備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題21正弦定理、余弦定理8題型分類(原卷版+解析)

專題21正弦定理、余弦定理7題型分類1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．4．在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).5.測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ（一）利用正弦定理、余弦定理解三角形解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．題型1：利用正弦定理、余弦定理解三角形1-1．（2024·天津）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．1-2．（2024高三上·江西贛州·期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．1-3．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4（二）正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．2.三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對(duì)于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．3.在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長(zhǎng)度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問(wèn)題時(shí)，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過(guò)運(yùn)算的方法加以解決．在解決某些具體問(wèn)題時(shí)，常先引入變量，如邊長(zhǎng)、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來(lái)，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想．題型2：三角形的形狀判斷2-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，設(shè)命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2-2．（2024·甘肅酒泉·三模）在中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2-3．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形2-4．（2024高一下·江蘇蘇州·期中）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2-5．（2024高一下·陜西西安·期中）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形題型3：三角形的面積、周長(zhǎng)3-1．（2024高三上·廣東·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大?。?2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).3-2．（2024·全國(guó)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．3-3．（2024·浙江）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．3-4．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在中，為上的中點(diǎn)，滿足.(1)證明：為等腰三角形或直角三角形；(2)若角為銳角，為邊上一點(diǎn)，，求的面積.3-5．（2024·北京）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．3-6．（2024·全國(guó)）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.3-7．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知中角的對(duì)邊分別為，．(1)求；(2)若，且的面積為，求周長(zhǎng)．題型4：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用4-1．（2024·全國(guó)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：4-2．（2024·重慶·三模）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求．4-3．（2024·全國(guó)·三模）已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若，求的值.題型5：與平面幾何有關(guān)的問(wèn)題5-1．（2024高三上·北京豐臺(tái)·期末）在△中，，．(1)求的大??；(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長(zhǎng)度．條件①：；條件②：△的周長(zhǎng)為；條件③：△的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．5-2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求的值；(2)若的面積為為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．5-3．（2024·湖南株洲·一模）在中，，點(diǎn)D在AB邊上，且為銳角，，的面積為4.(1)求的值；(2)若，求邊AC的長(zhǎng).5-4．（2024·全國(guó)）在中，，的角平分線交BC于D，則．5-5．（2024·全國(guó)）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=.（三）解三角形的應(yīng)用舉例解三角形的應(yīng)用問(wèn)題的要點(diǎn)(1)從實(shí)際問(wèn)題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個(gè)三角形的元素．(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實(shí)際問(wèn)題的解．題型6：測(cè)量距離問(wèn)題6-1．（2024·山東濟(jì)南·三模）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“”完美嵌入其中，寓意無(wú)限未知?無(wú)限發(fā)展?無(wú)限可能和無(wú)限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無(wú)人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點(diǎn)之間的距離為米.6-2．（2024高三上·安徽阜陽(yáng)·期中）一游客在處望見(jiàn)在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達(dá)處，這時(shí)塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為.6-3．（2024高一下·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，為了測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，選取同一平面上的，兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形各邊的長(zhǎng)度（單位：km）：，，，，且四點(diǎn)共圓，則的長(zhǎng)為.題型7：測(cè)量高度問(wèn)題7-1．（2024高三上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔底部C在北偏東方向上，測(cè)得塔頂P的仰角為，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為．7-2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某座山峰的高度，先在山腳處測(cè)得山頂處的仰角為，又利用無(wú)人機(jī)在離地面高的處（即），觀測(cè)到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高m．

7-3．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問(wèn)題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問(wèn)島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個(gè)問(wèn)題，如圖2，要測(cè)量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)B退行100步到點(diǎn)F，此時(shí)A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從點(diǎn)D退行120步到點(diǎn)G，此時(shí)A，E，G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度AH=步.（古制單位:180丈=300步）

