12.二項式x+ax5的展開式中，x3的系數(shù)為10，則a=13.已知直線y=2x與雙曲線C:x2a2?y214.在平面直角坐標系xOy中，點B為圓x?22+y2=1上的動點，點A的坐標為cosθ,sinθ，其中θ為常數(shù)且0≤θ≤π.如果OA?OB的最大值為0，那么15.已知函數(shù)fx=ax?1,x≤1①若a≠2，則函數(shù)fx的零點是0②若函數(shù)fx無最小值，則a的取值范圍為0,1③若a>2，則fx在區(qū)間?∞,0上單調(diào)遞減，在區(qū)間0,+∞④若關(guān)于x的方程fx=a?2恰有三個不相等的實數(shù)根x1,x2,x3其中，所有正確結(jié)論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)在?ABC中，acos(1)求A的大??；(2)若c=4，在下列三個條件中選擇一個作為已知，使?ABC存在且唯一，求?ABC的周長．①a=②?ABC的面積為5③AB邊上的高線CD長為3注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．17.(本小題12分)如圖，矩形ACFE,AE=1,AE⊥平面ABCD,AB//CD,∠BAD=90°,AB=1,AD=CD=2，平面ADF與棱BE(1)求證：AG//DF;(2)求直線CF與平面ADF夾角的正弦值;(3)求BGBE的值．18.(本小題12分)在2021年12月9日發(fā)布的《北京市義務(wù)教育體育與健康考核評價方案》中，義務(wù)教育體育與健康考核評價包括過程性考核與現(xiàn)場考試兩部分，總分值70分．其中過程性考核40分，現(xiàn)場考試30分．該評價方案從公布之日施行，分學段過渡、逐步推開．現(xiàn)場考試采取分類限選的方式，把內(nèi)容劃分了四類，必考、選考共設(shè)置22項考試內(nèi)容．某區(qū)在九年級學生中隨機抽取1100名男生和1000名女生作為樣本進行統(tǒng)計調(diào)查，其中男生和女生選考乒乓球的比例分別為10%和5%，選考1分鐘跳繩的比例分別為40%和50%.假設(shè)選考項目中所有學生選擇每一項相互獨立．(1)從該區(qū)所有九年級學生中隨機抽取1名學生，估計該學生選考乒乓球的概率；(2)從該區(qū)九年級全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，設(shè)X為這3人中選考1分鐘跳繩的人數(shù)，求隨機變量X的數(shù)學期望EX(3)已知乒乓球考試滿分8分．在該區(qū)一次九年級模擬考試中，樣本中選考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；樣本中選考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．記這次模擬考試中，選考乒乓球的所有學生的乒乓球平均分的估計值為μ1，其中男生的乒乓球平均分的估計值為μ2，試比較μ1與μ2的大?。?9.(本小題12分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，上頂點為B(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點D(0,2)，直線AD交橢圓于點E，過點D的直線交橢圓于M，N兩點，若直線CM與x軸交于P點，過E且平行于x軸的直線與BN交于Q點，求|DQ||PQ|的值．20.(本小題12分)已知fx=e(1)當a=0時，求曲線y=fx在點0,f(2)當a=1時，求函數(shù)fx(3)若fx≥12x221.(本小題12分)已知數(shù)列an，從中選取第i1項、第i2項、…、第im項(i1<i2<?<im)，若ai1<ai2<???<aim(1)寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的最長單調(diào)子列；(2)已知數(shù)列an的長度為p的遞增子列的末項的最小值為am0，長度為q的遞增子列的末項的最小值為an0(3)若數(shù)列an有n2+1項，且任意兩項均不相等，證明：an必存在長度為參考答案1.D

2.A

3.D

4.D

5.A

6.B

7.B

8.C

9.C

10.C

11.[?2,0)∪(0,2]

