浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

絕密★考試結(jié)束前2024學(xué)年第一學(xué)期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：嚴(yán)州中學(xué)新安江校區(qū)劉景紅審核：嵊州中學(xué)俞海東桐廬中學(xué)王燕萍校稿：蔣青松考生須知：1.本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘：2.答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫(xiě)班級(jí)?學(xué)號(hào)和姓名；座位號(hào)寫(xiě)在指定位置；3.所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第I卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用斜率與傾斜角關(guān)系求解即可.【詳解】由題直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角，則且，所以?xún)A斜角.故選：B.2.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)概念，求出分位數(shù)，也求出平均值，構(gòu)造方程計(jì)算即可.【詳解】這組數(shù)據(jù)一共有個(gè)，，，則.這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第個(gè)數(shù)，即.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于它們的平均數(shù)，所以.解得.故選：C.3.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù).故選：D.4.已知平面向量為單位向量，若，則（）A.0 B.1 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出的值，再利用這個(gè)值計(jì)算.【詳解】已知，根據(jù)向量模長(zhǎng)公式，可得.展開(kāi)得到.因?yàn)?，是單位向量，所以，即?代入上式可得，解得.同樣根據(jù)向量模長(zhǎng)公式，.將展開(kāi)得到.把，，代入可得：.所以.故選：B.5.“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合直線和圓相切的等價(jià)條件，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，，即，∴“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用直線與圓相切的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．6.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)向量的運(yùn)算求出向量在直線方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出點(diǎn)到直線的距離.【詳解】已知點(diǎn)和點(diǎn)，則.向量在上的投影長(zhǎng)度.先求.再求.所以.根據(jù)勾股定理，點(diǎn)到直線的距離.先求.則.故選：C.7.設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，記為事件的對(duì)立事件，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出和，再利用概率的加法公式求出?！驹斀狻恳?yàn)榕c是對(duì)立事件，根據(jù)對(duì)立事件概率之和為，已知，所以.根據(jù)以及，，通過(guò)求出，即。然后.根據(jù)概率的加法公式，將，，代入可得：.故選：D.8.已知直線與動(dòng)圓，下列說(shuō)法正確的是（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，若直線與圓相切，則C.若直線與圓相交截得弦長(zhǎng)為定值，則D.當(dāng)時(shí)，直線截圓的最短弦長(zhǎng)為【答案】C【解析】【分析】對(duì)于直線方程，可通過(guò)整理式子找到定點(diǎn)；對(duì)于圓的方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得到圓心和半徑.然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)定理，如相切時(shí)圓心到直線距離等于半徑，相交時(shí)弦長(zhǎng)公式等進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，將直線整理為.令，解方程組，得，即，將代入得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線方程為，即.圓，圓心，半徑.因?yàn)橹本€與圓相切，則圓心到直線距離等于半徑，即，或，解得或，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C，圓，圓心，半徑.直線，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，圓心到直線的距離.弦長(zhǎng)，若弦長(zhǎng)為定值，則為定值，與，無(wú)關(guān).當(dāng)時(shí)，，，是定值，故C選項(xiàng)正確.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，求直線截圓最短弦長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，圓，圓心，半徑.直線過(guò)定點(diǎn).圓心到定點(diǎn)的距離.根據(jù)幾何關(guān)系，直線截圓最短弦長(zhǎng)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.若復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的虛部是B.的共軛復(fù)數(shù)是C.的模是D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、模的計(jì)算，以及復(fù)數(shù)的平方運(yùn)算和復(fù)平面的概念，通過(guò)分別計(jì)算和分析各個(gè)選項(xiàng)來(lái)得出正確答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，這里，，所以的虛部是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于，則，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，先計(jì)算.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，這個(gè)點(diǎn)在第四象限，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.如圖，已知正方體分別是上底面和側(cè)面的中心，判斷下列結(jié)論正確的是（）A.存在使得B.任意，使得C.存在，使得共面D.任意，使得共面【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則，利用基底表示出所求向量，結(jié)合向量共面的條件，由此可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，，得，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，，故，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則時(shí)，共面，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，正方體中，，，四邊形為平行四邊形，都在平面內(nèi)，所以任意，都有共面，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知曲線的方程，則以下結(jié)論正確的是（）A.無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，曲線都關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)B.無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，曲線都是封閉圖形C.當(dāng)時(shí)，曲線恰好經(jīng)過(guò)個(gè)整點(diǎn)（即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）D.當(dāng)時(shí)，曲線所圍成的區(qū)域的面積小于【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在曲線上，即可判斷；選項(xiàng)B，根據(jù)條件可得到，當(dāng)時(shí)，及，從而可得，，即可判斷；選項(xiàng)C，通過(guò)對(duì)曲線方程特點(diǎn)分析，分，，三種情況下，曲線圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，即可判斷；選項(xiàng)D，由C項(xiàng)得到的整點(diǎn)圍成的圖形面積之和即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，又因?yàn)?