《揀選14份合集》吉林省通鋼某中學(xué)、集安某中學(xué)、梅河口五中等聯(lián)誼校2020-2021學(xué)年高三第二學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué) 含解析

吉林省通鋼一中、集安一中、梅河口五中等聯(lián)誼校2020-2021學(xué)年高三第二學(xué)

期第五次月考數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位

置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，

再選涂其他答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他

位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知/(x+2)是偶函數(shù)，Ax)在(—，2］上單調(diào)遞減，"0)=0,貝！)/(2-3幻>0的解集是

22

A.(^o,—)(2,+oo)B.(―,2)

2222

c.(---§)D.y,-?(->+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

先由/(X+2)是偶函數(shù)，得到/(x)關(guān)于直線x=2對稱；進(jìn)而得出單調(diào)性，再分別討論2-3x22和

2-3x<2,即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x)關(guān)于直線x=2對稱；

因此，由『(0)=0得"4)=0；

又/(x)在(-，2］上單調(diào)遞減，則/(x)在［2,+8)上單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)2-3x22即x4()時(shí)，由/(2-3x)>0得〃2-3x)>/(4),所以2-3x>4,

解得X<——5

當(dāng)2-3x<2即x〉0時(shí)，由f(2—3x)>0得f(2—3x)>f(0),所以2-3x<0,

解得x>g;

22

因此，“2-3幻>0的解集是(-0),_,(1,+00).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對應(yīng)不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于常考題

型.

log?>0

3

2.已知函數(shù)/(尤)=(]丫，若關(guān)于x的方程/"*)]=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取

a\3)，X-0

值范圍是()

A.(-=o,0)(0,1)B.(—8,0)51,”)

C.(-oo,0)D.(0,1)5L+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用換元法設(shè)f=/(x),則等價(jià)為/(。=()有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，分。<0,。=0,。>0三種情況進(jìn)行討

論，結(jié)合函數(shù)的圖象，求出。的取值范圍.

【詳解】

解：設(shè)r=/(x),則/(。=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

當(dāng)。<0時(shí)，當(dāng)xWO時(shí)，=<0,由/(。=0即解得f=l,

結(jié)合圖象可知，此時(shí)當(dāng)f=l時(shí)，得/(x)=l,則x=；是唯一解，滿足題意；

當(dāng)a=()時(shí)，此時(shí)當(dāng)xVO時(shí)，/(x)=a-f->|=0.此時(shí)函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意;

當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)xWO時(shí)，=G[CZ,+OO),此時(shí)/(x)最小值為a,

4

結(jié)合圖象可知，要使得關(guān)于X的方程/[/（x）]=o有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)“＞1.

綜上所述：。＜0或。＞1.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用.利用換元法，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

3.設(shè)）是方程%一1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記%="'+夕'（〃eN*）.下列兩個(gè)命題（）

①數(shù)列｛q｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù);

②數(shù)列｛。,,｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯(cuò)誤

【答案】A

【解析】

【分析】

利用韋達(dá)定理可得。+尸=1,皿=—1,結(jié)合a,,=a"+夕’可推出a,l+l=a?+a,”,再計(jì)算出《=1,4=3,

從而推出①正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.

【詳解】

因?yàn)閍,乃是方程/一x-1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

所以a+6=1,a"=T,

因?yàn)?=a"+〃，

所以凡M=a""+夕川

)?+(?"+/?")/?-B"a-an13

=(a”—奶(a'1+)

=(a"+〃)+("+〃)=4+%,

即當(dāng)〃23時(shí)，數(shù)列｛a,,｝中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和，

又4=(2+0=1,%=a1+伊=(a+￡)--2a￡=3,

所以％=%+4=4,/=%+。2=7,。5=%+%=11,

以此類推，即可知數(shù)列｛q｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)，故①正確；

若數(shù)列｛4｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù)，則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,

由4=1,4=3,依次計(jì)算可知，

數(shù)列｛q｝中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,97,6,3,9,2為周期，

故數(shù)列｛%｝中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng)，故②錯(cuò)誤；

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo)，考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.

