備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測專題21正弦定理、余弦定理8題型分類(原卷版+解析)

專題21正弦定理、余弦定理7題型分類1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內切圓半徑)．4．在△ABC中，常有以下結論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).5.測量中的幾個有關術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ（一）利用正弦定理、余弦定理解三角形解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．題型1：利用正弦定理、余弦定理解三角形1-1．（2024·天津）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．1-2．（2024高三上·江西贛州·期中）在中，角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．1-3．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4（二）正弦定理、余弦定理的簡單應用1.判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論．2.三角形面積公式的應用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化．3.在平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題時，通常是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想．題型2：三角形的形狀判斷2-1．（2024高三·全國·專題練習）在中，設命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2-2．（2024·甘肅酒泉·三模）在中內角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2-3．（2024·四川綿陽·三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形2-4．（2024高一下·江蘇蘇州·期中）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2-5．（2024高一下·陜西西安·期中）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形題型3：三角形的面積、周長3-1．（2024高三上·廣東·期末）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大?。?2)若，的面積為，求的周長.3-2．（2024·全國）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．3-3．（2024·浙江）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．3-4．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習）在中，為上的中點，滿足.(1)證明：為等腰三角形或直角三角形；(2)若角為銳角，為邊上一點，，求的面積.3-5．（2024·北京）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．3-6．（2024·全國）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.3-7．（2024·吉林長春·模擬預測）已知中角的對邊分別為，．(1)求；(2)若，且的面積為，求周長．題型4：正弦定理、余弦定理的綜合應用4-1．（2024·全國）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：4-2．（2024·重慶·三模）已知的內角、、的對邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求．4-3．（2024·全國·三模）已知a，b，c分別為的內角A，B，C的對邊，.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若，求的值.題型5：與平面幾何有關的問題5-1．（2024高三上·北京豐臺·期末）在△中，，．(1)求的大??；(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．條件①：；條件②：△的周長為；條件③：△的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．5-2．（2024·全國·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，已知．(1)求的值；(2)若的面積為為邊的中點，求的長．5-3．（2024·湖南株洲·一模）在中，，點D在AB邊上，且為銳角，，的面積為4.(1)求的值；(2)若，求邊AC的長.5-4．（2024·全國）在中，，的角平分線交BC于D，則．5-5．（2024·全國）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=.（三）解三角形的應用舉例解三角形的應用問題的要點(1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素．(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解．題型6：測量距離問題6-1．（2024·山東濟南·三模）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設計，將數(shù)學符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內），則A，B兩點之間的距離為米.6-2．（2024高三上·安徽阜陽·期中）一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達處，這時塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為.6-3．（2024高一下·湖北省直轄縣級單位·期末）如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為.題型7：測量高度問題7-1．（2024高三上·山東東營·階段練習）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，此時測得燈塔底部C在北偏東方向上，測得塔頂P的仰角為，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為．7-2．（2024·重慶·模擬預測）如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高m．

7-3．（2024·貴州黔東南·模擬預測）中國古代數(shù)學名著《海島算經》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設古代有類似的一個問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點F，此時A，C，F(xiàn)三點共線，從點D退行120步到點G，此時A，E，G三點也共線，則山峰的高度AH=步.（古制單位:180丈=300步）

7-4．（2024高三·全國·專題練習）為了培養(yǎng)學生的數(shù)學建模和應用能力，某校數(shù)學興趣小組對學校雕像“月亮上的讀書女孩”進行測量，在正北方向一點測得雕塑最高點仰角為30°，在正東方向一點測得雕塑最高點仰角為45°，兩個測量點之間距離約為米，則雕塑高為7-5．（2024·全國·模擬預測）山西應縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大的木塔，是中國古建筑中的瑰寶，是世界木結構建筑的典范．如圖2，某校數(shù)學興趣小組為測量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點（，，三點共線），測得約為57米，在點處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為米．題型8：測量角度問題8-1．（2024高三下·福建廈門·期中）足球是一項很受歡迎的體育運動．如圖，某標準足球場的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點P，使得最大，這時候點P就是最佳射門位置．當攻方球員甲位于邊線上的點O處時，根據場上形勢判斷，有、兩條進攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球碼時，到達最佳射門位置．8-2．（2024高一·全國·專題練習）當太陽光線與水平面的傾斜角為時，一根長為的竹竿，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角．8-3．（2024高三·全國·專題練習）游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經測量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于．8-4．（2024·山東濱州·二模）最大視角問題是1471年德國數(shù)學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.一、單選題1．（2024·全國）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024高三上·甘肅白銀·開學考試），，分別為內角，，的對邊．已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．3．（2024高三上·甘肅蘭州·期中）△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024高三上·寧夏·期中）在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，則的值為（

