建議復(fù)習(xí)參考2024高考創(chuàng)新題剖析及2024高考復(fù)習(xí)

民族神話

鴻蒙未辟

宇宙洪荒

億萬斯年

四極不張

2024高考創(chuàng)新題剖析及2024高考復(fù)習(xí)建議

四川省樂至縣吳仲良中學(xué)毛仕理641500（0832）3358610

maoshi1i@126

縱覽2024年全國各地高考數(shù)學(xué)試卷,眾多高考創(chuàng)新題無論是形式的設(shè)計，還是內(nèi)容的講

究，都會給人面目一新之感.

一、2024高考創(chuàng)新題剖析

1.選擇題

例1（2024上海）如圖，平面中兩條直線乙和4相交于點。，對于平面上隨意一點M,

若p、q分別是M到直線4和的距離，則稱有序非負(fù)實數(shù)對（p，q）是點M的“距離

坐標(biāo)”.已知常數(shù)〃20,q20,給出下列命題：

①若〃=夕=0,則“距離坐標(biāo)”為（0,0）的點

有且僅有1個；

②若pq=0,且p+qW0,則“距離坐標(biāo)”為

（p,q）的點有且僅有2個；

③若pqr0,則“距離坐標(biāo)”為（p,q）的點

有且僅有4個.

上述命題中，正確命題的個數(shù)是

(A)0；(B)1；(C)2；(D)3.

思路分析：①當(dāng)〃=夕=0時，則點M只能落在直線人和相交于點0處，命題正確.

②當(dāng)pq=0,且〃+qW3時，例如p=0,<7*0,則點M只能落在直線人上,故只有兩個點.

③若〃9中0時，點”可能落在直線4和4外，且到直線和4的的距離分別是〃、4,這樣

的點共有4個.故選擇答案D.

點評本題主要考杳學(xué)生的閱讀理解實力.在③中，學(xué)生易把點M只能在八上或八上兩

種狀況誤認(rèn)為p=0和q=0時各有兩種狀況，從而共有四種狀況.

例2（2024遼寧）設(shè)（!）是R上的?個運算,A是R的非空子集，若對隨意有

A?A,則稱A對運算。封閉，下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運算

都封閉的是

（A）自然數(shù)集（B）整數(shù)集（C）有理數(shù)集（D）無理數(shù)集

思路分析：A中1—2=-1不是自然數(shù)，即自然數(shù)集不滿意條件；B中1+2=0.5不是

整數(shù)，即整數(shù)集不滿意條件；C中有理數(shù)集滿意條件；D中8x0=2不是無理數(shù)，即無

理數(shù)集不滿意條件，故選擇答案C.

點評本題考查了閱讀和理解實力，同時考查了做選擇題的一般技巧解除法.是對學(xué)生接

受新事物實力的考查，抓住運算后仍在A中是該題的突破口，亦是解決該題的方法.本題考

查學(xué)生分析、解決問題的實力，易錯點是抓不住本質(zhì)而無法推斷.

例3(2024廣東)對于隨意的兩個實數(shù)對3g)和(c,d),規(guī)定：(a,A)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)

a=c,b=d；運算“售”為：(a,b)?(c,d)={ac-bd.bc+ad)；運算“十”為：

(a,b)?(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,qeR,若(1,2)?("聞)=(5,0),則(1,2)十(p,g)=

A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)

思路分析：由(1,2)?",q)=(5,0)得J〃—%=J?=1,

2〃+q=0[q=-2

所以(1,2)十(p,夕)=(1,2)十(1-2)=(2,0),故選B.

點評本題考查了學(xué)生分析問題、解決問題的實力及運算實力，同時考查了學(xué)生對新學(xué)

問接受實力和整體把握加以運用的實力，是較高層次的要求.

例4(2024江西)某地一年的氣溫Q(t)(單位：°c)與時間t(月份)之間的關(guān)系如圖

(1)所示，已知該年的平均氣溫為10%,令G(t)表示時間段［0,t］的平均氣溫，G(t)

與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的應(yīng)當(dāng)是

思路分析：由于平均氣溫為10C,故可解除D.由于題圖海的關(guān)系可以得6月份時接

近為零，且平均值漸漸增大，故解除C.又6月份以后先增加后下降，故應(yīng)有起伏，但總均

值為10.故先增后降，故選A

點評本題考查了學(xué)生視察分析圖像、利用圖像關(guān)系加以推斷的實力.需考生有較高的

分析實力和識圖實力.同時要求學(xué)生具有肯定的圖像學(xué)問，易錯點：分析不到位而錯選.

