2020-2024五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題08 平面向量及其應(yīng)用（真題5個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題08平面向量及其應(yīng)用（真題5個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考5、15題向量平行的坐標(biāo)表示，平面向量基本定理、空間向量基本定理2023秋考2題2023春考2、12題平面向量的數(shù)量積運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算2022秋考11題2022春考10題平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算2021年秋考4題2021年春考16題平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算2020年秋考12題2020年春考9、11題兩個(gè)平面向量的和或差的模的最值平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算、向量垂直的充要條件，利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法一．兩個(gè)平面向量的和或差的模的最值（共1小題）1．（2020?上海）已知，，，，，是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量，滿足，且，（其中，2，，2，，，則的最大值是6．〖祥解〗設(shè)，，結(jié)合向量的模等于1和2畫出圖形，由圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求得的最大值．【解答】解：如圖，設(shè)，，由，且，，分別以，為圓心，以1和2為半徑畫圓，其中任意兩圓的公共點(diǎn)共有6個(gè)．故滿足條件的的最大值為6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩向量的線性運(yùn)算，考查向量模的求法，正確理解題意是關(guān)鍵，是中檔題．二．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算（共1小題）2．（2023?上海）已知向量，，則4．〖祥解〗直接利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解．【解答】解：向量，，．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．三．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共6小題）3．（2021?上海）在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在，使得；②存在，使得；它們的成立情況是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立〖祥解〗設(shè)，，，，，由向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷①；為中點(diǎn)，可得，由為中點(diǎn)，可得與的交點(diǎn)即為重心，從而可判斷②【解答】解：不妨設(shè)，，，，，①，，若，則，即，滿足條件的存在，例如，滿足上式，所以①成立；②為中點(diǎn)，，與的交點(diǎn)即為重心，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以與不共線，即②不成立．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，共線向量的判斷，屬于中檔題．4．（2022?上海）若平面向量，且滿足，，，則．〖祥解〗利用平面向量的數(shù)量積進(jìn)行分析，即可得出結(jié)果．【解答】解：由題意，有，則，設(shè)，則得，，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得：，則，，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2022?上海）在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，則的最小值為．〖祥解〗建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再利用二次函數(shù)求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如下，則，，，直線的方程為，即，點(diǎn)在直線上，設(shè)，，，，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．6．（2021?上海）如圖正方形的邊長為3，求9．〖祥解〗根據(jù)，直接求解即可．【解答】解：由數(shù)量積的定義，可得，因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2020?上海）已知、、、、五個(gè)點(diǎn)，滿足，2，，，2，，則的最小值為．〖祥解〗可設(shè)，從而據(jù)題意可得出，，并設(shè)，根據(jù)是求的最小值，從而可得出，從而可求出，從而根據(jù)基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：設(shè)，則，，設(shè)，如圖，求的最小值，則：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量垂直的充要條件，利用向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，基本不等式求最值的方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．8．（2020?上海）三角形中，是中點(diǎn)，，，，則．〖祥解〗根據(jù)余弦定理即可求出，并得出，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．【解答】解：在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中點(diǎn)，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理，向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（共1小題）9．（2023?上海）已知向量，，則．〖祥解〗根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)橄蛄浚?，所以，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．五．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共1小題）10．（2024?上海）已知，，，則的值為15．〖祥解〗根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，列方程求解即可．【解答】解：由，，，可得，解得．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬基礎(chǔ)題．一．選擇題（共6小題）1．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知為不共線的兩個(gè)單位向量，，為非零實(shí)數(shù)，設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件〖祥解〗由向量的夾角公式，可得若，則有或，又為不共線的兩個(gè)單位向量，故，從而可得結(jié)論．【解答】解：由題意，，，若，則有，即，整理得，即，即，則有或，又為不共線的兩個(gè)單位向量，故，故“”是“”的充要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的夾角公式，數(shù)量積運(yùn)算及充要條件的判定，屬基礎(chǔ)題．2．（2024?