）A． B． C．1 D．5．（2024·湖南·模擬預測）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．6．（2024·內蒙古·一模）已知的內角所對的邊分別為滿足且，則（

）A． B．C． D．7．（2024高三上·河南·階段練習）在中，角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C．或 D．或8．（2024高二上·湖南長沙·開學考試）設△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．9．（2024高三·重慶渝中·階段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．10．（2024·陜西·一模）在中，角的對邊分別為，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．211．（2024高一下·山西·階段練習）已知的三個內角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形12．（2024高一下·甘肅白銀·階段練習）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形13．（2024高三上·北京·階段練習）設的內角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形14．（2024·河南南陽·二模）是單位圓的內接三角形，角，，的對邊分別為，，，且，則等于（

）A．2 B． C． D．115．（2024·北京）在中，，則（

）A． B． C． D．16．（2024·青?！つM預測）在中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．17．（2024·貴州·模擬預測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．18．（2024高二·全國·課后作業(yè)）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定19．（2024高三上·河南南陽·期中）在中，，，.若滿足條件的有且只有一個，則的可能取值是（

）A． B． C． D．20．（2024·江蘇南通·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．21．（2024高三上·北京·開學考試）在下列關于的四個條件中選擇一個，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④22．（2024·江西·二模）設在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．23．（2024高一下·天津·期中）在中，，，若該三角形有兩個解，則邊范圍是（

）A． B． C． D．24．（2024高一下·重慶沙坪壩·階段練習）若滿足的恰有一個，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．25．（2024高三·全國·對口高考）在中，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．26．（2024·河南·模擬預測）在中，內角A，，所對的邊分別為，，，，為上一點，，，則的面積為（

）A． B． C． D．27．（2024·四川成都·模擬預測）在中，，，分別為角，，的對邊，已知，，且，則（

）A． B． C． D．28．（2024·全國）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（

）A． B．2 C．4 D．829．（2024高一下·浙江溫州·期中）的內角的對邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．30．（2024·山東）在中，內角，，的對邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或31．（2024·全國）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．332．（2024高三上·內蒙古呼和浩特·期末）在中，為的角平分線，在線段上，若，，則（

）A． B． C．2 D．33．（2024高三上·浙江寧波·期末）在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．34．（2024·全國·模擬預測）已知中，，在線段上取一點，連接，如圖①所示．將沿直線折起，使得點到達的位置，此時內部存在一點，使得平面，如圖②所示，則的值可能為（

）A． B． C． D．135．（2024·四川巴中·一模）在中，若，則（

）A． B． C． D．36．（2024·陜西安康·一模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且外接圓的周長為，則的周長為（

）A．20 B． C．27 D．37．（2024·內蒙古赤峰·二模）在中，內角，，所對的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長是（

