42指數(shù)函數(shù)-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期知識點剖析講義(人教A版2019)

指數(shù)函數(shù)1指數(shù)函數(shù)概念一般地，函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x解釋(1)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)中系數(shù)為1，底數(shù)是不為1的正實數(shù)的常數(shù)，指數(shù)是變量x.注意與冪函數(shù)的區(qū)別，如y=(2)指數(shù)函數(shù)中為什么要限制a>0且a≠1呢？①若a<0，則對于x的某些值ax無意義，如-2x，此時x②若a=0或a=12指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y=ax(a>0圖象a>10<a<1定義域R值域(0,+∞)過定點圖象過定點(0,1)，即當x=0時，y=1．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低．【例】畫出函數(shù)y=2x和y解y=2x：在Ry=12x：在y=2x與y=3指數(shù)型函數(shù)模型形如y=k·ax(kR，且k≠0；a>0，且a≠1【題型1】指數(shù)函數(shù)的概念【典題1】已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點-2,116，試求f(-1)和f(3)解析設(shè)fx=a∵函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點-2,116，∴a又a>0，則a=4，∴f(x)=∴f(-1)=4-1=點撥待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式.鞏固練習1.下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是__________(填序號)．①y=2?2x；②y=2x-1；③y=π2x；④y=答案③解析①y=2?2x的系數(shù)不是1②y=2x-1的指數(shù)不是自變量x③y=π④y=xx的底數(shù)是x⑤y=3-1x⑥y=x故答案：③2.若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2,9)，求f(x)．答案f(x)=3解析設(shè)f(x)=ax(a>0,且a≠1)，因為函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(2,9)，代入可得a2=9，解得a=3或a=-3(舍去故f(x)=3【題型2】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典題1】如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dxA．a(chǎn)<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a(chǎn)<b<1<d<c解析設(shè)x=1與①②③④的圖象分別交于點A,B,C,D，如圖，則其坐標依次為(1,a)，(1,b)，(1,c)，(1,d)，由圖象觀察可得c>d>1>a>b．故選B．【典題2】函數(shù)y=|2x-1|A． B．C． D．解析y=|2當x<0時，y=1－2x的圖象是將y=2x圖象先沿x軸對稱下來，再沿y軸向上平移1個單位，此時x<0只有C項滿足題意．故選C.點撥含絕對值的函數(shù)可利用a=a鞏固練習1.如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax②y=bx③y=cx④y=dA．c<d<1<a<b B．d<c<1<b<a C．c<d<1<b<a D．1<c<d<a<b答案B解析∵當?shù)讛?shù)大于1時指數(shù)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，當?shù)讛?shù)大于0小于1時是定義域內(nèi)的減函數(shù)，可知a，b大于1，c，d大于0小于1．又由圖可知a1>b1，即a>b．∴a,b,c,d與1的大小關(guān)系是d<c<1<b<a．故選：B．2.如果a>1,b<-1，那么函數(shù)fx=axA．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限答案B解析∵a>1，∴y=ax的圖象過第一、第二象限，且是單調(diào)增函數(shù)，經(jīng)過f(x)=ax+b的圖象可看成把y=故函數(shù)f(x)=ax經(jīng)過第一、第三、第四象限，不經(jīng)過第二象限，故選：B．3.函數(shù)y=e-x(e是自然底數(shù))的大致圖象是A． B． C． D．答案C解析∵y=e-x=【題型3】指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用角度1比較指數(shù)式的大小【典題1】設(shè)y1=40.9A．y3>y1解析利用冪的運算性質(zhì)可得，y1=40.9=再由y=2x是增函數(shù)，知故選：D．點撥注意數(shù)式的結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.鞏固練習1.已知a=412，b=213，c=51A．b<a<c B．a(chǎn)<b<c 答案A解析a=412=2，b=2132.已知a=0.72.1，b=0.72.5．c=2.1A．b<a<c B．a(chǎn)<b<c答案A解析根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)y=0.7x的底數(shù)小于∵2.1<2.5，∴0.72.1又∵c=2.10.7∴c<a，所以b<a<c，故選：A角度2求解指數(shù)型不等式【典題1】已知集合N={x|12<2x+1<4,x∈Z}，解析∵12<2∴集合N={x|-又∵M={-1,1}點撥利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式.鞏固練習1.函數(shù)y=1-(1答案[0,+∞)解析由1-(12)x故函數(shù)y=1-(12.不等式3x2+ax>3答案(解析不等式3x2+ax亦即x2則△=a-22故a的取值范圍是(-角度3指數(shù)型函數(shù)綜合問題【典題1】如果函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在區(qū)間解析設(shè)t=ax，則t>0，原函數(shù)可化為y=(t+1)(1)若a>1，∵x∈[-1,1]，∴t∈1則函數(shù)y=(t+1)2-2∴當t=a時，函數(shù)y取得最大值(a+1)即(a+1)2-2=14，解得a=3或a=-5((1)若0<a<1，∵x∈[－1,1]，則函數(shù)y=(t+1)2-2∴當t=1a時，函數(shù)y取得最大值即1a+12-2=14，解得a=13綜上可知，a的值為3或13鞏固練習1.已知函數(shù)f(x)=((1)若a=-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．(3)若f(x)的值域是(0,+∞)，求a的取值范圍．答案(1)遞增區(qū)間是(-2,+∞)，遞減區(qū)間是(-∞,-2)．(2)1(3){0}解析(1)當a=-1時，f(x)=(1令g(x)=-x由于g(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,+∞)上單調(diào)遞減，而y=13t所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,+∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-2,+∞)，遞減區(qū)間是(-∞,-2)．(2)令h(x)=ax2-4x+3，y=13所以h(x)應(yīng)