備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題26數(shù)列的概念6題型分類(原卷版+解析)

專題26數(shù)列的概念6題型分類1．數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式數(shù)列{an}的前n項和把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an2.數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))5．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．（一）Sn與an的關(guān)系問題的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．題型1：由an與Sn的關(guān)系求通項公式1-1．（2024·浙江）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝，S5＝．1-2．（2024·北京）若數(shù)列的前項和，則此數(shù)列的通項公式為；數(shù)列中數(shù)值最小的項是第項．1-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，若，，且，則數(shù)列的通項公式為.1-4．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）數(shù)列滿足，（，），則.（二）由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項公式．題型2：累加法2-1．（2024·安徽安慶·一模）數(shù)列滿足(，且)，，對于任意有恒成立，則的取值范圍是.2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為題型3：累乘法3-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，則通項公式.3-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，，則數(shù)列{an}的通項公式an＝.3-3．（2024高三上·遼寧葫蘆島·期末）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為.（三）數(shù)列的性質(zhì)(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．(2)解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．題型4：數(shù)列的單調(diào)性4-1．（2024·北京·二模）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，，.請寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式.4-2．（2024高一下·上海閔行·期末）已知數(shù)列的前項和為，，若為遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.4-3．（2024高二下·北京順義·階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為（）.寫出一個能使數(shù)列是遞增數(shù)列的實數(shù)b的值.（寫出一個滿足條件的即可）4-4．（2024高二上·河北衡水·期中）數(shù)列滿足：.若是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.題型5：數(shù)列的周期性5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，對所有的正整數(shù)都有，則（

）A．

B．

C．

D．5-2．（2024·北京通州·三模）數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．45-3．（2024高三·全國·對口高考）設(shè)函數(shù)定義如下，數(shù)列滿足，且對任意自然數(shù)均有，則的值為（

）x1234541352A．1 B．2 C．4 D．55-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，，且，則（

）A． B． C． D．題型6：數(shù)列的最值6-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，則數(shù)列中的最大項為．6-2．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列的通項公式為，則的最小值為.6-3．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知，若數(shù)列中最小項為第3項，則．6-4．（2024·河北·高考模擬）數(shù)列的通項公式為若是中的最大項，則a的取值范圍是．6-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項和，若，則的最小值為．6-6．（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項等于.一、單選題1．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的第100項為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024高三·全國·對口高考）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．13．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，已知，當時，是的個位數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2024·浙江寧波·一模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，則“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不是充分也不是必要條件5．（2024·浙江·二模）已知數(shù)列滿足，若存在實數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024高一上·北京·期末）數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件8．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2024高三上·江蘇南通·期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2024高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前n項和，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．12．（2024高二上·重慶·期末）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．110 B．128 C．144 D．8913．（2024·云南保山·二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項為（

）

A．11 B．12 C．13 D．1414．（2024高三下·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為.記第n個k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：，可以推測的表達式，由此計算（

）A．4020 B．4010 C．4210 D．412015．（2024·全國·模擬預(yù)測）古希臘科學(xué)家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（

）A．28 B．36 C．45 D．5516．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開始用數(shù)字來表達這個世界．在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之數(shù)五十”進行了一系列推論，用來解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖．該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數(shù)列為，則（

）A．2018 B．2020 C．2022 D．202417．（2024高三·全國·專題練習(xí)）觀察下列各式：；；；；；則（

）A．28 B．76 C．123 D．1018．（2024高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列．類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（）A．36 B．25 C．49 D．6419．（2024高二上·上?！て谥校?shù)列滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．20．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，若不等式，對任何正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為A． B． C． D．21．（2024·北京）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．1222．（2024高三上·上海寶山·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件23．（2024高二·河北保定·階段練習(xí)）若為數(shù)列的前項和，且，則（

）A． B． C． D．3024．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則（）A． B．1C． D．225．（2024高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)列…的一個通項公式為（）A． B．C． D．26．（2024高一下·寧夏吳忠·期中）已知數(shù)列的所有項均為正數(shù)，其前項和為，且.則的通項公式為（