7-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校雕像“月亮上的讀書女孩”進(jìn)行測(cè)量，在正北方向一點(diǎn)測(cè)得雕塑最高點(diǎn)仰角為30°，在正東方向一點(diǎn)測(cè)得雕塑最高點(diǎn)仰角為45°，兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)之間距離約為米，則雕塑高為7-5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）山西應(yīng)縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大的木塔，是中國(guó)古建筑中的瑰寶，是世界木結(jié)構(gòu)建筑的典范．如圖2，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線），測(cè)得約為57米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為米．題型8：測(cè)量角度問(wèn)題8-1．（2024高三下·福建廈門·期中）足球是一項(xiàng)很受歡迎的體育運(yùn)動(dòng)．如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過(guò)程中，攻方球員帶球運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往需要找到一點(diǎn)P，使得最大，這時(shí)候點(diǎn)P就是最佳射門位置．當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點(diǎn)O處時(shí)，根據(jù)場(chǎng)上形勢(shì)判斷，有、兩條進(jìn)攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置．8-2．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）當(dāng)太陽(yáng)光線與水平面的傾斜角為時(shí)，一根長(zhǎng)為的竹竿，要使它的影子最長(zhǎng)，則竹竿與地面所成的角．8-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測(cè)量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于．8-4．（2024·山東濱州·二模）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱為“米勒問(wèn)題”.如圖，樹(shù)頂A離地面a米，樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹(shù)，離此樹(shù)的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.一、單選題1．（2024·全國(guó)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024高三上·甘肅白銀·開(kāi)學(xué)考試），，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．3．（2024高三上·甘肅蘭州·期中）△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024高三上·寧夏·期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．若，則的值為（

）A． B． C．1 D．5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．6．（2024·內(nèi)蒙古·一模）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為滿足且，則（

）A． B．C． D．7．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B． C．或 D．或8．（2024高二上·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．9．（2024高三·重慶渝中·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．10．（2024·陜西·一模）在中，角的對(duì)邊分別為，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．211．（2024高一下·山西·階段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形12．（2024高一下·甘肅白銀·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形13．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形14．（2024·河南南陽(yáng)·二模）是單位圓的內(nèi)接三角形，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則等于（

）A．2 B． C． D．115．（2024·北京）在中，，則（

）A． B． C． D．16．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．17．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．18．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個(gè)解 B．二個(gè)解 C．無(wú)解 D．無(wú)法確定19．（2024高三上·河南南陽(yáng)·期中）在中，，，.若滿足條件的有且只有一個(gè)，則的可能取值是（

）A． B． C． D．20．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．21．（2024高三上·北京·開(kāi)學(xué)考試）在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④22．（2024·江西·二模）設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．23．（2024高一下·天津·期中）在中，，，若該三角形有兩個(gè)解，則邊范圍是（

）A． B． C． D．24．（2024高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若滿足的恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．25．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）在中，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．26．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，，為上一點(diǎn)，，，則的面積為（

）A． B． C． D．27．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，已知，，且，則（

）A． B． C． D．28．（2024·全國(guó)）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（

）A． B．2 C．4 D．829．（2024高一下·浙江溫州·期中）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．30．（2024·山東）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或31．（2024·全國(guó)）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．332．（2024高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）在中，為的角平分線，在線段上，若，，則（

）A． B． C．2 D．33．（2024高三上·浙江寧波·期末）在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．34．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，在線段上取一點(diǎn)，連接，如圖①所示．將沿直線折起，使得點(diǎn)到達(dá)的位置，此時(shí)內(nèi)部存在一點(diǎn)，使得平面，如圖②所示，則的值可能為（

）A． B． C． D．135．（2024·四川巴中·一模）在中，若，則（

）A． B． C． D．36．（2024·陜西安康·一模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，且外接圓的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為（

）A．20 B． C．27 D．37．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長(zhǎng)是（

