2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè))專題10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(新高考專用)(原卷版+解析)

專題10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】指數(shù)冪的運(yùn)算 4【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 5【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 7【分層檢測(cè)】 9【基礎(chǔ)篇】 9【能力篇】 11【培優(yōu)篇】 12考試要求：1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.通過(guò)實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.根式的概念及性質(zhì)(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).(2)①負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.②0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0.③(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).④eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù)).⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù)).2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱1.畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與0<a<1來(lái)研究.3.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．7．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．8．（2023·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】指數(shù)冪的運(yùn)算一、單選題1．（2022·重慶九龍坡·模擬預(yù)測(cè)）雷達(dá)是利用電磁波探測(cè)目標(biāo)的電子設(shè)備．電磁波在大氣中大致沿直線傳播．受地球表面曲率的影響，雷達(dá)所能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的最大直視距離（如圖），其中為雷達(dá)天線架設(shè)高度，為探測(cè)目標(biāo)高度，R為地球半徑．考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠(yuǎn)大于，．假設(shè)某探測(cè)目標(biāo)高度為25m，為保護(hù)航母的安全，須在直視距離412km外探測(cè)到目標(biāo)，并發(fā)出預(yù)警，則艦載預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m2．（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且對(duì)任意，均有成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．且 B．的最大值為C．的最小值為7 D．4．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若且，則，至少有一個(gè)大于2B．，C．若，，則D．的最小值為2三、填空題5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·一模）請(qǐng)寫出滿足方程的一組實(shí)數(shù)對(duì)：．6．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則．反思提升：(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運(yùn)算的先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用一、單選題1．（23-24高三下·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·湖北·階段練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若且，，則的最小值為（

）A．9 B．8 C． D．二、多選題3．（20-21高一上·山東濟(jì)南·期中）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論為（

）A．函數(shù)與函數(shù)相等B．若函數(shù)且的圖象沒(méi)有經(jīng)過(guò)第二象限，則C．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．若函數(shù)的最大值為，最小值為，則4．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，三、填空題5．（2024·云南曲靖·一模）如圖，在第一象限內(nèi)，矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，分別在函數(shù)的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，若A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是．

6．（2023·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）設(shè).若函數(shù)的定義域?yàn)?，則關(guān)于的不等式的解集為.反思提升：1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（

）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如果，記為區(qū)間內(nèi)的所有整數(shù)．例如，如果，則；如果，則或3；如果，則不存在．已知，則（

）A．36 B．35 C．34 D．33二、多選題3．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.函數(shù)在上的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在實(shí)數(shù)集單調(diào)遞減C． D．或4．（2021·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的最小值為D．若有兩個(gè)不等實(shí)根，則，且三、填空題5．（2022·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地鐵站每天都對(duì)站內(nèi)進(jìn)行消毒工作，設(shè)在藥物釋放過(guò)程中，站內(nèi)空氣中的含藥量（毫克/每立方米）與時(shí)間（小時(shí)）成正比.藥物釋放完畢后，與滿足關(guān)系（常數(shù)，）.據(jù)測(cè)定，空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，乘客方可進(jìn)站，則地鐵站應(yīng)安排工作人員至少提前分鐘進(jìn)行消毒工作.6．（2021·上海松江·一模）從以下七個(gè)函數(shù)：中選取兩個(gè)函數(shù)記為和，構(gòu)成函數(shù)，若的圖像如圖所示，則.反思提升：1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.易錯(cuò)警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分類討論.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，已知與是方程的兩根，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A．－4 B．0 C．2 D．43．（2024·天津·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）．A． B． C． D．4．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)函數(shù)，公共定義域內(nèi)的任意x，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱和是伴侶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)B．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)C．與是伴侶函數(shù)D．若，則存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)6．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）下列是（，，）的必要條件的是（