22

4.已知點(diǎn)A（2技3比可在雙曲線器—￡=10＞0）上，則該雙曲線的離心率為（）

A.叵B.叵C.曬D.2710

32

【答案】C

【解析】

【分析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長，進(jìn)而求得離心率.

【詳解】

22

將x=2，Ly=3而代入方程［-1=1（。＞0）得。=3而，而雙曲線的半實(shí)軸。=而，所以

10b

c=Ja2+b2=10＞得離心率e=￡=加,故選C?

a

【點(diǎn)睛】

此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.

5.如圖，在A48C中，點(diǎn)M,N分別為C4,C8的中點(diǎn)，若=CB=\,且滿足

3AGMB=CA"+CB2'則AG-AC等于(

2

C.

3

【答案】D

【解析】

【分析】

選取就前為基底，其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算.

【詳解】

由題意G是A4BC的重心，

3AGMB=3X|A7V.(-BM)=-2(B7V-&4)-1(BC+&4)=(BA-1BC)-(BC+&4)

---212111

=BA——BC+—3AU5——+-BABC

2222

CA+CB=(BA-BC)2+\=BA-2BABC+BC+1==5-234BC+1+1，

91----------------------------------

：.-+-BA-BC=7-2BA-BC,BABC-\<

2--------21————21—23----——2

?a-AGAC=-^NAC=-{-BC-BA)[BC-BA)=-{-BC--BCBA+BA)

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取兩個(gè)不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運(yùn)算，這

樣做目標(biāo)明確，易于操作.

6.+且一是“J+/?1”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

畫出“一1mX+y41,-14%一?。?,工2+丁241,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.

【詳解】

如圖，“一1?x+y?1且一14x-yW1”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形,

記為集合P,“^+^^產(chǎn)表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部，記為集合Q,

顯然P是。的真子集，所以答案是充分非必要條件，

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題，考查命題的充分條件和必要條件的判斷，難度較易.

'2x+y-2<0

7.已知x,y滿足不等式組2y-1K0,則點(diǎn)尸(x,y)所在區(qū)域的面積是()

x>0

54

A.1B.2C.-D.-

45

【答案】C

【解析】

【分析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域，計(jì)算面積即可.

【詳解】

不等式表示的平面區(qū)域如圖：

y

直線2x+y-2=0的斜率為—2,直線工一2丁一1的斜率為:，所以兩直線垂直，故A8CD為直角三角形,

易得8(1,0),D(O,-1),c(o,2),忸忸q=石所以陰影部分面積

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

TTTT

8.已知函數(shù)/(x)=sin(2019x+丁)+cos(2019x-：)的最大值為M,若存在實(shí)數(shù)，幾〃，使得對任意實(shí)

44

數(shù)x總有/(加)《/(幻《/(〃)成立，則的最小值為()

冗2兀4兀兀

A.----B.-----C.-----D.-----

2019201920194038

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到/(%)=2sin(2()19x+?),進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長度

要大于等于半個(gè)周期，最終得到結(jié)果.

【詳解】

函數(shù)

/(x)=sin2019x+^+cos(2019x-：)=^-(sin2019x+cos2019x+cos2019x+sin2019x)

=V2(sin2019x+cos2019x)=2sin(2019x+^)

則函數(shù)的最大值為2,M-\m-^^2\m-n\

存在實(shí)數(shù)利，?，使得對任意實(shí)數(shù)x總有成立，則區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個(gè)周

期，§Pm-n>———/.2\m-n\.=

20191Mm2019

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較

綜合.

9.甲、乙、丙、丁四人通過抓閹的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完閹后，甲說：“我

沒抓到.”乙說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到.”已知他們四人中只有一人說了真話，根

據(jù)他們的說法，可以斷定值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】A

【解析】

【分析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理，即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，假設(shè)甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，

T：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的；

假設(shè)甲：我沒有抓到是假的，那么?。何覜]有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以斷定值班人是甲.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用，其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了

推理與分析判斷能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用

圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法，而中國數(shù)學(xué)家劉徽只

用圓內(nèi)接正多邊形就求得不的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮

級數(shù)等各種〃值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得力值的計(jì)算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個(gè)公式：

^=2x2x4x4x6x6x根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率兀的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該

2Ix3x3x5x5x7x

程序框圖，已知輸出的7>2.8,若判斷框內(nèi)填入的條件為kN機(jī)？，則正整數(shù)機(jī)的最小值是

/輸，出7'/

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

【詳解】

初始：k=l,T=2,第一次循環(huán)：T=2x：9x57=；R<2.8,k=2,繼續(xù)循環(huán)；

133

第二次循環(huán)：T=；8x4；x4^=f128>2.8,k=3,此時(shí)7>2.8,滿足條件，結(jié)束循環(huán)，

33545

所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是％23?,所以正整數(shù)機(jī)的最小值是3,故選B.