）A．4 B．6 C．8 D．18二、填空題38．（2024高三上·江西·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，，且的周長(zhǎng)和面積分別是10和，則.39．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是，它的外接球表面積的最小值為.40．（2024高三上·山東棗莊·期末）已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為為底面直徑，，點(diǎn)為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，.41．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，的面積是30，．若，則．42．（2024·四川攀枝花·二模）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，則．43．（2024高三上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）設(shè)分別為△ABC內(nèi)角的對(duì)邊，若，且，則角.三、解答題44．（2024高三下·河北唐山·階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求證：；(2)若，求.45．（2024·山東濱州·二模）已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)若，求；(2)求的值．46．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知(1)求角的大??；(2)若，，求邊及的值．47．（2024·山西臨汾·一模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的面積.48．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.（1）求證：；（2）若，求.49．（2024高三下·江蘇·階段練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若．(1)求證：；(2)若，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，，求邊長(zhǎng)．50．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知分別是的角的對(duì)邊，.(1)求證：；(2)求的取值范圍.51．（2024·四川·三模）已知分別為銳角ABC內(nèi)角的對(duì)邊，．(1)證明：；(2)求的取值范圍．52．（2024高三上·福建三明·期末）非等腰的內(nèi)角、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，且.(1)證明：；(2)若，證明：.53．（2024·河北石家莊·三模）已知中，角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，，，且.(1)證明：；(2)若，求外接圓的面積54．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)證明：是等腰三角形；(2)若的面積為，且，求的周長(zhǎng)．55．（2024高三上·廣東·階段練習(xí)）在①；②.這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若的面積，，___________，求.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.56．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知向量（，），（，），.(1)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)x的值；(2)在△ABC中，角A為銳角且，，BC=2，求的面積.57．（2024·海南海口·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，，.(1)若，證明：；(2)若邊上的高為，求的周長(zhǎng).58．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求的值；(2)若，，求的值.59．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，依次成等比數(shù)列.(1)求；(2)若，且，求.60．（2024·全國(guó)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期專題21正弦定理、余弦定理7題型分類1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．4．在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).5.測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ（一）利用正弦定理、余弦定理解三角形解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．題型1：利用正弦定理、余弦定理解三角形1-1．（2024·天津）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．1-2．（2024高三上·江西贛州·期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】三角形三內(nèi)角和為，故可求角，利用正弦定理即可求.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．故選：C.1-3．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4【答案】D【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.【詳解】在中，由可得，即所以，因?yàn)?，所以，且，所以，又，可得，由正弦定理可得．故選：D.（二）正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．2.三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對(duì)于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．3.在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長(zhǎng)度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問(wèn)題時(shí)，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過(guò)運(yùn)算的方法加以解決．在解決某些具體問(wèn)題時(shí)，常先引入變量，如邊長(zhǎng)、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來(lái)，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想．題型2：三角形的形狀判斷2-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，設(shè)命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.【詳解】解：由正弦定理可知，若t，則，即a＝tc，b＝ta，c＝bt，即abc＝t3abc，即t＝1，則a＝b＝c，即是等邊三角形，若是等邊三角形，則A＝B＝C，則1成立，即命題p是命題q的充要條件，故選：C.2-2．（2024·甘肅酒泉·三模）在中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理，余弦定理化角為邊，化簡(jiǎn)已知等式可得，即可判斷的形狀．【詳解】由正弦定理，余弦定理及得，，即，則，即或?yàn)榈妊切位蛑苯侨切危蔬x：D.2-3．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】使用正弦定理和兩角和的正弦公式花間即可求解.【詳解】，所以由正弦定理可得所以，所以，所以，所以，在三角形中，所以，所以為鈍角，故選：C.2-4．（2024高一下·江蘇蘇州·期中）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理或三角恒等變換，記得判斷的形狀.【詳解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理為，即，得，或,所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：D2-5．（2024高一下·陜西西安·期中）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再根據(jù)正弦定理化角為邊，再結(jié)合已知求出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，則，則，所以為有一個(gè)角為的直角三角形.故選：B.題型3：三角形的面積、周長(zhǎng)3-1．（2024高三上·廣東·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大??；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的面積公式及余弦定理變形整理可得答案；（2）先利用面積公式求，再利用余弦定理求，則面積可求.【詳解】（1）因?yàn)?，又，所以，整理得，即，因?yàn)椋?，所以，則；（2）由（1）得，得，所以，所以，所以的周長(zhǎng)為.3-2．（2024·全國(guó)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．3-3．（2024·浙江）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳解】（1）由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．3-4．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在中，為上的中點(diǎn)，滿足.