）A．4 B．6 C．8 D．18二、填空題38．（2024高三上·江西·期末）在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，，且的周長和面積分別是10和，則.39．（2024·廣東肇慶·模擬預測）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是，它的外接球表面積的最小值為.40．（2024高三上·山東棗莊·期末）已知圓錐的頂點為，底面圓心為為底面直徑，，點為底面圓周上的一個動點，當?shù)拿娣e取得最大值時，.41．（2024高三·全國·專題練習）在中，，，分別為內角，，的對邊，的面積是30，．若，則．42．（2024·四川攀枝花·二模）的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則．43．（2024高三上·江蘇無錫·階段練習）設分別為△ABC內角的對邊，若，且，則角.三、解答題44．（2024高三下·河北唐山·階段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求證：；(2)若，求.45．（2024·山東濱州·二模）已知的三個角，，的對邊分別為，，，且．(1)若，求；(2)求的值．46．（2024·天津武清·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知(1)求角的大??；(2)若，，求邊及的值．47．（2024·山西臨汾·一模）記的內角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的面積.48．（2024·河南·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.（1）求證：；（2）若，求.49．（2024高三下·江蘇·階段練習）在中，角、、的對邊分別為、、，若．(1)求證：；(2)若，點為邊上一點，，，求邊長．50．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知分別是的角的對邊，.(1)求證：；(2)求的取值范圍.51．（2024·四川·三模）已知分別為銳角ABC內角的對邊，．(1)證明：；(2)求的取值范圍．52．（2024高三上·福建三明·期末）非等腰的內角、、的對應邊分別為、、，且.(1)證明：；(2)若，證明：.53．（2024·河北石家莊·三模）已知中，角，，的對邊長分別是，，，，且.(1)證明：；(2)若，求外接圓的面積54．（2024·全國·模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)證明：是等腰三角形；(2)若的面積為，且，求的周長．55．（2024高三上·廣東·階段練習）在①；②.這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若的面積，，___________，求.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.56．（2024·湖南長沙·二模）已知向量（，），（，），.(1)求函數(shù)的最大值及相應x的值；(2)在△ABC中，角A為銳角且，，BC=2，求的面積.57．（2024·海南海口·模擬預測）已知的內角A，，的對邊分別為，，，，.(1)若，證明：；(2)若邊上的高為，求的周長.58．（2024·安徽合肥·模擬預測）記的內角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求的值；(2)若，，求的值.59．（2024·河南·模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，依次成等比數(shù)列.(1)求；(2)若，且，求.60．（2024·全國）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期專題21正弦定理、余弦定理7題型分類1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內切圓半徑)．4．在△ABC中，常有以下結論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).5.測量中的幾個有關術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ（一）利用正弦定理、余弦定理解三角形解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．題型1：利用正弦定理、余弦定理解三角形1-1．（2024·天津）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據正弦定理即可解出；（2）根據余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．1-2．（2024高三上·江西贛州·期中）在中，角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】三角形三內角和為，故可求角，利用正弦定理即可求.【詳解】因為，所以，因為，所以．故選：C.1-3．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4【答案】D【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.【詳解】在中，由可得，即所以，因為，所以，且，所以，又，可得，由正弦定理可得．故選：D.（二）正弦定理、余弦定理的簡單應用1.判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論．2.三角形面積公式的應用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化．3.在平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題時，通常是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想．題型2：三角形的形狀判斷2-1．（2024高三·全國·專題練習）在中，設命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結論.【詳解】解：由正弦定理可知，若t，則，即a＝tc，b＝ta，c＝bt，即abc＝t3abc，即t＝1，則a＝b＝c，即是等邊三角形，若是等邊三角形，則A＝B＝C，則1成立，即命題p是命題q的充要條件，故選：C.2-2．（2024·甘肅酒泉·三模）在中內角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理，余弦定理化角為邊，化簡已知等式可得，即可判斷的形狀．【詳解】由正弦定理，余弦定理及得，，即，則，即或為等腰三角形或直角三角形．故選：D.2-3．（2024·四川綿陽·三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】使用正弦定理和兩角和的正弦公式花間即可求解.【詳解】，所以由正弦定理可得所以，所以，所以，所以，在三角形中，所以，所以為鈍角，故選：C.2-4．（2024高一下·江蘇蘇州·期中）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根據正弦定理或三角恒等變換，記得判斷的形狀.【詳解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理為，即，得，或,所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：D2-5．（2024高一下·陜西西安·期中）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再根據正弦定理化角為邊，再結合已知求出，即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，因為，由正弦定理得，則，則，所以為有一個角為的直角三角形.故選：B.題型3：三角形的面積、周長3-1．（2024高三上·廣東·期末）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大??；(2)若，的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的面積公式及余弦定理變形整理可得答案；（2）先利用面積公式求，再利用余弦定理求，則面積可求.【詳解】（1）因為，又，所以，整理得，即，因為，所以，所以，則；（2）由（1）得，得，所以，所以，所以的周長為.3-2．（2024·全國）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因為，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．3-3．（2024·浙江）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關系求出，再根據正弦定理即可解出；（2）根據余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳解】（1）由于，，則．因為，由正弦定理知，則．（2）因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．3-4．