11.已知等差數(shù)列｛q｝的公差不為零，且,構(gòu)成新的等差數(shù)列，5,,為｛4｝的前"項(xiàng)和，若存

4%%

在〃使得S“=o,貝!]〃=()

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得4=-6d,再利用等差數(shù)列的前及項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】

111

由一，一，一構(gòu)成等差數(shù)列可得

4%a4

J___1__J___1_

〃3。4。3

u,-a%CIQ-ciA-2d-d_

即」~=—~￡=>——=—=4=2%

aya3a3a4a｝a4

又q=q+3d=>a[=2(q+3d)

解得：%=—6d

XS?=|[2a,+(n-l)j]=^(-12J+(rt-l)J)=|d(n-\3)

所以S“=0時(shí)，〃=13.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知函數(shù)，則函數(shù)y=/(/(x))的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

2+loggx9,x>0

A.0,g)B.(-1,0)0GBD-US

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求得x4()時(shí)，”X)的取值范圍.然后求得x>0時(shí)，“X)的單調(diào)性和零點(diǎn)，令/(/(x))=0,根

據(jù)“x40時(shí)，“X)的取值范圍”得到〃x)=2'+log3X-9=3,利用零點(diǎn)存在性定理，求得函數(shù)

丁=/(/(力)的零點(diǎn)所在區(qū)間.

【詳解】

當(dāng)x40時(shí)，3</(x)<4.

當(dāng)xNO時(shí)，/(%)=2*+1089X2—9=2*+log3X—9為增函數(shù)，且"3)=0,貝()x=3是/(x)唯一零

點(diǎn).由于“當(dāng)x40時(shí)，3</(%)<4所以

令/(.”x))=0,得〃x)=2，+k)g3X—9=3,因?yàn)椤?)=0<3,

/^=8V2+log31-9>8xl.414+log33-9=3.312>3,

所以函數(shù)y=/(/(x))的零點(diǎn)所在區(qū)間為(3彳1

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點(diǎn)，考查零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化

歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

Inx,x>1

13.已知函數(shù)/(x)=,若則。的取值范圍是_

【答案】[0,l]u[e,+8)

【解析】

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，即可求出。的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)a>l時(shí),Ina.A,

a..e

當(dāng)4,1時(shí)，3a..l,

所以噴必1,

故?的取值范圍是[0,11u[e,+O)).

故答案為：[0,1]u[e,+8).

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，已知分段函數(shù)解析式求參數(shù)范圍，還涉及對數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.在疫情防控過程中，某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護(hù)人員的精心治療下，第15天開始有患者治

愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2

倍，那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為,第天該醫(yī)院本次收治的所有

患者能全部治愈出院.

【答案】161

【解析】

【分析】

由題意可知出院人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，由此可求結(jié)果.

【詳解】

某醫(yī)院一次性收治患者127人.

第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.

且從第16天開始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，

???從第15天開始，每天出院人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

則第19天治愈出院患者的人數(shù)為%=1x2,=16,

5也4:127,

"1-2

解得〃=7,

.?.第7+15-1=21天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

故答案為：16,1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

15.能說明“在數(shù)列｛4｝中，若對于任意的犯〃eN*，am+),>am+aH,則｛a,,｝為遞增數(shù)列”為假命題的

一個(gè)等差數(shù)列是.(寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式)

【答案】答案不唯一，如見=一“一1

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.

【詳解】

由題意知，不妨設(shè)4,=一“一1,

a

則m+?=~（m+n）-\>一（加+“）一2=am+an,

很明顯｛凡｝為遞減數(shù)列，說明原命題是假命題.

所以1,答案不唯一，符合條件即可.