(1)證明：為等腰三角形或直角三角形；(2)若角為銳角，為邊上一點(diǎn)，，求的面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)設(shè)，，由正弦定理可得，，根據(jù)二倍角正弦公式和正弦函數(shù)性質(zhì)證明或即可；(2)由余弦定理列方程求，再求的余弦值和正弦值，再利用三角形面積公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，又，所以，所以，所以，所以或，，又，，所以或，即或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形；（2）因?yàn)榻菫殇J角，由(1)可得，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋裕谥?，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，又所以，所以，，所以，所以的面積.3-5．（2024·北京）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【分析】選擇條件①（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.【詳解】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.3-6．（2024·全國(guó)）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.3-7．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知中角的對(duì)邊分別為，．(1)求；(2)若，且的面積為，求周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；（2）由面積公式和余弦定理可得答案.【詳解】（1）由和正弦定理可得，，因?yàn)?，所以，所以，，，，；?），，又，，，的周長(zhǎng)為.題型4：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用4-1．（2024·全國(guó)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開(kāi)得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．4-2．（2024·重慶·三模）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）將切化弦，再由差角公式得到，利用正弦、余弦定理將角化邊，即可得證；（2）由余弦定理及（1）的結(jié)論得到，即可得到三角形為等腰三角形，利用二倍角公式公式求出，再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，即，所?（2）由題意可知，又，可得，所以，即為等腰三角形，由，解得或，因?yàn)椋?，所以，所?4-3．（2024·全國(guó)·三模）已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）使用三角恒等變換及余弦定理化簡(jiǎn)得；（2）結(jié)合及正余弦定理可求的值.【詳解】（1）因?yàn)椋?所以.根據(jù)余弦定理，得，所以.所以.所以a，b，c成等比數(shù)列.（2）由余弦定理，得.因?yàn)椋杂烧叶ɡ?，?所以.所以.題型5：與平面幾何有關(guān)的問(wèn)題5-1．（2024高三上·北京豐臺(tái)·期末）在△中，，．(1)求的大??；(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長(zhǎng)度．條件①：；條件②：△的周長(zhǎng)為；條件③：△的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)選擇條件②或③，【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）條件②由余弦定理可得；條件③由三角形的面積公式和余弦定理可得.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，又，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕?）選擇條件②：因?yàn)橹?，，，，所以，即為等腰三角形，其中．因?yàn)?，所以．所以．設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在中，．因?yàn)橹校?，所以，即邊上的中線的長(zhǎng)度為．選擇條件③：因?yàn)橹?，，，，所以，即為等腰三角形，其中．因?yàn)榈拿娣e為，即，所以．設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在中，．因?yàn)橹校?，所以，即邊上的中線的長(zhǎng)度為．由題可知，故①不合題意.5-2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求的值；(2)若的面積為為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩角和的余弦公式、二倍角余弦及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果，（2）根據(jù)三角形面積公式、余弦定理及平面向量的模進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，所以或（舍去）．因?yàn)?，所以．?）因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以．因?yàn)?，所以，即，所以．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，故的長(zhǎng)為.5-3．（2024·湖南株洲·一模）在中，，點(diǎn)D在AB邊上，且為銳角，，的面積為4.(1)求的值；(2)若，求邊AC的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）借助面積公式表示出面積即可計(jì)算得，借助同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可得；（2）由余弦定理可計(jì)算出，由勾股定理的逆定理可得，結(jié)合計(jì)算即可得邊AC的長(zhǎng).【詳解】（1），故，又為銳角，故；（2），故，有，故，則，即.5-4．（2024·全國(guó)）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)椋獾茫?，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)?，所以，，又，所以，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問(wèn)題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī)．5-5．（2024·全國(guó)）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=.【答案】【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計(jì)算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.（三）解三角形的應(yīng)用舉例解三角形的應(yīng)用問(wèn)題的要點(diǎn)(1)從實(shí)際問(wèn)題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個(gè)三角形的元素．(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實(shí)際問(wèn)題的解．題型6：測(cè)量距離問(wèn)題6-1．（2024·山東濟(jì)南·三模）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“”完美嵌入其中，寓意無(wú)限未知?無(wú)限發(fā)展?無(wú)限可能和無(wú)限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無(wú)人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點(diǎn)之間的距離為米.【答案】【分析】根據(jù)已知角的關(guān)系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.【詳解】由題意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案為：6-2．（2024高三上·安徽阜陽(yáng)·期中）一游客在處望見(jiàn)在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達(dá)處，這時(shí)塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為.【答案】【分析】先根據(jù)題意作出簡(jiǎn)圖，利用正弦定理求出，再利用余弦定理可得答案.【詳解】如圖，在中，由題意可知，，可得.在中，，，，∴，∴.在中，，∴.故答案為：.6-3．（2024高一下·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，為了測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，選取同一平面上的，兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形各邊的長(zhǎng)度（單位：km）：，，，，且四點(diǎn)共圓，則的長(zhǎng)為.【答案】7【分析】根據(jù)四點(diǎn)共圓可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.【詳解】∵四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得,故答案為：7題型7：測(cè)量高度問(wèn)題7-1．（2024高三上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔底部C在北偏東方向上，測(cè)得塔頂P的仰角為，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為．【答案】【分析】解直角求得，在中利用正弦定理，即可求得答案.【詳解】由題意知在中，,故,即，解得，在中，，則，而，所以，所以，即船的航行速度是每小時(shí)千米，故答案為：7-2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某座山峰的高度，先在山腳處測(cè)得山頂處的仰角為，又利用無(wú)人機(jī)在離地面高的處（即），觀測(cè)到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高m．

