數(shù)據(jù)、模型與決策（原書第16版）課件匯 第9-16章 項目計劃安排：PERTCPM-馬爾可夫過程

AnIntroductiontoManagementScience,16e第九章、項目計劃安排：PERT/CPM（計劃評審技術(shù)/關(guān)鍵路徑法）章節(jié)內(nèi)容9-1 活動時間已知的項目安排9-2 活動時間不確定的項目安排9-3 項目完成時間與成本抉擇章節(jié)目標完成本章后，你將能夠:LO9.1 將項目描述為活動的PERT/CPM網(wǎng)絡(luò)。LO9.2 確定項目網(wǎng)絡(luò)圖中的關(guān)鍵路徑，并確定項目完成時間。LO9.3 將樂觀、最可能的和悲觀的活動時間轉(zhuǎn)換為預期活動持續(xù)時間估計。LO9.4 在處理不確定的活動時間時，評估項目在特定時間內(nèi)完成的概率。LO9.5 確定項目緊縮的需求，并將它表述為線性規(guī)劃模型。介紹計劃評審技術(shù)（PERT）和關(guān)鍵路徑法（CPM）可用來對多種項目進行計劃、安排和控制，具體包括以下幾方面：(1)新產(chǎn)品及工藝的研究與開發(fā)。(2)工廠、大樓及高速公路的建設(shè)。(3)大型復雜設(shè)備的維護。(4)新系統(tǒng)的設(shè)計與安裝。PERT/CPM用于對項目進行適當?shù)陌才藕蛥f(xié)調(diào)，項目可能有多達幾千個活動。計劃評審技術(shù)是美國海軍特別為北極星導彈項目開發(fā)的。關(guān)鍵路徑法由美國杜邦公司和雷明頓蘭德公司主要為活動時間已知的工業(yè)項目而設(shè)計的。使項目安排工作變得復雜的一個因素就是構(gòu)成項目的活動間的相互依賴性，有些活動只有在其他一些活動完成之后才能開始。項目管理者需要依靠PERT/CPM來幫助他們解決下列問題：(1)完成該項目所需要的總時間是多少?(2)為每個特定活動設(shè)定的起止時間是什么?(3)為了保證項目按計劃進行，哪些活動是“關(guān)鍵的”，必須嚴格按計劃完成?(4)“不重要”的活動最多可延長多少時間完成，而不致影響整個項目的完成時間?9-1活動時間已知的項目安排西山購物中心的所有者計劃擴張現(xiàn)有的32個商業(yè)購物中心。所有者計劃需要計劃、安排和實施擴建項目。使用PERT/CPM的第一步是列出組成項目由A到I的所有活動。對于給定的活動，只有其緊前活動欄中列出的活動都已完成，該活動才能開始進行。預計活動時間以周為單位?；顒覣和B沒有緊前活動，這兩個活動在項目開始時就可以進行。活動C、D和E只有在活動A完成之后才能開始；活動F要在活動E完成后開始；活動G要在活動D和F都完成后開始；活動H要在活動B和C都完成后開始；最后，活動I要在活動G和H都完成后開始。9-1關(guān)鍵路徑的概念西山購物中心項目網(wǎng)絡(luò)圖給出的緊前活動信息，我們可以將項目的活動用一個圖形表示，該圖被稱為項目網(wǎng)絡(luò)圖。路徑就是能從起點到達終點的相連節(jié)點的序列路徑，例如A-D-G-I。包含活動時間的西山購物中心項目網(wǎng)絡(luò)圖如果最長路徑上的活動被延誤，那么整個活動完成的時間就會被延誤，因此這條最長路徑就是關(guān)鍵路徑。在關(guān)鍵路徑上的活動被稱作項目的關(guān)鍵活動。接下來，我們將介紹在項目網(wǎng)絡(luò)圖中找到關(guān)鍵路徑的算法。9-1確定關(guān)鍵路徑：向前推進

再看節(jié)點C、D和E，活動A是他們唯一的緊前活動。活動A的最早完成時間是5，因此這三個活動活動的最早開始時間一定是ES=5?？梢愿鶕?jù)每個活動的活動時間t計算出最早結(jié)束時間（EF）。活動G和H的最早開始時間（ES）等于所有緊前活動的最早結(jié)束時間（EF）中的最大值。因此，活動G的最早開始時間為10，活動H的最早開始時間為9。ESEF9-1確定關(guān)鍵路徑：向后逆推

“我們通過從每個活動中減去活動時間來繼續(xù)向后逆推：從G中減去D和F；從H中減去B和C；然后從F中減去E。最終，活動A的最晚完成時間（LF）等于其緊后活動C、D和E中最小的最晚開始時間（LS）。因此，A的最晚完成時間LF=5。LS

LF

9-1確定關(guān)鍵路徑：松弛

活動A、E、F、G和I的松弛為0。因此這些活動是項目的關(guān)鍵活動，不能延誤，否則會影響26周的完成時間。而由這些節(jié)點構(gòu)成的路徑A—E—F—G—I就是西山購物中心項目網(wǎng)絡(luò)圖的關(guān)鍵路徑。9-1PERT/CPM的作用在前面我們提到，項目管理者在尋找能夠幫助他們回答與項目計劃、安排及控制有關(guān)問題的方法?，F(xiàn)在，我們根據(jù)在關(guān)鍵路徑的計算中獲取的信息重新考慮這些問題。（1）項目需要多長時間完成？答：如果每個活動都能夠按計劃完成，那么完成這個項目需要26周的時間。（2）每個活動被安排的開始時間和完成時間是什么？答：活動安排（見表）說明了每個活動的最早開始時間、最晚開始時間、最早完成時間和最晚完成時間。（3）為了按計劃完成整個項目，哪些活動是關(guān)鍵的，需要按計劃完成？答：A、E、F、G和I是關(guān)鍵活動。（4）在不增加項目的完成時間的情況下，非關(guān)鍵活動可以延期多長時間？答：活動安排（見表）說明了每個活動的松弛。9-1PERT/CPM路徑分析步驟小結(jié)步驟1：確定組成項目的活動。步驟2：確定每個活動的緊前活動。步驟3：估計每個活動的活動時間。步驟4：畫出項目網(wǎng)絡(luò)圖，描述在步驟1和2中列出的活動及其緊前活動。步驟5：利用項目網(wǎng)絡(luò)圖和估計的活動時間，通過向前推進的方法，確定每個活動的最早開始時間和最早完成時間。最后一個活動的最早完成時間也就是項目的完成時間。步驟6：將在步驟5中求出的項目完成時間作為最后一個活動的最晚完成時間，利用向后逆推的方法，確定每個活動的最晚開始時間和最晚完成時間。步驟7：用每個活動的最晚開始時間和最早開始時間的差值來確定每個活動的松弛。步驟8：找出所有松弛個為0的活動，這些活動就是關(guān)鍵活動。步驟9：利用從步驟5和6中獲取的信息為項目設(shè)計活動安排。9-2活動時間不確定的項目安排道特公司管理層希望對這種被稱為Porta-Vacd的新產(chǎn)品制造的可行性進行研究，以便決定是否生產(chǎn)該產(chǎn)品。為了完成可行性研究，公司需要從研發(fā)部、產(chǎn)品測試部、生產(chǎn)部、成本估計部和市場研究部獲取足夠的信息。管理層想知道可行性研究是否能在20周的截止日期內(nèi)完成？在下面的討論中，我們將說明如何回答這個問題并為該項目提出活動安排。9-2活動時間不確定

為了通過不確定活動時間說明Porta-Vac可行性研究中的PERT/CPM，讓我們考慮樂觀時間、最可能時間和悲觀時間的估計。使用前一頁中顯示的公式，我們可以計算每個Porta-Vac活動的期望時間和方差?？梢钥闯觯瑢τ诨顒覣和D，悲觀時間（b）和樂觀時間（a）之間的巨大差異反映了活動時間的不確定性很高，這會極大地影響方差值。9-2道特公司的Porta-Vac項目9-2Porta-Vac項目關(guān)鍵路徑我們通過運用9.1節(jié)介紹的關(guān)鍵路徑法得出Porta_x0002_Vac項目的關(guān)鍵路徑以及期望活動時間。首先，我們可以求出每項活動的最早開始時間（ES）和最早完成時間（EF）。最后一個活動J的最早完成時間是17周。因此，項目的期望完成時間就是17周。然后，我們利用向后逆推法，求出每個活動的最晚開始時間（LS）和最晚完成時間（LF）。松弛為0的活動（A、E、H、I和J）構(gòu)成了Porta-Vac項目網(wǎng)絡(luò)圖的關(guān)鍵路徑。9-2項目完成時間的方差關(guān)鍵路徑上活動的方差會導致項目總體完成時間產(chǎn)生波動。非關(guān)鍵路徑上的活動即使有方差也不會影響項目的總體完成時間，因為這些活動都具有松弛。然而，當非關(guān)鍵活動被延誤的時間過長以致超出它的松弛時間時，這個活動就成為項目新的關(guān)鍵路徑上的活動，并可能影響項目的完成時間。如果方差造成關(guān)鍵活動的完成時間超過了期望完成時間，那么就會導致項目的完成時間增加。反之，如果方差造成關(guān)鍵活動的完成時間比期望時間要短，那么就會相應縮短項目的完成時間，除非其他活動成為新的關(guān)鍵活動。要了解方差對項目管理的影響，我們考慮Porta-Vac項目網(wǎng)絡(luò)圖中四條路徑的方差：路徑1=A—E—H—I—J，路徑2=A—C—F—J，路徑3=A—D—G—J，路徑4=B—H—I—J。注意，路徑1是關(guān)鍵路徑。完成路徑i需要的總時間期望值就是路徑i所有活動的期望完成時間之和，項目完成時間的方差就等于所有活動的方差之和。我們假設(shè)所有活動時間是相互獨立的。9-2關(guān)鍵路徑在限期內(nèi)完成的概率