【點(diǎn)睛】

本題考查對等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列，還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條

件，屬基礎(chǔ)題.

16.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足4+3/+…+3”%”=〃，貝US4=

……40

【答案】—

27

【解析】

【分析】

對題目所給等式進(jìn)行賦值，由此求得””的表達(dá)式，判斷出數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，由此求得S&的值.

【詳解】

解：4+34++3"-%”=〃，可得〃=1時(shí)，q=l,

〃22時(shí),q+3兄+.一+3"~=〃-1，又4+34+...+3'?=n,

兩式相減可得3"-%=1,即a“=K，上式對〃=1也成立，可得數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為不的等

1-J-

比數(shù)列，可得S4=—=

1----

3

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查已知求勺，考查等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（可二%3-/一（4一16卜，g（x）=alnx,aeR.函數(shù)人（力=叢。-8（%）的

導(dǎo)函數(shù)/?’（x）在|,4上存在零點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若存在實(shí)數(shù)。，當(dāng)xe［O,。］時(shí)，函數(shù)/(x)在x=0時(shí)取得最大值，求正實(shí)數(shù)b的最大值;

(3)若直線/與曲線y=/(x)和y=g(x)都相切，且/在.丫軸上的截距為-12,求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】⑴［10,28］；⑵4；⑶12.

【解析】

【分析】

(1)由題意可知，h(x)=x2-x-alnx-a+16,求導(dǎo)函數(shù)/?”,方程2/一萬一。=()在區(qū)間1,4上有

實(shí)數(shù)解，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)由/(x)=d-f-(a-16)T，則j/，(x)=3f—2x-a+16,分步討論，并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單

調(diào)性的研究，得出正實(shí)數(shù)的最大值；

(3)設(shè)直線/與曲線y=/(x)的切點(diǎn)為(如無；一片一(。—16)X)，因?yàn)?'(6=3/-2%-(?！?6),所

以切線斜率左=3k一25一(。一16),切線方程為y=(24-a)x-12,設(shè)直線/與曲線y=g(x)的切點(diǎn)

為(A2Mln±),因?yàn)間'(x)=q,所以切線斜率攵=且，即切線方程為y=g(x-X2)+alnx2,

X%212

a—=24—675

整理得y=-x+alnx2-所以，求得々之三設(shè)G(x)=lnx+三-5

?^27

aynx2一。=一12

2x—1C

——2x^2>0

所以G(x)在1，+8］上單調(diào)遞增，最后求出實(shí)數(shù)a的值.

【詳解】

(1)由題意可知，/?(x)=x2-x-alnx-a+16,則//(*)=21_］，=2%二"二0

XX

即方程2d一x-a=0在區(qū)間|，4上有實(shí)數(shù)解，解得ae［10,28］；

2f2

⑵因?yàn)?(x)=d-x-(a-16)x,則f(x)=3x-2x-a+\6f

①當(dāng)A=4-12(—a+16)W0,即lOWaM?時(shí)，/'(x)NO恒成立，

所以/(x)在［0,0上單調(diào)遞增，不符題意；

②當(dāng)?<a<16時(shí)，令/"(x)=3f-2x-a+16=0,

解得._2±-^4-12(-a+16)_I+J3a-47

?A-6―

']_J3a_47)

當(dāng)XG0,---------時(shí)，/,(x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

<3?

