2024年吉林省長春市中考數學真題卷及答案解析

試題PAGE1試題2024年長春市初中學業(yè)水平考試數學本試卷包括三道大題，共6頁．全卷滿分為120分，考試時間為120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內．2．答題時，考生務必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內作答，在草稿紙、試卷上答題無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.根據有理數加法法則，計算過程正確的是（）A. B. C. D.2.南湖公園是長春市著名旅游景點之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）．A.主視圖 B.俯視圖 C.左視圖 D.右視圖3.在剪紙活動中，小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（）A. B. C. D.4.下列運算一定正確的是（）A. B. C. D.5.不等關系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學的身高，表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現的數學原理是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則6.2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射．當火箭上升到點時，位于海平面處的雷達測得點到點的距離為千米，仰角為，則此時火箭距海平面的高度為（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米7.如圖，在中，是邊的中點．按下列要求作圖：①以點為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段于點，交于點；②以點為圓心、長為半徑畫弧，交線段于點；③以點為圓心、長為半徑畫弧，交前一條弧于點，點與點在直線同側；④作直線，交于點．下列結論不一定成立的是（）A. B.C. D.8.如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點在函數的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點，與函數的圖象交于點．若，則點的坐標是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．9.單項式的次數是_____．10.計算：____．11.若拋物線（是常數）與軸沒有交點，則取值范圍是________．12.已知直線（、是常數）經過點，且隨的增大而減小，則的值可以是________．（寫出一個即可）13.一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線重合，．現將該三角板繞點順時針旋轉，使點的對應點落在直線上，則點A經過的路徑長至少為________．（結果保留）14.如圖，是半圓的直徑，是一條弦，是的中點，于點，交于點，交于點，連結．給出下面四個結論：①；②；③當，時，；④當，時，的面積是．上述結論中，正確結論的序號有________．三、解答題：本題共10小題，共78分．15.先化簡，再求值：，其中．16.2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式，此模式有若干種學科組合，每位高中生可根據自己的實際情況選擇一種．一對雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報這種組合的學生分成、、三個班，其中每位學生被分到這三個班的機會均等．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率．17.《九章算術》被歷代數學家尊為“算經之首”．下面是其卷中記載的關于“盈不足”的一個問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數、金價各幾何？這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢．合伙人數、金價各是多少？請解決上述問題．18.如圖，在四邊形中，，是邊的中點，．求證：四邊形是矩形．19.某校為調研學生對本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機抽取名學生對食堂進行滿意度評分（滿分分），將收集到的評分數據進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．高中部名學生所評分數的頻數分布直方圖如下圖：（數據分成4組：，，，）b．高中部名學生所評分數在這一組的是：c．初中部、高中部各名學生所評分數的平均數、中位數如下：

平均數中位數初中部高中部根據以上信息，回答下列問題：（1）表中的值為________；（2）根據調查前制定的滿意度等級劃分標準，評分不低于分為“非常滿意”．①在被調查的學生中，設初中部、高中部對食堂“非常滿意”的人數分別為、，則________；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有名學生在食堂就餐，估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數．20.圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作四邊形，使其是軸對稱圖形且點、均在格點上．（1）在圖①中，四邊形面積為2；（2）在圖②中，四邊形面積為3；（3）在圖③中，四邊形面積4．21.區(qū)間測速是指在某一路段前后設置兩個監(jiān)控點，根據車輛通過兩個監(jiān)控點時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經過一段長度為20千米的區(qū)間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區(qū)間測速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時間（時）之間的函數圖象如圖所示．（1）的值為________；（2）當時，求與之間的函數關系式；（3）通過計算說明在此區(qū)間測速路段內，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）22.問題呈現】小明在數學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊中，，點、分別在邊、上，且，試探究線段長度的最小值．【問題分析】小明通過構造平行四邊形，將雙動點問題轉化為單動點問題，再通過定角發(fā)現這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線．在【問題呈現】的條件下，完成下列問題：（1）證明：；（2）的大小為度，線段長度的最小值為________．【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關數據，并畫出了示意圖，如圖④，是等腰三角形，四邊形是矩形，米，．