浦東新區(qū)三模）設(shè)是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面的四組向量不能構(gòu)成基底的是A．和 B．和 C．和 D．和〖祥解〗當(dāng)兩向量不共線時(shí)，可作為基底，據(jù)此判斷即可．【解答】解：對(duì)于，可設(shè)，可知且，顯然不成立，所以這兩個(gè)向量可作為基底，同理可知，，選項(xiàng)中的兩個(gè)向量都可構(gòu)成基底；對(duì)于，，所以這兩個(gè)向量不構(gòu)成基底．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理與向量共線的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）在中，，，．為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則給出下面四個(gè)結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4〖祥解〗以為原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后表示出的坐標(biāo)，由題意可得，再逐個(gè)分析判斷即可．【解答】解：如圖，以為原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以設(shè)，則，，所以，所以，即為任意角），所以（其中，所以的最大值為，最小值為，所以①③錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以（其中，因?yàn)?，所以，所以，所以的最小值為，最大值?4，所以②正確，④錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．4．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知，，，，．若，，則的最小值為A．0 B． C．1 D．〖祥解〗根據(jù)給定條件，畫出圖形，確定點(diǎn)的位置，再利用向量模的幾何意義，借助對(duì)稱思想求解作答．【解答】解：令，，，依題意，，而，則．因?yàn)?，，，所以有點(diǎn)在半徑為1，所含圓心角為的扇形的弧上，如圖，因?yàn)?，，所以表示直線上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)間距離，，分別是點(diǎn)到點(diǎn)，的距離，因此，表示三點(diǎn)，，兩兩距離的和，作點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，連交，分別于點(diǎn)，，連，，，，則有，，令，則，，于是得：，而，由余弦定理可得：，因此，，對(duì)于直線上任意點(diǎn)、直線上任意點(diǎn)，連接，，，，，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取“”，從而得，所以的最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．5．（2024?楊浦區(qū)二模）平面上的向量、滿足：，，．定義該平面上的向量集合．給出如下兩個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意，存在該平面的向量，滿足②對(duì)任意，存在該平面向量，滿足則下面判斷正確的為A．①正確，②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤，②正確 C．①正確，②正確 D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤〖祥解〗首先建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果．【解答】解：不妨設(shè)，，，如圖所示：由于，所以，化簡得：，①，由于，得到，②，由①②得：，如圖所示：其寬度．故得到命題①②正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，點(diǎn)到直線的距離公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．（2024?嘉定區(qū)二模）已知，，且、不共線，則的面積為A． B． C． D．〖祥解〗由已知先求出到的距離，然后結(jié)合三角形面積公式即可求解．【解答】解：設(shè)到的距離為，因?yàn)椋?，則的一個(gè)法向量，，則，，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，屬于中檔題．二．填空題（共31小題）7．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知平面內(nèi)，，三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)滿足，則是的垂心．（填“重”或“垂”或“內(nèi)”或“外”〖祥解〗由條件等式移項(xiàng)后，逆用數(shù)量積的分配律將其化簡成，即得，同理可得另外兩個(gè)垂直關(guān)系，即得點(diǎn)為其垂心．【解答】解：因?yàn)椋?，，故為的垂心．故答案為：垂．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查逆用數(shù)量積的分配律，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知點(diǎn)在以為直徑的球面上，若，則．〖祥解〗根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，求解即可．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的球面上，且，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．9．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知非零向量，滿足，且，則向量與的夾角為．〖祥解〗根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為，分析可得，變形可得，由向量夾角公式計(jì)算可得的值，結(jié)合的范圍分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)向量與的夾角為，又由，則有，變形可得，又由非零向量，滿足，即，則，又由，則，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?寶山區(qū)三模）若向量在向量上的投影向量為，則等于．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的定義，即可求解．【解答】解：向量，向量，則，，故向量在向量上的投影向量為：，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）向量在向量方向上的投影向量是．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：，，向量在向量方向上的投影向量是：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的數(shù)量積的運(yùn)算，投影的計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，，把向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)定角得到，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)記為，，1，，10，則的坐標(biāo)為．〖祥解〗根據(jù)題意求出的前幾個(gè)值，發(fā)現(xiàn)以2為周期出現(xiàn)，即可求出．【解答】解：進(jìn)行實(shí)際操作，則，，，，注意到，重合，因此所有操作以2為周期，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．13．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)平面向量，，若，不能組成平面上的一個(gè)基，則．