9-2整個項目在期限內(nèi)完成的概率只基于關(guān)鍵活動的概率估計可能過于樂觀。當存在不確定的活動時間時，一個或多個非關(guān)鍵活動時間多于預期完成時間可能會導致原來的非關(guān)鍵活動成為關(guān)鍵活動，從而增加完成該項目所需的時間。因此，我們繼續(xù)計算項目網(wǎng)絡(luò)圖中其他路徑的預期完成時間和方差。路徑2和路徑4幾乎可以保證在20周期限內(nèi)完成。

各項目路徑在20周期限內(nèi)完成的概率9-3項目完成時間與成本抉擇當確定項目活動所需的估計時間時，項目管理者基于對資源（工人、設(shè)備等）的估計來給活動分配資源。CPM的開發(fā)者為項目管理者提供了為一定的活動增加資源以減少項目完成時間的選擇。增加的資源（如員工、加班等）一般都會增加項目的成本，所以在做出減少活動時間的決策時必須考慮將增加的成本。事實上，項目管理者必須在減少活動時間和增加項目成本之間做出抉擇。下表描述了一個由5個活動組成的兩臺機器的維修項目。由于管理人員擁有類似項目的大量經(jīng)驗，因此，我們可以給出每個活動的估算時間，并假設(shè)維修活動的時間已知。9-3兩臺機器維修項目項目網(wǎng)絡(luò)圖計算該維修項目網(wǎng)絡(luò)圖的關(guān)鍵路徑的步驟與我們在西山購物中心擴張項目和Porta-Vac項目中應用的方法完全一樣。通過對上圖中的項目網(wǎng)絡(luò)圖運用向前推進法和向后逆推法，我們可以得到右表所示的活動安排表?；顒影才呕顒覣、B和E的松弛為0，因此這3個活動就構(gòu)成了該項目的關(guān)鍵路徑。關(guān)鍵路徑的長度，也就是完成項目總共需要的時間為12天。9-3緊縮活動時間

9-3正常時間和緊縮時間的數(shù)據(jù)兩臺機器維修項目全部活動的正常時間和緊縮時間的數(shù)據(jù)如下表所示:為了以最少的成本在10天期限內(nèi)完成整個項目，哪些活動應該被緊縮，緊縮多少時間？你對這個問題的第一反應很可能是考慮關(guān)鍵路徑上的活動—A、B或E?；顒覣在這3個活動中具有最低的單位緊縮成本，因此將活動A緊縮2天可以使路徑A—B—E的完成時間縮減到期望的10天。然而一定要記住，當你對現(xiàn)在的關(guān)鍵活動進行緊縮時，有可能使其他的路徑成為新的關(guān)鍵路徑。因此，你需要檢查修改后網(wǎng)絡(luò)圖中的關(guān)鍵路徑，你也許會發(fā)現(xiàn)其他要緊縮的活動或許會修改你先前的決定。對于一個小型網(wǎng)絡(luò)圖，這種“嘗試—修改”的方法可以用來進行緊縮決策；但是對于更大型的網(wǎng)絡(luò)圖，我們就需要運用數(shù)學方法來決定最優(yōu)的緊縮策略。9-3緊縮項目總時間后的線性規(guī)劃模型

在PERT/CPM中，我們知道每個活動的完成時間、最早開始時間和活動時間之間的一般關(guān)系是：實際完成時間≥最早開始時間+活動時間如果活動具有松弛時間則用不等式來說明。讓我來定義下列決策變量:xi

=活動i的完成時間；yi=活動i的緊縮時間；其中

i=A,B,C,D,E項目網(wǎng)絡(luò)圖包括7個弧:Start-A,Start-C,A-B,C-D,B-E,D-E,E-Finish。利用上面的不等式，我們可以寫出每個弧的約束條件。

9-3緊縮時間線性規(guī)劃模型的解

本章小結(jié)本章我們介紹了如何運用PERT/CPM來計劃、安排和控制復雜項目。運用這個方法進行項目安排的關(guān)鍵是設(shè)計PERT/CPM項目網(wǎng)絡(luò)圖，用網(wǎng)絡(luò)圖來描述各個活動及其緊前活動。運用項目網(wǎng)絡(luò)圖和活動時間估計，我們可以識別項目網(wǎng)絡(luò)圖的關(guān)鍵路徑和相應的關(guān)鍵活動。在這個過程中，一個活動的時間安排可以顯示其最早開始時間和最早完成時間、最晚開始時間和最晚完成時間，同時還可以識別每個活動的松弛。我們還討論了如何考慮處理變化或不確定活動時間，并運用這些信息計算特定時間內(nèi)完成項目的概率。我們還介紹了減少活動時間以按期限完成項目的方法，即緊縮，并說明如何應用線性規(guī)劃模型來確定緊縮策略使縮短項目完成時間的費用最小化。AnIntroductiontoManagementScience,16e第十章、庫存模型章節(jié)內(nèi)容10-1 經(jīng)濟訂貨批量模型（EOQ）10-2 經(jīng)濟生產(chǎn)批量模型10-3 允許缺貨的庫存模型10-4 有數(shù)量折扣的EOQ模型10-5 概率需求下的單周期庫存模型10-6 概率需求下的訂貨批量-再訂貨點模型10-7 概率需求下的定期盤點模型

本章小結(jié)章節(jié)目標(1/2)完成本章后，你將能夠:LO10.1 識別經(jīng)濟訂貨批量(EOQ)模型中庫存成本的來源，并能應用EOQ模型做出訂貨批量決策和訂貨時間決策。LO10.2 將EOQ模型的邏輯應用于生產(chǎn)批量的庫存系統(tǒng)。LO10.3 將EOQ模型的邏輯應用于允許缺貨的庫存系統(tǒng)。LO10.4 將EOQ模型的邏輯應用于有數(shù)量折扣的庫存系統(tǒng)。章節(jié)目標(2/2)LO10.5 確定單周期庫存模型適用的條件，并使用該模型進行庫存決策。LO10.6 演示當需求由概率分布描述時，如何做出訂貨批量和再訂貨點決策。LO10.7 解釋提前期需求分布及它在建立可接受的服務水平中的作用。LO10.8 演示如何為定期盤點庫存系統(tǒng)做出訂貨批量決策。介紹庫存是指一個企業(yè)為滿足日后所需而儲存起來的閑置貨物或物料。企業(yè)之所以持有庫存，主要原因是:

利用固定的訂貨成本的規(guī)模經(jīng)濟效應;應對需求方或供應方的不確定性。在涉及庫存的應用中，管理者必須回答以下兩個問題：庫存補貨時訂貨批量是多少?何時進行庫存補貨?本章旨在說明定量模型如何幫助制定訂貨批量和訂貨時間的庫存決策。我們首先研究確定性的庫存模型，即假設(shè)產(chǎn)品的需求率是不變的或者是近似不變的。然后討論概率性的庫存模型，即產(chǎn)品需求是波動的并且只能用概率分布來描述。10-1經(jīng)濟訂貨批量模型（EOQ）經(jīng)濟訂貨批量（EOQ）模型適用于需求率不變或近似不變的產(chǎn)品，并且要求訂貨批量在一個時間點到達。不變的需求率的假設(shè)是指每個時期從庫存中提取相同數(shù)量的貨物。例如，每天5個單位、每周25個單位、每4周100個單位等。我們以R&B飲料公司為例來解釋EOQ模型。R&B飲料公司是一家啤酒、葡萄酒以及軟飲料產(chǎn)品的經(jīng)銷商。R&B飲料公司的一個主要倉庫位于俄亥俄州哥倫布市，該倉庫向近1000個零售店供應飲料產(chǎn)品。其中，啤酒的平均庫存大約為50000箱，占公司總庫存的40%。在每箱啤酒的平均庫存成本大約為8美元的情況下，R&B飲料公司估計其啤酒庫存價值達400000美元。倉庫經(jīng)理已決定對該公司銷量最大的Bub牌啤酒做一項詳細的庫存費用研究。該研究的目的是為Bub牌啤酒制定訂貨批量和訂貨時間決策，以便盡可能降低其總成本。10-1不變的需求率的假設(shè)作為研究的第一步，倉庫經(jīng)理得到了過去10周的需求數(shù)據(jù)，如下圖所示:由于需求變化的范圍是在最低點1900箱與最高點2100箱之間，因此我們認為每周2000箱的固定需求量是一個合理的近似值的。關(guān)于訂貨批量的決策需要權(quán)衡以下兩點：1.持有少量庫存，但訂貨頻率高；2.持有大量庫存，但訂貨頻率低。第一種選擇會導致訂貨成本高，然而第二種選擇會導致庫存持有成本高。為了在上述兩個相互矛盾的選擇中找到一個最優(yōu)的折中方案，我們引進一個數(shù)學模型，該模型將庫存持有成本與訂貨成本綜合表示為一個總成本。10-1持有成本持有成本是指維持或持有一定庫存水平所需耗費的相關(guān)成本，這些成本取決于庫存的大小。首先要考慮的持有成本是庫存的資金成本。當企業(yè)有貸款時，會產(chǎn)生利息費用。如果企業(yè)的庫存使用的是自有資金，就會有不能用于其他投資的機會成本。無論是哪一種情況，投入到庫存的資金需要支付利息。因此，庫存的資金成本通常用庫存價值的一個百分率來表示。R&B飲料公司估計其每年的庫存資金成本為其庫存價值的18%。