是一條兩端點位置和長度均可調節(jié)的鋼絲繩，點在上，點在上．在調整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長度的最小值為多少米．23.如圖，在中，，．點是邊上的一點（點不與點、重合），作射線，在射線上取點，使，以為邊作正方形，使點和點在直線同側．（1）當點是邊的中點時，求的長；（2）當時，點到直線的距離為________；（3）連結，當時，求正方形的邊長；（4）若點到直線的距離是點到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個即可）24.在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線（是常數）經過點．點、是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為、，點的橫坐標為，點的縱坐標與點的縱坐標相同，連結、．（1）求該拋物線對應的函數表達式；（2）求證：當取不為零的任意實數時，的值始終為2；（3）作的垂直平分線交直線于點，以為邊、為對角線作菱形，連結．①當與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形的面積；②當此拋物線在菱形內部的點的縱坐標隨的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．2024年長春市初中學業(yè)水平考試數學本試卷包括三道大題，共6頁．全卷滿分為120分，考試時間為120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內．2．答題時，考生務必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內作答，在草稿紙、試卷上答題無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.根據有理數加法法則，計算過程正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了有理數的加法，掌握“將兩個數的絕對值相減,結果的符號與絕對值較大的數的符號相同”成為解題的關鍵．根據將兩個數的絕對值相減,結果的符號與絕對值較大的數的符號相同即可解答．【詳解】解：．故選D．2.南湖公園是長春市著名旅游景點之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）．A.主視圖 B.俯視圖 C.左視圖 D.右視圖【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解決本題的關鍵．根據三視圖主視圖、俯視圖、左視圖的定義即可解答．【詳解】解：由題意可知圖③是從“四角亭”上方看到的，即為俯視圖．故選B．3.在剪紙活動中，小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了多邊形內角與外角，正多邊形的內角和，熟練掌握正多邊形的內角和公式是解題的關鍵．根據正五邊形的內角和公式和鄰補角的性質即可得到結論．【詳解】解：，故選：D．4.下列運算一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了單項式乘單項式、同底數冪的乘法以及冪的乘方與積的乘方，掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．根據單項式乘單項式的運算法則計算并判斷A；根據同底數冪的乘法法則計算并判斷B；根據積的乘方運算法則計算并判斷C；根據冪的乘方運算法則計算并判斷D．【詳解】解：A．，故本選項不符合題意；B．，故本選項不符合題意；C．，故本選項符合題意；D．，故本選項不符合題意；故選：C．5.不等關系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學的身高，表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現的數學原理是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】A【解析】【分析】本題主要考查不等式的性質，熟記不等式性質是解決問題的關鍵．根據不等式的性質即可解答．【詳解】解：由作圖可知：，由右圖可知：，即A選項符合題意．故選：A．6.2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射．當火箭上升到點時，位于海平面處的雷達測得點到點的距離為千米，仰角為，則此時火箭距海平面的高度為（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米【答案】A【解析】【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數的定義是解題關鍵，根據銳角的正弦函數的定義即可求解【詳解】解：由題意得：∴千米故選：A7.如圖，在中，是邊的中點．按下列要求作圖：①以點為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段于點，交于點；②以點為圓心、長為半徑畫弧，交線段于點；③以點為圓心、長為半徑畫弧，交前一條弧于點，點與點在直線同側；④作直線，交于點．下列結論不一定成立的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，平行線的性質和判定，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練掌握相關的性質，先根據作圖得出，根據平行線的判定得出，根據平行線的性質得出，根據平行線分線段成比例得出，即可得出．【詳解】解：A．根據作圖可知：一定成立，故A不符合題意；B．∵，∴，∴一定成立，故B不符合題意；C．∵是邊的中點，∴，∵，∴，∴一定成立，故C不符合題意；D．不一定成立，故D符合題意．8.如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點在函數的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點，與函數的圖象交于點．若，則點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查反比例函數、解直角三角形、平移的性質等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．如圖：過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，先根據點A坐標計算出、k值，再根據平移、平行線的性質證明，進而根據求出，最后代入反比例函數解析式取得點C的坐標，進而確定,，再運用勾股定理求得，進而求得即可解答．【詳解】解：如圖，過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，則軸，∵，∴，，∴．∵在反比例函數的圖象上，∴．∴將直線向上平移若干個單位長度后得到直線，∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，解得：，即點C的橫坐標為2，將代入，得，∴C點的坐標為，∴,，∴，∴,∴故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．