【答案】【分析】確定，，，在中，利用正弦定理求出，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算得到答案.【詳解】依題意，則，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，則.

故答案為：7-3．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個(gè)計(jì)算山高的問(wèn)題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問(wèn)島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個(gè)問(wèn)題，如圖2，要測(cè)量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)B退行100步到點(diǎn)F，此時(shí)A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從點(diǎn)D退行120步到點(diǎn)G，此時(shí)A，E，G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度AH=步.（古制單位:180丈=300步）

【答案】3280【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.【詳解】解：由題可知步，步，步.步.在RtAHF中，在RtAHG中.所以，，則.所以步.故答案為：32807-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校雕像“月亮上的讀書女孩”進(jìn)行測(cè)量，在正北方向一點(diǎn)測(cè)得雕塑最高點(diǎn)仰角為30°，在正東方向一點(diǎn)測(cè)得雕塑最高點(diǎn)仰角為45°，兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)之間距離約為米，則雕塑高為【答案】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)，分別求得，，在直角中，利用勾股定理，列出方程，求得，即可求解.【詳解】如圖所示，正北方向測(cè)量點(diǎn)為C，正東方向測(cè)量點(diǎn)為D，雕塑最高點(diǎn)為B，其中A，C，D三點(diǎn)位于同一水平面，由題意可知且，設(shè)，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，解得，故雕塑高為.故答案為：7-5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）山西應(yīng)縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大的木塔，是中國(guó)古建筑中的瑰寶，是世界木結(jié)構(gòu)建筑的典范．如圖2，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線），測(cè)得約為57米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為米．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合列式求解即可.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作作垂線，垂足為，由題意可知，，米，設(shè)米，則米，米，∵，則，解得，所以估算木塔的高度為米．故答案為：.題型8：測(cè)量角度問(wèn)題8-1．（2024高三下·福建廈門·期中）足球是一項(xiàng)很受歡迎的體育運(yùn)動(dòng)．如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過(guò)程中，攻方球員帶球運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往需要找到一點(diǎn)P，使得最大，這時(shí)候點(diǎn)P就是最佳射門位置．當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點(diǎn)O處時(shí)，根據(jù)場(chǎng)上形勢(shì)判斷，有、兩條進(jìn)攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門位置．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，分別表示出，，，，根據(jù)兩角差的正切公式表示出，求出的最大值，結(jié)合在的單調(diào)性得出此時(shí)最大，即可求得答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖所示，設(shè)，則，由題可知，，，易得四邊形為矩形，所以，，，所以，則，，所以，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以當(dāng)時(shí)，即，最大，由題可知，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以最大時(shí)，最大，所以時(shí)，到達(dá)最佳射門位置，故答案為：．8-2．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）當(dāng)太陽(yáng)光線與水平面的傾斜角為時(shí)，一根長(zhǎng)為的竹竿，要使它的影子最長(zhǎng)，則竹竿與地面所成的角．【答案】【分析】作出示意圖，設(shè)竹竿與地面所成的角為，影子長(zhǎng)為，依據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】作出示意圖如下如，設(shè)竹竿與地面所成的角為，影子長(zhǎng)為，依據(jù)正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以要使最大，只需，即，所以時(shí)，影子最長(zhǎng)．答案為：.8-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測(cè)量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于．【答案】【分析】設(shè)乙的速度為xm/s，根據(jù)正弦定理列式＝，可得AC＝1260m，再由余弦定理求解即可.【詳解】依題意，設(shè)乙的速度為xm/s，則甲的速度為xm/s，因?yàn)锳B＝1040m，BC＝500m，所以＝，解得AC＝1260m．在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝＝，所以sin∠BAC＝＝＝．故答案為：.8-4．（2024·山東濱州·二模）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱為“米勒問(wèn)題”.如圖，樹(shù)頂A離地面a米，樹(shù)上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹(shù)，離此樹(shù)的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.【答案】【分析】根據(jù)題意，，分別求得，表達(dá)式，即可求得表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可得答案.【詳解】過(guò)C作，交AB于D，如圖所示：則，設(shè)，在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以取最大值時(shí)，最大，所以當(dāng)離此樹(shù)的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.故答案為：一、單選題1．（2024·全國(guó)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.2．（2024高三上·甘肅白銀·開(kāi)學(xué)考試），，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理和題設(shè)條件求得，再由，求得，利用圓的面積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，可得．設(shè)外接圓的半徑為，則，即，故外接圓的面積為．故選：B.3．（2024高三上·甘肅蘭州·期中）△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)求解，【詳解】由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，則，故選：B4．（2024高三上·寧夏·期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理求得正確答案.【詳解】依題意，由正弦定理得.故選：A5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理化邊為角有，再利用兩角和與差的正弦公式有，再利用正弦定理進(jìn)行化角為邊有.