所以不存在人〉0,使得/(X)在[0,句上的最大值為了(0),不符題意；

③當(dāng)16WaW28時(shí)，/〈X)=3f-2x-a+16=0,

版省1—y/3a—471+J3a—47八

解得：X.=----------<0>%,=----------->0

'33

且當(dāng)xw(0,%2)時(shí)，/,(x)<0,當(dāng)xel/,”)時(shí)，r(x)>。，

所以/(x)在(0,%2)上單調(diào)遞減，在(々，+8)上單調(diào)遞增，

若0<此々,則“X)在[0,可上單調(diào)遞減，所以<(力皿=/(0),

若b>j,則〃力(0,%)上單調(diào)遞減，在(冷。)上單調(diào)遞增，

由題意可知，f(b)</(0),即》3一加一(。一16)區(qū)0,

整理得〃-/?<?-16>

因?yàn)榇嬖赼《16,28],符合上式，所以〃一。<12,解得0<〃44,

綜上，b的最大值為4；

(3)設(shè)直線/與曲線y=/(x)的切點(diǎn)為G，x；—x；—(a-16)xj,

因?yàn)?'(x)=3f—2,x—(a—16),所以切線斜率k——2F一(a-16),

即切線方程V=[3x：-2$一(a—16)](x—玉)+x；_*一(a_16)為

整理得：y=[3x；一2羽-(q_]6)]x_2x；+x：

由題意可知，~2x^+x；—12,即2父—X；—12=0,

即同一2)(2%；+3丹+6)=0,解得芭=2

所以切線方程為y=(24-〃卜一12,

設(shè)直線/與曲線y=g(x)的切點(diǎn)為(w,alnw)，

因?yàn)間'(x)=g,所以切線斜率左=巴，即切線方程為.V=g(x-X2)+alnx2,

XX2電

a,

整理得.丫=一%+。山工2—a.

—=24—a11

所以S,消去〃，整理得1。吃+:^---=o

2X22

a\nx2-a=-12

且因?yàn)殓?24_a(ae[10,28]),解得x?2’,

*27

設(shè)G(")=mx+?一貝"6'(、)=:一止=第>()，

所以G(x)在+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)镚(l)=0,所以々=1，所以a=24—。，即。=12.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的研究，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題.

18.(12分)已知函數(shù)ln(x+a)(a>0).

(D證明：函數(shù)/(X)在(0,+8)上存在唯一的零點(diǎn);

(2)若函數(shù)/0)在區(qū)間(0,+=。)上的最小值為1,求。的值.

【答案】(1)證明見解析；(2)!

【解析】

【分析】

(1)求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理說明/(X)在((),+8)上存在唯一的

零點(diǎn)即可；

⑵根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)X。，判斷出/(x)的單調(diào)性，從而/(x)min可確定，利用/(力訕=1以及y=(-InX

的單調(diào)性，可確定出毛，。之間的關(guān)系，從而a的值可求.

【詳解】

(1)證明：?."(>)=e'-"—ln(x+a)(a>0),/'(x)=e""———.

X+Q

：e""在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增，一L在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

x+a

A函數(shù)/(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增.

1Z7—2“

又/(0)="。一±=令gm)=Q—ea(a>0),g'3)=l—ea<0,

aaea

則g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞減，g(a)<g(0)=-l,故/'(0)<0.

令根=a+1,貝!)f'{ni)=f\a+1)=e------->0

2a+\

所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上存在唯一的零點(diǎn).

(2)解：由(1)可知存在唯一的/e(0,+s),使得/(玉))=/"———=0,即/-“=」一(*).

x0+ax0+a

函數(shù)f'M=ex'a一——在((),+8)上單調(diào)遞增.

X+Q

.?.當(dāng)xe(O,%)時(shí)，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(毛,+?)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

???/(x)min=/5)=一ln(x(,+a).

由(*)式得/(x),”in=/(%)=U^Tn(Xo+a).

二二=顯然/+a=1是方程的解.

又???>=1-111》是單調(diào)遞減函數(shù)，方程」-一In(尤o+a)=l有且僅有唯一的解x0+a=l,

xxQ+a

把與=1-a代入(*)式，得e"2"=i，二。=；,即所求實(shí)數(shù)a的值為;.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解

參數(shù)，難度較難.(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷；(2)

函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問題，可通過“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行分析.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=a+21nx,f(x)<ax.

(1)求a的值；

⑵令g(x)=必也在3+⑹上最小值為相，證明：6</(m)<7.

x-a

【答案】(1)。=2；(2)見解析.

【解析】

【分析】

(1)將/(x)Wax轉(zhuǎn)化為+21nxW0對任意x>0恒成立，令/i(x)=a-av+21nx,故只需

hix)^<0,即可求出a的值；

(2)由(1)知g(x)=23+2AIn?'(x)2),可得g'(x)=2("，2T4),令5(%)=x—21nx-4,可證

x-2(x-2)

3x0e(8,9),使得s(x°)=0,從而可確定g(x)在(2,x0)上單調(diào)遞減，在(x。,長。)上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得

g(x)min=g(與)=Xo，即帆=%，即可證出/(加)=/(%)=2+2也%=%—2e(6,7).