9.單項式的次數是_____．【答案】【解析】【分析】此題考查單項式有關概念，根據單項式次數的定義來求解，解題的關鍵是需靈活掌握單項式的系數和次數的定義，單項式中數字因數叫做單項式的系數，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數．【詳解】單項式的次數是：，故答案為：．10.計算：____．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的性質化簡，再相減．【詳解】解：故答案是：．【點睛】本題考查了二次根式的減法，解題的關鍵是掌握二次根式的化簡及性質．11.若拋物線（是常數）與軸沒有交點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，掌握拋物線與x軸沒有交點與沒有實數根是解題的關鍵．由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關于c的一元一次不等式求解即可．【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點，∴沒有實數根，∴，．故答案：．12.已知直線（、是常數）經過點，且隨的增大而減小，則的值可以是________．（寫出一個即可）【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及一次函數的性質，牢記“，y隨x的增大而增大；，y隨x的增大而減小”是解題的關鍵．利用一次函數圖象上點的坐標特征，可得出，由y隨x的增大而減小，利用一次函數的性質，可得出，若代入，求出b值即可．【詳解】解：∵直線（k、b是常數）經過點，∴．∵y隨x的增大而減小，∴，當時，，解得：，∴b的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）13.一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線重合，．現將該三角板繞點順時針旋轉，使點的對應點落在直線上，則點A經過的路徑長至少為________．（結果保留）【答案】【解析】【分析】本題主要考查了旋轉的性質、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關鍵．由旋轉的性質可得,即，再根據點A經過的路徑長至少為以B為圓心，以為半徑的圓弧的長即可解答．【詳解】解：∵將該三角板繞點順時針旋轉，使點的對應點落在直線上，∴,即，∴點A經過的路徑長至少為．故答案為：．14.如圖，是半圓的直徑，是一條弦，是的中點，于點，交于點，交于點，連結．給出下面四個結論：①；②；③當，時，；④當，時，的面積是．上述結論中，正確結論的序號有________．【答案】①②③【解析】【分析】如圖：連接，由圓周角定理可判定①；先說明、可得、，即可判定②；先證明可得,即,代入數據可得，然后運用勾股定理可得，再結合即可判定③；如圖：假設半圓的圓心為O，連接，易得，從而證明是等邊三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根據三角形面積公式可得，最后根據三角形的中線將三角形平分即可判定④．【詳解】解：如圖：連接，∵是的中點，∴,∴，即①正確；∵是直徑，∴，∴，∵∴,∵，∴，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∴,即②正確；在和,，∴，∴,即,∴，即,∴,∵，∴，即③正確；如圖：假設半圓的圓心為O，連接，∵，，是的中點，∴∴，∵，∴等邊三角形，∴，即是菱形，∴，∵，∴，即，解得：,∴，∵∴，即④錯誤．故答案為：①②③．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質、勾股定理、菱形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．三、解答題：本題共10小題，共78分．15.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值問題，先算分式的減法運算，再代入求值即可．【詳解】解：原式∵，∴原式16.2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式，此模式有若干種學科組合，每位高中生可根據自己實際情況選擇一種．一對雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報這種組合的學生分成、、三個班，其中每位學生被分到這三個班的機會均等．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率．【答案】【解析】【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法、概率公式等知識點，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．先列表確定出所有等可能的結果數以及這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的結果數，然后再利用概率公式計算即可．【詳解】解：列表如下：

ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共有9種等可能的結果，其中這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的結果有3種，所以這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率為．17.《九章算術》被歷代數學家尊為“算經之首”．下面是其卷中記載的關于“盈不足”的一個問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數、金價各幾何？這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢．合伙人數、金價各是多少？請解決上述問題．【答案】共33人合伙買金，金價為9800錢【解析】【分析】設共x人合伙買金，金價為y錢，根據“每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【詳解】解：設共x人合伙買金，金價為y錢，依題意得：，解得：．答：共33人合伙買金，金價為9800錢．【點睛】本題考查了二元-次方程組的應用以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．18.如圖，在四邊形中，，是邊的中點，．求證：四邊形是矩形．【答案】證明見解析．【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題關鍵．利用可證明，得出，根據得出，即可證明四邊形是平行四邊形，進而根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形是矩形．【詳解】證明：∵是邊的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．19.某校為調研學生對本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機抽取名學生對食堂進行滿意度評分（滿分分），將收集到的評分數據進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．高中部名學生所評分數的頻數分布直方圖如下圖：（數據分成4組：，，，）b．高中部名學生所評分數在這一組的是：c．初中部、高中部各名學生所評分數的平均數、中位數如下：

