四川省成都市東部新區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中試卷

2024-2025學(xué)年四川省成都市東部新區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，答案涂在答題卡上）1．（4分）如果，則A． B． C． D．2．（4分）方程的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定3．（4分）如圖，△中，點(diǎn)、分別在、邊上，則下列條件中，不一定能使△△的是A． B． C． D．4．（4分）某一時(shí)刻，身高的小明在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)是，同一時(shí)刻同一地點(diǎn)測(cè)得某旗桿的影長(zhǎng)是，則該旗桿的高度是A． B． C． D．5．（4分）如圖，在△中，點(diǎn)、分別在、邊上，且，若，，則等于A．3 B．4 C．6 D．86．（4分）△△，且，若△面積為4，則△的面積是A．4 B．6 C．9 D．187．（4分）是線段上一點(diǎn)，且滿足，則稱點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)”．如圖，一片樹葉的葉脈長(zhǎng)度為，為的黃金分割點(diǎn)，求葉柄的長(zhǎng)度．設(shè)，則符合題意的方程是A． B． C． D．8．（4分）如圖，矩形中，分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)，作直線分別交，于點(diǎn)，，連接，若，，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B． C． D．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案涂在答題卡上）9．（4分）若線段、、、是成比例線段，且，，，則．10．（4分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．11．（4分）某魚塘養(yǎng)了1000條草魚、500條鯉魚、若干條鯽魚，魚塘主通過(guò)多次捕撈試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，捕撈到鯽魚的頻率穩(wěn)定在0.25左右．若魚塘主隨機(jī)在魚塘里捕撈一條魚，捕撈到草魚的概率約為．12．（4分）菱形的交于，，，則，面積．13．（4分）如圖，取一張長(zhǎng)為，寬為的矩形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片，若要使小矩形紙片與原矩形紙片相似，則．三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分，解答過(guò)程寫在答題卡上）14．（12分）解方程：（1）；（2）．15．（8分）某學(xué)校擬舉辦演講比賽、文藝匯演、書畫展覽、知識(shí)競(jìng)賽四種活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)活動(dòng)的喜愛情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（每人只能選擇一種方案），將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)以下兩幅圖所給的信息解答下列問(wèn)題．（1）在抽取的200名學(xué)生中，選擇“演講比賽”的人數(shù)為，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，的值為；（2）根據(jù)本次調(diào)查結(jié)果，估計(jì)全校2000名學(xué)生中選擇“文藝匯演”的學(xué)生大約有多少人？（3）現(xiàn)從喜愛“知識(shí)競(jìng)賽”的四名同學(xué)、、、中，任選兩名同學(xué)參加學(xué)校知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出同學(xué)參加的概率．16．（8分）在公園有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一堵與地面互相垂直的墻，且圓柱與墻的距離皆為120公分．敏敏觀察到高度90公分矮圓柱的影子落在地面上，其影長(zhǎng)為60公分；而高圓柱的部分影子落在墻上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與墻面互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）若敏敏的身高為150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，則影長(zhǎng)為多少公分？（2）若同一時(shí)間量得高圓柱落在墻上的影長(zhǎng)為150公分，則高圓柱的高度為多少公分？請(qǐng)?jiān)敿?xì)解釋或完整寫出你的解題過(guò)程，并求出答案．17．（10分）問(wèn)題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖①，已知是的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖②，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明嘗試證明：（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖②證明：．應(yīng)用拓展：（2）如圖③，在中，，是邊上一點(diǎn)．連接，將沿所在直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．若，，求的長(zhǎng)18．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與，軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且．（1）求點(diǎn)坐標(biāo)及直線的解析式；（2）為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以，，，四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案涂在答題卡上）19．（4分）若是方程的一個(gè)根，則的值為．20．（4分）如圖，過(guò)矩形的對(duì)角線上一點(diǎn)分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關(guān)系是；（填“”或“”或“”21．（4分）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為．22．（4分）如圖，個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)，，，為邊，，，，的中點(diǎn)，△的面積為，△的面積為，△的面積為，則．23．（4分）如圖，是等邊三角形，矩形的頂點(diǎn)在邊上，且，，連接、、，若將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)最小時(shí)，則．二.解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）24．（8分）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運(yùn)迷的喜愛，一商場(chǎng)以20元的進(jìn)價(jià)進(jìn)一批“弗里熱”紀(jì)念品，以30元每個(gè)的價(jià)格售出，每周可以賣出500個(gè)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，價(jià)格每漲10元，就少賣100個(gè)．（1）若商場(chǎng)計(jì)劃一周的利潤(rùn)達(dá)到8000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費(fèi)者，售價(jià)應(yīng)定為多少錢？