）A． B．C． D．7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在下列四個(gè)圖形中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2021·山東菏澤·二模）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的非常數(shù)函數(shù)①當(dāng)時(shí)，；②為偶函數(shù)9．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“，”是假命題，則的取值范圍為.10．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.四、解答題11．（2021·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)定義在上有恒成立，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的值域.12．（21-22高一上·陜西銅川·期末）已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范圍．【能力篇】一、單選題1．（2024·寧夏石嘴山·三模）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于x的方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（22-23高三上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）若實(shí)數(shù)，滿足，，，則（

）A．且 B．的最小值為C．的最小值為7 D．三、填空題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，滿足約束條件，則的最大值為．四、解答題4．（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為．(1)求集合；(2)若，且，，，求的最小值．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2021·北京西城·二模）已知函數(shù)其中且.給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則函數(shù)的零點(diǎn)是；②若函數(shù)無(wú)最小值，則的取值范圍為；③若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為，且的取值范圍為.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.專題10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 8【考點(diǎn)1】指數(shù)冪的運(yùn)算 8【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 12【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 17【分層檢測(cè)】 22【基礎(chǔ)篇】 22【能力篇】 29【培優(yōu)篇】 33考試要求：1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.通過(guò)實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.根式的概念及性質(zhì)(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).(2)①負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.②0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0.③(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).④eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù)).⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù)).2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱1.畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與0<a<1來(lái)研究.3.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．7．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．8．（2023·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．參考答案：1．D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.3．A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)椋?，所以，即由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)?，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.4．A【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)評(píng)】法一：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．5．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故6．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)椋?，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．7．C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：C.8．D【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】指數(shù)冪的運(yùn)算一、單選題1．（2022·重慶九龍坡·模擬預(yù)測(cè)）雷達(dá)是利用電磁波探測(cè)目標(biāo)的電子設(shè)備．電磁波在大氣中大致沿直線傳播．受地球表面曲率的影響，雷達(dá)所能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的最大直視距離（如圖），其中為雷達(dá)天線架設(shè)高度，為探測(cè)目標(biāo)高度，R為地球半徑．考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠(yuǎn)大于，．假設(shè)某探測(cè)目標(biāo)高度為25m，為保護(hù)航母的安全，須在直視距離412km外探測(cè)到目標(biāo)，并發(fā)出預(yù)警，則艦載預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m2．（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且對(duì)任意，均有成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．且 B．的最大值為C．的最小值為7 D．4．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若且，則，至少有一個(gè)大于2B．，C．若，，則D．的最小值為2三、填空題5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·一模）請(qǐng)寫出滿足方程的一組實(shí)數(shù)對(duì)：．6．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則．參考答案：1．C【分析】根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，然后求解即可.【詳解】根據(jù)題意知，，由因?yàn)镽遠(yuǎn)大于，∴，解得.∴艦載預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為9100m.故選：C2．D【分析】由指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、奇偶性定義逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，又定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，即函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，滿足題意.故選：D.3．ABD【分析】對(duì)于AD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于BC，利用指數(shù)的運(yùn)算法則與基本不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】由，可得，所以且，故A正確；由，可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，所以，故D正確.故選：ABD.4．AC【分析】根據(jù)逆否命題的真假性即可判斷A，根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷B，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷C,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對(duì)于A,若，均不大于2，則，則，故，則，至少有一個(gè)大于2為真命題，故A正確，對(duì)于B,B.，，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,由得，由得，所以，故C正確，對(duì)于D，由于，函數(shù)在單調(diào)遞增，故，D錯(cuò)誤，故選:AC5．（答案不唯一）【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化、根式與指數(shù)冪互化計(jì)算即可.【詳解】∵，∴，∴令得：，即：.故答案為：（答案不唯一）.6．1【分析】由可變形為，故考慮構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性化簡(jiǎn)等式，由此可求.【詳解】因?yàn)椋?jiǎn)得．所以，又，構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)，在上都為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，由，∴，解得，，∴．故答案為：.反思提升：(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運(yùn)算的先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用一、單選題1．（23-24高三下·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·湖北·階段練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若且，，則的最小值為（