）A． B．C． D．27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若數(shù)列滿足,，則的值為（）A． B． C． D．28．（2024高二下·遼寧·期末）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項的值不可能為（

）A． B． C． D．29．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，其最大項和最小項的值分別為（）A．1， B．0， C．， D．1，30．（2024高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，，則數(shù)列的最小值為（

）．A． B． C． D．31．（2024高三上·湖北·期中）已知數(shù)列滿足，.若，則數(shù)列的通項公式（

）A． B． C． D．32．（2024·云南保山·一模）已知數(shù)列滿足，，則等于A． B． C． D．33．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正項數(shù)列中，，則數(shù)列的通項（）A． B．C． D．34．（2024高二下·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．35．（2024高三下·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）若數(shù)列{}的前n項和為＝，=（

）A． B． C． D．36．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則等于（）A． B． C． D．37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足：，，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題38．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列1，2，3與3，2，1是兩個不同的數(shù)列．B．任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．C．若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點．D．若數(shù)列的前n項和為，則對任意，都有.39．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項可能是（）A． B．C． D．40．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）數(shù)列1，2，1，2，…的通項公式可能為（）A． B．C． D．41．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B．C． D．42．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，當時，，則關(guān)于數(shù)列的說法正確的是(

)A． B．是遞增數(shù)列C． D．數(shù)列為周期數(shù)列三、填空題43．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知正項數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項，則k的取值范圍為．44．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項的值是.45．（2024高三上·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列的通項公式，前n項和是，對于，都有，則k＝．46．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若恒成立，則實數(shù)k的最小值為．47．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2009項之和為.48．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）正項數(shù)列中，，，猜想通項公式為．49．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，寫出一個符合上述條件的數(shù)列的通項公式.50．（2024·全國·模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第項．51．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足，則S3=．52．（2024高一下·江蘇無錫·期中）已知數(shù)列{}的通項公式為，那么是它的第項．53．（2024高一下·吉林長春·期中）根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式．54．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和，則.55．（2024高三上·廣東深圳·期末）在數(shù)列中，是其前n項和，且，則數(shù)列的通項公式．56．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式為．57．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前5項為，，，，，則的一個通項公式為.58．（2024高二·全國·專題練習(xí)）數(shù)列－，，－，，…的一個通項公式an＝.59．（2024高一·全國·課后作業(yè)）數(shù)列5，55，555，5555，…的一個通項公式為.60．（2024高一下·四川成都·期中）已知數(shù)列的前項和為，則的通項公式為61．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式為．62．（2024·江西南昌·一模）已知數(shù)列滿足，則．63．（2024·上?！ひ荒＃┮阎獢?shù)列的首項，其前項和為．若，則．64．（2024高三上·湖北·開學(xué)考試）記數(shù)列的前項和為，若，則使得取得最小值時的值為成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題26數(shù)列的概念6題型分類1．數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式數(shù)列{an}的前n項和把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an2.數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1>an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1<an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))5．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．（一）Sn與an的關(guān)系問題的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．題型1：由an與Sn的關(guān)系求通項公式1-1．（2024·浙江）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝，S5＝．【答案】1121【詳解】試題分析：，再由，又，所以【考點】等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前項和．【易錯點睛】由轉(zhuǎn)化為的過程中，一定要檢驗當時是否滿足，否則很容易出現(xiàn)錯誤.1-2．