第03講二項(xiàng)式定理精講（原卷版）

第03講二項(xiàng)式定理(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及其應(yīng)用角度1：求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)（或系數(shù)）角度2：兩個(gè)二項(xiàng)式之積中特定項(xiàng)（或系數(shù)）問題角度3：三項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)（或系數(shù)）問題題型二：二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)和問題角度1：二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和角度2：展開式的逆應(yīng)用題型三：項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)角度1:二項(xiàng)式系數(shù)最大問題角度2：系數(shù)最大問題第四部分：高考真題感悟第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于每個(gè)（），的展開式中共有個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，就可以得到二項(xiàng)展開式：（）.這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.（2）二項(xiàng)展開式公式中：，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式.（3）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為(),項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,包含符號(hào)等.（4）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)二項(xiàng)展開式中的()叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用表示,即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng):.通項(xiàng)體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項(xiàng)式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)二：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開式中與首尾兩端距離相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等：②增減性：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞減；③最大值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.知識(shí)點(diǎn)三：各二項(xiàng)式系數(shù)和（1）展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：；（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等：第二部分：課第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為256，則的值為（

）A．10 B．8 C．6 D．42．（2022·云南昆明·高二期中）已知，則（

）A．31 B．32 C．15 D．163．（2022·全國·高二單元測(cè)試）的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為________．4．（2022·廣西貴港·高二期末（理））在展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是__________．5．（2022·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）已知的展開式中第2項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則__________.（2）__________.第三部分：典第三部分：典型例題剖析題型一：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及其應(yīng)用角度1：求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)（或系數(shù)）典型例題例題1．（2022·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)（理））在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．60 B．60 C．240 D．240例題2．（2022·河北·唐山市第五中學(xué)高三開學(xué)考試）的二項(xiàng)展開式中第三項(xiàng)是（

）A． B．240 C． D．同類題型歸類練1．（2022·云南紅河·高二期末）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________（用數(shù)字作答）．2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）求二項(xiàng)式展開式的第7項(xiàng)及含的項(xiàng)的系數(shù)．角度2：兩個(gè)二項(xiàng)式之積中特定項(xiàng)（或系數(shù)）問題典型例題例題1．（2022·廣東·石門高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）的展開式中的項(xiàng)系數(shù)為（

）A．30 B．10 C．30 D．10例題2．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高二期中）若的展開式中的系數(shù)為0，則（

）A． B． C． D．例題3．（2022·安徽·合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．160 B．140 C．120 D．100例題4．（2022·福建福州·高二期末）在的展開式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，則_____.同類題型歸類練1．（2022·四川省資陽中學(xué)高二期末（理））展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．20 D．402．（2022·浙江舟山·高二期末）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知正整數(shù)，若的展開式中不含的項(xiàng)，則n=______．4．（2022·福建省福州第二中學(xué)高二期末）的展開式中的系數(shù)為___________.角度3：三項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)（或系數(shù)）問題典型例題例題1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中，的系數(shù)是（

）A．120 B．120 C．60 D．30例題2．（2022·山東濟(jì)南·高二期末）的展開式中，所有不含的項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．16 B．32 C．27 D．81例題3．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））的展開式中的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）同類題型歸類練1．（2022·廣東·石門高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．21 B．15 C．9 D．62．（2022·廣東·中山一中高三階段練習(xí)）的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為___________.3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）．4．（2022·上海·復(fù)旦附中高二期末）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為___________.題型二：二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)和問題角度1：二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和典型例題例題1．（2022·河南河南·高二期末（理））的展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（

）．A．128 B．256 C．512 D．1024例題2．（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）已知的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．70 B．70 C．40 D．30例題3．（2022·河北唐山·高二期中）已知的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是．(1)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)求展開式中含的項(xiàng)．例題4．（2022·廣東茂名·高二期中）已知.求下列各式的值：(1)；(2)；(3).例題5．（2022·江蘇宿遷·高二階段練習(xí)）在①只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，②第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個(gè)問題.已知，的展開式中，_________.(1)展開式中的第6項(xiàng)；(2)若.①求的值；②求的值.同類題型歸類練1．（2022·上海中學(xué)東校高二期末）（1）設(shè)，求①展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和；②的值．2．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中）已知的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16．(1)求的值及展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．3．（2022·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)高二期中）設(shè)(2－x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10·x10，求下列各式的值.(1)求a0；(2)求(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2；(3)求二項(xiàng)式系數(shù)的和.4．（2022·廣東·南海中學(xué)高二階段練習(xí)）.求：(1)；(2)；(3)；(4)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和以及偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(5).5．（2022·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）二項(xiàng)式的展開式中，中間項(xiàng)的系數(shù)為160.(1)求的值；(2)求.6．（2022·河北邯鄲·高二階段練習(xí)）已知(1)求；(2)求.7．（2022·北京石景山·高二期末）在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為_________；各項(xiàng)系數(shù)之和為_________．（用數(shù)字作答）8．（2022·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式的展開式中所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則______，則展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為____________．角度2：展開式的逆應(yīng)用典型例題例題1．（2022·云南昆明·高二期中）已知，則（

）A．31 B．32 C．15 D．16例題2．（2022·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知，則除以10所得的余數(shù)是（

）A．2 B．3 C．6 D．8同類題型歸類練1．（2022·山東·臨沭縣教育和體育局高二期中）除以78的余數(shù)是（

）A． B．1 C． D．872．（2022·北京大興·高二期末）化簡(jiǎn)等于（

）A． B． C． D．3．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列中，，，的值為（

）A．761 B．697 C．518 D．454題型三：項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)角度1:二項(xiàng)式系數(shù)最大問題典型例題例題1．（2022·山西·祁縣中學(xué)高二階段練習(xí)）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A． B． C．和 D．和例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第（

）項(xiàng).A．3 B．4 C．5 D．6例題3．（2022·山西師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）在的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．960 B．960 C．1120 D．1680例題4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)若，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A． B． C． D．同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在的展開式中，只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022·廣東·廣州市禺山高級(jí)中學(xué)高二期中）設(shè)若，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是A． B． C． D．3．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是___________.4．（2022·河北·高碑店市崇德實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)值為______．角度2：系數(shù)最大問題典型例題例題1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，若，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，且第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．同類題型歸類練1．（2022·廣東·鹽田高中高二階段練習(xí)）在的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A． B． C． D．2．（2022·江西撫州·高二階段練習(xí)（理））已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)