【詳解】

函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?(),+8),因?yàn)?(x)<ax對任意X>0恒成立，

即a-ax+21nxW0對任意x>0恒成立，

令h(x)=a—ax+21nx,貝！)/?’(，)=_〃+—=—,

xx

當(dāng)。<0時(shí)，故〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又力(1)=0,所以當(dāng)X>1時(shí)，h(x)>h(l)=09不符合題意；

2

當(dāng)?！?時(shí)，令〃'(工)=0得%=—,

a

22

當(dāng)0<%<—時(shí)，/Z(x)>0；當(dāng)工〉一時(shí)，〃'(x)v(),

aa

所以〃Q)在上單調(diào)遞增，在+8)上單調(diào)遞減，

(2、22

所以/z(x)max=〃|——-a—a,—F2In——ci—2+2In2-2Ina,

Ia,cici

所以要使力(x)W。在x〉0時(shí)恒成立，則只需〃(認(rèn)1ax<0,即a-2+21n2-21na40,

令尸(a)=a-2+21n2-21n。，〃〉0,

所以F(a)=l-』2=?n-2，

aa

f

當(dāng)0<a<2時(shí)，F(xiàn)(?)<0；當(dāng)〃>2時(shí)，F(xiàn)(a)>09

所以F(“)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，所以尸(a)之/(2)=0,

即a-2+21n2-21na20,又a-2+21n2-21na<0,所以a-2+21n2-21na=0,

故滿足條件的。的值只有2

..xf(x)2x+2xlnX/..丁…，/、2(x-21nx-4)

(2)由(1)知g(zx)x=--=--------(x>2),所以g(x)=一；~二~,

x-ax-2(x-2)

2r-2

令s(x)=%-21nx-4,貝!js'(x)=l——=----,

xx

當(dāng)x>2,時(shí)s'(x)>0,即s(幻在(2,+0。)上單調(diào)遞增；

又s(8)v(),s⑼>0,所以*e(8,9),使得5(%)=0,

當(dāng)2vxvx()時(shí)，5(x)<0；當(dāng)］>天)時(shí)，5(x)>0,

即g(x)在(2,%)上單調(diào)遞減，在(4,48)上單調(diào)遞增，且%-2111/-4=0

所以g(x)疝n=g(x。)=氈丁馬=出坐二4)=直二浮

九09

x0-2乙)一2/一2

即機(jī)=%0，所以/(m)=/(Xo)=2+21n與=X()-2G(6,7),即6</Q〃)<7.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法，第(2)問通過最值問題深化對函數(shù)的單調(diào)性

的考查，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題.

20.(12分)如圖，在四棱錐P—A8C。中，底面是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,PB=PD=@

(2)設(shè)H在AC上，AH^-AC,若PH=旦,求PH與平面PBC所成角的正弦值.

33

【答案】(1)見解析；(2)逅

3

【解析】

【分析】

(1)記ACBD=O,連結(jié)PO,推導(dǎo)出BOLPO,30_L平面PAC,由此能證明平面PAC，平面

43cO；(2)推導(dǎo)出產(chǎn)"1AC,_L平面A6CO,連結(jié)”8,由題意得”為A48O的重心，BC1BH,

從而平面PHB1平面PBC,進(jìn)而NHPB是PH與平面PBC所成角,由此能求出PH與平面PBC所成

角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：記ACBD=O,

連結(jié)PO,APB。中，OB=OD,PB=PD，：.BD上PO,

BD1AC,ACPO=O,二8。_L平面PAC,

Q80u平面ABC。，..平面PACJ_平面ABC。.

(2)APOB中，ZPOB=y,06=1,PB=母,：.PO=\,

AO=yf3>OH=J

3

P//2=(y^)2=|,:.PH-=PO2+OH-,

：.PHVAC,PH1平面ABCD,二PHIBC,

連結(jié)由題意得〃為A4BD的重心，

jr九

ZHBO=-,ZHBC=—,BCYBH,：.BC±￥ffiPHB

62

平面PHB1平面PBC,：.H在平面PBC的射影落在PB上,

ZHPB是PH與平面PBC所成角,

PH=1，P8=0，小，=平,

RtAPHB中，

3J

BP3氏3

：.PH與平面PBC所成角的正弦值為旦.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

21.(125?^@a=2,(2)?=/?=2,(§)Z?=c=2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求ABC

的面積的值(或最大值).已知A3c的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,三邊a,b,c與

面積S滿足關(guān)系式：45=^+c2-a2,且_____________,求A3C的面積的值(或最大值).

