建議復(fù)習(xí)參考2024高考創(chuàng)新題剖析及2024高考復(fù)習(xí)

民族神話

鴻蒙未辟

宇宙洪荒

億萬(wàn)斯年

四極不張

2024高考創(chuàng)新題剖析及2024高考復(fù)習(xí)建議

四川省樂(lè)至縣吳仲良中學(xué)毛仕理641500（0832）3358610

maoshi1i@126

縱覽2024年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷,眾多高考創(chuàng)新題無(wú)論是形式的設(shè)計(jì)，還是內(nèi)容的講

究，都會(huì)給人面目一新之感.

一、2024高考創(chuàng)新題剖析

1.選擇題

例1（2024上海）如圖，平面中兩條直線乙和4相交于點(diǎn)。，對(duì)于平面上隨意一點(diǎn)M,

若p、q分別是M到直線4和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)（p，q）是點(diǎn)M的“距離

坐標(biāo)”.已知常數(shù)〃20,q20,給出下列命題：

①若〃=夕=0,則“距離坐標(biāo)”為（0,0）的點(diǎn)

有且僅有1個(gè)；

②若pq=0,且p+qW0,則“距離坐標(biāo)”為

（p,q）的點(diǎn)有且僅有2個(gè)；

③若pqr0,則“距離坐標(biāo)”為（p,q）的點(diǎn)

有且僅有4個(gè).

上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是

(A)0；(B)1；(C)2；(D)3.

思路分析：①當(dāng)〃=夕=0時(shí)，則點(diǎn)M只能落在直線人和相交于點(diǎn)0處，命題正確.

②當(dāng)pq=0,且〃+qW3時(shí)，例如p=0,<7*0,則點(diǎn)M只能落在直線人上,故只有兩個(gè)點(diǎn).

③若〃9中0時(shí)，點(diǎn)”可能落在直線4和4外，且到直線和4的的距離分別是〃、4,這樣

的點(diǎn)共有4個(gè).故選擇答案D.

點(diǎn)評(píng)本題主要考杳學(xué)生的閱讀理解實(shí)力.在③中，學(xué)生易把點(diǎn)M只能在八上或八上兩

種狀況誤認(rèn)為p=0和q=0時(shí)各有兩種狀況，從而共有四種狀況.

例2（2024遼寧）設(shè)（!）是R上的?個(gè)運(yùn)算,A是R的非空子集，若對(duì)隨意有

A?A,則稱A對(duì)運(yùn)算。封閉，下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算

都封閉的是

（A）自然數(shù)集（B）整數(shù)集（C）有理數(shù)集（D）無(wú)理數(shù)集

思路分析：A中1—2=-1不是自然數(shù)，即自然數(shù)集不滿意條件；B中1+2=0.5不是

整數(shù)，即整數(shù)集不滿意條件；C中有理數(shù)集滿意條件；D中8x0=2不是無(wú)理數(shù)，即無(wú)

理數(shù)集不滿意條件，故選擇答案C.

點(diǎn)評(píng)本題考查了閱讀和理解實(shí)力，同時(shí)考查了做選擇題的一般技巧解除法.是對(duì)學(xué)生接

受新事物實(shí)力的考查，抓住運(yùn)算后仍在A中是該題的突破口，亦是解決該題的方法.本題考

查學(xué)生分析、解決問(wèn)題的實(shí)力，易錯(cuò)點(diǎn)是抓不住本質(zhì)而無(wú)法推斷.

例3(2024廣東)對(duì)于隨意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)3g)和(c,d),規(guī)定：(a,A)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)

a=c,b=d；運(yùn)算“售”為：(a,b)?(c,d)={ac-bd.bc+ad)；運(yùn)算“十”為：

(a,b)?(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,qeR,若(1,2)?("聞)=(5,0),則(1,2)十(p,g)=

A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)

思路分析：由(1,2)?",q)=(5,0)得J〃—%=J?=1,

2〃+q=0[q=-2

所以(1,2)十(p,夕)=(1,2)十(1-2)=(2,0),故選B.

點(diǎn)評(píng)本題考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)力及運(yùn)算實(shí)力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新學(xué)

問(wèn)接受實(shí)力和整體把握加以運(yùn)用的實(shí)力，是較高層次的要求.