，即點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由得到，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)曲線不封閉，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，曲線，當(dāng)時(shí)，代入可得，解得，即曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，方程變換為，由，解得，所以只能取整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得或，即曲線經(jīng)過(guò)，根據(jù)曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)可得曲線還經(jīng)過(guò)，故曲線一共經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，曲線，當(dāng)，曲線方程為：即設(shè)，則，其中，因，故.當(dāng)時(shí)，則，若且，則由得，但此時(shí)，矛盾；故當(dāng)時(shí)，，或，由C可知此時(shí)圖形是封閉的，故此時(shí)曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積大于1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，而，，故此時(shí)曲線在的下方，此時(shí)曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積大于，由A中曲線的對(duì)稱(chēng)性可得曲線圍成的面積大于，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C,對(duì)二次方程中的絕對(duì)值進(jìn)行分類(lèi)討論，找到曲線經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)，以此為突破口，可解決整點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)于D，借助三角換元研究曲線點(diǎn)的坐標(biāo)特征.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某圓臺(tái)上下底面半徑分別為2和5，母線長(zhǎng)為5，則該圓臺(tái)的體積是______.【答案】【解析】【分析】圓臺(tái)的體積公式（其中為圓臺(tái)的高，為下底面半徑，為上底面半徑），我們需要先根據(jù)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)、上下底面半徑求出圓臺(tái)的高，再代入體積公式計(jì)算體積.【詳解】設(shè)圓臺(tái)高為，根據(jù)圓臺(tái)的母線、高和上下底面半徑之差構(gòu)成直角三角形，其中母線為斜邊.已知，，，根據(jù)勾股定理，，代入圓臺(tái)體積公式，所以.故答案為：.13.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)到直線的距離之和為，則離心率取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)及點(diǎn)線距離公式整理得，結(jié)合其幾何意義得求參數(shù)范圍，再由橢圓離心率公式求離心率范圍.【詳解】由題意，橢圓左右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，即在數(shù)軸上到的距離和為8，故，即，所以故答案為：14.已知正三棱錐的外接球?yàn)榍蚴乔蛏先我庖稽c(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】對(duì)于正三棱錐，底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心.要求的取值范圍，需要先求出外接球的半徑以及球心到點(diǎn)的距離，的取值范圍就是球心到點(diǎn)的距離加減外接球半徑.【詳解】因?yàn)榈酌媸钦切危?根據(jù)正三角形外接圓半徑公式（其中為正三角形的邊長(zhǎng)），可得.設(shè)正三棱錐的高為，頂點(diǎn)在底面的射影為.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，在上，且.對(duì)于正三角形，，則.在中，，，根據(jù)勾股定理.設(shè)外接球半徑為，球心在高上.根據(jù)，將，代入可得：.展開(kāi)得.移項(xiàng)化簡(jiǎn)得，解得.因?yàn)?設(shè)球心到點(diǎn)的距離為，在中，，，根據(jù)勾股定理.的最小值為，最大值為.，.所以的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.杭州市某學(xué)校組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）若從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績(jī)，求5人中成績(jī)不高于50分的人數(shù)：（2）已知落在60,70成績(jī)的平均值為66，方差是7；落在成績(jī)的平均值為75，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差；（3）若該學(xué)校安排甲?乙兩位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，甲?乙是否獲優(yōu)秀等級(jí)互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率.【答案】（1）人（2），（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率算出人數(shù)即可；（2）根據(jù)長(zhǎng)方體面積和為1，求出a，根據(jù)分層抽樣的平均值，方差公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)概率的乘法和加法公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】人，人，不高于50分的抽到人.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，解得.由圖中可知：落在60,70的學(xué)生人數(shù)為30人，落在的學(xué)生人數(shù)為60人，故，.【小問(wèn)3詳解】記“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)”事件A，則至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為.16.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若（1）求的大??；（2）若是線段上一點(diǎn)，且，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再用余弦定理計(jì)算；（2）借助向量分點(diǎn)的向量性質(zhì)，結(jié)合基本不等式和面積公式計(jì)算即可，【小問(wèn)1詳解】由題意，根據(jù)正弦定理得，即，根據(jù)余弦定理可知.【小問(wèn)2詳解】由題意在邊上一點(diǎn)，且，可得，，故，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故，即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與軸相切，且過(guò)點(diǎn)（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)于求圓的方程，需要確定圓心坐標(biāo)和半徑.根據(jù)圓與y軸相切可知圓心到y(tǒng)軸距離等于半徑，再利用圓過(guò)兩點(diǎn)可列出方程求出圓心和半徑.（2）對(duì)于求直線方程，設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到直線距離，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式以及已知條件列出方程求解直線斜率.【小問(wèn)1詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，圓與軸相切，設(shè)圓方程為，又圓過(guò)點(diǎn)，則，可得，故圓的方程為【小問(wèn)2詳解】顯然當(dāng)直線斜率為0時(shí)不合題意，設(shè)直線將直線與圓聯(lián)立方程組：，整理得，整理可得，即可得，，化簡(jiǎn)可得，經(jīng)驗(yàn)證所求的直線方程為18.如圖所示，已知四棱錐是以為斜邊的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積；（3）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）運(yùn)用中位線性質(zhì)，結(jié)合線面平行判斷定理可解；（2）取的中點(diǎn)取的中點(diǎn)，得到是二面角的平面角.連接在，中，運(yùn)用勾股定理逆定理得到.再用圓錐體積公式計(jì)算即可;（3）根據(jù)第（2）題，可建系，不妨令，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩個(gè)面的法向量，結(jié)合向量夾角公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)是的中位線，，又，四邊形是平行四邊形,，又平面平面.平面.【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)是以為斜邊的等腰直角三角形，取的中點(diǎn)，底面是等腰梯形，.是二面角平面角.連接，在中，，在中，.，二面角的平面角..【小問(wèn)3詳解】根據(jù)第（2）題，二面角的平面角，平面平面，如圖，建系，不妨令，則設(shè)平面的法向量是，即，令，解得設(shè)平面的法向量是，即令，解得設(shè)二面角的平面角大小為由圖可知二面角的平面角為鈍角，故余弦值為.19.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)軸，求的面積；（3）若分別記的斜率分別為，求的最大值.【答案