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習）在中，為上的中點，滿足.(1)證明：為等腰三角形或直角三角形；(2)若角為銳角，為邊上一點，，求的面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)設，，由正弦定理可得，，根據二倍角正弦公式和正弦函數(shù)性質證明或即可；(2)由余弦定理列方程求，再求的余弦值和正弦值，再利用三角形面積公式求解.【詳解】（1）因為，所以，設，，則，，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，又，所以，所以，所以，所以或，，又，，所以或，即或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形；（2）因為角為銳角，由(1)可得，所以，設，則，因為，所以，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，又所以，所以，，所以，所以的面積.3-5．（2024·北京）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【分析】選擇條件①（Ⅰ）根據余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據三角函數(shù)同角關系求得,再根據正弦定理求,最后根據三角形面積公式求結果；選擇條件②（Ⅰ）先根據三角函數(shù)同角關系求得，再根據正弦定理求結果，（Ⅱ）根據兩角和正弦公式求，再根據三角形面積公式求結果.【詳解】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.3-6．（2024·全國）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關系可得；(2)由題意可得，則，據此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.3-7．（2024·吉林長春·模擬預測）已知中角的對邊分別為，．(1)求；(2)若，且的面積為，求周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；（2）由面積公式和余弦定理可得答案.【詳解】（1）由和正弦定理可得，，因為，所以，所以，，，，；（2），，又，，，的周長為.題型4：正弦定理、余弦定理的綜合應用4-1．（2024·全國）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）根據題意可得，，再結合三角形內角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據正弦定理，余弦定理化簡即可證出．【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．4-2．（2024·重慶·三模）已知的內角、、的對邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）將切化弦，再由差角公式得到，利用正弦、余弦定理將角化邊，即可得證；（2）由余弦定理及（1）的結論得到，即可得到三角形為等腰三角形，利用二倍角公式公式求出，再由誘導公式計算可得.【詳解】（1）因為，所以，所以，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，即，所以.（2）由題意可知，又，可得，所以，即為等腰三角形，由，解得或，因為，所以，所以，所以.4-3．（2024·全國·三模）已知a，b，c分別為的內角A，B，C的對邊，.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）使用三角恒等變換及余弦定理化簡得；（2）結合及正余弦定理可求的值.【詳解】（1）因為，所以.所以.根據余弦定理，得，所以.所以.所以a，b，c成等比數(shù)列.（2）由余弦定理，得.因為，所以由正弦定理，得.所以.所以.題型5：與平面幾何有關的問題5-1．（2024高三上·北京豐臺·期末）在△中，，．(1)求的大小；(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．條件①：；條件②：△的周長為；條件③：△的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)選擇條件②或③，【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）條件②由余弦定理可得；條件③由三角形的面積公式和余弦定理可得.【詳解】（1）在中，因為，又，所以．因為，所以．因為，所以．（2）選擇條件②：因為中，，，，所以，即為等腰三角形，其中．因為，所以．所以．設點為線段的中點，在中，．因為中，，所以，即邊上的中線的長度為．選擇條件③：因為中，，，，所以，即為等腰三角形，其中．因為的面積為，即，所以．設點為線段的中點，在中，．因為中，，所以，即邊上的中線的長度為．由題可知，故①不合題意.5-2．（2024·全國·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，已知．(1)求的值；(2)若的面積為為邊的中點，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩角和的余弦公式、二倍角余弦及誘導公式化簡可得結果，（2）根據三角形面積公式、余弦定理及平面向量的模進行計算可得結果.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，所以或（舍去）．因為，所以．（2）因為的面積為，所以，所以．因為，所以，即，所以．因為是的中點，所以，所以，所以，故的長為.5-3．（2024·湖南株洲·一模）在中，，點D在AB邊上，且為銳角，，的面積為4.(1)求的值；(2)若，求邊AC的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助面積公式表示出面積即可計算得，借助同角三角函數(shù)基本關系即可得；（2）由余弦定理可計算出，由勾股定理的逆定理可得，結合計算即可得邊AC的長.【詳解】（1），故，又為銳角，故；（2），故，有，故，則，即.5-4．（2024·全國）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據正弦定理求出，即可根據三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．5-5．（2024·全國）如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=.【答案】【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.（三）解三角形的應用舉例解三角形的應用問題的要點(1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素．(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解．題型6：測量距離問題6-1．（2024·山東濟南·三模）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設計，將數(shù)學符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內），則A，B兩點之間的距離為米.【答案】【分析】根據已知角的關系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.【詳解】由題意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案為：6-2．（2024高三上·安徽阜陽·期中）一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達處，這時塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為.【答案】【分析】先根據題意作出簡圖，利用正弦定理求出，再利用余弦定理可得答案.【詳解】如圖，在中，由題意可知，，可得.在中，，，，∴，∴.在中，，∴.故答案為：.6-3．（2024高一下·湖北省直轄縣級單位·期末）如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為.【答案】7【分析】根據四點共圓可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.【詳解】∵四點共圓，圓內接四邊形的對角和為﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得,故答案為：7題型7：測量高度問題7-1．（2024高三上·山東東營·階段練習）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，此時測得燈塔底部C在北偏東方向上，測得塔頂P的仰角為，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為．【答案】【分析】解直角求得，在中利用正弦定理，即可求得答案.【詳解】由題意知在中，,故,即，解得，在中，，則，而，所以，所以，即船的航行速度是每小時千米，故答案為：7-2．（2024·重慶·模擬預測）如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高m．