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：由題意可知，，，，則，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?青浦區(qū)二模）已知向量，，則．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：向量，，則，，，故，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?金山區(qū)二模）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為3．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：，，，則，解得．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知向量，且，則．〖祥解〗根據(jù)題意，有，根據(jù)向量平行的充要條件，構(gòu)造方程，解方程即可得到答案．【解答】解：，即故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算：，則17．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，的夾角為，，，則．〖祥解〗由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算即可求得．【解答】解：因?yàn)橄蛄?，的夾角為，，，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）中，，，為上一點(diǎn)，，則．〖祥解〗由數(shù)量積的定義計(jì)算即可．【解答】解：作交于，如圖，則，又，則，因此，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題．19．（2024?閔行區(qū)三模）已知，若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，則實(shí)數(shù)的值為3．〖祥解〗利用向量投影的計(jì)算公式求解．【解答】解：，，，向量在向量方向上的數(shù)量投影為，解得．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量投影的概念，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）如圖，矩形中，為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若將，作為平面向量的一個(gè)基，則向量可表示為（用表示）．〖祥解〗根據(jù)平行線的性質(zhì)證出，由此得到，結(jié)合，化簡整理可得，從而可得答案．【解答】解：矩形中，由，得，所以，即，整理得，結(jié)合，，可得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算法則、平面向量基本定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．21．（2024?虹口區(qū)模擬）已知向量滿足，，，則等于．〖祥解〗由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合平面向量模的運(yùn)算求解即可．【解答】解：由，則，即，即，則，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．22．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知均為單位向量，且，則與的夾角的余弦值為．〖祥解〗根據(jù)條件對(duì)兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出的值，然后即可求出和的值，從而根據(jù)向量夾角的余弦公式即可得解．【解答】解：均為單位向量，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單位向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量長度的求法，向量夾角的余弦公式，是基礎(chǔ)題．23．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）向量，且，則．〖祥解〗根據(jù)題意，用，表示，利用模長公式求出，，再計(jì)算，的數(shù)量積和夾角余弦值．【解答】解：因?yàn)橄蛄浚?，且，所以，所以，所以，，所以，，所以，又，，所以，所以，所以，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．24．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）在所在的平面上有一點(diǎn)，滿足，則．〖祥解〗由可得，則．即可求解．【解答】解：由可得，則．，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題．25．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知正方形的邊長為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為．〖祥解〗以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形與性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由題意：，，，，則，由，可得，，，，即，解得，所以，因?yàn)?，，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值1，則的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及三角恒等變換，屬中檔題．26．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）平面內(nèi)互不重合的點(diǎn)、、、、、、，若，其中，2，3，4，則的取值范圍為，．〖祥解〗根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，推導(dǎo)出，其中為△的重心，可知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，然后根據(jù)向量加減法的幾何意義與三角形的性質(zhì)，算出的最大值與最小值，進(jìn)而可得所求取值范圍．【解答】解：設(shè)為△的重心，則，因?yàn)?，所以，即在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，不妨設(shè)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，作出半徑分別為，，1，的同心圓，如圖所示，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，都在線段上，等號(hào)成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)，，在線段上，且在線段上，在線段上時(shí)，等號(hào)成立．綜上所述，的最大值為5，最小值為1，可知，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形重心的性質(zhì)、向量的加法則、向量的模及其性質(zhì)，考查了圖形的理解能力，屬于中檔題．27．（2024?虹口區(qū)二模）已知平面向量滿足，若平面向量滿足，則的最大值為．〖祥解〗作出圖形，設(shè)，，設(shè)，根據(jù)題意易得，在以為圓心，1為半徑的圓上，從而可得，取得最大值，從而得解．【解答】解：如圖，設(shè)，，設(shè)，則，，，，，又向量滿足，，即，在以為圓心，1為半徑的圓上，又，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)，取得最大值．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量模的最值的求解，解三角形問題，數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．