）A．9 B．8 C． D．二、多選題3．（20-21高一上·山東濟(jì)南·期中）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論為（

）A．函數(shù)與函數(shù)相等B．若函數(shù)且的圖象沒(méi)有經(jīng)過(guò)第二象限，則C．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．若函數(shù)的最大值為，最小值為，則4．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，三、填空題5．（2024·云南曲靖·一模）如圖，在第一象限內(nèi)，矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，分別在函數(shù)的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，若A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是．

6．（2023·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）設(shè).若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t關(guān)于的不等式的解集為.參考答案：1．A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項(xiàng).【詳解】由函數(shù)，，令，解得，則其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C，D選項(xiàng)，因?yàn)?，觀察選項(xiàng)可知，選A.故選：A2．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得，然后妙用“1”可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，得，所以，，因?yàn)椋?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為8.故選：B3．BD【解析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的值域不同可判斷選項(xiàng)A不正確，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)可判斷選項(xiàng)B，分離參數(shù)得，只需，即可判斷選項(xiàng)C，是一個(gè)奇函數(shù)加常數(shù)，奇函數(shù)在定義域內(nèi)最大值與最小值之和等于可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)值域?yàn)?，函?shù)值域?yàn)?，所以與函數(shù)不是相等函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若函數(shù)且的圖象沒(méi)有經(jīng)過(guò)第二象限，則，解得：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，即，令，則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：函數(shù)，令則，所以是奇函數(shù)，所以，因此，故選項(xiàng)D正確，故選：BD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題一般采用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍若不等式（是實(shí)參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.4．ACD【分析】由分母不為零求出函數(shù)的定義域，即可判斷A，再分、分別求出函數(shù)值的取值范圍，即可得到函數(shù)的值域，從而判斷B，根據(jù)奇偶性判斷C，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算判斷D.【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，解得，所以的定義域?yàn)椋蔄正確；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，綜上可得的值域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，所以為奇函數(shù)，故C正確；當(dāng)時(shí)，則，故D正確.故選：ACD5．【分析】根據(jù)指對(duì)冪函數(shù)的圖象及解析式求出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)、點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可得D點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由題意，縱坐標(biāo)都為2，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，所以A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，由為矩形及題圖知：D點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：6．【分析】由函數(shù)的定義域可求得實(shí)數(shù)的值，可得出函數(shù)的解析式，求出的值，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解不等式，即可得其解集.【詳解】若，對(duì)任意的，，則函數(shù)的定義域?yàn)椋缓虾躅}意，所以，，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，，解得，所以，，則，由可得，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.反思提升：1.對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（

）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如果，記為區(qū)間內(nèi)的所有整數(shù)．例如，如果，則；如果，則或3；如果，則不存在．已知，則（