【詳解】因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理得，移項(xiàng)得，即，即，則根據(jù)正弦定理有．故選：D.6．（2024·內(nèi)蒙古·一模）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為滿足且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.【詳解】由題，,又，，，故選：A.7．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由正弦定理角化邊可得，再由余弦定理以及切化弦可得，結(jié)合三角形的內(nèi)角取值范圍即可得出選項(xiàng).【詳解】由正弦定理，得，又，所以，所以，因?yàn)?，所以或，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正余弦定理解三角形，需熟記定理內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.8．（2024高二上·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用正弦定理與余弦定理代換即可.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理有，根?jù)余弦定理有，且，故有，即，又，所以.故選：D.9．（2024高三·重慶渝中·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】A【分析】易知結(jié)合余弦定理可得，然后邊化角后利用展開(kāi)，然后化簡(jiǎn)可得.【詳解】由余弦定理以及可得：，又在三角形中有，即，所以故.故選：A．10．（2024·陜西·一模）在中，角的對(duì)邊分別為，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理與正弦定理角化邊求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，由正弦定理與余弦定理得，化簡(jiǎn)得.故選：A11．（2024高一下·山西·階段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理的邊角轉(zhuǎn)化，將已知變形，化簡(jiǎn)從而得出【詳解】因?yàn)?，由正弦定理（為外接圓的直徑），可得，所以．又因?yàn)?，所以．即為等腰三角?故選：C12．（2024高一下·甘肅白銀·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得，進(jìn)而由三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故為等腰三角形或直角三角形故選：B13．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)整理得到，進(jìn)而得到，可得或，即可確定三角形形狀．【詳解】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：，整理得：，即，，即，，，，，則或，即為等腰三角形或直角三角形．故選：C．14．（2024·河南南陽(yáng)·二模）是單位圓的內(nèi)接三角形，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則等于（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦化簡(jiǎn)給定等式，求出角A，再利用正弦定理求解作答.【詳解】在中，由已知及余弦定理得，即，由正弦定理邊化角得：，而，即，則，即有，又的外接圓半徑，所以.故選：C15．（2024·北京）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.16．（2024·青海·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正余弦定理及面積公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理可得：由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A17．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦定理結(jié)合已知，可推得.進(jìn)而根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)推得，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，.要使有兩解，即有兩解，則應(yīng)有，且，所以，所以.故選：B．18．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個(gè)解 B．二個(gè)解 C．無(wú)解 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，如圖所示：所以，即，所以三角形解的情況為二個(gè)解.故選：B19．（2024高三上·河南南陽(yáng)·期中）在中，，，.若滿足條件的有且只有一個(gè)，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理得到，再分和兩種情況討論，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可判斷.【詳解】解：由正弦定理，即，所以，因?yàn)橹挥幸唤?，若，則，若顯然滿足題意，所以或，所以或，解得或；故選：D20．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對(duì)于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對(duì)于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對(duì)于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對(duì)于D：由正弦定理可知，，故故三角形無(wú)解.故選：B.21．（2024高三上·北京·開(kāi)學(xué)考試）在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及正弦定理，結(jié)合三角形圖像進(jìn)行處理.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，所以或，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以角被唯一確定，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)?，，所以，所以，所以，又，由正弦定理有，所以，所以角被唯一確定，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以，所以如圖，不唯一，故④錯(cuò)誤.故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.22．（2024·江西·二模）設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：由正弦定理，即，所以，因?yàn)椴晃ㄒ?，即有兩解，所以且，即，所以，所以，即；故選：A23．（2024高一下·天津·期中）在中，，，若該三角形有兩個(gè)解，則邊范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)的結(jié)論可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿切斡袃蓚€(gè)解，所以，所以，所以.故選：D24．（2024高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若滿足的恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知結(jié)合正弦定理先表示出，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍，進(jìn)而可求的范圍．【詳解】解：由正弦定理可得，故，由且恰有一個(gè)，故或，所以或，即．故選：B25．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）在中，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)量積及夾角求出，代入三角形面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所以，所以的面積.故選：B26．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，，為上一點(diǎn)，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的基本定理得，同時(shí)平方化簡(jiǎn)得，再由余弦定理得，兩式聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，由三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】