例4(2024江西)某地一年的氣溫Q(t)(單位：°c)與時(shí)間t(月份)之間的關(guān)系如圖

(1)所示，已知該年的平均氣溫為10%,令G(t)表示時(shí)間段［0,t］的平均氣溫，G(t)

與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的應(yīng)當(dāng)是

思路分析：由于平均氣溫為10C,故可解除D.由于題圖海的關(guān)系可以得6月份時(shí)接

近為零，且平均值漸漸增大，故解除C.又6月份以后先增加后下降，故應(yīng)有起伏，但總均

值為10.故先增后降，故選A

點(diǎn)評(píng)本題考查了學(xué)生視察分析圖像、利用圖像關(guān)系加以推斷的實(shí)力.需考生有較高的

分析實(shí)力和識(shí)圖實(shí)力.同時(shí)要求學(xué)生具有肯定的圖像學(xué)問(wèn)，易錯(cuò)點(diǎn)：分析不到位而錯(cuò)選.

例5(2024福建)對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的隨意兩點(diǎn)4(為川),8(也,)，2)，定義它們之間的一

種“距離”:M例=%-刈+g-刈.給出下列三個(gè)命題：

①若點(diǎn)C在線段AB上，則MQ+||C8||=||AB||；

②在8c中，若NC=90°,則|HQ2+||C8『二||A用『；

③在△A4C中，||AQ+||C例＞|依和。

其中真命題的個(gè)數(shù)為

(A)0(B)1(C)2(D)3

思路分析:對(duì)于①不妨設(shè)C(x,y)如下圖所示，這種“距離”|依司=|AM|+|MB|0

由于點(diǎn)C在線段AB上，所以依據(jù)題目中“距離”的定義有：

MC||+||C8||二(|4E]+|￡C|)+(|C7q+氏8|尸(|A￡+|CQ)+(|EC1+田8|尸AW+|MB|=|H8||

所以①為真命題：

對(duì)于②將上圖2的M換成C,于是可得：||AQ2+||CB『二的C|2+|C8|2,

而||A例2=(|ACl+|C8|)2=|4q2+|c陰2+2|AQC8|,明顯此事114cli/(^『工|依例?，

所以②為假命題；

對(duì)于③同樣將上圖2的M換成C,MQ+IIC用|二|AC|+|CB|=||AB||,

所以③為假命題。

從而正確答案應(yīng)選(B)o

點(diǎn)評(píng)新定義的“距離”頗具新意，但是新的這個(gè)“距離”實(shí)際就是兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的

肯定值與這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的肯定值的和。由此將題FI中的數(shù)據(jù)全部構(gòu)造在一個(gè)熟識(shí)的直角

三角形中，以此為橋梁，對(duì)①②③逐一推斷，即可得出正確答案。需留意的是“細(xì)心”二字

的重量.

例6(2024四川)從0到9這10個(gè)數(shù)字中隨意取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三

位數(shù),這個(gè)數(shù)不能被3整除的概率為()

35

(B)—(C)S(D)S

54

思路分析：將這10個(gè)數(shù)字按被3除所得的余數(shù)分成三個(gè)集合

A={0,369},B={1,4,7},C={2,5,8},

所以能被3整除的分以下四種狀況：

①三個(gè)數(shù)都從A中取，共有A：-A：=18個(gè)數(shù)能被3整除;

②二個(gè)數(shù)都從R中取，共有A；=6個(gè)數(shù)能被3整除；

③三個(gè)數(shù)都從C中取，共有4=6個(gè)數(shù)能被3整除；

④分別從4、B、。中各取一個(gè)數(shù)，共有C：C；G8-CG&=198個(gè)數(shù)能被3整除.

所以全部能被3整除的數(shù)共有228個(gè)，而從。到9這10個(gè)數(shù)字中隨意取3個(gè)數(shù)組成的

三位數(shù)共有端-A；=648個(gè)，所以能被3整除的概率為二竺二12,

于是這個(gè)數(shù)不能被3整除的概率為1-且=至,正確答案應(yīng)選（B）.

5454

點(diǎn)評(píng)與高校教材《初等數(shù)論》的“同余”緊密聯(lián)系，進(jìn)一步可引申：將這全部整數(shù)按

被M&cZ）除所得的余數(shù)可分成k個(gè)不同的集合。本題的關(guān)鍵是對(duì)這些數(shù)字分成三個(gè)不同集

合，要找出這個(gè)分類的標(biāo)準(zhǔn)，這就得利用這個(gè)簡(jiǎn)潔的“同余”了.

