廣東省梅州市皇華中學(xué)2024屆高三下學(xué)期第三次四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷

廣東省梅州市皇華中學(xué)2024屆高三下學(xué)期第三次四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，，，若（），則數(shù)列的最大值是（）A． B．C．1 D．32．己知函數(shù)的圖象與直線(xiàn)恰有四個(gè)公共點(diǎn)，其中，則（）A． B．0 C．1 D．3．已知拋物線(xiàn)：，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，又知點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．3 D．54．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．某空間幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1），則這個(gè)幾何體的體積是（）A． B． C．16 D．327．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C．2 D．8．設(shè)命題函數(shù)在上遞增，命題在中，，下列為真命題的是（）A． B． C． D．9．如下的程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（）A．16 B．18 C．20 D．1510．波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地．他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（k＞0，且k≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓=1（a＞b＞0），A，B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足=2，△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．11．已知隨機(jī)變量的分布列是則（）A． B． C． D．12．“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是_____．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）因?yàn)樗圆皇呛瘮?shù)的周期；對(duì)于定義在上的函數(shù)若則函數(shù)不是偶函數(shù)；“”是“”成立的充分必要條件；若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則．14．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．15．已知的展開(kāi)式中含有的項(xiàng)的系數(shù)是，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_____.16．安排名男生和名女生參與完成項(xiàng)工作，每人參與一項(xiàng)，每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成，則不同的安排方式共有________種（用數(shù)字作答）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn)，是上的點(diǎn).（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知三點(diǎn)在拋物線(xiàn)上.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求此時(shí)直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積；（Ⅱ）當(dāng)，且時(shí)，求面積的最小值.19．（12分）△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長(zhǎng).20．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，求證：；（Ⅲ）若對(duì)于恒成立，求的最大值．22．（10分）某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品，獲得市場(chǎng)和廣大觀(guān)眾的一致好評(píng)，同時(shí)也為公司贏(yíng)得豐厚的利潤(rùn).該公司年至年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線(xiàn)性相關(guān)）.年份年份代號(hào)年利潤(rùn)（單位：億元）（Ⅰ）求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司年（年份代號(hào)記為）的年利潤(rùn)；（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由（Ⅰ）中線(xiàn)性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí)，稱(chēng)該年為級(jí)利潤(rùn)年，否則稱(chēng)為級(jí)利潤(rùn)年.將（Ⅰ）中預(yù)測(cè)的該公司年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.參考公式：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以公差，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)，在時(shí)，單調(diào)遞減，且；在時(shí)，單調(diào)遞減，且.所以數(shù)列的最大值是，且，所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問(wèn)題,難度較易.2、A【解析】

先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為，結(jié)合題意可求得切點(diǎn)及其范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數(shù)即直線(xiàn)與函數(shù)圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象知直線(xiàn)與函數(shù)相切于，，因?yàn)?，故，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.3、C【解析】

由,再運(yùn)用三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)和最小，即可求解.【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義，合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵，注意拋物線(xiàn)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．4、C【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為、的形式，可以確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于的象限．【詳解】解：復(fù)數(shù)故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為位于第三象限故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計(jì)算長(zhǎng)度，設(shè)球半徑為，則，解得，得到答案.【詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，，故，，設(shè)球半徑為，則，解得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.6、A【解析】幾何體為一個(gè)三棱錐，高為4，底面為一個(gè)等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為4，所以體積是，選A.7、D【解析】

把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.8、C【解析】

命題：函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可判斷出真假．命題：在中，利用余弦函數(shù)單調(diào)性判斷出真假．【詳解】解：命題：函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此是假命題．命題：在中，在上單調(diào)遞減，所以，是真命題．則下列命題為真命題的是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形邊角大小關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

根據(jù)題意可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a，b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù)，按流程圖計(jì)算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16，故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.10、D【解析】

求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得，解得a，b即可.【詳解】設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足=2，則=2，化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，∴，解得，∴橢圓的離心率為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率，動(dòng)點(diǎn)軌跡，屬于中檔題．11、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是基本知識(shí)的考查．12、B【解析】