（2024·北京）若數(shù)列的前項和，則此數(shù)列的通項公式為；數(shù)列中數(shù)值最小的項是第項．【答案】；3【詳解】數(shù)列的前項和，數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的通項公式為=，數(shù)列的通項公式為，其中數(shù)值最小的項應(yīng)是最靠近對稱軸的項，即n=3，第3項是數(shù)列中數(shù)值最小的項．1-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，若，，且，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【分析】根據(jù)之間的關(guān)系，結(jié)合累和法、等比數(shù)列的前項和公式進行求解即可.【詳解】當時，，因為，，所以，因此當時，，于是當時，，顯然適合，故，故答案為：.1-4．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）數(shù)列滿足，（，），則.【答案】【解析】利用項和轉(zhuǎn)換，得到，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，可得，再借助，即得解.【詳解】由于，即故是以為首項，為公差的等差數(shù)列由于故答案為：【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系，考查了學(xué)生分析問題的能力，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.（二）由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項公式．題型2：累加法2-1．（2024·安徽安慶·一模）數(shù)列滿足(，且)，，對于任意有恒成立，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用累加法求出，然后可得，然后可得答案.【詳解】從而可得即，因為，所以.故答案為：2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為【答案】9【分析】由已知可得時，.累加法可推得，進而得出.構(gòu)造，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，得出函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以當時，有.則有，，，，兩邊分別相加可得，，所以.當時，滿足條件.所以，，所以.設(shè)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.又，，所以，當或時，有最小值為9.故答案為：9.題型3：累乘法3-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，則通項公式.【答案】【分析】由已知可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，，，……，，所以，所以，因為，所以，因為滿足上式，所以，故答案為：3-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，，則數(shù)列{an}的通項公式an＝.【答案】【解析】依題意可得，再利用累乘法求數(shù)列的通項公式；【詳解】解：由得，∴當時，適合上式．故.故答案為：【點睛】本題考查累乘法求數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.3-3．（2024高三上·遼寧葫蘆島·期末）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【分析】由題意可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，，，……，，，所以，所以，因為，所以符號該式，故答案為：（三）數(shù)列的性質(zhì)(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．(2)解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．題型4：數(shù)列的單調(diào)性4-1．（2024·北京·二模）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，，.請寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式.【答案】（答案不唯一）【分析】由題意確定數(shù)列的特征，然后結(jié)合數(shù)列的特征給出滿足題意的數(shù)列的通項公式即可.【詳解】因為，則數(shù)列是遞增的，又，所以最小，數(shù)列從第7項開始為正，而，因此不妨設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，，所以，滿足條件的數(shù)列的一個通項公式.故答案為：（答案不唯一）.4-2．（2024高一下·上海閔行·期末）已知數(shù)列的前項和為，，若為遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)求出，再由數(shù)列是減數(shù)列，得到，進而可求出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列的前項和為，，所以，又，則，因為時，數(shù)列顯然是減數(shù)列，為使時，為遞減數(shù)列，只需，即，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查由數(shù)列的增減性求參數(shù)，考查由數(shù)列的前項和求通項公式，屬于?？碱}型.4-3．（2024高二下·北京順義·階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為（）.寫出一個能使數(shù)列是遞增數(shù)列的實數(shù)b的值.（寫出一個滿足條件的即可）【答案】答案不唯一，只要填的值在均可【分析】結(jié)合分析即可得出能使數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件為【詳解】

設(shè),結(jié)合圖像可知,數(shù)列是遞增數(shù)列等價于即,即,解得故答案為：答案不唯一，只要填的值在均可4-4．（2024高二上·河北衡水·期中）數(shù)列滿足：.若是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由已知條件推導(dǎo)出恒成立，由此能求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：數(shù)列的通項公式為，，數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立的最小值是即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．題型5：數(shù)列的周期性5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，對所有的正整數(shù)都有，則（

）A．

B．

C．

D．【答案】B【分析】由得得到數(shù)列的周期，進而解決問題.【詳解】由得，兩式相加得，，是以6為周期的數(shù)列，而，.故選：B.5-2．（2024·北京通州·三模）數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別求得，即可得到數(shù)列的周期，從而得到結(jié)果.【詳解】因為，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，，所以數(shù)列的周期為，則.故選：C5-3．（2024高三·全國·對口高考）設(shè)函數(shù)定義如下，數(shù)列滿足，且對任意自然數(shù)均有，則的值為（