如圖所示，在中，由，得．又，即，所以，化簡(jiǎn)得．①

在中，由余弦定理得，，②

由①②式，解得．由，得，將其代入②式，得，解得，故的面積．故選：D27．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出，由面積公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.【詳解】，由正弦定理可得，整理可得，所以，為三角形內(nèi)角，，∴，∵，，則，故B錯(cuò)誤；∵，，，解得，由余弦定理得，解得或（舍去），故C正確，D錯(cuò)誤.又，所以，則三角形為等邊三角形，所以，則，故A錯(cuò)誤.故選：C.28．（2024·全國(guó)）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】先根據(jù)余弦定理求，再根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求【詳解】設(shè)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.29．（2024高一下·浙江溫州·期中）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：利用面積公式和余弦定理進(jìn)行計(jì)算可得．詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理．30．（2024·山東）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或【答案】A【分析】利用余弦定理求出，并進(jìn)一步判斷，由正弦定理可得，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；【詳解】，，，，，，，，故選：A.31．（2024·全國(guó)）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．32．（2024高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）在中，為的角平分線，在線段上，若，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線利用三角形等面積公式可得，再由余弦定理即可求得.【詳解】如下圖所示：依題意設(shè)，由可得，即，也即，顯然，可得；在中，由余弦定理可得，解得.故選：B33．（2024高三上·浙江寧波·期末）在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)條件作出四面體的高，通過(guò)相關(guān)條件推理計(jì)算分別求出，最后在直角梯形，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半徑.【詳解】如圖，作平面，連接，易得因，平面，所以平面，平面，故,由題可得，，則.不妨設(shè)，則有①，在中，由余弦定理，，在中，②，將兩式相減化簡(jiǎn)即得：，.取線段中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面，其中點(diǎn)為外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，由余弦定理求得，在直角梯形中，，由計(jì)算可得：，則該四面體的外接球表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查四面體的外接球的表面積，屬于中檔題.求解多面體的外接球的主要方法有：（1）構(gòu)造模型法:即尋找適合題意的長(zhǎng)方體，正方體，圓柱等幾何體，借助于這些幾何體迅速求得外接球半徑；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多邊形的外心，作出外接球球心，借助于題設(shè)中的條件得到多面體的高，構(gòu)成直角梯形或直角三角形來(lái)求解.34．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，在線段上取一點(diǎn)，連接，如圖①所示．將沿直線折起，使得點(diǎn)到達(dá)的位置，此時(shí)內(nèi)部存在一點(diǎn)，使得平面，如圖②所示，則的值可能為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】尋找點(diǎn)的臨界狀態(tài)，再利用余弦定理、勾股定理計(jì)算，最后判斷的取值范圍.【詳解】連接．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，．在Rt中，，所以．所以在Rt中，．因?yàn)樵谥?，，所以是直角三角形，且．因?yàn)?，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上．作于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，且，所以圓與線段交于兩點(diǎn)，記為和，記圓與線段的交點(diǎn)為，如圖所示．在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)，解得；同理，在中，．因?yàn)?，所以點(diǎn)在線段上．因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以點(diǎn)在弧上（不含點(diǎn)和）．設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，．在Rt中，，即，解得．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，．在Rt中，，即，則．在中，，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)，解得．因?yàn)殡S著的增大，點(diǎn)靠近點(diǎn)，線段的長(zhǎng)增大，點(diǎn)靠近點(diǎn)，所以的取值范圍為．結(jié)合選項(xiàng)可知，的值可能是．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用線面垂直的性質(zhì)，再找到點(diǎn)的臨界位置，再利用余弦定理求出其對(duì)應(yīng)狀態(tài)下的值，則得到其范圍.35．（2024·四川巴中·一模）在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方關(guān)系、誘導(dǎo)公式、余弦兩角和差角關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式為，再結(jié)合正余弦定理即可得角的大小.【詳解】因?yàn)?，所以，則，整理得：由正弦定理可得：，再由余弦定理得，因?yàn)?，?故選：B.36．（2024·陜西安康·一模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，且外接圓的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為（