（2）商場(chǎng)改變銷售策略，在不改變（1）的銷售價(jià)格基礎(chǔ)上，銷售量穩(wěn)步提升，兩周后銷售量達(dá)到了484個(gè)，求這兩周的平均增長(zhǎng)率．25．（10分）在四邊形中，，，分別為邊，上的兩點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，且滿足．（1）【基礎(chǔ)運(yùn)用】如圖1，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求證：；（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，試問(wèn)（1）的結(jié)論是否依然成立？并說(shuō)明理由；（3）【拓展遷移】如圖3，已知，為的中點(diǎn)，，，，若，求的長(zhǎng)．26．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別交軸、軸于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)的直線交軸正半軸于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，△的面積為，求與之間的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接，點(diǎn)第四象限內(nèi)一點(diǎn)，連接、、，且軸，，點(diǎn)在線段上，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，若，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

2024-2025學(xué)年四川省成都市東部新區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，答案涂在答題卡上）1．（4分）如果，則A． B． C． D．【解答】解：，．故選：．2．（4分）方程的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定【解答】解：解方程，得，當(dāng)?shù)诪?，腰為3時(shí)，由于，不符合三角形三邊關(guān)系等腰三角形的腰為6，底為3周長(zhǎng)為故選：．3．（4分）如圖，△中，點(diǎn)、分別在、邊上，則下列條件中，不一定能使△△的是A． B． C． D．【解答】解：，、若添加，可利用兩角法判定△△，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、若添加，可利用兩角法判定△△，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、若添加，可利用兩邊及其夾角法判定△△，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、若添加，不能判定△△，故本選項(xiàng)正確；故選：．4．（4分）某一時(shí)刻，身高的小明在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)是，同一時(shí)刻同一地點(diǎn)測(cè)得某旗桿的影長(zhǎng)是，則該旗桿的高度是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)該旗桿的高度為，根據(jù)題意得，，解得．即該旗桿的高度是．故選：．5．（4分）如圖，在△中，點(diǎn)、分別在、邊上，且，若，，則等于A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：，，，，，故選：．6．（4分）△△，且，若△面積為4，則△的面積是A．4 B．6 C．9 D．18【解答】解：△△，且，△面積為4，，△的面積是9．故選：．7．（4分）是線段上一點(diǎn)，且滿足，則稱點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割點(diǎn)”．如圖，一片樹葉的葉脈長(zhǎng)度為，為的黃金分割點(diǎn)，求葉柄的長(zhǎng)度．設(shè)，則符合題意的方程是A． B． C． D．【解答】解：，，，為的黃金分割點(diǎn)，，即，故選：．8．（4分）如圖，矩形中，分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)，作直線分別交，于點(diǎn)，，連接，若，，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【解答】解：四邊形是矩形，，，，根據(jù)作圖過(guò)程可知：是的垂直平分線，，故選項(xiàng)正確，不符合題意；，，故選項(xiàng)正確，不符合題意；是的垂直平分線，，，在和中，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，故選項(xiàng)正確，不符合題意；，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，故選：．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案涂在答題卡上）9．（4分）若線段、、、是成比例線段，且，，，則．【解答】解：線段、、、是成比例線段，，即，，故答案為：．10．（4分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，△，解得：，故答案為：．11．（4分）某魚塘養(yǎng)了1000條草魚、500條鯉魚、若干條鯽魚，魚塘主通過(guò)多次捕撈試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，捕撈到鯽魚的頻率穩(wěn)定在0.25左右．若魚塘主隨機(jī)在魚塘里捕撈一條魚，捕撈到草魚的概率約為．【解答】解：捕撈到鯽魚的頻率穩(wěn)定在0.25左右，設(shè)鯽魚的條數(shù)為，可得：；解得：，撈到草魚的概率為，故答案為：．12．（4分）菱形的交于，，，則24，面積．【解答】解：菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，，，，，菱形的面積，故答案為：24；120．13．（4分）如圖，取一張長(zhǎng)為，寬為的矩形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小矩形紙片，若要使小矩形紙片與原矩形紙片相似，則．【解答】解：對(duì)折兩次后得到的小矩形紙片的長(zhǎng)為，寬為，小矩形紙片與原矩形紙片相似，，又，，，即．故答案為：．三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分，解答過(guò)程寫在答題卡上）14．（12分）解方程：（1）；（2）．【解答】解：（1），或，所以，；（2），，或，所以，．15．（8分）某學(xué)校擬舉辦演講比賽、文藝匯演、書畫展覽、知識(shí)競(jìng)賽四種活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)活動(dòng)的喜愛情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（每人只能選擇一種方案），將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)以下兩幅圖所給的信息解答下列問(wèn)題．（1）在抽取的200名學(xué)生中，選擇“演講比賽”的人數(shù)為40，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，的值為；（2）根據(jù)本次調(diào)查結(jié)果，估計(jì)全校2000名學(xué)生中選擇“文藝匯演”的學(xué)生大約有多少人？（3）現(xiàn)從喜愛“知識(shí)競(jìng)賽”的四名同學(xué)、、、中，任選兩名同學(xué)參加學(xué)校知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出同學(xué)參加的概率．