10-1訂貨成本庫存分析的下一步是確定訂貨成本。訂貨成本被認為是與訂貨批量無關(guān)的一個固定成本，它包括訂單的準備、訂單的處理（包括支付、郵寄、電話費、運輸、發(fā)票確認、收貨等）。對于R&B飲料公司來說，訂貨成本中最大的部分是采購人員的薪水。對采購流程的一次分析顯示，一位采購人員需要花費近45分鐘來準備和處理一份Bub牌啤酒的訂單。在工資率及額外福利成本為每個員工每小時20美元的情況下，訂貨成本中的勞動力成本為每次訂購15美元。

10-1Bub牌啤酒的庫存模型訂貨批量的決策就變?yōu)閷ふ沂钩钟谐杀竞陀嗀洺杀局妥钚〉腝的值。當從供應商處收到規(guī)模為Q的訂單時，Bub牌啤酒的庫存將達到最大值Q單位。R&B飲料公司會從庫存中發(fā)貨以滿足顧客需求，直到庫存耗盡，而此時將會收到下一個Q單位的訂單。因此，假設(shè)需求率不變，Bub牌啤酒的庫存曲線如下圖所示。從圖中可以看出，平均庫存為1/2Q單位。10-1總成本模型

10-1訂貨批量決策

10-1訂貨時間決策

10-1EOQ模型的靈敏度分析我們可能想知道所建議的訂貨批量將如何隨著訂貨成本和持有成本的變化而變化。為了確定不同成本參數(shù)的影響，我們可以計算幾種不同成本下的訂貨批量。下表顯示了在幾種可能的成本中，使總成本最小的訂貨批量。從表中可以看出，即使成本有一些變化，Q*的值基本保持不變。根據(jù)上述結(jié)論，Bub牌啤酒的最優(yōu)訂貨批量為1700～2000箱。如果參數(shù)變化不是很劇烈，Bub牌啤酒庫存系統(tǒng)的總成本為每年3400～3800美元。同時，我們還可以發(fā)現(xiàn)，如果R&B飲料公司每次訂購成本為32美元，庫存持有成本率為25%，當我們?nèi)匀话凑兆兓暗膮?shù)計算得到的訂貨批量（1824箱）進行訂貨時，風險很小。通過上述分析，我們可以認為EOQ模型對成本參數(shù)估計中的微小偏差和錯誤是不敏感的。10-2經(jīng)濟生產(chǎn)批量模型本節(jié)所要講述的庫存模型與EOQ模型相似，在EOQ模型中，我們通過模型確定訂貨批量與訂貨時間。在此，仍然假設(shè)需求率不變。然而，與EOQ模型中不同的是，我們假設(shè)所訂貨物是在數(shù)天或數(shù)周內(nèi)以一個固定速率到達，而不是一次性按照訂單數(shù)量Q*運輸貨物。固定供貨率的假設(shè)是指每個時期內(nèi)供貨的數(shù)量是一樣的（例如，每天10單位或每周50單位）。這種模型是為以下生產(chǎn)情況而設(shè)計的：一旦發(fā)出訂單，就開始生產(chǎn)，并且倉庫中每天都會增加相同數(shù)量的貨物，直到生產(chǎn)周期結(jié)束。批量是指一份訂單中所訂購貨物的數(shù)量。如果生產(chǎn)系統(tǒng)每天生產(chǎn)50個單位，并且計劃生產(chǎn)10天，則生產(chǎn)批量為50×10=500（單位）。如果我們用Q來表示生產(chǎn)批量，與EOQ模型庫存建模方法相似，先建立一個包含持有成本和庫存成本的總成本模型，該模型是批量大小的函數(shù)，然后求解出能使總成本最小的最優(yōu)批量。10-2生產(chǎn)啟動成本該模型只適用于生產(chǎn)率大于需求率的情況，生產(chǎn)系統(tǒng)必須能夠滿足需求。例如，如果固定需求率為每天400單位，那么生產(chǎn)率必須至少為每天生產(chǎn)400單位以滿足需求。在生產(chǎn)周期內(nèi)，需求使得庫存減少，而生產(chǎn)使得庫存增加。由于我們假設(shè)生產(chǎn)率大于需求率，因此在生產(chǎn)周期內(nèi)的每一天，生產(chǎn)量都大于需求量。這樣，在生產(chǎn)過程中，多余的產(chǎn)量就會造成庫存的不斷增加。當生產(chǎn)周期結(jié)束時，持續(xù)的需求又會使得庫存逐漸減少，直到下一個生產(chǎn)周期開始。持有成本與EOQ模型中的定義一樣，而對訂貨成本的解釋稍有不同。訂貨成本更準確地來講應該叫作生產(chǎn)啟動成本。該成本包括為生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)做準備所需的人工、物料以及損耗的生產(chǎn)成本，它在每個生產(chǎn)周期內(nèi)都是固定的，且與生產(chǎn)批量無關(guān)。10-2最大庫存接下來我們建立生產(chǎn)批量模型，先根據(jù)生產(chǎn)批量Q寫出持有成本的表達式。與EOQ模型相似，先建立平均庫存的表達式，然后用平均庫存來表示持有成本。在該模型中，我們以年為基準，并使用年成本。在EOQ模型中，平均庫存為最大庫存的一半，即1/2Q。對于生產(chǎn)批量模型，生產(chǎn)階段內(nèi)的庫存累積率固定不變，非生產(chǎn)階段內(nèi)的庫存消耗率也是固定不變的。因此，平均庫存仍是最大庫存的一半。

10-2總成本模型

10-2經(jīng)濟生產(chǎn)批量

10-3允許缺貨的庫存模型當需求超過現(xiàn)有庫存的時候，就會發(fā)生缺貨或脫銷。在許多情況下，缺貨是人們不想要的，因此人們盡最大可能避免其發(fā)生。但是，在有些情況下缺貨是被允許的，人們會有計劃地對缺貨進行管理。在實際中，當單位庫存價值很高從而持有成本很高的時候，后述情況會經(jīng)常發(fā)生。例如，一家新開的汽車零售商的庫存。通常，顧客想要的車型不一定有庫存，但如果顧客愿意等待幾個星期，汽車零售商通常都可以履行訂單。本節(jié)中所討論的模型考慮了一種缺貨現(xiàn)象，被稱為延遲交貨。在延遲交貨的情況下，我們假設(shè)當一位顧客下訂單時，如果發(fā)現(xiàn)供應商缺貨，則等到新貨到來時才履行訂單的交付。通常延遲交貨時，顧客等待的時間相對較短。因此，向顧客保證優(yōu)先權(quán)并且在可以供貨時立即發(fā)貨的前提下，公司也可以說服顧客，讓他們等待新貨的到來。在這些情況下，延遲交貨的假設(shè)是有效的。我們所討論的延遲交貨模型是EOQ模型的一種擴展。10-3缺貨成本如果我們用S表示在Q單位貨物運到時所累積的延遲交貨的數(shù)量，那么，延遲交貨的庫存系統(tǒng)就有下述特點:如果Q單位貨物到達時，有S單位延遲交貨，則將S單位延遲交貨數(shù)先送到相應的顧客手中，剩下的Q-S單位貨物轉(zhuǎn)為庫存。因此，Q-S是最大庫存。庫存周期T被分成兩個不同的階段：有存貨，且一有訂單就能交付的t1

階段；缺貨，所有新的訂單均以延遲交貨來處理的

t2

階段。允許存在延遲交貨的庫存模型中，負庫存代表延遲交貨的數(shù)量。在推導延遲交貨的庫存模型時，我們?nèi)匀皇褂贸钟谐杀竞陀嗀洺杀?。同時，我們還用到了延遲交貨成本，包括兩方面：處理延遲交貨相關(guān)的人力以及特殊發(fā)貨成本。信譽成本取決于顧客等待的時間。10-3總成本模型