2.填空題

例1.（2024上海）三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于x的不等式r+25+*—5/|》辦在［1,⑵上

恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍”提出各自的解題思路.

甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”.

丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”.

參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所探討的問(wèn)題的正確結(jié)論，即。的取值范圍

是.

思路分析:采納乙說(shuō)的思路1,12］,???原題等價(jià)于x+紀(jì)+*一5川2〃在［1,12］上恒成

x

立.

下面求函數(shù)產(chǎn)x+至+*—5M的最小值.

X

??”+空210（當(dāng)且僅當(dāng)尸時(shí)，取最小值10）

X

且???*—5M20（當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)，取最小值0）,

，當(dāng)且僅當(dāng)A=5時(shí),函數(shù)尸什”+*—5M取最小值10.

X

從而原題所求〃的取值范圍是（-8,10］.

點(diǎn)評(píng)在傳統(tǒng)的求參數(shù)的取值范圍的基礎(chǔ)上糅合三位同學(xué)的說(shuō)法，貼近生活，既考查了

明辨是非的實(shí)力，也為該題本身降低了難度。知道為什么不采納另外兩條思路嗎？就甲說(shuō)的

而言,能否在A-取同一值時(shí)取得最值值得探討；就丙說(shuō)的而言，要精確無(wú)誤作出函數(shù)嚴(yán),F+25

+|酎-5』|的圖像比較困難；只有乙說(shuō)的是常規(guī)思路，但假如視察不出x+空與斥一5川在同一

x

處取得最小值這一細(xì)微環(huán)節(jié)，求解過(guò)程也會(huì)很困難.

例2（2024四川）非空集合G關(guān)于運(yùn)算（十）滿意:（1）對(duì)于隨意a.beG,都有a（十）b￡G;⑵存在

c￡G,使得對(duì)一切a￡G,都有a（+）c=c（+）a=a,則稱G關(guān)于運(yùn)算（十）為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合

和運(yùn)算：

?G=｛非負(fù)整數(shù)｝,什）為整數(shù)的加法；

②G二1偶數(shù)｝,（十）為整數(shù)的乘法；

頷=（平面對(duì)量｝,"）平面對(duì)量的加法；

④G二｛二次三項(xiàng)式｝,（十）為多項(xiàng)式的加法；

孰=｛虛數(shù)｝,（十）為復(fù)數(shù)的乘法.

其中關(guān)于G的運(yùn)算（十）為“融洽集”的是.

思路分析:對(duì)于①隨意兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和仍是非負(fù)數(shù)，又存在e=0￡G=｛非負(fù)整數(shù)｝，使得對(duì)

一切a￡G=俳負(fù)整數(shù)｝，都有a（十）e=a+0=0+a=e（十）a=a,所以此時(shí)G關(guān)于運(yùn)算（十）為“融洽集”；

對(duì)于②雖然隨意兩個(gè)偶數(shù)的乘積仍為偶數(shù)，但是在偶數(shù)集合中不存在e,使得aXe=eX

a=a.所以此時(shí)G關(guān)于運(yùn)算⑴不為“融洽集”；對(duì)于③明顯隨意兩個(gè)平面對(duì)量的和仍是平面對(duì)

量，又存在e=0￡G=｛平面對(duì)量｝，使得對(duì)一切a￡G=｛平面對(duì)量），都有a（+）e=a+0=0+a=e（Ba=a,

所以此時(shí)G關(guān)于運(yùn)算（十）為“融洽集”；對(duì)于④若a=2x2+2x+2WG=（二次三項(xiàng)式｝,b=-2x-2x

—2EG二｛二次三項(xiàng)式｝，則a（+）b=2x2+2x+2+（-2x2-2x-2）=01G=｛二次三項(xiàng)式｝，所以此時(shí)G

關(guān)于運(yùn)算（十）不為“融洽集”；對(duì)于⑤若a=i￡G=｛虛數(shù)｝,b=—i￡G=（虛數(shù)｝，則a（十）b=i+（一

i）=0iG=｛虛數(shù)｝，所以此時(shí)G關(guān)于運(yùn)算（十）不為“融洽集”；所以應(yīng)填①③

點(diǎn)評(píng):此題以集合為載體,通過(guò)新定義“融洽集”，解決這類型題目時(shí),心情平和是很重要

的，對(duì)于每個(gè)小題,采納把這里的運(yùn)算⑴換成每個(gè)小題給出的運(yùn)算,逐個(gè)驗(yàn)證就可得出正確答

案.從這個(gè)題可以看出，對(duì)于常見的集合中的特殊元素,我們應(yīng)當(dāng)引起足夠的重視.