）A．36 B．35 C．34 D．33二、多選題3．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.函數(shù)在上的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在實(shí)數(shù)集單調(diào)遞減C． D．或4．（2021·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的最小值為D．若有兩個(gè)不等實(shí)根，則，且三、填空題5．（2022·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地鐵站每天都對(duì)站內(nèi)進(jìn)行消毒工作，設(shè)在藥物釋放過(guò)程中，站內(nèi)空氣中的含藥量（毫克/每立方米）與時(shí)間（小時(shí)）成正比.藥物釋放完畢后，與滿足關(guān)系（常數(shù)，）.據(jù)測(cè)定，空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，乘客方可進(jìn)站，則地鐵站應(yīng)安排工作人員至少提前分鐘進(jìn)行消毒工作.6．（2021·上海松江·一模）從以下七個(gè)函數(shù)：中選取兩個(gè)函數(shù)記為和，構(gòu)成函數(shù)，若的圖像如圖所示，則.參考答案：1．D【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛，則，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算可得.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛，則即.由于在定義域上單調(diào)遞減，.他至少經(jīng)過(guò)4小時(shí)才能駕駛.故選：D.2．B【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立不等式，借助裂項(xiàng)相消法求和及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出的范圍即可得解.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，則可視為函數(shù)在處的切線斜率，設(shè)，則直線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，因此，而，即有，又，因此，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：觀察題設(shè)中所給和式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立不等式是解題的關(guān)鍵.3．AC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于的方程組，即可得的解析式，從而得選項(xiàng)A；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)的解析式，求出的解析式，利用換元法，將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸和二次函數(shù)的定義域，即可求出其最小值，從而解得，即可判斷選項(xiàng)C與選項(xiàng)D.【詳解】A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又為奇函數(shù)，所以，因?yàn)棰?，所以，即②，由得：，，所以選項(xiàng)A正確；B，因?yàn)楹瘮?shù)在上均為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、D，因?yàn)?，所以，又，?dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，設(shè)，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則，解得或（舍）；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：，不符合題意.綜上，所以選項(xiàng)C正確，錯(cuò)誤.故選：.4．BD【分析】A由奇偶性定義判斷正誤，B判斷是否成立即可，C應(yīng)用特殊值法有，即可判斷正誤，D由題設(shè)方程有兩個(gè)不等實(shí)根，令轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并確定極值，根據(jù)極值的符號(hào)求參數(shù)范圍.【詳解】A：，錯(cuò)誤；B：，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，正確；C：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；D：由題意有，整理得有兩個(gè)不同實(shí)根，顯然，令，∴當(dāng)時(shí)，在上與有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，若得，則上，單調(diào)遞減；上，單調(diào)遞增；又，，故僅需在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則；當(dāng)時(shí)，在上與有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，若得，則上，單調(diào)遞增；上，單調(diào)遞減；又，，故僅需在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則；綜上，有兩個(gè)不等實(shí)根，則，且，正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)條件成立時(shí)極值的符號(hào)求參數(shù)范圍.5．【分析】當(dāng)時(shí)，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，然后解不等式，即可得解.【詳解】由于函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，可得，故當(dāng)時(shí)，，由，可得，解得，此時(shí).故地鐵站應(yīng)安排工作人員至少提前分鐘進(jìn)行消毒工作.故答案為：.6．【解析】由函數(shù)的定義域排除，，再由的圖象過(guò)定點(diǎn)及圖象的變化情況，分析與，或與是否經(jīng)過(guò)得結(jié)論．【詳解】由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，故排除，，又由的圖象過(guò)定點(diǎn)，由函數(shù)圖象，可得當(dāng)時(shí)，且為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，大于0與小于0交替出現(xiàn)，若時(shí)，此時(shí)函數(shù)的圖象不過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)檫^(guò)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若包含，當(dāng)時(shí)，，不滿足過(guò)點(diǎn)，若包含，此時(shí)函數(shù)不滿足時(shí)，大于0與小于0交替出現(xiàn)，若包含，此時(shí)函數(shù)不滿足時(shí)，大于0與小于0交替出現(xiàn)，所以只有滿足條件．故答案為：．反思提升：1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.易錯(cuò)警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分類討論.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，已知與是方程的兩根，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A．－4 B．0 C．2 D．43．（2024·天津·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）．A． B． C． D．4．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)函數(shù)，公共定義域內(nèi)的任意x，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱和是伴侶函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)B．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)C．與是伴侶函數(shù)D．若，則存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)6．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）下列是（，，）的必要條件的是（