10-3最小總成本值

10-4有數(shù)量折扣的EOQ模型數(shù)量折扣發(fā)生在很多情形中，即當大批量訂購產(chǎn)品時，供應商往往會為了促使顧客增加訂購數(shù)量而提供較低的購買價格。我們可以使用EOQ模型來計算最優(yōu)訂貨量Q*。然而，由于計算出的Q*可能太小，無法滿足假設(shè)的折扣價格，因此必須遵循以下三個步驟：Step1 對于每種折扣類型，分別利用EOQ模型來計算Q*，其中單位成本按照相應的折扣類型計算。Step2 當由于Q*太小而未能達到其價格折扣的要求時，需要將訂貨批量進行調(diào)整，調(diào)整后的數(shù)量要達到其采用的價格折扣所要求的最低數(shù)量。Step3 對于由步驟1和步驟2所得到的訂貨批量，采用所屬折扣類型的單位價格并計算其相應的年總成本。能夠使得總成本最小的訂貨批量就是最優(yōu)訂貨批量。3%的價格折扣訂購1000個產(chǎn)品是使總成本最小的解決方案。盡管2500單位的訂貨批量會得到5%的價格折扣，但它導致的過多的持有成本使該方案成為第二最優(yōu)解。假設(shè)數(shù)據(jù)和成本分析得出：年持有成本率為20%，每個訂單的訂貨成本為49美元，年需求量5000單位。我們應該如何選擇訂貨批量呢？10-4計算有數(shù)量折扣的EOQ模型折扣類別2的3%折扣將單位成本降低到4.85美元，折扣類別3的5%折扣將單位成本降低到4.75美元。步驟1：折扣類別2和3的Q*較大。然而，這兩個折扣類別的計算都未達到最低折扣要求。步驟2：折扣類別2和3的最低訂單數(shù)量必須分別增加到1000和2500個單位。步驟3：總成本計算表明，1000個單位的最優(yōu)訂購量符合3%折扣的要求。10.5概率需求下的單周期庫存模型單周期庫存模型是指以下庫存情形：發(fā)出訂單訂購產(chǎn)品，在期末，該產(chǎn)品要么售空，要么將未售出產(chǎn)品按廢品價處理。單周期庫存模型適用于季節(jié)性或易腐爛產(chǎn)品的庫存情形，這些產(chǎn)品不能在庫存中存放以待將來出售。季節(jié)性衣物（如游泳衣和冬季大衣）是典型的以單周期模型方式管理的產(chǎn)品。在這些情形下，顧客對某種產(chǎn)品發(fā)出季前訂購單，在季末要么售空，要么就對過剩產(chǎn)品進行清倉處理。每天或每個周期是獨立的，每個周期（每天）都要做出庫存決策。由于在一個周期內(nèi)只訂一次貨，因此我們所做的唯一的庫存決策是決定在期初訂購多少數(shù)量的產(chǎn)品。然而，在很多單周期模型中，確切的需求量是未知的。如果想用數(shù)量分析的方式來分析該類型的庫存問題，那么我們需要知道需求量的概率分布。因此，本節(jié)所描述的單周期庫存模型是以概率分布的需求為基礎(chǔ)的。10-5內(nèi)曼·馬庫斯:增量分析內(nèi)曼·馬庫斯公司的采購員決定訂購一種剛在紐約展示會上展示的莫羅·伯拉尼克高跟鞋。這種鞋子將參與該公司春夏兩季的促銷活動。因為這種鞋是為春夏兩季設(shè)計的，所以不能在秋季出售。內(nèi)曼·馬庫斯公司計劃舉辦一個8月清倉售賣的特別活動，以出售那些在7月31日之前未售出的產(chǎn)品。這種鞋每雙成本為700美元，零售價為每雙900美元。未賣完的鞋在8月清倉銷售中的預計售價為每雙600美元。假設(shè)需求區(qū)間為350～650雙，其平均需求，即期望需求為500雙。如果你是內(nèi)曼·馬庫斯公司的采購員，你將會為公司訂購多少雙這種鞋？增量分析是一種可以用于決定單周期庫存模型的最佳訂貨批量的方法。通過比較多訂購一單位產(chǎn)品與不多訂購產(chǎn)品的成本或損失，增量分析解決了訂貨批量的問題。相關(guān)的成本定義如下。co=高估需求的單位成本。這個成本表示多訂購一單位產(chǎn)品，由于不能售出而帶來的損失。cu=低估需求的單位成本。這個成本表示未訂購一單位可以賣出的產(chǎn)品而造成的機會成本。10.5單周期庫存模型：Q*的一般公式

10-5內(nèi)曼·馬庫斯：最佳訂貨批量

總之，要求出單周期庫存模型的最佳訂貨批量的關(guān)鍵是要確定能夠反映產(chǎn)品需求量的概率分布，以及高估需求和低估需求的單位成本。然后將低估需求和高估需求的單位成本代入相應表達式，就可以在概率分布中求出Q*的值。10-5全國汽車租用公司:最優(yōu)訂貨批量

10-6概率需求下的訂貨批量—再訂貨點模型上一節(jié)討論了概率需求下的單周期庫存模型，本節(jié)將把討論擴展到概率需求下的多周期訂貨批量—再訂貨點庫存模型。在多周期模型中，庫存系統(tǒng)重復運行多個周期或循環(huán)，庫存可以從一個周期轉(zhuǎn)移到下一個周期。只要庫存位置達到再訂貨點，就會發(fā)出訂貨批量為Q的訂單。由于需求是概率分布的，因此我們不能事先確定庫存何時會降至再訂貨點以及各訂單之間的時間間隔，也不能確定所訂購的Q單位產(chǎn)品何時存入庫存。因為需求是波動的，所以庫存以一個變動的速率下降。有時由于有較高的需求也會導致在新貨到達之前發(fā)生缺貨。管理者需要為庫存系統(tǒng)確定訂貨批量Q和再訂貨點r。10-6德比克照明公司的庫存問題

10.6訂貨批量決策

10-6訂貨時間決策

10-7概率需求下的定期盤點模型前面所討論的訂貨批量—再訂貨點模型都要求有一個連續(xù)盤點庫存系統(tǒng)。在這種系統(tǒng)下，庫存位置處于連續(xù)的監(jiān)測之下，這樣只要庫存降低到再訂貨點，就會發(fā)出訂單。信息化的庫存系統(tǒng)可以很容易地實現(xiàn)對訂貨批量—再訂貨點模型的連續(xù)監(jiān)測。除了連續(xù)盤點系統(tǒng)以外，我們也可以選用定期盤點庫存系統(tǒng)。在定期盤點系統(tǒng)中，庫存狀況的盤點以及再訂貨只在固定時點進行。DollarDiscounts公司經(jīng)營著多家日用品零售店，產(chǎn)品品種比較廣泛。其庫存系統(tǒng)每兩周進行一次盤點。在這種系統(tǒng)下，零售店的經(jīng)理每隔兩周可能從DollarDiscounts公司的中央倉庫訂購任意數(shù)量和任意品種的貨物，并且同一家零售店所訂的全部貨物將一次性運達該店。當在某個檢查期為每種產(chǎn)品做訂貨批量決策時，商店經(jīng)理很清楚地知道，直到下一個檢查期到來才能再對產(chǎn)品進行訂貨。10-7DollarDiscounts公司的補貨水平

在這種方法中，我們的目標是確定一個補貨水平，該補貨水平能夠使系統(tǒng)達到所要求的服務水平，比如使缺貨率或者是每年的缺貨次數(shù)維持在一個較合理的范圍內(nèi)。10-7DollarDiscounts公司:訂貨批量決策

本章小結(jié)本章我們介紹了幾種方法，以協(xié)助管理者制定降低庫存的策略。我們首先考慮了產(chǎn)品需求率固定不變前請況。在分析這類庫存系統(tǒng)時，我們建立了相應的總成本模型，包括訂貨成本、持有成本，一些情形下還包括延遲交貨成本。接著，我們給出了求解最低成本的訂貨批量Q的公式。通過考慮提前期內(nèi)的需求，還計算了再訂貨點。其次，我們討論了不確定性需求下的庫存模型。此時，我們認為需求可以用概率分布來描述。在這種幸需求模型中，最重要的問題是找出最接近實際的襪車分布。我們先介紹了一種單周期模型。在這種模型中，對某種產(chǎn)品只訂一次貨，并且在階段末，要么產(chǎn)品全部售出，要么產(chǎn)品有剩余且剩余的產(chǎn)品以低價售出。接著，我們討論了多周期模型，給出了基于訂貨批量-再訂貨點連續(xù)盤點系統(tǒng)的和基于補貨水平一定期盤點系統(tǒng)的求解方法。在本章結(jié)束之際，我們想再次著重指出，庫存和庫存系統(tǒng)在企業(yè)運營當中可能是成本很高的一環(huán)。AnIntroductiontoManagementScience,16e第十一章、排隊模型章節(jié)內(nèi)容11-1 排隊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)11-2 到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的單服務臺排隊模型11-3 到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的多服務臺排隊模型11-4 排隊模型中的一般關(guān)系11-5 排隊的經(jīng)濟性分析11-6 肯德爾排隊模型分類法11-7 到達服從泊松分布、服務時間為任意的單服務臺排隊模型11-8 到達服從泊松分布、服務時間任意且不排隊的多服務臺模型11-9 有限客源的排隊模型

本章小結(jié)章節(jié)目標(1/2)完成本章后，你將能夠:LO11.1 使用泊松分布描述到達時間，使用指數(shù)分布描述服務時間LO11.2 計算泊松到達和指數(shù)服務時間的單服務臺排隊的穩(wěn)態(tài)運行參數(shù)LO11.3 計算泊松到達和指數(shù)服務時間的多服務臺排隊的穩(wěn)態(tài)運行參數(shù)LO11.4 用里特導出方程來描述任何排隊系統(tǒng)的運行參數(shù)之間的關(guān)系章節(jié)目標(2/2)LO11.5 使用排隊的經(jīng)濟性分析做出排隊系統(tǒng)決策LO11.6 計算泊松到達和一般服務時間的單服務臺排隊的穩(wěn)態(tài)運行參數(shù).LO11.7 計算泊松到達、一般服務時間和無等待的多服務臺排隊的穩(wěn)態(tài)運行參數(shù)