例5(2024福建)對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的隨意兩點4(為川),8(也,)，2)，定義它們之間的一

種“距離”:M例=%-刈+g-刈.給出下列三個命題：

①若點C在線段AB上，則MQ+||C8||=||AB||；

②在8c中，若NC=90°,則|HQ2+||C8『二||A用『；

③在△A4C中，||AQ+||C例＞|依和。

其中真命題的個數(shù)為

(A)0(B)1(C)2(D)3

思路分析:對于①不妨設(shè)C(x,y)如下圖所示，這種“距離”|依司=|AM|+|MB|0

由于點C在線段AB上，所以依據(jù)題目中“距離”的定義有：

MC||+||C8||二(|4E]+|￡C|)+(|C7q+氏8|尸(|A￡+|CQ)+(|EC1+田8|尸AW+|MB|=|H8||

所以①為真命題：

對于②將上圖2的M換成C,于是可得：||AQ2+||CB『二的C|2+|C8|2,

而||A例2=(|ACl+|C8|)2=|4q2+|c陰2+2|AQC8|,明顯此事114cli/(^『工|依例?，

所以②為假命題；

對于③同樣將上圖2的M換成C,MQ+IIC用|二|AC|+|CB|=||AB||,

所以③為假命題。

從而正確答案應(yīng)選(B)o

點評新定義的“距離”頗具新意，但是新的這個“距離”實際就是兩點橫坐標(biāo)之差的

肯定值與這兩點縱坐標(biāo)之差的肯定值的和。由此將題FI中的數(shù)據(jù)全部構(gòu)造在一個熟識的直角

三角形中，以此為橋梁，對①②③逐一推斷，即可得出正確答案。需留意的是“細(xì)心”二字

的重量.

例6(2024四川)從0到9這10個數(shù)字中隨意取3個數(shù)字組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三

位數(shù),這個數(shù)不能被3整除的概率為()

35

(B)—(C)S(D)S

54

思路分析：將這10個數(shù)字按被3除所得的余數(shù)分成三個集合

A={0,369},B={1,4,7},C={2,5,8},

所以能被3整除的分以下四種狀況：

①三個數(shù)都從A中取，共有A：-A：=18個數(shù)能被3整除;

②二個數(shù)都從R中取，共有A；=6個數(shù)能被3整除；

③三個數(shù)都從C中取，共有4=6個數(shù)能被3整除；

④分別從4、B、。中各取一個數(shù)，共有C：C；G8-CG&=198個數(shù)能被3整除.

所以全部能被3整除的數(shù)共有228個，而從。到9這10個數(shù)字中隨意取3個數(shù)組成的

三位數(shù)共有端-A；=648個，所以能被3整除的概率為二竺二12,

于是這個數(shù)不能被3整除的概率為1-且=至,正確答案應(yīng)選（B）.

5454

點評與高校教材《初等數(shù)論》的“同余”緊密聯(lián)系，進一步可引申：將這全部整數(shù)按

被M&cZ）除所得的余數(shù)可分成k個不同的集合。本題的關(guān)鍵是對這些數(shù)字分成三個不同集

合，要找出這個分類的標(biāo)準(zhǔn)，這就得利用這個簡潔的“同余”了.

2.填空題

例1.（2024上海）三個同學(xué)對問題“關(guān)于x的不等式r+25+*—5/|》辦在［1,⑵上

恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍”提出各自的解題思路.

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”.

丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”.

參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所探討的問題的正確結(jié)論，即。的取值范圍

是.

思路分析:采納乙說的思路1,12］,???原題等價于x+紀(jì)+*一5川2〃在［1,12］上恒成

x

立.

下面求函數(shù)產(chǎn)x+至+*—5M的最小值.

X

??”+空210（當(dāng)且僅當(dāng)尸時，取最小值10）

X

且???*—5M20（當(dāng)且僅當(dāng)x=5時，取最小值0）,

，當(dāng)且僅當(dāng)A=5時,函數(shù)尸什”+*—5M取最小值10.

X

從而原題所求〃的取值范圍是（-8,10］.

點評在傳統(tǒng)的求參數(shù)的取值范圍的基礎(chǔ)上糅合三位同學(xué)的說法，貼近生活，既考查了

明辨是非的實力，也為該題本身降低了難度。知道為什么不采納另外兩條思路嗎？就甲說的

而言,能否在A-取同一值時取得最值值得探討；就丙說的而言，要精確無誤作出函數(shù)嚴(yán),F+25

+|酎-5』|的圖像比較困難；只有乙說的是常規(guī)思路，但假如視察不出x+空與斥一5川在同一

x

處取得最小值這一細(xì)微環(huán)節(jié)，求解過程也會很困難.

例2（2024四川）非空集合G關(guān)于運算（十）滿意:（1）對于隨意a.beG,都有a（十）b￡G;⑵存在

c￡G,使得對一切a￡G,都有a（+）c=c（+）a=a,則稱G關(guān)于運算（十）為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合

和運算：

?G=｛非負(fù)整數(shù)｝,什）為整數(shù)的加法；

②G二1偶數(shù)｝,（十）為整數(shù)的乘法；

頷=（平面對量｝,"）平面對量的加法；

④G二｛二次三項式｝,（十）為多項式的加法；

孰=｛虛數(shù)｝,（十）為復(fù)數(shù)的乘法.

其中關(guān)于G的運算（十）為“融洽集”的是.