平均數中位數初中部高中部根據以上信息，回答下列問題：（1）表中的值為________；（2）根據調查前制定的滿意度等級劃分標準，評分不低于分為“非常滿意”．①在被調查的學生中，設初中部、高中部對食堂“非常滿意”的人數分別為、，則________；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有名學生在食堂就餐，估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數．【答案】（1）（2）①；②估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數為人【解析】【分析】（1）由題意知，高中部評分的中位數為第位數的平均數，即，計算求解即可；（1）①利用中位數進行決策即可；②根據，計算求解即可．【小問1詳解】解：由題意知，高中部評分的中位數為第位數的平均數，即，故答案為：；【小問2詳解】①解：由題意知，初中部評分的中位數為，高中部評分的中位數為，∴，故答案為：；②解：∵，∴估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數為人．【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖，中位數，利用中位數進行決策，用樣本估計總體．熟練掌握條形統(tǒng)計圖，中位數，利用中位數進行決策，用樣本估計總體是解題的關鍵．20.圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作四邊形，使其是軸對稱圖形且點、均在格點上．（1）在圖①中，四邊形面積為2；（2）在圖②中，四邊形面積為3；（3）在圖③中，四邊形面積為4．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查網格作圖、設計圖案、軸對稱的性質、平移的性質等知識點，根據軸對稱的性質、平移的性質作圖是解題的關鍵．（1）根據軸對稱的性質、平移的性質作出面積為2四邊形即可．（2）根據軸對稱的性質、平移的性質作出面積為3四邊形即可．（3）根據軸對稱的性質、平移的性質作出面積為4四邊形即可．【小問1詳解】解：如圖①：四邊形即為所求；（不唯一）．【小問2詳解】解：如圖②：四邊形即為所求；（不唯一）．【小問3詳解】解：如圖③：四邊形即為所求；（不唯一）．21.區(qū)間測速是指在某一路段前后設置兩個監(jiān)控點，根據車輛通過兩個監(jiān)控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經過一段長度為20千米的區(qū)間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區(qū)間測速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時間（時）之間的函數圖象如圖所示．（1）的值為________；（2）當時，求與之間的函數關系式；（3）通過計算說明在此區(qū)間測速路段內，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）【答案】（1）（2）（3）沒有超速【解析】【分析】本題考查了一次函數的應用、一次函數的圖像、求函數解析式等知識點，掌握待定系數法求函數關系式是解題的關鍵．（1）由題意可得：當以平均時速為行駛時，小時路程為千米，據此即可解答；（2）利用待定系數法求解即可；（3）求出先勻速行駛小時的速度，據此即可解答．【小問1詳解】解：由題意可得：，解得：．故答案為：．【小問2詳解】解：設當時，y與x之間的函數關系式為，則：，解得：，∴．【小問3詳解】解：當時，，∴先勻速行駛小時的速度為：，∵，∴輛汽車減速前沒有超速．22.【問題呈現】小明在數學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊中，，點、分別在邊、上，且，試探究線段長度的最小值．【問題分析】小明通過構造平行四邊形，將雙動點問題轉化為單動點問題，再通過定角發(fā)現這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線．在【問題呈現】的條件下，完成下列問題：（1）證明：；（2）的大小為度，線段長度的最小值為________．【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關數據，并畫出了示意圖，如圖④，是等腰三角形，四邊形是矩形，米，．是一條兩端點位置和長度均可調節(jié)的鋼絲繩，點在上，點在上．在調整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長度的最小值為多少米．【答案】問題解決：（1）見解析（2）30，；方法應用：線段長度的最小值為米【解析】【分析】（1）過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，根據平行四邊形性質證明結論即可；（2）先證明，根據垂線段最短求出最小值；（3）過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，連接，求出，進而得，利用垂線段最短求出即可．【詳解】解：問題解決：（1）證明：過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，四邊形是平行四邊形，；（2）在等邊中，，；當時，最小，此時最小，在中，，線段長度的最小值為；方法應用：過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，連接，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，當時，最小，此時最小，作于點R，在中，，在中，，線段長度的最小值為米．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形外角的性質，垂線段最短及矩形性質，熟練掌握相關性質是解題關鍵．23.如圖，在中，，．點是邊上的一點（點不與點、重合），作射線，在射線上取點，使，以為邊作正方形，使點和點在直線同側．（1）當點是邊的中點時，求的長；（2）當時，點到直線的距離為________；（3）連結，當時，求正方形的邊長；（4）若點到直線的距離是點到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個即可）【答案】（1）（2）（3）（4）或【解析】【分析】本題考查等腰三角形性質，勾股定理，銳角三角函數，熟練掌握面積法是解題的關鍵；（1）根據等腰三角形三線合一性質，利用勾股定理即可求解；（2）利用面積法三角形面積相等即可；（3）設，則，，過點作于，根據，建立方程；即可求解；（4）第一種情況，，在異側時，設，，則，證明，得到，即可求解；第二種情況，當，在同側，設，則，，，求得，解方程即可求解；【小問1詳解】解：根據題意可知：，為等腰三角形，故點是邊的中點時，；在中，；【小問2詳解】根據題意作，如圖所示；當時，則，設點到直線的距離為，，解得：；【小問3詳解】如圖，當時