）x1234541352A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意得到數(shù)列是項為周期的周期數(shù)列，結(jié)合，即可求解.【詳解】由對任意自然數(shù)均有，且，可得，，，，，，所以數(shù)列是項為周期的周期數(shù)列，且前四項分別為，所以.故選：B.5-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合，得到，求得，從而求得，，結(jié)合周期性，即可求解.【詳解】由，可得，因為，所以，整理得，由于，解得，從而，，可知，因為，所以．故選：C．題型6：數(shù)列的最值6-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，則數(shù)列中的最大項為．【答案】【分析】設(shè)數(shù)列{an}中的第n項最大,建立不等式組求解即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列{an}中的第n項最大，則

即解得8≤n≤9.又n∈N*，則n＝8或n＝9.故數(shù)列{an}中的最大項為第8項和第9項，且a8＝a9＝.故答案為：6-2．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列的通項公式為，則的最小值為.【答案】/【分析】由，得到數(shù)列為遞增數(shù)列求解.【詳解】因為，易知數(shù)列為遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項為，即最小值為.故答案為：6-3．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知，若數(shù)列中最小項為第3項，則．【答案】【分析】結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可知，從而可求出的取值范圍.【詳解】因為開口向上，對稱軸為，則由題意知，所以．故答案為：.6-4．（2024·河北·高考模擬）數(shù)列的通項公式為若是中的最大項，則a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合是中的最大項列出不等式即可求解.【詳解】當時，單調(diào)遞增，因此時，取得最大值為，當時，，因為是中的最大項，所以解得，故答案為:.6-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項和，若，則的最小值為．【答案】【分析】利用等比數(shù)列前n項和公式求出，再判斷數(shù)列單調(diào)性作答.【詳解】依題意，數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則，于是，令，則有，顯然當時，，即，因此當時，數(shù)列是遞增的，又，所以的最小值為.故答案為：6-6．（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項等于.【答案】/1.75【分析】由條件求數(shù)列的通項公式，再研究數(shù)列的單調(diào)性，由此確定其最大項.【詳解】數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列為：，該數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以因為所以當時，，即，又，所以數(shù)列的最大項為第二項，其值為.故答案為：.一、單選題1．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的第100項為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由題意有，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列，可得是以6為周期的周期數(shù)列，然后求解即可．【詳解】由題意有，且，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列，則，，，，，，，，，則數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，則，則數(shù)列的第100項為3，故選：．2．（2024高三·全國·對口高考）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)遞推公式代入計算出前幾項的值，即可判別出數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，根據(jù)周期數(shù)列的性質(zhì)特點即可計算出的值，得到正確選項．【詳解】數(shù)列中，，可知，，，故數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，所以.故選：A3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，已知，當時，是的個位數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】由題意，列出數(shù)列的前若干項，分析出數(shù)列變化規(guī)律，進而得出答案.【詳解】因為，當時，是的個位數(shù)，所以，，，，，，，，，，可知數(shù)列中，從第3項開始有，即當時，的值以6為周期呈周期性變化，又，故.故選：C.4．（2024·浙江寧波·一模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，則“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不是充分也不是必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別判斷充分性和必要性是否成立即可.【詳解】數(shù)列中，對任意，，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；當數(shù)列為遞增數(shù)列時，，即，所以，，如數(shù)列不滿足題意，必要性不成立；所以“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A5．（2024·浙江·二模）已知數(shù)列滿足，若存在實數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一：由單調(diào)遞增可得恒成立，則，分析和應(yīng)用排除法確定正確選項；解法二：借助函數(shù)的知識，將數(shù)列單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【詳解】解法一：由單調(diào)遞增，得，由，得，∴.時，得①，時，得，即②，若，②式不成立，不合題意；若，②式等價為，與①式矛盾，不合題意.綜上，排除B，C，D.解法二：設(shè)，函數(shù)對稱軸為，則，聯(lián)立，可得兩函數(shù)的交點為，若要，則，，所以，又只要求存在實數(shù)，所以.故選：A.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列通項，再由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計算作答【詳解】由可得，兩式相減可得，則，當時，可得滿足上式，故，所以，因數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，則整理得，令，則，當時，，當時，，于是得是數(shù)列的最大項，即當時，取得最大值，從而得，所以的取值范圍為．故選：A7．（2024高一上·北京·期末）數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】B【分析】根據(jù)以及充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價于對任意恒成立，即對任意恒成立，因為，且可以無限接近于0，所以，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B8．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷【詳解】若數(shù)列為遞增數(shù)列，則，即由，所以有，反之，當時，，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充要條件，故選：C.9．（2024高三上·江蘇南通·期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)列為遞增數(shù)列，列出不等式組求解即可.【詳解】因為，是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實數(shù)t的取值范圍為，故選：C10．（2024高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因為是遞增數(shù)列，所以，即．如圖所示，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知，當時，，且．故當時，，且，依此類推可得，滿足是遞增數(shù)列，即的取值范圍是．故選:A.11．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前n項和，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)通項與前n項和的關(guān)系可得當時，，再求解的解即可.【詳解】因為，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，當時，，故可知當時，單調(diào)遞減，故為遞減數(shù)列，只需滿足，即．故選：A12．（2024高二上·重慶·期末）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．110 B．128 C．144 D．89【答案】C【分析】表示第n行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個數(shù)，由題意可得，，根據(jù)初始值，由此遞推即可求得結(jié)果．【詳解】已知表示第n行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和2個黑圈，所以，，又因為，，所以，；，；，；，；，；．故選：C.13．（2024·云南保山·二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】由題意可知，去除所有為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，求解即可.【詳解】由題意可知：若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1，2，3，4，...，可以看成構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，可得當，所有項的個數(shù)和為55，第56項為12，故選：B.14．（2024高三下·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為.記第n個k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：，可以推測的表達式，由此計算（