先求出滿(mǎn)足的值，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，即，，因此“”是“，”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ)．解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對(duì)①,根據(jù)周期的定義判定即可.對(duì)②,根據(jù)偶函數(shù)滿(mǎn)足的性質(zhì)判定即可.對(duì)③,舉出反例判定即可.對(duì)④,求解不等式再判定即可.【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以由周期函數(shù)的定義知不是函數(shù)的周期,故正確；對(duì)于定義在上的函數(shù),若,由偶函數(shù)的定義知函數(shù)不是偶函數(shù),故正確；當(dāng)時(shí)不滿(mǎn)足則“”不是“”成立的充分不必要條件,故錯(cuò)誤；若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則所以成立,故正確．正確命題的序號(hào)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，湊而可知的圖象在過(guò)原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線(xiàn)之間；利用過(guò)一點(diǎn)的曲線(xiàn)切線(xiàn)的求法可求得兩切線(xiàn)斜率，結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知：，恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，即恒成立，，即是夾在函數(shù)與的圖象之間，的圖象在過(guò)原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線(xiàn)之間.設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與相切的直線(xiàn)與函數(shù)相切于點(diǎn)，則切線(xiàn)斜率，解得：；設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與相切的直線(xiàn)與函數(shù)相切于點(diǎn)，則切線(xiàn)斜率，解得：；當(dāng)時(shí)，，又，滿(mǎn)足題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問(wèn)題的求解，重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過(guò)一點(diǎn)的曲線(xiàn)切線(xiàn)的求解方法；關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為切線(xiàn)斜率的求解問(wèn)題；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分母不為零的限制，忽略對(duì)于臨界值能否取得的討論.15、1【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式得：，解得，令得：展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和，得解．【詳解】解：由的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，得含有的項(xiàng)的系數(shù)是，解得，令得：展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式，屬于中檔題．16、1296【解析】

先從4個(gè)男生選2個(gè)一組，將4人分成三組，然后從4個(gè)女生選2個(gè)一組，將4人分成三組，然后全排列即可.【詳解】由于每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成，則先從4個(gè)男生選2個(gè)一組，將4人分成三組，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有種.故答案為：1296【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）因?yàn)?，利用線(xiàn)面平行的判定定理可證出平面，利用點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系，得出和，由于底面，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，得出，且，最后結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.（2）由（1）可知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以可設(shè)平面平面，又因?yàn)槠矫妫?因?yàn)槠矫?，平面，所以，從而?因?yàn)榈酌?，所?因?yàn)椋?因?yàn)?，所以平?綜上，平面.（2）解：由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，則，，，，所以，，，.設(shè)是平面的法向量，由取取，得.設(shè)是平面的法向量，由得取，得，所以，即的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直的判定和空間二面角的計(jì)算，還運(yùn)用線(xiàn)面平行的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的判定定理、點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等，同時(shí)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）16.【解析】

（Ⅰ）設(shè)出直線(xiàn)的方程并代入拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理以及斜率公式，變形可得；（Ⅱ）利用，，的斜率，求得的坐標(biāo)，，再用基本不等式求得的最小值，從而可得三角形的面積的最小值．【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立方程組，得，，故，.所以；（Ⅱ）不妨設(shè)的三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)在軸右側(cè)（包括軸），設(shè)，，，的斜率為，又，則，①因?yàn)?，所以②由①②得，，（且）從而?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào)，從而，所以面積的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合，屬于中檔題．19、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長(zhǎng)為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長(zhǎng)為.點(diǎn)睛:在處理解三角形問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問(wèn)題常見(jiàn)的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，求面積或周長(zhǎng)的取值范圍”或者“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長(zhǎng)的值”，這類(lèi)問(wèn)題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.20、（1）；（2）.【解析】

（1）將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)，然后分、、三段求解不等式，綜合可得出不等式的解集；（2）求出函數(shù)的最大值，由題意得出，解此不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】.（1）當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則，即；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則.綜上所述，函數(shù)的最大值為，由題知，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了絕對(duì)值不等式中的參數(shù)問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21、（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用二次求導(dǎo)可得，所以在上為增函數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，則，進(jìn)而可證；（Ⅲ）條件等價(jià)于對(duì)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，即可得到的最小值為，再次構(gòu)造函數(shù)（a），，利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得最大值．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，所以，又因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ），則令