28．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知、、，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是，．〖祥解〗設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，將用函數(shù)表示，用正弦函數(shù)取值范圍求解．【解答】解：設(shè)，，，，，，，因?yàn)椋?，所以的取值范圍是，，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬于中檔題．29．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）空間中，、兩點(diǎn)間的距離為8，設(shè)△的面積為，令，若，則的取值范圍為．〖祥解〗根據(jù)公式對(duì)向量進(jìn)行處理，再結(jié)合不等式得出，即可推出點(diǎn)，，在以為球心4為半徑的球面上，從可求得答案．【解答】解：由題意可知，設(shè)，中點(diǎn)為，則，，所以，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，即，即，則，即，．即點(diǎn)，，在以為球心4為半徑的球面上，先說明圓的內(nèi)接三角形為正三角形時(shí)，面積最大；設(shè)為半徑為的圓的內(nèi)接三角形，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即為正三角形時(shí)，其面積取到最大值．由于點(diǎn)，，在以為球心4為半徑的球面上，故△的面積可以無限小，，即的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算以及性質(zhì)，屬于偏難題．30．（2024?普陀區(qū)模擬）若向量在向量上的投影為，且，則，．〖祥解〗由平面向量的模的運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積及夾角的運(yùn)算求解．【解答】解：若向量在向量上的投影為，則，即，又，則，即，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的模的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積及夾角的運(yùn)算，屬中檔題．31．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）已知向量，函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．〖祥解〗由題意，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于對(duì)應(yīng)的方程在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合，即可求出參數(shù)的值．【解答】解：由題意，函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根，則有，即，故函數(shù)在上的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，所以，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，所以，即的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)的化簡及函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，屬中檔題．32．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)集．若，，則向量、夾角的余弦值的取值范圍是．〖祥解〗先求出的軌跡方程，再利用向量的夾角公式即可．【解答】解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，由得，，，，解得，因?yàn)?，所以，代入，得，設(shè)，，，，與的夾角，則，，，當(dāng)或時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為1．故向量、夾角的余弦值的取值范圍是是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積和夾角，屬與中檔題．33．（2024?寶山區(qū)二模）空間直角坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量、滿足：，，且存在實(shí)數(shù)，使得成立，則由構(gòu)成的空間幾何體的體積是．〖祥解〗由不等式有解，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算，求得，又且，可得，從而根據(jù)錐體體積公式求得結(jié)論．【解答】解：由已知得，所以，所以存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則有，解得，又因?yàn)榍?，設(shè)，所以，則，故由構(gòu)成的空間幾何體的體積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查不等式能成立問題及錐體體積公式，屬中檔題．34．（2024?崇明區(qū)二模）已知、、是半徑為1的圓上的三個(gè)不同的點(diǎn)，且，則的最小值是．〖祥解〗根據(jù)正弦定理，分類討論構(gòu)建三角函數(shù)模型，再通過三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：根據(jù)正弦定理可，，，或，或，①當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值；②當(dāng)時(shí)，，，，，，無最值，綜合①②可得的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的最值的求解，函數(shù)思想，正弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．35．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)到直線和的距離之和均為．當(dāng)最大時(shí)，的最小值為．〖祥解〗利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：，通過分類討論可知：點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)軌跡是如圖所示的正方形的4條邊．結(jié)合向量運(yùn)算即可得到最小值．【解答】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意得，，即，如圖所示：按區(qū)域①④去絕對(duì)值討論：①區(qū)域中，，化為，；②區(qū)域中，且，化為，；③區(qū)域中，，化為，；④區(qū)域中，且，化為，；所以點(diǎn)的軌跡為一個(gè)正方形，即點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)軌跡為如圖正方形的四條邊．當(dāng)最大時(shí)，有，所以為中點(diǎn)），所以的最小值的等價(jià)于最小時(shí)，顯然當(dāng)正方形①或④中的邊時(shí)，，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，是難題．36．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知平面向量兩兩都不共線．若，，2，3，4，，則的最大值是．〖祥解〗的最大值就是在上的投影之和最大值，依題意可得相鄰兩向量夾角為，以相鄰兩向量的模為邊長的第三邊長度為1，結(jié)合圖象即可得解．【解答】解：由于，于是的最大值就是在上的投影之和最大值，由，，2，3，4，知，相鄰兩向量夾角為，以相鄰兩向量的模為邊長的第三邊長度為1，取，作出圖象如下圖所示，則，由圖可知，當(dāng)時(shí)，所有向量在上的投影之和