LO11.8 計算有限客源的泊松到達和指數(shù)服務時間的單服務臺排隊的穩(wěn)態(tài)運行參數(shù)介紹回想一下上一次你不得不排隊的情形，比如在超市的收銀臺排隊、在銀行排隊、在快餐店排隊等。在類似上述需要排隊的情況下，把時間用于等待是令人非常不愉快的。然而增加更多的收銀員、銀行出納員或服務生并不總是改變服務水平的最經(jīng)濟的策略。因此，各行各業(yè)需要采取相應的措施，把排隊時間控制在顧客所能容忍的限度內(nèi)。人們已經(jīng)設(shè)計建立了一些模型來幫助管理者理解等候線的運作，并幫助管理者做出更好的決策。用管理科學的術(shù)語來講，等候線也稱排隊，與等候線相關(guān)的知識體系被稱為排隊論。排隊模型包括一些數(shù)學公式以及可用于確定排隊運行參數(shù)(系統(tǒng)指標)的關(guān)系式。相關(guān)運行參數(shù)如下：(1)系統(tǒng)中沒有顧客的概率(2)排隊的顧客平均數(shù)(3)系統(tǒng)中的顧客平均數(shù)(排隊的顧客數(shù)加上接受服務的顧客數(shù))(4)每位顧客排隊花費的平均時間(5)每位顧客在系統(tǒng)中花費的平均時間(排隊時間加上服務時間)(6)顧客到達以后不得不排隊以接受服務的概率11-1排隊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)伯格·度姆快餐店我們以伯格·度姆快餐店的等候線為例。伯格·度姆快餐店出售火腿漢堡、奶酪漢堡、法式油炸食品、軟飲料和奶昔，同時還有一些特色食品和甜點可供選擇。雖然伯格·度姆快餐店希望能為每位顧客提供即時的服務，但是很多時候，到達的顧客遠遠多于快餐店的服務人員所能接待的人數(shù)。因此，顧客不得不排隊等候點餐和取餐。伯格·度姆快餐店擔心它目前所用的顧客服務方式導致了過長的排隊時間。管理層希望通過對等候線進行研究，開發(fā)一個能夠減少排隊時間、提高服務質(zhì)量的最佳方式。單服務臺等候線在伯格·度姆快餐店目前所實行的運作方式中，一名服務生為一位顧客點餐，計算總費用，向顧客收取餐費，然后上菜。為第一位顧客上菜之后，這名服務生就可以為下一位排隊的顧客服務。這種運作方式就是一個單服務臺排隊模型的例子。11-1到達間隔分布

11-1服務時間分布

11-1排隊原則和穩(wěn)態(tài)運行就伯格·度姆快餐店的排隊（推廣到一般來講，可以是所有面向顧客的排隊）來說，我們是以先到先服務的原則來安排等候服務的顧客的，這種方式被稱作“FCFS排隊原則”。然而，有些情況要求有不同的排隊原則：在乘坐飛機時，最后登機的顧客往往會最先下飛機，因為有許多航空公司都是讓座位在飛機后排的乘客先登機。醫(yī)院急診室不會采用前面所述的任何一種排隊原則，而是賦予等候個體優(yōu)先次序，然后為具有最高優(yōu)先權(quán)的顧客最先提供服務。在本章中，我們只討論采用先到先服務排隊原則的排隊。當伯格·度姆快餐店早上開始營業(yè)時，店里沒有顧客，每位顧客從到達到最終被服務的時間存在明顯差別，因而沒有一定的排隊原則。漸漸地，營業(yè)開始正?；虺史€(wěn)定狀態(tài)。我們將開始或起始階段稱為過渡（瞬時）階段。當系統(tǒng)正?；蚍€(wěn)態(tài)運行時，過渡（瞬時）階段結(jié)束。排隊模型描述了排隊的穩(wěn)態(tài)運行特征。11-2到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的單服務臺排隊模型

11-2伯格·度姆快餐店問題的運行參數(shù)

伯格·度姆快餐店的單列服務臺排隊的計算結(jié)果給出了一些關(guān)于排隊運作的重要信息：11-2伯格·度姆快餐店問題的結(jié)果和改進管理者對排隊模型的應用伯格·度姆快餐店的單列服務臺排隊的計算結(jié)果表明顧客在點餐前的平均等待時間為3分鐘，這對以快速服務為宗旨的行業(yè)來說，多少有些長了點。此外，我們還注意到：等待中的顧客平均人數(shù)為2.25位。顧客不得不等待的概率為75%。有7個或更多顧客等待的概率為0.1335。這一數(shù)字表明，伯格·度姆快餐店的管理者應當考慮采取其他設(shè)計或計劃來改善單服務臺排隊運作方式。改善排隊運作伯格·度姆快餐店的管理者決定讓顧客在排隊的同時將自己的點餐單直接交給廚房，這樣等到顧客繳費的時候就可以同時獲得自己的餐點。按照這一設(shè)計，伯格·度姆快餐店的管理者預測：改變后的系統(tǒng)的平均服務率提高到1.25（位顧客/分鐘）。顧客排隊等候所花費的平均時間從3分鐘下降到了1.2分鐘。11-3到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的多服務臺排隊模型一個多服務臺排隊包括兩個或兩個以上服務臺，假設(shè)這些服務臺就服務能力而言是相同的。在多服務臺服務系統(tǒng)中存在兩種典型的情況：①顧客先是排在同一等候線里（也叫一個“集中”或“共享”隊列），等到自己接受服務的時候，就轉(zhuǎn)移到一個可以直接被服務的口那里去；②每個服務窗口有自己的隊列，新來的顧客選擇其中一個隊列排隊等候服務。在本章中，我們重點關(guān)注針對所有服務窗口的單個共享隊列的系統(tǒng)設(shè)計。本節(jié)中，我們將介紹確定多服務臺排隊穩(wěn)態(tài)運行參數(shù)的公式。這些公式的應用前提為下列條件成立：（1）到達服從泊松分布。（2）各個服務臺的服務時間服從指數(shù)分布。（3）各個服務臺的平均服務率μ相同。（4）到達者在單服務臺中排隊，然后移動到最先空閑下來的服務臺接受服務。11-3運行參數(shù)

11-3伯格·度姆快餐店問題的運行參數(shù)

我們可以計算出系統(tǒng)中有n位顧客的概率：

11-3穩(wěn)態(tài)運行參數(shù)現(xiàn)在，我們可以將雙服務臺系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運行參數(shù)與11.2節(jié)中所討論過的原始的單服務臺系統(tǒng)的運行參數(shù)進行對比：（1）一位顧客在系統(tǒng)中所花費的平均時間（等候時間加上接受服務時間）從W=4分鐘減少到W=1.1636分鐘。（2）排隊顧客的平均數(shù)從Lq=2.25位減少到Lq=0.1227位。（3）一位顧客排隊所花費的平均時間從Wq=3分鐘減少到Wq=0.1636分鐘。（4）某位剛到達的顧客必須等待的概率從Pw=0.75下降到Pw=0.2045。雙服務臺系統(tǒng)可以極大地改善排隊運行參數(shù)。排隊研究展示了三種排隊結(jié)構(gòu)的運行特征：原始的單服務臺系統(tǒng)、直接向廚房提交訂單的單服務臺系統(tǒng)和由兩個服務生處理訂單構(gòu)成的雙服務臺系統(tǒng)?？疾炝松鲜鼋Y(jié)果之后，伯格·度姆快餐店采用了下面的策略：在預計到達顧客為平均每小時45位的時間段內(nèi)，伯格·度姆快餐店將安排2個點餐臺，每個點餐臺有1個服務生。11-4排隊模型中的一般關(guān)系約翰·里特證明了下列4個參數(shù)之間存在幾種關(guān)系，并且這些關(guān)系適用于各種不同的排隊系統(tǒng)，無論到達是否服從泊松分布和服務時間是否服從指數(shù)概率分布。相關(guān)的運行參數(shù)如下：Lq=排隊顧客的平均數(shù)L

=系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)Wq=一位顧客排隊所花費的平均時間W

=一位顧客在系統(tǒng)中所花費的平均時間

11-5排隊的經(jīng)濟性分析經(jīng)理可能會做出決定：將系統(tǒng)中的平均等待時間控制在1分鐘或1分鐘以內(nèi)，并把等待服務的顧客的平均數(shù)控制在2位或2位以內(nèi)。利用前幾節(jié)中所討論的排隊模型，可以為實現(xiàn)該經(jīng)理的目標確定服務臺的數(shù)量。此外，經(jīng)理可能還會希望計算出運行排隊系統(tǒng)的成本，然后在每小時或每天的運行成本最小化的條件下，決定如何設(shè)計系統(tǒng)。在進行排隊的經(jīng)濟性分析之前，必須首先建立一個總成本模型，包括等候成本和服務成本。

11-5伯格·度姆快餐店問題的經(jīng)濟性分析

我們可以看出，服務成本隨著服務臺數(shù)的增加而提高；然而，更多的服務臺會帶來更好的服務，即等候時間及等候成本是隨著服務臺數(shù)量的增加而減少的。因此，我們可以通過對幾個設(shè)計方案進行評估求得最佳的服務臺數(shù)量，使得其對應的總成本接近于最低。11-6肯德爾排隊模型分類法D.G.肯德爾提出了一套符號，這套符號有助于對已有的許多不同的排隊模型進行分類?？系聽柗栂到y(tǒng)包含3個字母，具體形式如下：A/B/k其中：A=到達的概率分布B=服務時間的概率分布k=服務臺數(shù)根據(jù)在A或B的位置上出現(xiàn)的不同字母，可以描述出許多排隊系統(tǒng)。通常使用的標記字母如下：M=到達服從泊松分布或服務時間服從指數(shù)分布D=到達或服務時間是確定的或持續(xù)不變的G=到達或服務時間服從某種已知均值和標準差的一般概率分布例如，利用肯德爾符號法，我們可以將：到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的單服務臺排隊模型可以劃為M/M/1模型。到達服從泊松分布、服務時間服從指數(shù)分布的雙服務臺排隊模型可以劃為M/M/2模型。11-7到達服從泊松分布、服務時間為任意的單服務臺排隊模型