12.2

13.5(答案不唯一14.23?2

15.①④

16.(1)在?ABC中，由acos得sinAcosB+而sinC>0，解得cosA=1所以A=π(2)選擇條件①，a=13，由正弦定理得sinC=因此角C有兩解，即?ABC不唯一；選擇條件②，?ABC的面積為53，由解得b=5，由余弦定理得a=所以?ABC唯一，其周長為a+b+c=9+選擇條件③，AB邊上的高線CD長為32，則?ABC的面積由S?ABC=1由余弦定理得a=所以?ABC唯一，其周長為a+b+c=5+

17.(1)證明：由題知，∵矩形ACFE，∴AE//EF，∵AB/?/CD，且AE?平面AEB，AB?平面AEB，AE∩AB=A，CF?平面CFD，CD?平面CFD，CF∩CD=C，∴平面AEB//平面CFD，∵

平面ADF與棱BE交于點G，且BE?平面AEB，∵平面ADF∩平面AEB=AG，平面ADF∩平面CFD=DF，平面AEB//平面CFD，故AG//DF，得證;(2)由題知，AE⊥平面ABCD，且∠BAD=90∴AB，AD，AF兩兩垂直，以A為原點，AB方向為x軸，AD方向為y軸，AE方向為z軸建立空間直角坐標系，則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(2,2,1)，∴設(shè)平面ADF的法向量為n=(x,y,z)，則有即2x+2y+z=02y=0，不妨令x=1，可得n記直線CF與平面ADF夾角為α，∴sin故直線CF與平面ADF夾角的正弦值為2(3)由題知，設(shè)BGBE=λ,∴BG由(2)知平面ADF的法向量為n=(1,0,?2)，且G∈平面ADF故n∴1?λ?2λ=0,∴λ=1故BG

18.(1)樣本中男生選考乒乓球的人數(shù)為1100×10%=110人，樣本中女生選考乒乓球的人數(shù)為1000×5%=50人，設(shè)從該區(qū)所有九年級學生中隨機抽取1名學生，該學生選考乒乓球為事件A，則該學生選考乒乓球的概率PA(2)依題意X的可能取值為0、1、2、3，則PX=0PX=1PX=2PX=3所以E(3)μ因為μ1μ2因為314>85

19.(1)依題意：a2=b2+c2橢圓的標準方程為x2(2)直線DA：y=x+2，y=x+2解得xE=?65，yE則DQPQ=32，若直線設(shè)M(x1,y整理得(1+4kΔ=256k解得k>32或k<?3直線CM：y=y1+1得xP=x1y令y=45，得xQ所以D，P，Q三點共線，所以|DQ||PQ|綜上知：|DQ||PQ|

20.(1)當a=0時，fx=e即曲線y=fx在點0,f0處的切線方程為(2)當a=1時，fx=e令g(x)=f′x=ex?1+x，則g′又易知f′(0)=0，所以當x≤0時，f′(x)≤f′(0)=0，當x>0時，f′(x)>0；即函數(shù)fx在?∞,0上單調(diào)遞減，在(0,+∞)即函數(shù)fx的極小值為f(3)fx≥12x2+x+b令?(x)=ex?a+1x?b由?′(x)=ex?易知當x<ln(a+1)時，?′(x)<0，當x>ln所以?(x)在?∞,ln(a+1)上單調(diào)遞減，在因此?(x)在x=ln也是最小值為?ln易知a+1?a+1ln可得a+1b≤令F(x)=x2?因此當0<x<e時，F(xiàn)′(x)>0；當x>所以F(x)在0,e上單調(diào)遞增，在則F(x)≤Fe=e?e故a+1?b的最大值為e

21.(1)由題意知，數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的最長單調(diào)子列為遞增子列，是1，3，5，6，9；(2)設(shè)長度為q，末項為an0的遞增子列為ar1，ar2，由p<q，可得ar因為數(shù)列an的長度為p的遞增子列的末項的最小值為a又因為ar1，ar2，?，arq?1，所以am