1

例3（2024湖北）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)C；都換或分?jǐn)?shù),就得到一個(gè)如右

圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形.從萊布尼茨三角形可以看出

]1_1

（〃+i）C；+（〃+i）c廣石'其中”二--------

令1

J.1

11111122

CI=—I---H-----1-----1----1--------FT----;-7，111

〃3123060nC；_x（/z+l）C；—

412124

則liman=.J_J__L_LJ_

〃一＞0052030205

思路分析:本題考查考生的類比歸納及推理實(shí)力，

J__L1_LJ___LJ_

第一問(wèn)對(duì)比楊輝三角的性質(zhì)通過(guò)視察、類比、歸納可知742105140105427

萊布尼茨三角形中每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”

兩數(shù)的和，故此時(shí)x=〃+l,其次問(wèn)實(shí)質(zhì)上是求萊布尼

茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)第三項(xiàng)的和，即

%十」T+一^十???十」7T十7——二依據(jù)第一問(wèn)所推出的結(jié)論只需在原式

3C；4C*5C：〃C3（〃+l）C：

基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)7~二工，則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，結(jié)合給

出的數(shù)表可逐次向上求和為！，故~!—T,從而

22（〃+l）C：

lim^=limJ.所以應(yīng)填％=廠一】，

點(diǎn)評(píng)本題考查學(xué)生的學(xué)問(wèn)遷移實(shí)力、化簡(jiǎn)變形實(shí)力和視察問(wèn)題分析問(wèn)題的實(shí)力.要從

表中看出其中的規(guī)律是：每一行中的每一個(gè)數(shù)為下一行中兩個(gè)“腳”上的兩個(gè)數(shù)之和.其次

問(wèn)的關(guān)鍵是進(jìn)行裂項(xiàng)求和.

例4（2024廣東）在德國(guó)不來(lái)梅實(shí)行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒

乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，

其中第1堆只有1層，就一個(gè)球;第2,3,4,

堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式

固定擺放，從其次層起先，每層的小球自然壘放在下一層之上，第〃堆第"層就放一個(gè)乒乓

球，以/5)表示第〃堆的乒乓球總數(shù)，則/(3)=:/(〃)=

(答案用〃表示).

思路分析:法一：由題可知火1)=1次2)=4<3)=10<4)=20,下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆的個(gè)數(shù)

加上其第一層的個(gè)數(shù)，而第一層的個(gè)數(shù)滿意I,3,6,10,15,…，通項(xiàng)公式是歿電(不

妨/⑴=1,尸(2)=3="1)+2,尸(3)=6=/'(2)+3,…，/'(〃)=/'(〃-1)+〃，累加整理即

得通項(xiàng)公式)，所以42)寸：1)+3=4,/⑶Y2)+6=1(),_/(4)=犬3)+15=35,貝594)+15=35,以此

n{nI1)

類推fin)=J[n-\)+于是累加得

2

/(w)=-[2+6++〃(〃+1)]=+2-++〃~)+(1+2+/?i]

〃(〃+1)(〃+2)。所以答案應(yīng)填]o；M+D5+2)

66

點(diǎn)評(píng)將數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的求和融合到2024年4月24至5月I日實(shí)行的世乒賽

這一實(shí)際情景當(dāng)中，重點(diǎn)考察累加法求通項(xiàng)公式和常規(guī)數(shù)列的求和，此外視察分析數(shù)據(jù)的實(shí)

力也是本題考查的一個(gè)重要方面。當(dāng)然要順當(dāng)解出此題，個(gè)人的空間想象實(shí)力也是一個(gè)特別

重要的方面，要求考生在頭腦中能清楚建立起“堆成正二棱錐”這一空間模型，并要留意相

鄰兩堆個(gè)數(shù)改變的根本緣由.

二、2024高考復(fù)習(xí)建議

1.時(shí)時(shí)關(guān)注創(chuàng)新題，尤其是每天講的例題、做的練習(xí)題和檢測(cè)題，不用或盡量少用那些

用