11-7哈氏海貨供應公司：M/G/1模型的示例

11-7定長服務時間

11-8到達服從泊松分布、服務時間任意且不排隊的多服務臺模型本節(jié)要講的排隊系統(tǒng)中，當系統(tǒng)滿載時，到達的個體受阻，并會離開系統(tǒng)。本節(jié)中所講到的這個特定模型是建立在下列假設(shè)基礎(chǔ)上的：（1）系統(tǒng)中有k個服務臺。（2）到達服從平均到達率為λ的泊松分布。（3）每個服務臺的服務時間可能服從某種概率分布。（4）每個服務臺的平均服務率μ是相同的。（5）當至少有一個服務臺空閑時，到達者才會進入系統(tǒng)。如果某個顧客在所有服務臺都繁忙時到達，則他會受到阻礙。在上述條件下的模型被稱為“即時制”M/G/K模型，其中，G表示服務時間服從一般或者某種不確定的分布。這種模型主要應用在電話系統(tǒng)和其他通信系統(tǒng)的設(shè)計中。其中，到達者是打進的電話，服務臺是可用的電話數(shù)或通信線路的數(shù)目。在這樣一個系統(tǒng)中，所有電話撥打的是同一個號碼。當所有的服務臺都忙碌時，再打進來的電話將接收到一個繁忙信號，并且不能進入系統(tǒng)。在這種情況下，要解決的問題是:“應該使用多少服務臺?”更重要的設(shè)計考慮因素包括確定服務臺數(shù)量如何影響受阻顧客的百分比。11-8即時制M/G/k模型的運行參數(shù)

11-8微型資料軟件公司：無等待的M/G/k模型微型資料軟件公司利用一套電話訂貨系統(tǒng)來為其計算機軟件產(chǎn)品進行相關(guān)服務。來電者可以通過撥打公司的800免費電話向公司訂貨。假設(shè)撥打該號碼的來電以λ=12個電話/小時的平均頻率到達。處理一個電話訂貨所需要的時間因訂貨要求不同而有很大不同。然而，預計微型資料軟件公司的每個銷售代表平均每小時處理6個電話，即μ=6個電話/小時。目前，該公司的800免費電話有3條內(nèi)線，每條內(nèi)線由一個銷售代表來操作。打進的800免費電話會自動切換到一條空閑的內(nèi)線。當3條內(nèi)線都繁忙時，來電者就會聽到一個表示系統(tǒng)繁忙的信號。過去，微型資料軟件公司的管理者曾假設(shè)，聽到忙音的來電者過些時候會再打過來。然而，最近對電話訂貨的一項研究表明，許多沒有打通電話的來電者并不一定會在稍后的時間再打一次。這些未打進的電話說明公司會遭受到利潤上的損失。因此公司的管理者提出要求，要對電話訂貨體系進行分析。公司管理者最想知道的是聽到忙音并且受到阻礙無法進入系統(tǒng)的來電者的比率。如果管理者的目的是讓此系統(tǒng)的能力達到能夠處理90%的來電者，那么，公司應該有多少條電話線、多少名銷售代表？11-8微型資料軟件公司的解決方案

11-9有限客源的排隊模型當對要求服務的顧客數(shù)量不加限制時，我們稱該模型為無限客源模型。在這種假設(shè)下，不管有多少顧客排隊，平均到達率λ均保持不變。大多數(shù)排隊模型都假設(shè)有無限客源。然而在有些時候，需要假設(shè)服務的個體或顧客的最高人數(shù)是限定的。此時，系統(tǒng)的平均到達率是變化的，并且取決于排隊顧客的數(shù)量，我們稱這種模型為有限客源模型。為了說明有限客源造成的影響，我們需要對前面講到的排隊模型的運行參數(shù)的計算公式進行修改。本節(jié)中所討論的有限客源模型基于以下假設(shè)：1.每位顧客的到達服從平均到達率為λ的泊松分布。2.服務時間服從平均服務率為μ的指數(shù)分布。3.有服務要求的顧客的人數(shù)是有限的。在前面所講的排隊模型中，λ是系統(tǒng)的平均到達率。在有限客源的情況下，系統(tǒng)的平均到達率因系統(tǒng)中顧客的數(shù)量不同而有所差別。對于每位顧客，我們假設(shè)服務完成后需要再服務的時間間隔平均為1/λ。11-9有限客源的M/M/1模型的運行參數(shù)

11-9可可美制造公司：機器維修問題在機器維修問題中，我們將一組機器看作有限客源的“顧客”，它們要求維修服務。當一臺機器出現(xiàn)故障時，就會要求一次新的維修，在這里就是指出現(xiàn)了新的到達者。如果第一臺機器的維修尚未完成，又有一臺機器出現(xiàn)故障，那么從第二臺機器開始形成一條排隊接受維修服務的“等候線”。如果更多機器出現(xiàn)故障，排隊的長度會加長。先到先服務的假設(shè)說明，這組機器按照它們出現(xiàn)故障的先后順序接受維修。M/M/1表明只有一人或一個服務臺可以提供維修服務。也就是說，為了使機器恢復正常運轉(zhuǎn)，必須以單服務臺的運作方式來維修出現(xiàn)故障的每臺機器。可可美制造公司有一組6臺相同的機器。每臺機器在維修后到再次遇到故障之前，平均運轉(zhuǎn)20個小時。因此，每臺機器的平均到達率（或稱每臺機器的維修服務要求次數(shù)）是λ=1/20=0.05/小時。在機器隨時會發(fā)生故障的情況下，我們可以用泊松分布來描述出現(xiàn)的機器故障。維修部門的一名員工為這6臺機器提供單服務臺的維修服務。服務時間服從指數(shù)分布，其中平均服務時間為每臺機器2小時，也就是說，平均服務率為μ=?=0.50（臺機器/小時）。11-9可可美制造公司的解決方案

最后可以利用方程7來計算維修系統(tǒng)中有任意臺機器出現(xiàn)故障的概率。一臺機器在得到維修之前，必須等候的平均時間為Wq=1.279小時；由Pw=0.5155可知，出現(xiàn)故障的機器中有50%以上必須等待服務。這些信息表明，或許需要一個雙服務臺系統(tǒng)來改善機器維修服務。有限客源多服務臺排隊模型運行參數(shù)的計算比單服務臺模型要復雜得多。此時，需要借助計算機進行求解。當有兩個維修人員時，可以使得出現(xiàn)故障的機器的平均等候時間減少到5分鐘，并可以將不得不等待接受維修服務的機器比率降低到10%。本章小結(jié)本章中，我們講述了一系列已有的排隊模型，這些模型能夠幫助管理者更好地做出有關(guān)排隊運作的決策。就每種模型我們介紹了一些公式，通過這些公式可以對所研究的系統(tǒng)的運行參數(shù)的進行計算或運作評估。主要的運行參數(shù)包括以下幾個方面：(1)系統(tǒng)中沒有顧客的概率(2)排隊顧客的平均數(shù)(3)系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)(4)一位顧客排隊所花費的平均時間(5)一位顧客在系統(tǒng)中所花費的平均時間(6)某位剛到達的顧客必須等待的概率我們還說明了如何通過建立一個總成本模型來對排隊進行經(jīng)濟性分析。其中，總成本模型中包括與等候服務的顧客相關(guān)的成本以及運行服務設(shè)施所需的成本。AnIntroductiontoManagementScience,16e第十二章、模擬章節(jié)內(nèi)容12-1 假定分析12-2 Sanotronics問題的模擬12-3 庫存模擬12-4 排隊模擬12-5 模擬注意事項