）A．4020 B．4010 C．4210 D．4120【答案】B【分析】根據(jù)題意列舉前幾項，分析可得，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，，.由此可歸納，所以，故選：B.15．（2024·全國·模擬預(yù)測）古希臘科學(xué)家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（

）A．28 B．36 C．45 D．55【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項求出三角數(shù)列以及正方形數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】由題意可得，三角數(shù)列的通項為，則三角數(shù)列的前若干項為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….，設(shè)正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為，則，其前若干項為1，4，9，16，25，36，49，…，∴在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是36.故選：B.16．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開始用數(shù)字來表達這個世界．在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之數(shù)五十”進行了一系列推論，用來解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖．該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數(shù)列為，則（

）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)可得，從而可求的值．【詳解】由題設(shè)中的數(shù)據(jù)可知數(shù)列滿足：，，故，故選：B．17．（2024高三·全國·專題練習(xí)）觀察下列各式：；；；；；則（

）A．28 B．76 C．123 D．10【答案】C【分析】利用題給條件觀察出規(guī)律，進而求得的值.【詳解】設(shè)則通過觀察不難發(fā)現(xiàn)：從而故，故選：C.18．（2024高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達哥拉斯對“形數(shù)”進行了深入的研究，若一定數(shù)目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列．類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（）A．36 B．25 C．49 D．64【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項求出三角數(shù)列以及正方形數(shù)列的通項公式即可求解．【詳解】由題意可得，三角數(shù)列的通項為，則三角數(shù)列的前若干項為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…，設(shè)正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為，則，其前若干項為1，4，9，16，25，36，49，…，∴在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是36．故選：A．19．（2024高二上·上?！て谥校?shù)列滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由利用二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得答案.【詳解】，∵不等式恒成立，∴，解得，故選：B．20．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，若不等式，對任何正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：依題意，由此可知，所以，所以，對任何正整數(shù)恒成立，即．考點：數(shù)列與不等式．【思路點晴】本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運算求解能力，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵．開始采用特殊項的辦法，是合情推理與演繹推理，先根據(jù)特殊項，歸納出數(shù)列的通項公式，然后代入要求證的不等式，利用裂項求和法求得不等式坐標的和，然后利用恒成立問題來求得最小值．如果是解答題，歸納猜想出的通項公式還要用數(shù)學(xué)歸納法來證明．21．（2024·北京）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，則，，所以.對于，，取數(shù)列各項為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．22．（2024高三上·上海寶山·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合遞增數(shù)列的意義判斷作答.【詳解】令數(shù)列通項，顯然為遞增數(shù)列，而，是遞減數(shù)列，令，顯然為遞增數(shù)列，而時，，滿足上式，即，為常數(shù)數(shù)列，所以“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件.故選：D23．（2024高二·河北保定·階段練習(xí)）若為數(shù)列的前項和，且，則（