【解答】解：（1）在抽取的200名學(xué)生中，選擇“演講比賽’的人數(shù)為（人，則選擇“書畫展覽”的人數(shù)為（人，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，，即，故答案為：40，30；（2）估計(jì)全校2000名學(xué)生中選擇文藝匯演”的學(xué)生大約有（人；（3）列表如下：由表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中同學(xué)參加的有6種結(jié)果，所以同學(xué)參加的概率為．16．（8分）在公園有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一堵與地面互相垂直的墻，且圓柱與墻的距離皆為120公分．敏敏觀察到高度90公分矮圓柱的影子落在地面上，其影長(zhǎng)為60公分；而高圓柱的部分影子落在墻上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與墻面互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）若敏敏的身高為150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，則影長(zhǎng)為多少公分？（2）若同一時(shí)間量得高圓柱落在墻上的影長(zhǎng)為150公分，則高圓柱的高度為多少公分？請(qǐng)?jiān)敿?xì)解釋或完整寫出你的解題過(guò)程，并求出答案．【解答】解：（1）設(shè)敏敏的影長(zhǎng)為公分．由題意：，解得（公分），經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解．敏敏的影長(zhǎng)為100公分．（2）如圖，連接，作．，四邊形是平行四邊形，公分，設(shè)公分，由題意落在地面上的影從為120公分．，（公分），（公分），答：高圓柱的高度為330公分．17．（10分）問(wèn)題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖①，已知是的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖②，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明嘗試證明：（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖②證明：．應(yīng)用拓展：（2）如圖③，在中，，是邊上一點(diǎn)．連接，將沿所在直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．若，，求的長(zhǎng)【解答】（1）證明：，，，，，，，，，．（2）解：將沿所在直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，，，由（1）可知，，又，，，，，，，，；．18．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與，軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且．（1）求點(diǎn)坐標(biāo)及直線的解析式；（2）為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以，，，四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）令，則，，，，，，，，令，則，，設(shè)直線的解析式為，，解得，；（2）設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，解得，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖2，同理可求，，解得，；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為，或；（3）設(shè)，，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，，，解得，，；當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，，，解得或，，或，；當(dāng)為菱形是對(duì)角線時(shí)，，，解得（舍去）或，；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為，或，或，或．一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，答案涂在答題卡上）19．（4分）若是方程的一個(gè)根，則的值為2024．【解答】解：由題意得：把代入中得：，，，，故答案為：2024．20．（4分）如圖，過(guò)矩形的對(duì)角線上一點(diǎn)分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關(guān)系是；（填“”或“”或“”【解答】解：四邊形是矩形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積的面積的面積的面積的面積，．故答案為：．21．（4分）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)的和為17．【解答】解：一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△，，解得：，；分式方程有正整數(shù)解，，，，，整理得：，滿足條件的值有：1，6，11，當(dāng)時(shí)，（舍去），則其和為：．故答案為：17．22．（4分）如圖，個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)，，，為邊，，，，的中點(diǎn)，△的面積為，△的面積為，△的面積為，則128．【解答】解：，△△，，，，，△的面積為，，則．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，故答案為：128．23．（4分）如圖，是等邊三角形，矩形的頂點(diǎn)在邊上，且，，連接、、，若將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)最小時(shí)，則．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為4，，在中，根據(jù)勾股定理，得，在中，根據(jù)勾股定理，得，，在中，根據(jù)勾股定理，得．當(dāng)最小時(shí)，則．故答案為：．二.解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）24．（8分）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運(yùn)迷的喜愛，一商場(chǎng)以20元的進(jìn)價(jià)進(jìn)一批“弗里熱”紀(jì)念品，以30元每個(gè)的價(jià)格售出，每周可以賣出500個(gè)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，價(jià)格每漲10元，就少賣100個(gè)．（1）若商場(chǎng)計(jì)劃一周的利潤(rùn)達(dá)到8000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費(fèi)者，售價(jià)應(yīng)定為多少錢？（2）商場(chǎng)改變銷售策略，在不改變（1）的銷售價(jià)格基礎(chǔ)上，銷售量穩(wěn)步提升，兩周后銷售量達(dá)到了484個(gè)，求這兩周的平均增長(zhǎng)率．【解答】解：（1）設(shè)售價(jià)應(yīng)定為元，由題意可得：，，解得：，，更大優(yōu)惠讓利消費(fèi)者，，答：售價(jià)應(yīng)定為40元；（2）設(shè)這兩周的平均增長(zhǎng)率為，由題意：，解得：，（不合題意舍去），答：這兩周的平均增長(zhǎng)率為．25．（10分）在四邊形中，，，分別為邊，上的兩點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，且滿足．（1）【基礎(chǔ)運(yùn)用】如圖1，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求證：；（2）【類比