思路分析:對于①隨意兩個非負(fù)數(shù)的和仍是非負(fù)數(shù)，又存在e=0￡G=｛非負(fù)整數(shù)｝，使得對

一切a￡G=俳負(fù)整數(shù)｝，都有a（十）e=a+0=0+a=e（十）a=a,所以此時G關(guān)于運算（十）為“融洽集”；

對于②雖然隨意兩個偶數(shù)的乘積仍為偶數(shù)，但是在偶數(shù)集合中不存在e,使得aXe=eX

a=a.所以此時G關(guān)于運算⑴不為“融洽集”；對于③明顯隨意兩個平面對量的和仍是平面對

量，又存在e=0￡G=｛平面對量｝，使得對一切a￡G=｛平面對量），都有a（+）e=a+0=0+a=e（Ba=a,

所以此時G關(guān)于運算（十）為“融洽集”；對于④若a=2x2+2x+2WG=（二次三項式｝,b=-2x-2x

—2EG二｛二次三項式｝，則a（+）b=2x2+2x+2+（-2x2-2x-2）=01G=｛二次三項式｝，所以此時G

關(guān)于運算（十）不為“融洽集”；對于⑤若a=i￡G=｛虛數(shù)｝,b=—i￡G=（虛數(shù)｝，則a（十）b=i+（一

i）=0iG=｛虛數(shù)｝，所以此時G關(guān)于運算（十）不為“融洽集”；所以應(yīng)填①③

點評:此題以集合為載體,通過新定義“融洽集”，解決這類型題目時,心情平和是很重要

的，對于每個小題,采納把這里的運算⑴換成每個小題給出的運算,逐個驗證就可得出正確答

案.從這個題可以看出，對于常見的集合中的特殊元素,我們應(yīng)當(dāng)引起足夠的重視.

1

例3（2024湖北）將楊輝三角中的每一個數(shù)C；都換或分?jǐn)?shù),就得到一個如右

圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形.從萊布尼茨三角形可以看出

]1_1

（〃+i）C；+（〃+i）c廣石'其中”二--------

令1

J.1

11111122

CI=—I---H-----1-----1----1--------FT----;-7，111

〃3123060nC；_x（/z+l）C；—

412124

則liman=.J_J__L_LJ_

〃一＞0052030205

思路分析:本題考查考生的類比歸納及推理實力，

J__L1_LJ___LJ_

第一問對比楊輝三角的性質(zhì)通過視察、類比、歸納可知742105140105427

萊布尼茨三角形中每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”

兩數(shù)的和，故此時x=〃+l,其次問實質(zhì)上是求萊布尼

茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)第三項的和，即

%十」T+一^十???十」7T十7——二依據(jù)第一問所推出的結(jié)論只需在原式

3C；4C*5C：〃C3（〃+l）C：

基礎(chǔ)上增加一項7~二工，則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，結(jié)合給

出的數(shù)表可逐次向上求和為！，故~!—T,從而

22（〃+l）C：

lim^=limJ.所以應(yīng)填％=廠一】，

點評本題考查學(xué)生的學(xué)問遷移實力、化簡變形實力和視察問題分析問題的實力.要從

表中看出其中的規(guī)律是：每一行中的每一個數(shù)為下一行中兩個“腳”上的兩個數(shù)之和.其次

問的關(guān)鍵是進行裂項求和.

例4（2024廣東）在德國不來梅實行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒

乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，

其中第1堆只有1層，就一個球;第2,3,4,

堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式

固定擺放，從其次層起先，每層的小球自然壘放在下一層之上，第〃堆第"層就放一個乒乓

球，以/5)表示第〃堆的乒乓球總數(shù)，則/(3)=:/(〃)=

(答案用〃表示).

思路分析:法一：由題可知火1)=1次2)=4<3)=10<4)=20,下一堆的個數(shù)是上一堆的個數(shù)

加上其第一層的個數(shù)，而第一層的個數(shù)滿意I,3,6,10,15,…，通項公式是歿電(不

妨/⑴=1,尸(2)=3="1)+2,尸(3)=6=/'(2)+3,…，/'(〃)=/'(〃-1)+〃，累加整理即

得通項公式)，所以42)寸：1)+3=4,/⑶Y2)+6=1(),_/(4)=犬3)+15=35,貝594)+15=35,以此

n{nI1)

類推fin)=J[n-\)+于是累加得

2

/(w)=-[2+6++〃(〃+1)]=+2-++〃~)+(1+2+/?i]

〃(〃+1)(〃+2)。所以答案應(yīng)填]o；M+D5+2)

66

點評將數(shù)列的通項公式、數(shù)列的求和融合到2024年4月24至5月I日實行的世乒賽

這一實際情景當(dāng)中，重點考察累加法求通項公式和常規(guī)數(shù)列的求和，此外視察分析數(shù)據(jù)的實

力也是本題考查的一個重要方面。當(dāng)然要順當(dāng)解出此題，個人的空間想象實力也是一個特別

重要的方面，要求考生在頭腦中能清楚建立起“堆成正二棱錐”這一空間模型，并要留意相

鄰兩堆個數(shù)改變的根本緣由.

二、2024高考復(fù)習(xí)建議

1.時時關(guān)注創(chuàng)新題，尤其是每天講的例題、做的練習(xí)題和檢測題，不用或盡量少用那些

用