【答案】【分析】確定，，，在中，利用正弦定理求出，再由銳角三角函數(shù)計算得到答案.【詳解】依題意，則，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，則.

故答案為：7-3．（2024·貴州黔東南·模擬預測）中國古代數(shù)學名著《海島算經》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設古代有類似的一個問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點F，此時A，C，F(xiàn)三點共線，從點D退行120步到點G，此時A，E，G三點也共線，則山峰的高度AH=步.（古制單位:180丈=300步）

【答案】3280【分析】易得在RtAHF中，在RtAHG中，得到，求解.【詳解】解：由題可知步，步，步.步.在RtAHF中，在RtAHG中.所以，，則.所以步.故答案為：32807-4．（2024高三·全國·專題練習）為了培養(yǎng)學生的數(shù)學建模和應用能力，某校數(shù)學興趣小組對學校雕像“月亮上的讀書女孩”進行測量，在正北方向一點測得雕塑最高點仰角為30°，在正東方向一點測得雕塑最高點仰角為45°，兩個測量點之間距離約為米，則雕塑高為【答案】【分析】根據題意畫出示意圖，設，分別求得，，在直角中，利用勾股定理，列出方程，求得，即可求解.【詳解】如圖所示，正北方向測量點為C，正東方向測量點為D，雕塑最高點為B，其中A，C，D三點位于同一水平面，由題意可知且，設，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，解得，故雕塑高為.故答案為：7-5．（2024·全國·模擬預測）山西應縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大的木塔，是中國古建筑中的瑰寶，是世界木結構建筑的典范．如圖2，某校數(shù)學興趣小組為測量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點（，，三點共線），測得約為57米，在點處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為米．【答案】【分析】設，根據題意結合列式求解即可.【詳解】如圖，過點A作作垂線，垂足為，由題意可知，，米，設米，則米，米，∵，則，解得，所以估算木塔的高度為米．故答案為：.題型8：測量角度問題8-1．（2024高三下·福建廈門·期中）足球是一項很受歡迎的體育運動．如圖，某標準足球場的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點P，使得最大，這時候點P就是最佳射門位置．當攻方球員甲位于邊線上的點O處時，根據場上形勢判斷，有、兩條進攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球碼時，到達最佳射門位置．【答案】/【分析】過點作于點，于點，設，分別表示出，，，，根據兩角差的正切公式表示出，求出的最大值，結合在的單調性得出此時最大，即可求得答案．【詳解】過點作于點，于點，如圖所示，設，則，由題可知，，，易得四邊形為矩形，所以，，，所以，則，，所以，設，則，所以，因為，當且僅當時等號成立，即，所以當時，即，最大，由題可知，，因為在上單調遞增，所以最大時，最大，所以時，到達最佳射門位置，故答案為：．8-2．（2024高一·全國·專題練習）當太陽光線與水平面的傾斜角為時，一根長為的竹竿，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角．【答案】【分析】作出示意圖，設竹竿與地面所成的角為，影子長為，依據正弦定理可得，再根據正弦函數(shù)性質求解即可.【詳解】作出示意圖如下如，設竹竿與地面所成的角為，影子長為，依據正弦定理可得，所以，因為，所以要使最大，只需，即，所以時，影子最長．答案為：.8-3．（2024高三·全國·專題練習）游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經測量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于．【答案】【分析】設乙的速度為xm/s，根據正弦定理列式＝，可得AC＝1260m，再由余弦定理求解即可.【詳解】依題意，設乙的速度為xm/s，則甲的速度為xm/s，因為AB＝1040m，BC＝500m，所以＝，解得AC＝1260m．在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝＝，所以sin∠BAC＝＝＝．故答案為：.8-4．（2024·山東濱州·二模）最大視角問題是1471年德國數(shù)學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.【答案】【分析】根據題意，，分別求得，表達式，即可求得表達式，結合基本不等式，即可得答案.【詳解】過C作，交AB于D，如圖所示：則，設，在中，，在中，，所以，當且僅當，即時取等號，所以取最大值時，最大，所以當離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.故答案為：一、單選題1．（2024·全國）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結合誘導公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內角和定理可得的值.【詳解】由題意結合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據此可得，則.故選：C.2．（2024高三上·甘肅白銀·開學考試），，分別為內角，，的對邊．已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理和題設條件求得，再由，求得，利用圓的面積公式，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理得，可得．設外接圓的半徑為，則，即，故外接圓的面積為．故選：B.3．（2024高三上·甘肅蘭州·期中）△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理化簡求解，【詳解】由正弦定理得，化簡得，則，故選：B4．（2024高三上·寧夏·期中）在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據正弦定理求得正確答案.【詳解】依題意，由正弦定理得.故選：A5．（2024·湖南·模擬預測）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】根據正弦定理化邊為角有，再利用兩角和與差的正弦公式有，再利用正弦定理進行化角為邊有.【詳解】因為，根據正弦定理得，移項得，即，即，則根據正弦定理有．故選：D.6．（2024·內蒙古·一模）已知的內角所對的邊分別為滿足且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.