）A． B． C． D．30【答案】D【分析】根據(jù)公式直接求出，進一步求出答案.【詳解】∵∴.故選：D.【點睛】本題考查數(shù)列前項和與通項公式的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.24．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則（）A． B．1C． D．2【答案】D【分析】通過遞推式求出數(shù)列前幾項可得數(shù)列為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可得答案.【詳解】，，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，.故選：D.25．（2024高三·全國·專題練習(xí)）數(shù)列…的一個通項公式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分子和分母的數(shù)字特征，結(jié)合正負交替性進行求解判斷即可.【詳解】該數(shù)列的一個通項公式為故選：D26．（2024高一下·寧夏吳忠·期中）已知數(shù)列的所有項均為正數(shù)，其前項和為，且.則的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，由可求得的值，當時，可得是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】當時，，整理可得，解得：或，因為，所以，當時，，整理可得：即，因為，所以，所以是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以，故選：B.27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若數(shù)列滿足,，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用代入法進行求解即可.【詳解】因為,，所以有，因此數(shù)列是以為周期的數(shù)列，所以.故選：D28．（2024高二下·遼寧·期末）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列中的項的值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項的所有可能值，判斷選項即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計算得，，，，，因此繼續(xù)下去會循環(huán)，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：.故選：D.29．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，其最大項和最小項的值分別為（）A．1， B．0， C．， D．1，【答案】A【分析】利用的單調(diào)性可得答案.【詳解】因為，所以當時，，且單調(diào)遞減；當時，，且單調(diào)遞減，且，所以最小項為，最大項為.故選：A.30．（2024高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，，則數(shù)列的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由遞推公式，，兩邊取倒數(shù)可得：，，利用等差數(shù)列的通項公式可得，數(shù)列滿足，，再利用等差數(shù)列的求和公式可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：，，，即，，數(shù)列以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，，所以，時也成立），所以，令，，，可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．而，，數(shù)列的最小值為．故選：．31．（2024高三上·湖北·期中）已知數(shù)列滿足，.若，則數(shù)列的通項公式（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】變形為可知數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求出后代入到可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造等比數(shù)列求出是本題解題關(guān)鍵.32．（2024·云南保山·一模）已知數(shù)列滿足，，則等于A． B． C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，推出數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，然后求解數(shù)列的通項公式．【詳解】由，得，且，所以數(shù)列，因此是以首項為，公比為的等比數(shù)列，故，因此，故選C．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項公式的求法，考查計算能力．33．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正項數(shù)列中，，則數(shù)列的通項（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：給已知等式兩邊同除以，令則可得，從而得數(shù)列是等比數(shù)列，求出，進而可求出；解法二：設(shè)，化簡后與已知等式比較可得，從而可得數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，進而可求出.【詳解】解法一：在遞推公式的兩邊同時除以，得①，令，則①式變?yōu)?，即，所以?shù)列是等比數(shù)列，其首項為，公比為，所以，即，所以，所以，解法二：設(shè)，則，與比較可得，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選：D34．（2024高二下·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列得出不等式組，最后通過計算即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，解得，即.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了分段函數(shù)以及遞增數(shù)列的綜合應(yīng)用，主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，若分段函數(shù)為增函數(shù)，關(guān)鍵是函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，且滿足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值，本題需要額外注意.35．（2024高三下·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）若數(shù)列{}的前n項和為＝，=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，利用與的關(guān)系求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列前項和公式求解即可.【詳解】解：當時，，解得，當時，，即，∴是首項為1，公比為-2的等比數(shù)列，∴，所以.故選：B.36．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知得，再由累加法可得答案.【詳解】由題意，得，則當時，，，，，以上各式相加得所以，所以，即，當時，適合此式，所以.故選：D.37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足：，，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過累加法求出通項公式，進而化簡利用裂項相消法求解數(shù)列的和即可.【詳解】由，得，因為，所以，則，所以，，故選：A.二、多選題38．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列1，2，3與3，2，1是兩個不同的數(shù)列．B．任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．C．若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點．D．若數(shù)列的前n項和為，則對任意，都有.【答案】ACD【分析】根據(jù)數(shù)列的定義、數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列的圖象特征、與之間的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由數(shù)列的定義可知選項A正確；一個數(shù)列可以是常數(shù)列，因此選項B錯誤；根據(jù)數(shù)列的圖象特征可知選項C正確；由的意義可知選項D正確，故選：ACD39．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項可能是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)n的奇偶性分類討論逐一判斷即可.【詳解】對于A，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故A中通項公式正確；對于B顯然正確；對于C，當時，，顯然不符合；對于D，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故D中通項公式正確.故選：ABD．40．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）數(shù)列1，2，1，2，…的通項公式可能為（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)n的奇偶性分類討論逐一判斷即可.【詳解】對于A，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故A中通項公式正確；對于B，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，故B中通項公式不正確；對于C，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故C中通項公式正確；對于D，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，故D中通項公式正確.故選：ACD41．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】計算出數(shù)列的前幾項可判斷AC，再尋找規(guī)律可判斷BD．【詳解】由題意，，故A正確，，故C正確；，，，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3．，故B錯誤；，故D正確．故選：ACD．42．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，當時，，則關(guān)于數(shù)列的說法正確的是(

