專題28平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（原卷版）

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練專題28平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念向量夾角平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積運(yùn)算律投影向量數(shù)量積定義定義法求數(shù)量積幾何法求數(shù)量積坐標(biāo)法求數(shù)量積練高考明方向1.（2022·全國(guó)乙（理）T3）已知向量滿足，則（）A. B. C.1 D.22.（2022·全國(guó)甲（文））已知向量．若，則______________．3.（2022·全國(guó)甲（理））設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．4.（2022·新高考Ⅱ卷T4）已知，若，則（）A. B. C.5 D.6(2021·新高考Ⅰ卷)(多選)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，則()A．|eq\o(OP1,\s\up7(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up7(→))|B．|eq\o(AP1,\s\up7(→))|＝|eq\o(AP2,\s\up7(→))|C．eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OP3,\s\up7(→))＝eq\o(OP1,\s\up7(→))·eq\o(OP2,\s\up7(→))D．eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OP1,\s\up7(→))＝eq\o(OP2,\s\up7(→))·eq\o(OP3,\s\up7(→))6．(2021年高考全國(guó)乙卷理科)已知向量，若，則__________．7．(2021年高考全國(guó)甲卷理科)已知向量．若，則________．8．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.9．(2021·全國(guó)甲卷)若向量a，b滿足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，則|b|＝________.(2021·天津高考)在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB且交AB于點(diǎn)E.DF∥AB且交AC于點(diǎn)F，則|2eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))|的值為________；(eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→)))·eq\o(DA,\s\up7(→))的最小值為________．11．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________．12．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知向量a，b滿足，，，則 ()A． B． C． D．13．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)為單位向量，且，則______________．14、(2020·全國(guó)卷Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是()A．a(chǎn)＋2bB．2a＋bC．a(chǎn)－2bD．2a－b15．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科)已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為 ()A． B． C． D．16．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知，為單位向量，且，若，則_____．17．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)已知向量，，，若，則．18．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知向量，滿足，，則 ()A．4 B．3 C．2 D．019．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是 ()A． B． C． D．20．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知向量,的夾角為,,,則______．21．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知向量，且，則 ()A． B． C． D．22．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知向量,,則 ()A． B． C． D．23．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)向量，，且，則．24．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)已知A,B,C是圓O上的三點(diǎn),若,則與的夾角為______．25．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=，|ab|=，則ab= ()A．1 B．2 C．3 D．526．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知正方形的邊長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，則＝________．27．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)已知兩個(gè)單位向量的夾角為60°，，若，則t=_____．講典例備高考類型一、求平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)知識(shí)：向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角。2、數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ。3、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律：a·b＝b·a結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c4、平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式：①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；③a2＋b2＝0?a＝b＝0.5、極化恒等式a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(a－b,2)))2.三角形模型：在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up7(→))|2.平行四邊形模型：在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(|eq\o(AC,\s\up7(→))|2－|eq\o(BD,\s\up7(→))|2)＝eq\o(AO,\s\up7(→))2－eq\o(DO,\s\up7(→))2.基本題型：1．已知，，，則 ()A． B． C． D．2．在中，已知，，若點(diǎn)在斜邊上，，則的值為（）．A．6 B．12 C．24 D．483、已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的取值范圍是()A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)4．已知菱形的邊長(zhǎng)為4，，是的中點(diǎn)，則（）A．24 B． C． D．5．在中，為的三等分點(diǎn)，則()A． B． C． D．基本方法：1、計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若兩向量共起點(diǎn)，則兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點(diǎn)不同，則需要通過(guò)平移使它們的起點(diǎn)重合，再計(jì)算(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.若圖形適合建立平面直角坐標(biāo)系，可建立坐標(biāo)系，求出a，b的坐標(biāo)，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求解(3)幾何法：根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長(zhǎng)度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量a，b，然后根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算求解2、解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算．但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)．類型三、求兩平面向量的夾角基礎(chǔ)知識(shí)：1、向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角。2、有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論①兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)；②兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立)．(3)a⊥b?a·b＝0是對(duì)非零向量而言的，若a＝0，雖然a·b＝0，但不能說(shuō)a⊥b.基本題型：1．若向量，，則與的夾角等于（）A． B． C． D．2、已知平面向量a，b的夾角為eq\f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝2，則2a＋b與b的夾角是()A.eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,6)3．已知向量，，，則（）4．已知平面向量，滿足，記與夾角為，則的最小值是（）A． B． C． D．5．已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，|a＋b|＝eq\r(3)|b|，則向量a，b的夾角為________．6．設(shè)兩向量、，滿足，，它們的夾角為60°，若向量與向量夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_____.基本方法：求向量夾角的3種方法(1)定義法：當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．(3)解三角形法：把兩向量的夾角放到三角形中．類型三、求平面向量的?；A(chǔ)知識(shí)：1、平面向量的模：向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|。2、已知非零向量a＝(x1，y1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))|a|＝eq\r(a·a)，3、已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)?；绢}型：1．若單位向量滿足，則等于（）A． B． C． D．2．已知向量，，且向量在向量上的投影向量為，則（

）A．2 B． C． D．33．若，且，，則的取值范圍是()A． B．C． D．4.在直角梯形中，（），，，為中點(diǎn)，若，則的值為.5．已知向量與向量的夾角為，且，.（1）求；（2）若，求.6．已知向量，的夾角為，且.（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若，，求的最小值.基本方法：求平面向量模的3種方法(1)坐標(biāo)法：若a＝(x，y)，利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算．(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解．類型四、平面向量垂直問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)：基本題型：1．已知向量與的夾角為，，，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)為（）A．1 B．2 C． D．2、已知向量，，，若與的夾角為60°，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．6D．43．（多選題）已知在△ABC中，，，，若，則（

）A． B．C． D．4．已知向量，，且與垂直，則______．5．已知，在同一平面內(nèi)，.，且，則與的夾角的余弦值為______．.基本方法：平面向量垂直問(wèn)題的2個(gè)類型(1)已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．類型五、平面向量數(shù)量積中的最值與范圍問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)：基本題型：1．如圖所示，半圓的直徑AB＝2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(＋)·的最小值是（）A． B． C． D．2．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，每年新春佳節(jié)，我國(guó)許多地區(qū)的人們都有貼窗戶的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為2，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓的直徑，則的取值范圍是(

)圖一圖二A． B． C． D．3．如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AD(包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，則eq\o(PA,\s\up7(→))·(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))的取值范圍是________．基本方法：解平面向量中有關(guān)最值問(wèn)題的思路形化：利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷‘2、數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決新預(yù)測(cè)破高考1．已知，是兩個(gè)夾角為的單位向量，，，則（）A．7 B．9 C．11 D．132．設(shè)的夾角為（

）A． B． C． D．3．在中，已知，，若點(diǎn)在斜邊上，，則的值為（）．A．6 B．12 C．24 D．484．設(shè)，均為單位向量，且，則（）A．3 B． C．6 D．95．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則·的最小值為（）A．－ B．0C．4 D．－16．已知向量，，若向量滿足，，則（）A． B． C． D．7．（多選題）已知在邊長(zhǎng)為2的等邊中，向量滿足，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．8．在直角梯形中，，，，為邊上中點(diǎn)，的值為（）A． B． C． D．9、（多選題）關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法中不正確的是（）A．若且，則 B．C．若，且，則 D．10．已知非零平面向量，，，下列結(jié)論中正確的是（）（1）若，則；（2）若，則（3）若，則（4）若，則或