【詳解】由題，,又，，，故選：A.7．（2024高三上·河南·階段練習）在中，角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由正弦定理角化邊可得，再由余弦定理以及切化弦可得，結合三角形的內角取值范圍即可得出選項.【詳解】由正弦定理，得，又，所以，所以，因為，所以或，故選：C.【點睛】本題主要考查正余弦定理解三角形，需熟記定理內容，屬于基礎題.8．（2024高二上·湖南長沙·開學考試）設△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用正弦定理與余弦定理代換即可.【詳解】因為，由正弦定理有，根據余弦定理有，且，故有，即，又，所以.故選：D.9．（2024高三·重慶渝中·階段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】A【分析】易知結合余弦定理可得，然后邊化角后利用展開，然后化簡可得.【詳解】由余弦定理以及可得：，又在三角形中有，即，所以故.故選：A．10．（2024·陜西·一模）在中，角的對邊分別為，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據余弦定理與正弦定理角化邊求解即可.【詳解】解：因為，所以，由正弦定理與余弦定理得，化簡得.故選：A11．（2024高一下·山西·階段練習）已知的三個內角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理的邊角轉化，將已知變形，化簡從而得出【詳解】因為，由正弦定理（為外接圓的直徑），可得，所以．又因為，所以．即為等腰三角形.故選：C12．（2024高一下·甘肅白銀·階段練習）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形【答案】B【分析】根據正弦定理邊角互化可得，進而由三角函數(shù)的性質求解.【詳解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故為等腰三角形或直角三角形故選：B13．（2024高三上·北京·階段練習）設的內角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化簡整理得到，進而得到，可得或，即可確定三角形形狀．【詳解】已知等式利用正弦定理化簡得：，整理得：，即，，即，，，，，則或，即為等腰三角形或直角三角形．故選：C．14．（2024·河南南陽·二模）是單位圓的內接三角形，角，，的對邊分別為，，，且，則等于（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】根據給定條件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦化簡給定等式，求出角A，再利用正弦定理求解作答.【詳解】在中，由已知及余弦定理得，即，由正弦定理邊化角得：，而，即，則，即有，又的外接圓半徑，所以.故選：C15．（2024·北京）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.16．（2024·青?！つM預測）在中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正余弦定理及面積公式化簡計算即可.【詳解】由余弦定理可得：由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A17．（2024·貴州·模擬預測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦定理結合已知，可推得.進而根據三角形解得個數(shù)推得，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，.要使有兩解，即有兩解，則應有，且，所以，所以.故選：B．18．（2024高二·全國·課后作業(yè)）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定【答案】B【分析】根據，即可得到答案.【詳解】因為，如圖所示：所以，即，所以三角形解的情況為二個解.故選：B19．（2024高三上·河南南陽·期中）在中，，，.若滿足條件的有且只有一個，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理得到，再分和兩種情況討論，結合正弦函數(shù)的性質求出的取值范圍，即可判斷.【詳解】解：由正弦定理，即，所以，因為只有一解，若，則，若顯然滿足題意，所以或，所以或，解得或；故選：D20．（2024·江蘇南通·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】結合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.21．（2024高三上·北京·開學考試）在下列關于的四個條件中選擇一個，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】B【分析】利用誘導公式、三角函數(shù)的圖像與性質以及正弦定理，結合三角形圖像進行處理.【詳解】對于①，因為，所以或，故①錯誤；對于②，因為在上單調，所以角被唯一確定，故②正確；對于③，因為，，所以，所以，所以，又，由正弦定理有，所以，所以角被唯一確定，故③正確；對于④，因為，所以，所以如圖，不唯一，故④錯誤.故A，C，D錯誤.故選：B.22．（2024·江西·二模）設在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據正弦定理計算可得；【詳解】解：由正弦定理，即，所以，因為不唯一，即有兩解，所以且，即，所以，所以，即；故選：A23．（2024高一下·天津·期中）在中，，，若該三角形有兩個解，則邊范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角形解的個數(shù)的結論可求出結果.【詳解】因為三角形有兩個解，所以，所以，所以.故選：D24．（2024高一下·重慶沙坪壩·階段練習）若滿足的恰有一個，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知結合正弦定理先表示出，然后結合正弦函數(shù)的性質可求的范圍，進而可求的范圍．【詳解】解：由正弦定理可得，故，由且恰有一個，故或，所以或，即．故選：B25．（2024高三·全國·對口高考）在中，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)量積及夾角求出，代入三角形面積公式求解即可.【詳解】因為且，所以，所以，所以的面積.故選：B26．（2024·河南·模擬預測）在中，內角A，，所對的邊分別為，，，，為上一點，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據向量的基本定理得，同時平方化簡得，再由余弦定理得，兩式聯(lián)立化簡可得，由三角形面積公式計算即可.【詳解】

