第二章一元二次函數(shù)方程和不等式專題05含參一元二次不等式的解法-2021-2022學(xué)年“高人一籌”之高一數(shù)學(xué)“痛點(diǎn)”大揭秘（人教A版2019）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式專題05含參數(shù)一元二次不等式的解法解含參一元二次不等式，常常涉及對(duì)參數(shù)的分類討論以確定不等式的解，這是解含參一元二次不等式問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)。解含參一元二次不等式時(shí)對(duì)參數(shù)的分類主要依據(jù)有三個(gè)因素：①比較根的大小；②判別式的符號(hào)；③二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。以下舉例分析，加以歸納。解決此類問(wèn)題對(duì)提升自己函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類與整合思想有很大裨益?！绢}型導(dǎo)圖】類型一比較根的大小例1.(2021·福建屏東中學(xué)高一期末)若，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，因，所以或，因此不等式的解集為.故選：D.【變式1】（2021·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期末）已知，關(guān)于x的不等式的解集為（）A．或 B． C．或 D．【答案】A【詳解】不等式化為，，，故不等式的解集為或.故選：A.【變式2】關(guān)于x的不等式63x22mxm2<0的解集為（）A．B．C．D．以上答案都不對(duì)【答案】D【詳解】原不等式可化為，對(duì)應(yīng)方程的二根為，需對(duì)m分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式解集為；時(shí)，，不等式解集為.故不等式的解集與m有關(guān)，ABC均不正確，故選：D.【變式3】解關(guān)于的不等式（為常數(shù)且）.【分析】,先討論時(shí)不等式的解集；當(dāng)時(shí)，討論與的大小，即分，，分別寫出不等式的解集即可.【解析】原不等式可化為（1）時(shí)，不等式的解集為；（2）時(shí)，若，，不等式的解集為；若，不等式的解集為；若，，不等式的解集為；綜上時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為.【痛點(diǎn)直擊】運(yùn)算需熟練，思路要明確。具體步驟為；1.將所給的一元二次不等式進(jìn)行因式分解；2.比較兩根的大小關(guān)系并根據(jù)其大小進(jìn)行分類討論；3.得出結(jié)論.類型二判別式的符號(hào)例2.（2021·山東泰安實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）解不等式：【解答】見解析【解析】，∴當(dāng)，即時(shí)，解集為R，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解集為；當(dāng)或，即時(shí)，此時(shí)兩根分別為，，此時(shí)，∴不等式的解集為.【變式1】（2021·江西九江一中高一期末）設(shè)集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，則k的取值范圍為．【答案】【解析】B中的不等式對(duì)于方程為x2－(2x－1)k＋k2=0，，(1)當(dāng)k=0時(shí)，.(2)當(dāng)k＞0時(shí)，△＜0，x.(3)當(dāng)k＜0時(shí)，.故：當(dāng)時(shí)，由B=R，顯然有A，當(dāng)k＜0時(shí)，為使A，需要k，于是k時(shí)，.，比較因?yàn)?1)當(dāng)k＞1時(shí)，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.(2)當(dāng)k=1時(shí)，x.(3)當(dāng)k＜1時(shí)，3k－1＜k＋1，A=.綜上所述，k的取值范圍是：【變式2】（2021·邵東創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期中）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則a的值可以是________(寫出任何一個(gè)滿足條件的值即可）.【答案】13，14，15(寫出任何一個(gè)值即可）【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，所以，即，由，解得，故關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，因關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，所以，即，又因，所以，或都滿足.故答案為：13，14，15(寫出任何一個(gè)值即可）.【變式3】（2021·江蘇南通高一期末）若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則這兩個(gè)整數(shù)解之和為______，實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】3；【詳解】令可得由，所以所以不等式的解集為依題可知：不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解所以這兩個(gè)整數(shù)解為：1，2所以這兩個(gè)整數(shù)解之和為3滿足，又，所以.【痛點(diǎn)直擊】由于一元二次不等式對(duì)應(yīng)的方程不易因式分解，需要對(duì)進(jìn)行分類，具體步驟為；1.求出不等式所對(duì)應(yīng)方程的判別式；2.討論判別式大于0、小于0或等于0所對(duì)應(yīng)的不等式的解集。類型三二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)例3.（2021·山西師大附中高一期末）解不等式：【解答】見解析【解析】由題；（1）當(dāng)時(shí)，不等式，解集為；（2）當(dāng)時(shí)，，解方程得，，∴當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.綜上，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.【變式1】已知關(guān)于x的不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【解答】0≤a＜8【解析】①若a＝0，則原不等式等價(jià)為2＞0，此時(shí)不等式恒成立，所以a＝0．②若a≠0，則要使不等式ax2﹣ax+2＞0恒成立，則有，即，所以，解得0＜a＜8．綜上滿足不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍0≤a＜8．【變式2】（2021·廣東深圳高級(jí)中學(xué)高一月考）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式的解集不可能是（）A． B．