專題13第四章復習與檢測（知識精講）

專題十三第四章復習與檢測知識精講一知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點關(guān)注點第四章指數(shù)、對數(shù)的運算冪、對數(shù)的運算性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)二.學法指導1.指數(shù)、對數(shù)的運算應(yīng)遵循的原則指數(shù)式的運算首先注意化簡順序，一般負指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)，根式化為分數(shù)指數(shù)冪運算，其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的.對數(shù)運算首先注意公式應(yīng)用過程中范圍的變化，前后要等價，熟練地運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并結(jié)合對數(shù)恒等式，換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧.2.識別函數(shù)的圖象從以下幾個方面入手：(1)單調(diào)性：函數(shù)圖象的變化趨勢；(2)奇偶性：函數(shù)圖象的對稱性；(3)特殊點對應(yīng)的函數(shù)值．3．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過定點的實質(zhì)是a0＝1，loga1＝0.4.比較兩數(shù)大小常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間值法等．5．當兩個數(shù)都是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較．6．比較多個數(shù)的大小時，先利用“0”“1”作為分界點，然后在各部分內(nèi)再利用函數(shù)性質(zhì)比較大?。?.換元法的作用是利用整體代換，將問題轉(zhuǎn)化為常見問題．該類問題中，常設(shè)u＝logax或u＝ax，轉(zhuǎn)化為一元二次方程、二次函數(shù)等問題．要注意換元后u的取值范圍。8.指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常可以用指數(shù)函數(shù)模型表示.通?？梢员硎緸閥＝N1＋px其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間的形式.三.知識點貫通知識點1指數(shù)與對數(shù)的運算1.正分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)2.負分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)3.冪的運算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．4、對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．例1.計算：(1)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(2)1.5－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(3,2)×eq\r(3))6－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up5(\f(2,3))).【解析】(1)原式＝log3eq\f(22×8,\f(32,9))－3＝2－3＝－1.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up5(\f(1,3))＋2eq\s\up5(\f(3,4))×2eq\s\up5(\f(1,4))＋22×33－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up5(\f(1,3))＝21＋4×27＝110.知識點二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)a的范圍a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過定點(0,1)，即當x＝0時，y＝1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)對稱性函數(shù)y＝ax與y＝a－x的圖象關(guān)于y軸對稱2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a的范圍0<a<1a>1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)定點(1,0)，即x＝1時，y＝0單調(diào)性在(0，＋∞)上是減函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)例題2：(1)若函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)正確的是()ABCD(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.①如圖，畫出函數(shù)f(x)的圖象；②根據(jù)圖象寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)的值域．（1）【答案】B【解析】由已知函數(shù)圖象可得，loga3＝1，所以a＝3.A項，函數(shù)解析式為y＝3－x，在R上單調(diào)遞減，與圖象不符；C項中函數(shù)的解析式為y＝(－x)3＝－x3，當x>0時，y<0，這與圖象不符；D項中函數(shù)解析式為y＝log3(－x)，在(－∞，0)上為單調(diào)遞減函數(shù)，與圖象不符；B項中對應(yīng)函數(shù)解析式為y＝x3，與圖象相符．故選B.(2)【解析】①先作出當x≥0時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，再作出f(x)在x∈(－∞，0)時的圖象．②函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為[0，＋∞)，值域為(0,1]．知識點三指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)a的范圍a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過定點(0,1)，即當x＝0時，y＝1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)對稱性函數(shù)y＝ax與y＝a－x的圖象關(guān)于y軸對稱2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a的范圍0<a<1a>1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)定點(1,0)，即x＝1時，y＝0單調(diào)性在(0，＋∞)上是減函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)例題3.設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)【答案】A【解析】由題意可得，函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．又f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq\f(2,1－x)－1在(0,1)上為增函數(shù)，故f(x)在(0,1)上為增函數(shù)．五易錯點分析易錯一比較大小例題4.若0<x<y<1，則()A．3y<3xB．logx3<logy3C．log4x<log4yD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y【答案】C【解析】因為0<x<y<1，則對于A，函數(shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，故3x<3y，A錯誤．對于B，根據(jù)底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)y＝logax的影響：當0<a<1時，在x∈(1，＋∞)上“底小圖高”．因為0<x<y<1，所以logx3>logy3，B錯誤．對于C，函數(shù)y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故log4x<log4y，C正確．對于D，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x在R上單調(diào)遞減，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))y，D錯誤．誤區(qū)警示

比較大小，底數(shù)相同，利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小，底數(shù)不同，找中間量，比較大小。易錯二集合中元素的互異性例題5.已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a,3a]上的最大值與最小值之差為1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函數(shù)y＝(logax)2－logaeq\r(x)＋2的值域．【解析】①因為loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上為增函數(shù)．又f(x)在[a,3a]上的最大值與最小值之差為1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函數(shù)y＝(log3x)2－log3eq\r(x)＋2＝(log3x)2－eq\f(1,2)log3x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3x－\f(1,4)))2＋eq\f(31,16).令t＝log3x，因為1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－