）A． B．C． D．7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在下列四個(gè)圖形中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2021·山東菏澤·二模）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的非常數(shù)函數(shù)①當(dāng)時(shí)，；②為偶函數(shù)9．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“，”是假命題，則的取值范圍為.10．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.四、解答題11．（2021·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)定義在上有恒成立，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的值域.12．（21-22高一上·陜西銅川·期末）已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范圍．參考答案：1．B【分析】由韋達(dá)定理得到，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得到的值，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可求值.【詳解】因?yàn)榕c是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，，所以，故選：B.2．A【分析】利用偶函數(shù)和0處函數(shù)值列方程求解即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，即，又，所以，聯(lián)立，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，滿足要求，故.故選：A.3．D【分析】根據(jù)排除A，根據(jù)定義域排除B，根據(jù)奇偶性排除C，進(jìn)而可得答案.【詳解】對(duì)于A，在處無(wú)意義，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)?，且，則為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，滿足圖中要求，故D正確.故選：D.4．D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)式，計(jì)算及即可判斷作答.【詳解】函數(shù)，，則，顯然，且，AB錯(cuò)誤；，D正確，C錯(cuò)誤.故選：D5．AD【分析】根據(jù)伴侶函數(shù)的定義，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則判斷A，根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性以及值域可判斷B，求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性進(jìn)而可判斷C，根據(jù)常函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：由題意得，故存在，使得恒成立，故A正確；B選項(xiàng)：由題意得，由于為單調(diào)遞增函數(shù)，且值域?yàn)?，因此不存在，使得恒成立，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由題意得，令函數(shù)，則，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，不滿足，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：令，則，所以為常函數(shù)，（點(diǎn)撥：若兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)相同，則兩個(gè)函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)）不妨令，故存在，使得恒成立，故D正確.故選：AD6．CD【分析】AB選項(xiàng)，可舉出反例；CD選項(xiàng)，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，若，則A錯(cuò)誤，B選項(xiàng)，等價(jià)為，當(dāng)時(shí)不成立，故B錯(cuò)誤，C選項(xiàng)，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，而，所以，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，而，所以，D正確.故選：CD7．ABD【分析】根據(jù)的關(guān)系與各圖形一個(gè)個(gè)檢驗(yàn)即可判斷．【詳解】當(dāng)時(shí)，A正確；當(dāng)時(shí)，B正確；當(dāng)時(shí)，D正確；當(dāng)時(shí)，無(wú)此選項(xiàng)．故選：ABD．8．（，）（答案不唯一）【分析】根據(jù)可知為指數(shù)函數(shù)，將其做相應(yīng)的變化符合是偶函數(shù)即可.【詳解】若滿足①對(duì)任意的有成立，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的形式；若滿足②為偶函數(shù)，只需要將加絕對(duì)值即可，所以滿足①②兩個(gè)條件的函數(shù)可以是：（，）.故答案為：（，）（答案不唯一）9．【分析】由題意可知此命題的否定為真命題，從而可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤?，”是假命題，所以“，”是真命題，即在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，則.故答案為：.10．4【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與的圖象，再利用圖象的對(duì)稱性即可求得與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，圖象對(duì)稱軸為，則函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸，所以函數(shù)的圖象有對(duì)稱軸，，時(shí)，在上單調(diào)遞減且，定義在R上的偶函數(shù)滿足，則函數(shù)有對(duì)稱軸，又當(dāng)時(shí)，，在同一坐標(biāo)系在內(nèi)作出與的圖象，由圖象可得，與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，又與的圖象均有對(duì)稱軸，則兩函數(shù)所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B11．（1），（2）【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．（2）利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)時(shí)的取值范圍，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的值域．【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)定義在上有恒成立所以函數(shù)為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，所以．當(dāng)時(shí)，則．所以，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即．所以函數(shù)的解析式為．（2）令，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，可寫為，所以．由是定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)．即函數(shù)的值域?yàn)椋?2．(1)(2)【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)定義可直接構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到所求解析式；（2）將不等式化為，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性和定義域要求可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】（1）為指數(shù)函數(shù)，，解得：，.（2）由（1）知：，，解得：，的取值范圍為.【能力篇】一、單選題1．（2024·寧夏石嘴山·三模）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于x的方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（22-23高三上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）若實(shí)數(shù)，滿足，，，則（

）A．且 B．的最小值為C．的最小值為7 D．三、填空題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，滿足約束條件，則的最大值為．四、解答題4．（23-24高