如圖所示，在中，由，得．又，即，所以，化簡得．①

在中，由余弦定理得，，②

由①②式，解得．由，得，將其代入②式，得，解得，故的面積．故選：D27．（2024·四川成都·模擬預測）在中，，，分別為角，，的對邊，已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出，由面積公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.【詳解】，由正弦定理可得，整理可得，所以，為三角形內角，，∴，∵，，則，故B錯誤；∵，，，解得，由余弦定理得，解得或（舍去），故C正確，D錯誤.又，所以，則三角形為等邊三角形，所以，則，故A錯誤.故選：C.28．（2024·全國）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】先根據余弦定理求，再根據余弦定理求，最后根據同角三角函數(shù)關系求【詳解】設故選：C【點睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關系，考查基本分析求解能力，屬基礎題.29．（2024高一下·浙江溫州·期中）的內角的對邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：利用面積公式和余弦定理進行計算可得．詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理．30．（2024·山東）在中，內角，，的對邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或【答案】A【分析】利用余弦定理求出，并進一步判斷，由正弦定理可得，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；【詳解】，，，，，，，，故選：A.31．（2024·全國）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．32．（2024高三上·內蒙古呼和浩特·期末）在中，為的角平分線，在線段上，若，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據角平分線利用三角形等面積公式可得，再由余弦定理即可求得.【詳解】如下圖所示：依題意設，由可得，即，也即，顯然，可得；在中，由余弦定理可得，解得.故選：B33．（2024高三上·浙江寧波·期末）在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題設條件作出四面體的高，通過相關條件推理計算分別求出，最后在直角梯形，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半徑.【詳解】如圖，作平面，連接，易得因，平面，所以平面，平面，故,由題可得，，則.不妨設，則有①，在中，由余弦定理，，在中，②，將兩式相減化簡即得：，.取線段中點，過點作平面，其中點為外接球的球心，設外接球半徑為，由余弦定理求得，在直角梯形中，，由計算可得：，則該四面體的外接球表面積為.故選：B.【點睛】方法點睛：本題主要考查四面體的外接球的表面積，屬于中檔題.求解多面體的外接球的主要方法有：（1）構造模型法:即尋找適合題意的長方體，正方體，圓柱等幾何體，借助于這些幾何體迅速求得外接球半徑；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多邊形的外心，作出外接球球心，借助于題設中的條件得到多面體的高，構成直角梯形或直角三角形來求解.34．（2024·全國·模擬預測）已知中，，在線段上取一點，連接，如圖①所示．將沿直線折起，使得點到達的位置，此時內部存在一點，使得平面，如圖②所示，則的值可能為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】尋找點的臨界狀態(tài)，再利用余弦定理、勾股定理計算，最后判斷的取值范圍.【詳解】連接．因為平面平面，所以，．在Rt中，，所以．所以在Rt中，．因為在中，，所以是直角三角形，且．因為，所以點在以點為圓心，為半徑的圓上．作于點，因為點到直線的距離，且，所以圓與線段交于兩點，記為和，記圓與線段的交點為，如圖所示．在中，由余弦定理得，代入數(shù)據，解得；同理，在中，．因為，所以點在線段上．因為點在內部，所以點在弧上（不含點和）．設，當點在點時，．在Rt中，，即，解得．當點在點時，．在Rt中，，即，則．在中，，由余弦定理得，代入數(shù)據，解得．因為隨著的增大，點靠近點，線段的長增大，點靠近點，所以的取值范圍為．結合選項可知，的值可能是．故選：B．【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用線面垂直的性質，再找到點的臨界位置，再利用余弦定理求出其對應狀態(tài)下的值，則得到其范圍.35．（2024·四川巴中·一模）在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平方關系、誘導公式、余弦兩角和差角關系式化簡已知等式為，再結合正余弦定理即可得角的大小.【詳解】因為，所以，則，整理得：由正弦定理可得：，再由余弦定理得，因為，故.故選：B.36．（2024·陜西安康·一模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且外接圓的周長為，則的周長為（