本章小結(jié)章節(jié)目標完成本章后，你將能夠:LO12.1 在不確定性決策問題中區(qū)分基本情況、最壞情況和最好情況LO12.2 確定何時適合用連續(xù)概率分布對不確定變量進行建模LO12.3 確定何時適合用離散概率分布對不確定變量進行建模LO12.4 利用計算機軟件實現(xiàn)靜態(tài)模擬模型并解釋其結(jié)果LO12.5 利用計算機軟件實現(xiàn)動態(tài)模擬模型并解釋其結(jié)果仿真概論實際應用本章介紹了使用模擬來評估不確定性對決策的影響。金融應用:投資規(guī)劃、項目選擇、期權(quán)定價。營銷應用:新產(chǎn)品開發(fā)和產(chǎn)品進入市場的時機。運營應用:項目管理、庫存管理、容量規(guī)劃和收益管理(主要應用于航空、酒店和汽車租賃行業(yè))。概率分布電子表格模擬分析需要一個邏輯公式的模型基礎(chǔ)，該模型要正確地表達參數(shù)和決策之間的關(guān)系，以生成期望的結(jié)果。例如，一個簡單的電子表格模擬模型可以通過給定從制造商購入的滑雪服數(shù)量以及客戶需求的滑雪服數(shù)量來計算服裝零售商的利潤。模擬分析擴展了該模型，用滑雪服需求的可能值的概率分布替換了滑雪服需求的確定值。滑雪服需求的概率分布不僅表示可能值的范圍，還表示不同需求水平的相對可能性。隨機變量與風險分析隨機變量為了用模擬模型評估一個決策，分析人員需要確定哪些參數(shù)具有不確定性，并將這些參數(shù)視為隨機或不確定變量。隨機變量或不確定變量的值是根據(jù)指定的概率分布隨機生成的。該模擬模型利用隨機變量的隨機值以及參數(shù)與決策之間的關(guān)系來計算結(jié)果的相應值并產(chǎn)生一個結(jié)果值的分布。風險分析在檢查了模擬結(jié)果后，分析人員通常能夠?qū)煽剌斎胩岢鰶Q策建議，以達到期望的平均結(jié)果并將結(jié)果波動控制在一定范圍。在存在不確定性的情況下做決定時，決策者不僅應該對平均結(jié)果或預期結(jié)果感興趣，還應該對有關(guān)的可能結(jié)果感興趣。具體來說，決策者對風險分析感興趣，即量化不希望出現(xiàn)的結(jié)果的可能性和程度。12-1Sanotronics公司利潤潛力的分析Sanotronics是一家為醫(yī)院和診所生產(chǎn)醫(yī)療設(shè)備的初創(chuàng)公司，開發(fā)了一種新設(shè)備的原型機，它可以降低醫(yī)護人員在準備、管理和處理危險藥物時化學藥品對他們的負面影響。Sanotronics想要一份關(guān)于該設(shè)備第一年利潤潛力的分析報告。由于Sanotronics緊張的現(xiàn)金流狀況，管理層特別擔心潛在的虧損。Sanotronics確定了第一年利潤的關(guān)鍵參數(shù)：p=單位銷售價格ca=第一年的行政和廣告成本cl=單位直接人工成本cp=單位零部件成本d=第一年的需求

在進行了市場研究和財務分析后，Sanotronics非常確定地估計，這款設(shè)備的售價將為每臺249美元，第一年的行政和廣告成本總計將為1000000美元。Sanotronics對直接人工成本、零部件成本和第一年的需求并不確定。在計劃階段，Sanotronics對這些輸入量的基本估計是單位直接人工成本為45美元，單位零部件成本為90美元，第一年的產(chǎn)品需求為15000臺。12-1假定分析基本情況

最壞情況和最好情況

12-2Sanotronics問題的模擬通過了解不良結(jié)果的潛在規(guī)模和概率，從而進行更徹底的風險評估，我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)向開發(fā)一個電子表格模擬模型。構(gòu)建電子表格模擬模型的第一步是用適當?shù)墓竭壿嫳硎据斎牒徒Y(jié)果之間的關(guān)系。通過更改輸入?yún)?shù)的一個或多個值，電子表格模型可以進行手動的What-If分析（例如，最好情況和最壞情況）。模擬模型不是手動輸入隨機變量的可能值，而是隨機為隨機變量生成值，以便使用的值反映我們在實踐中可能觀察到的情況。概率分布描述了一個隨機變量的可能值以及該隨機變量取這些值的可能性。分析人員可以使用歷史數(shù)據(jù)和隨機變量的知識（如極差、均值、眾數(shù)和標準差）來指定隨機變量的概率分布。12-2用概率分布來表示隨機變量Sanotronics認為單位直接人工成本將為43～47美元，并由離散概率分布來描述。Sanotronics認為單位零部件成本將為80～100美元,并決定用均勻概率分布來描述零部件成本的不確定性。Sanotronics認為第一年的需求可以用正態(tài)概率分布來描述。第一年的平均或預期需求為15000臺，4500臺的標準差描述了第一年需求的可變性。12-2用Excel生成隨機變量的值為了模擬Sanotronics的問題，我們必須為這三個隨機變量生成值并計算利潤。一組隨機變量稱為一個試驗，然后生成另一個試驗，計算第二個利潤值，依此類推。我們持續(xù)這一過程，直到確信已經(jīng)進行了足夠的試驗來描述利潤的概率分布。簡單地說，模擬就是生成隨機變量的值并計算相應結(jié)果的過程。在Sanotronics模型中，必須為單位直接人工成本、單位零部件成本和第一年的需求量對應的隨機變量生成有代表性的值。為了說明如何生成這些值，我們需要引入計算機生成的隨機數(shù)的概念。計算機生成的隨機數(shù)是從0到1的數(shù)值，但不包括1，這個區(qū)間記為[0,1）。計算機生成的隨機數(shù)的所有值都是等可能的，因此在從0到1的區(qū)間內(nèi)均勻分布。計算機生成的隨機數(shù)可以通過計算機模擬程序包和電子表格中的內(nèi)置函數(shù)獲得。例如，在Excel工作表的單元格中輸入公式=RAND（），單元格中就會顯示從0到1之間的隨機數(shù)。12-2Sanotronics問題的隨機值(1/2)單位直接人工成本

單位零部件成本

12-2Sanotronics問題的隨機值(2/2)第一年的需求

12-2Sanotronics的Excel公式工作表單元格B4和B5包含靜態(tài)值p和ca。單元格B6、B7和B8中這些參數(shù)的靜態(tài)值被替換為單元格公式，這些公式將在重新隨機生成值cd,cp,和d。單元格B6通過使用VLOOKUP函數(shù)在單元格A15:C19中包含的區(qū)間表（與表12-1相對應）中查找相應的單位成本cd。單元格B7分別引用單元格F14和F15來規(guī)定零部件成本均勻分布的下限和上限來生產(chǎn)單位零部件成本的隨機值。單元格B8分別引用單元格F18和F19來規(guī)定第一年需求的正態(tài)分布的均值和標準差來生成第一年的需求的值。利潤公式包含在單元格B11中。12-2用Excel進行模擬試驗模擬中的每次試驗都涉及生成隨機變量的值（直接人工成本、零部件成本和第一年的需求）并計算利潤。為了建立執(zhí)行1000個模擬試驗的電子表格，我們構(gòu)建了數(shù)據(jù)表。A22：A1021表示1000次模擬試驗。為了填充數(shù)據(jù)表的單元格A23～E1021，我們執(zhí)行以下步驟：步驟1：選擇單元格范圍A22：E1021。步驟2：點擊功能區(qū)中的數(shù)據(jù)選項卡。步驟3：在數(shù)據(jù)工具“Forecast”組中單擊模擬分析，并選擇模擬運算表。步驟4：當“DataTable”對話框出現(xiàn)時，將電子表格中的任何空白單元格輸入到輸入引用列的單元格框中。步驟5：點擊“OK”。12-2模擬輸出在執(zhí)行數(shù)據(jù)表的模擬后，A21:E1021表中的每一行對應于一個不同的模擬試驗，其中隨機變量的值各不相同。每個1000個模擬試驗中，單位直接人工成本、單位零件成本和第一年需求的組合產(chǎn)生一個模擬利潤值。這里展示的是1000個模擬試驗中前六個試驗的結(jié)果。12-2測量模擬輸出

12-2分析模擬輸出我們觀察到平均利潤為717663美元，標準差為521536美元，極端值分別是-996547美元和2253674美元，估計虧損概率為0.078。為了可視化這些描述性統(tǒng)計數(shù)據(jù)的利潤分布，我們使用Excel的FREQUENCY函數(shù)和柱狀圖。單元格J23：J41包含單元格E22：E1021中列出的1000個模擬利潤觀測值的分組的上限。步驟1：選擇單元格K23：K42。步驟2：在公式欄中，鍵入公式=FREQUENCY（E22：E1021，J23：J41）。步驟3：輸入步驟2中的公式后，按下CTRL+SHIFT+ENTER。Excel中按CTRL+SHIFT+ENTER表示函數(shù)應該返回一個值數(shù)組來填充單元格范圍K23：K42。例如，單元格K23包含小于–1500000美元的利潤觀測值的個數(shù)；單元格K24包含大于或等于–1500000美元且小于–1250000美元的利潤觀測值的個數(shù)，依此類推。12-2可視化模擬輸出根據(jù)該頻數(shù)生成柱狀圖：步驟1：選擇單元格J23：K42。步驟2：單擊功能區(qū)上的插入選項卡。步驟3：單擊圖表中的插入柱形圖。步驟4：當柱形圖子類型列表出現(xiàn)時，單擊二維柱形圖中的簇狀柱形圖。比較模擬分析和What-If分析可以看出，模擬分析能夠提供更多的信息。從模擬運算結(jié)果中，我們發(fā)現(xiàn)最壞情況和最好情況雖然理論上存在，但是概率很低，幾乎不可能發(fā)生。事實上，利用模擬來進行風險分析的優(yōu)勢在于它能提供結(jié)果值的頻率信息?，F(xiàn)在，我們知道了虧損的概率、利潤的概率分布以及最有可能的利潤值。12-3巴特爾電氣公司：庫存模擬本節(jié)將描述如何使用模擬來為需求不確定的產(chǎn)品做出庫存決策。以巴特爾電氣公司生產(chǎn)的無線路由器為例，每個無線路由器的成本為75美元，銷售價格是125美元，因此巴特爾電氣公司能夠從每臺產(chǎn)品中獲得毛利潤125-75=50（美元）.無線路由器的月需求服從正態(tài)分布，均值為100臺，標準差為20臺。在每月月初，巴特爾電氣公司的供應商會向巴特爾電氣公司發(fā)貨，巴特爾電氣公司將其庫存補充至Q水平。這個起始庫存水平被稱為補貨水平。如果月需求低于補貨水平，則沒有賣出去的產(chǎn)品的庫存持有成本為每單位15美元；如果月需求大于補貨水平，就會造成缺貨，從而產(chǎn)生缺貨費用。巴特爾電氣公司要支付給每個需求未被滿足的顧客30美元的信譽費，為此公司的單位缺貨成本為30美元。管理人員想通過模擬模型來確定不同補貨水平下的平均月凈利潤。同時，公司管理層也希望知道總需求被滿足的百分比，這個百分比被稱為服務水平。12-3巴特爾電氣公司：問題表達式巴特爾電氣公司模擬模型的可控輸入量是補貨水平Q，不確定輸入量為月需求D；兩個輸出指標為平均月凈利潤和服務水平。服務水平將在模擬過程的最后，通過計算銷售總量與總需求的比率得出。情況1:D≤Q當需求小于等于補貨水平Q時（D≤Q），D臺被賣出，且Q-D臺留在庫存中的持有成本為每臺15美元，則凈利潤如下：毛利潤=50D持有成本=15（Q-D）凈利潤=毛利潤-持有成本=50D-15（Q-D）情況2:D>Q當需求大于補貨水平Q時（D＞Q），Q臺無線路由器被售出，未被滿足的需求為D-Q，每臺未被滿足的需求的損失為30美元。這種情況下的凈利潤如下。毛利潤=50Q缺貨成本=30（D-Q）凈利潤=毛利潤-缺貨成本=50Q-30（D-Q）12-3巴特爾電氣公司：模擬流程圖下面的流程圖規(guī)定了模擬巴特爾電氣公司庫存系統(tǒng)所需要的邏輯和數(shù)字操作的順序，模擬中的每次試驗代表1個月的運作狀況。在給定補貨水平Q的前提下進行1000次試驗，然后平均利潤和服務水平兩項輸出測度經(jīng)計算得出。12-3巴特爾電氣公司：仿真模型