）A．20 B． C．27 D．【答案】D【分析】利用三角形的外接圓周長(zhǎng)求出外接圓半徑，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，從而得到的長(zhǎng)，結(jié)合及正弦定理得到，從而得到三角形周長(zhǎng).【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則，解得：，因?yàn)?，由，，可得，，所以，，因?yàn)?，由正弦定理可得：，所以的周長(zhǎng)為.故選：D.37．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長(zhǎng)是（

）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由正弦定理和和角公式得到，得到，由三角形面積公式得到，再利用余弦定理求出，得到答案.【詳解】，由正弦定理得，，又，所以，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以，由三角形面積公式可得，故，由余弦定理得，解得或（舍去），故三角形周長(zhǎng)為.故選：B二、填空題38．（2024高三上·江西·期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，，且的周長(zhǎng)和面積分別是10和，則.【答案】3【分析】根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)椋?，所以，所?由余弦定理可得，即，所以，則，解得.故答案為:3.39．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是，它的外接球表面積的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)余弦定理以及不等式可得，進(jìn)而可求解面積的最大值，進(jìn)而根據(jù)，即可求解高的最大值，進(jìn)而可求解體積，根據(jù)正弦定理求解外接圓半徑，即可根據(jù)球的性質(zhì)求解球半徑的最小值，即可由表面積公式求解.【詳解】由余弦定理可得,故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，故面積的最大值為，，由于，所以點(diǎn)在以為直徑的球上（不包括平面），故當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)最大為半徑，故，由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，設(shè)四面體外接球半徑為,則,其中分別為球心和外接圓的圓心，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，故外接球的表面積為,故答案為：,

40．（2024高三上·山東棗莊·期末）已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為為底面直徑，，點(diǎn)為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，.【答案】/【分析】設(shè)，表示面積，易知，借助余弦定理計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則的面積要使的面積取得最大值，則，所以，在中由余弦定理可得：，所以,易得,在中，,所以.故答案為：.41．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，的面積是30，．若，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，求得，結(jié)合余弦定理，即可求解.【詳解】由，可得，又由，解得，由余弦定理，得，所以．故答案為：.42．（2024·四川攀枝花·二模）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，則．【答案】【分析】結(jié)合余弦定理，正弦定理、兩角和的正弦及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由，由余弦定理得，由正弦定理得，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，則，因?yàn)?，?故答案為：43．（2024高三上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）設(shè)分別為△ABC內(nèi)角的對(duì)邊，若，且，則角.【答案】【分析】利用正余弦定理邊化角即可獲解【詳解】因?yàn)?所以,即即,所以所以或因?yàn)?所以若,則若,則,與矛盾所以故答案為：三、解答題44．（2024高三下·河北唐山·階段練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求證：；(2)若，求.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理可得，再利用余弦定理和基本不等式即可證明；（2）利用切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式和正、余弦定理可得，再結(jié)合（1）的結(jié)論和余弦定理即可求解.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，由正弦定理可得，化?jiǎn)可得，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)榻鞘堑膬?nèi)角，所以，所以.（2）由，則，即，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得，.45．（2024·山東濱州·二模）已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)若，求；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，將等式中角，再根據(jù)三角恒等變換可得到角的三角函數(shù)值，即可求角.（2）將式中根據(jù)三角恒等變換，再利用正余弦定理化角為邊可得.【詳解】（1）若，則．因?yàn)椋?，，整理得．解得（舍），，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋裕淼糜烧叶ɡ淼?，由余弦定理得，即，所以?6．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知(1)求角的大??；(2)若，，求邊及的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可求，根據(jù)角的范圍即可求解的值；（