【答案】見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

若選擇①，結(jié)合三角形的面積公式，得4s=4*：AcsinA=A2+c2—化簡得到

2

,222

sinA="+L-a-=cosA,則tanA=1,又0°<A<180°,從而得到A=45。，

2bc

,222

將。=2代入————=cosA,得匕2+/=y/2hc+4?

2bc

又伍c+4=〃+c2N2Z?c，???〃cK4+2夜，當(dāng)且僅當(dāng)匕=c=54+20時(shí)等號成立.

A5=^csinA<|x(4+2V2)x^-=V2+l,

故ABC的面積的最大值為0+1，此時(shí)〃=c=，4+2夜?

若選擇②，a=b=2,結(jié)合三角形的面積公式，得4s=4x：歷sinA=〃+c2-〃，化簡得到

2

j222

sinA=生土U二二=cosA,則tanA=l,又0°<A<180°,從而得到A=45。，

2bc

則A=B=45。，此時(shí)A3C為等腰直角三角形，S=-x2x2=2.

2

若選擇③，b=c=2,則結(jié)合三角形的面積公式，得4s=4x：歷sinA=^+c2—病，化簡得到

2

,222

sinA=生土二cosA,則tanA=l,又0°<A<180°,從而得到A=45。，貝!|

2bc

S=-x2x2xsin45°=V2.

2

1nx

22.(10分)已知函數(shù)〃x)=上.

x

(1)求函數(shù)/(力的極值；

(H)若根>〃>0,且〃/=〃"',求證：mn>e2-

【答案】(I)極大值為：無極小值；(H)見解析.

e

【解析】

【分析】

(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)/(x)的極值；(H)得到

/(加)=/(〃),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明m>—>e,即證則<二9二.〃)，令

nne'

22

G(x)=elnx-2x+￡jnx(l<x<e),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

【詳解】

(I)/(無)=/.-./(x)的定義域?yàn)?0,+<0且:(x)=上詈

令r(x)>。，得0cx<e；令/'(x)<0,得x>e

.??/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減

，函數(shù)“X)的極大值為/■)=?=：,無極小值

(II)m>n>0,mn=nmAn\nm=mln

即/㈣=/(〃)

mn

由(I)知/(x)在(o,e)上單調(diào)遞增，在(e,中?)上單調(diào)遞減

且則1<〃<6<根

2

要證加〃>儲(chǔ)，即證機(jī)>一>e>即證,即證/(〃)</

nJ,、〃>

n(2-lnn)

即日F1證F——ln〃<

n

由于即0<ln〃<l,即證e2]n〃v2〃2一〃2]n〃

令G(x)=/lnx-2f+x2lnx(l<x<e)

貝(JG<x)=J-4x+2xlnx+x=--x+2x(lnx_])=(e+x)(e_^+2x(lnx-l)

X〈X,X

\<x<e.,.G'(x)>0恒成立.??6(同在(1,6)遞增

.-.G(x)<G(e)=0在xe(1,e)恒成立

mn>e2

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明,

考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題,

屬于難題.

吉林省通鋼一中、集安一中、梅河口五中等聯(lián)誼校2020-2021學(xué)年高三第二學(xué)

期第五次月考數(shù)學(xué)

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆

將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.為計(jì)算5=1—2x2+3x22—4x23+...+100x（—2）",設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，則空白框中應(yīng)

填入（）

（竿）

A.z<100B.z>100C.z<100D.z>100

2.已知向量a,力滿足同=4,〃在。上投影為一2,則|"3可的最小值為（）

A.12B.10C.710D.2

3.已知嗚）問05，匕…言卷，則（）

.cTC

A.2a+/?=耳B.cc/3——

C兀冗

C.a-j3=-D.a+2fi=-

4.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊(duì)

方