)A． B．是遞增數(shù)列C． D．數(shù)列為周期數(shù)列【答案】ABC【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出，說明數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，然后求解通項公式，即可判斷選項的正誤．【詳解】數(shù)列滿足：，當時，，，∴數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，，，故C正確；，故A正確；∵函數(shù)在x＞－1時單調(diào)遞增，故是單調(diào)遞增數(shù)列，故B正確，D錯誤．故選：ABC．三、填空題43．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知正項數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項，則k的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系得到是等比數(shù)列，進一步求出的通項公式，利用是最大項建立不等式求解即可.【詳解】因為，所以，又，，所以是首項為64，公比為k的等比數(shù)列，則，則，因為是唯一的最大項，所以，即，解得，即k的取值范圍為.故答案為：.44．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項的值是.【答案】【分析】配方得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得最大項的值.【詳解】因為，故當或時，取得最大值.故答案為：.45．（2024高三上·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列的通項公式，前n項和是，對于，都有，則k＝．【答案】5【分析】結(jié)合，的函數(shù)圖象和特殊值的思路，得到數(shù)列正負情況，即可得到當時，取得最大值，即.【詳解】如圖，為和的圖象，設(shè)兩個交點為，，因為，所以，因為，，所以，結(jié)合圖象可得，當時，，即，當時，，即，所以當時，取得最大值，即.故答案為：5.46．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若恒成立，則實數(shù)k的最小值為．【答案】/1.5【分析】利用差比法判斷數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性進行求解即可.【詳解】∵，∴數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，．從而，即k的最小值為．故答案為：47．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2009項之和為.【答案】/【分析】由遞推數(shù)列可得數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，再由結(jié)合遞推數(shù)列求出，則，代入求解即可.【詳解】由，得，則，，∴數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，.由可得，，.故答案為：.48．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）正項數(shù)列中，，，猜想通項公式為．【答案】【分析】利用取倒數(shù)，可得為等差數(shù)列，即可求解.或者利用列舉法，羅列前面的項，通過規(guī)律猜想.【詳解】方法一:由得，所以為等差數(shù)列，且公差為3，首項為1，故，故，方法二：由得，，由此可猜想故答案為：49．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）數(shù)列滿