）A．20 B． C．27 D．【答案】D【分析】利用三角形的外接圓周長求出外接圓半徑，根據同角三角函數(shù)關系求出，從而得到的長，結合及正弦定理得到，從而得到三角形周長.【詳解】設的外接圓半徑為，則，解得：，因為，由，，可得，，所以，，因為，由正弦定理可得：，所以的周長為.故選：D.37．（2024·內蒙古赤峰·二模）在中，內角，，所對的邊分別是，，，已知，，的面積為，則的周長是（

）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由正弦定理和和角公式得到，得到，由三角形面積公式得到，再利用余弦定理求出，得到答案.【詳解】，由正弦定理得，，又，所以，因為，所以，故，因為，所以，由三角形面積公式可得，故，由余弦定理得，解得或（舍去），故三角形周長為.故選：B二、填空題38．（2024高三上·江西·期末）在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，，且的周長和面積分別是10和，則.【答案】3【分析】根據三角形的面積公式和余弦定理求解.【詳解】因為，所以，所以，所以.因為，所以，所以，所以.由余弦定理可得，即，所以，則，解得.故答案為:3.39．（2024·廣東肇慶·模擬預測）在四面體中，，若，則四面體體積的最大值是，它的外接球表面積的最小值為.【答案】【分析】根據余弦定理以及不等式可得，進而可求解面積的最大值，進而根據，即可求解高的最大值，進而可求解體積，根據正弦定理求解外接圓半徑，即可根據球的性質求解球半徑的最小值，即可由表面積公式求解.【詳解】由余弦定理可得,故，所以，當且僅當時取等號，故，故面積的最大值為，，由于，所以點在以為直徑的球上（不包括平面），故當平面平面時，此時最大為半徑，故，由正弦定理可得：，為外接圓的半徑，設四面體外接球半徑為,則,其中分別為球心和外接圓的圓心，故當時，此時最小，故外接球的表面積為,故答案為：,

40．（2024高三上·山東棗莊·期末）已知圓錐的頂點為，底面圓心為為底面直徑，，點為底面圓周上的一個動點，當?shù)拿娣e取得最大值時，.【答案】/【分析】設，表示面積，易知，借助余弦定理計算即可.【詳解】設，則的面積要使的面積取得最大值，則，所以，在中由余弦定理可得：，所以,易得,在中，,所以.故答案為：.41．（2024高三·全國·專題練習）在中，，，分別為內角，，的對邊，的面積是30，．若，則．【答案】【分析】根據題意，利用三角形的面積公式，求得，結合余弦定理，即可求解.【詳解】由，可得，又由，解得，由余弦定理，得，所以．故答案為：.42．（2024·四川攀枝花·二模）的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則．【答案】【分析】結合余弦定理，正弦定理、兩角和的正弦及誘導公式即可求解.【詳解】由，由余弦定理得，由正弦定理得，因為，即，即，因為，則，因為，故.故答案為：43．（2024高三上·江蘇無錫·階段練習）設分別為△ABC內角的對邊，若，且，則角.【答案】【分析】利用正余弦定理邊化角即可獲解【詳解】因為,所以,即即,所以所以或因為,所以若,則若,則,與矛盾所以故答案為：三、解答題44．（2024高三下·河北唐山·階段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求證：；(2)若，求.【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）根據題意利用正弦定理可得，再利用余弦定理和基本不等式即可證明；（2）利用切化弦，結合兩角和的正弦公式和正、余弦定理可得，再結合（1）的結論和余弦定理即可求解.【詳解】（1）在中，因為，由正弦定理可得，化簡可得，由余弦定理可得，當且僅當時取等號，所以，因為角是的內角，所以，所以.（2）由，則，即，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得，.45．（2024·山東濱州·二模）已知的三個角，，的對邊分別為，，，且．(1)若，求；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據，將等式中角，再根據三角恒等變換可得到角的三角函數(shù)值，即可求角.（2）將式中根據三角恒等變換，再利用正余弦定理化角為邊可得.【詳解】（1）若，則．因為，所以，，整理得．解得（舍），，因為，所以．（2）因為．所以，整理得由正弦定理得，由余弦定理得，即，所以．46．（2024·天津武清·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知(1)求角的大小；(2)若，，求邊及的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求，根據角的范圍即可求解的值；（