R C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得或；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得；故ACD都有可能，B不可能.故選：B.【變式3】（2021·河北石家莊二中高一期中）關(guān)于的不等式恰有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】．【詳解】不等式可化為，①當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其解集為，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其解集為，不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其解集為，其解集中恰有2個(gè)整數(shù)，，解得：；④當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其解集為，不滿足題意；⑤當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，其解集為，其解集中恰有2個(gè)整數(shù)，，解得：，綜合以上，可得：.故答案為：．【痛點(diǎn)直擊】對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，需對(duì)參數(shù)的符號(hào)分類討論，具體步驟為；1.直接討論參數(shù)大于0、小于0或者等于0；2.分別求出其對(duì)應(yīng)的不等式的解集；3.得出結(jié)論.【限時(shí)訓(xùn)練】1．（2021·江蘇蘇州大學(xué)附中高一期末）已知函數(shù)的圖象與x軸交于、兩點(diǎn)，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由條件可知的兩個(gè)根分別為或，則，，得，，，整理為：，解得：或，所以不等式的解集是.故選：D2.（2021·山東聊城市高一期末）若關(guān)于的不等式(的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式(的解集為，所以，則，故，，則不等式可化為，即，因?yàn)?，所以不等式的解為：或，所以關(guān)于的不等式的解集為.故選：D.3．（2021·重慶一中高一月考）已知集合，集合若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，又，①當(dāng)時(shí)，，若，則；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立；③當(dāng)時(shí)，，不成立.綜上所述：.故選：A.4．（2021·江西九江一中高一期末）記不等式?解集分別為、，中有且只有兩個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由可得：或，所以或，因?yàn)橹杏星抑挥袃蓚€(gè)正整數(shù)解，所以，對(duì)于方程，判別式，所以方程的兩根分別為：，，所以，若中有且只有兩個(gè)正整數(shù)解，則即，可得，所以，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，不符合題意，綜上所述：a的取值范圍為，故選：B.5.（多選題）（2021·浙江大學(xué)附中高一期中）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a，關(guān)于實(shí)數(shù)x的一元二次不等式的解集可能為（）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，開口向上，與軸的交點(diǎn)為，，故不等式的解集為，，；當(dāng)時(shí)，開口向下，若，不等式解集為；若，不等式的解集為，若，不等式的解集為，綜上，都成立，故選：．6.（多選題）（2021·山西省長(zhǎng)治市二中高一期中）已知關(guān)于的不等式，下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為B．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為C．不等式的解集恰好為，那么D．不等式的解集恰好為，那么【答案】ABD【詳解】解：由得，又，所以，從而不等式的解集為，所以A正確；當(dāng)時(shí)，不等式就是，解集為，當(dāng)時(shí)，就是，解集為，所以B正確；當(dāng)?shù)慕饧癁?，，即，因此時(shí)函數(shù)值都是，由當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，得，解得或，當(dāng)時(shí)，由，解得或，不滿足，不符合題意，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由，解得或，滿足，所以，此時(shí)，所以D正確，故選：ABD7.（2021·福建三明一中高一期中）關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值是.【答案】4【詳解】不等式的解集為，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）.8.（2021·山西大同高一期中）已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，，方程的解集為，集合且，則的取值范圍是____________.【答案】【詳解】因?yàn)楸硎静怀^(guò)的最大整數(shù)，由可得，即，即，解得或，即或，又，若，則，此時(shí)滿足；若，則或，為使，只需，解得；若，則或，為使，只需，解得，所以，綜上，或，即的取值范圍是.9.（2021·北京大興區(qū)高一期中）設(shè)，不等式的解集記為集合.（1）若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求集合.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）由題意可知，關(guān)于的方程的兩根分別為、，利用韋達(dá)定理列等式可求得實(shí)數(shù)的值；（2）解方程可得或，對(duì)與的大小進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次不等式的解法可求得集合.【詳解】（1）由題意可知，關(guān)于的方程的兩根分別為、，所以，，由韋達(dá)定理可得，解得；（2）當(dāng)時(shí)，由可得，解方程，可得或.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，或；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，原不等式為，則；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，或.綜上所述，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，或.10.（2021·廣東華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中高一期中）已如命題："恒成立"是真命題，（1）求