12-3巴特爾電氣公司：模擬工作表12-3巴特爾電氣公司：模擬結(jié)果使用上一步描述的步驟生成單元格A18：G1017中的模擬試驗表和匯總統(tǒng)計信息。匯總統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，如果巴特爾電氣公司使用100的補貨水平來運行其庫存系統(tǒng)，那么在1000個月內(nèi)可以得到的預期結(jié)果。平均凈利潤為4276美元/月，服務水平為92.4%。最可能的月凈利潤水平在4750美元到5000美元之間，但也有可能低于1000美元。通過將補貨水平Q從100調(diào)整到140，可以使用模擬模型來識別更好的作業(yè)策略。下表顯示，在Q=120時凈利潤最大，而標準差隨著Q的增加而增加，這表明，隨著巴特爾電氣公司補貨水平的增加，在需求高的月份，它可以實現(xiàn)更多的銷售，但在需求低的月份，其庫存成本也會增加?；谶@些結(jié)果，巴特爾電氣公司選擇了Q=120的補貨水平。12-4排隊模擬我們稱Sanotronics問題和巴特爾電氣公司庫存問題這類模擬模型為靜態(tài)模擬模型。本節(jié)我們設(shè)計了一個排隊的模擬模型，其系統(tǒng)狀態(tài)包括排隊顧客的數(shù)量以及服務設(shè)備是忙碌還是空閑等，都是隨著時間而變化的。我們利用一個模擬時鐘來記錄顧客到達的時間和每個顧客完成服務的時間，從而把時間因素納入模擬模型中。這個必須考慮系統(tǒng)是如何隨時間變化的模擬模型被稱為動態(tài)模擬模型。這種情形中，顧客到達和離開是發(fā)生在離散時間點上的事件，這種模擬模型也被稱為離散事件模擬模型。在排隊模擬中，隨機變量是顧客的到達時間和服務臺的服務時間，它們共同決定了顧客的等待時間和完成時間。第11章中，我們提出公式來計算排隊穩(wěn)定狀態(tài)的運行特征，大部分情況下，排隊模型的計算公式是基于對顧客到達的概率分布、服務時間的概率分布以及排隊規(guī)則等的特定假設(shè)的。當這些排隊公式所要求的前提假設(shè)不符合特定假設(shè)時，模擬提供了一種直接的方法來捕捉排隊系統(tǒng)的瞬態(tài)特征。12-4黑綿羊圍巾公司：離散事件模擬

本節(jié)討論如何利用模擬來分析黑綿羊圍巾公司質(zhì)檢部門排隊的穩(wěn)態(tài)特性。黑綿羊圍巾公司準備在來年再增加幾臺生產(chǎn)設(shè)備。每臺新生產(chǎn)設(shè)備都配一個質(zhì)檢員，在羊毛圍巾配送給零售商之前對其針織質(zhì)量進行檢測。羊毛圍巾到達質(zhì)檢部門處的頻率在每個工作日24小時內(nèi)是變化的。在有些繁忙的時間段，等待檢測的羊毛圍巾需要排很長時間的隊，這可能會耽誤出貨。這一問題迫使黑綿羊圍巾公司將圍巾流入質(zhì)檢部門的過程看作排隊進行研究。黑綿羊圍巾公司的副總裁想知道每臺設(shè)備每個輪班配置一個質(zhì)檢員是否足夠。公司的服務準則要求待檢樣品的等待時間不能超過一分鐘。下面我們將展示如何用一個模擬模型研究特定生產(chǎn)設(shè)備上的質(zhì)量檢驗過程。注意：由于圍巾在整個系統(tǒng)中作為基本的流動單元，因此可將其視為“顧客”。12-4黑綿羊圍巾公司：隨機變量顧客（圍巾）到達時間

顧客（圍巾）服務（檢驗）時間

12-4黑綿羊圍巾公司：

模擬流程圖間隔時間和服務時間是黑綿羊圍巾公司模擬模型的不確定輸入量，質(zhì)檢員的數(shù)量是可控輸入量，輸出量為模型的各種運行指標（特征），如等待的概率、平均等待時間、最大等待時間等。右圖是一張流程圖，定義了模擬黑綿羊圍巾公司系統(tǒng)所要求的邏輯和數(shù)學操作程序，這個流程圖用到的標識符號如下：IAT=系統(tǒng)生成的間隔時間到達時間（i）=圍巾i到達的時間開始時間（i）=圍巾i開始服務的時間等待時間（i）=圍巾i的等待時間ST=系統(tǒng)生成的服務時間（質(zhì)檢時間）完成時間（i）=圍巾i完成服務的時間系統(tǒng)時間（i）=圍巾i的系統(tǒng)時間（完成時間-到達時間）12-4黑綿羊圍巾公司：一個質(zhì)檢員情況下的模擬我們用Excel工作表模擬出黑綿羊圍巾公司1000條圍巾質(zhì)檢的排隊系統(tǒng)的運行情況，如下張PPT中的工作表所示。注意：圍巾3～998之間的模擬結(jié)果因為篇幅原因被隱藏了，如果需要可以完全顯示出來。由于黑綿羊圍巾公司的生產(chǎn)設(shè)備24小時工作，我們把前100條圍巾的結(jié)果看作起始階段，以避免瞬時效應的影響。因此，統(tǒng)計概要只考慮穩(wěn)定運行階段到達的900條圍巾的相關(guān)信息。這些統(tǒng)計概要表明黑綿羊圍巾公司的900條圍巾中有531條必須等待，這個結(jié)果表明圍巾必須等待服務的概率為531/900=0.59，換句話說，大約59%的圍巾必須等待正在忙碌的檢驗員。每條圍巾的平均等待時間為1.21分鐘，最少有一條圍巾必須等待最長的8.6分鐘。0.7829的利用率表明質(zhì)量檢驗員在78%的時間內(nèi)是忙碌的，900條圍巾中379條等待時間超過1分鐘（占42%）。從等候時間分布圖中，我們觀察到有17條圍巾（占2%）必須等待6分鐘以上。12-4黑綿羊圍巾公司：一個質(zhì)檢員情況下的模擬工作表12-4黑綿羊圍巾公司：兩個質(zhì)檢員情況下的模擬模擬結(jié)果支持這樣的結(jié)論：質(zhì)檢部門將是忙碌的。這樣的系統(tǒng)下，圍巾平均等待時間為1.21分鐘，無法滿足黑綿羊圍巾公司服務準則的要求。黑綿羊圍巾公司有充分的理由為生產(chǎn)設(shè)備配置第二個質(zhì)檢員或者是提高質(zhì)檢效率。我們將模型擴展成兩個質(zhì)檢員的模擬模型，對第二個質(zhì)檢員，我們?nèi)匀患僭O(shè)服務時間服從均值為2、標準差為0.5的正態(tài)分布。下一張PPT顯示了使用兩名質(zhì)量檢查員對1000條圍巾進行質(zhì)檢的排隊系統(tǒng)的運行情況。注意，在這個模型中，我們添加了兩列，I列和J列，這兩列顯示了每位質(zhì)量檢查員何時可以為圍巾提供服務。我們假設(shè)，當新圍巾到達時，由最先空閑下來的質(zhì)檢員提供服務給新圍巾，當模擬開始時，圍巾1被分配到質(zhì)檢員1。使用兩名質(zhì)量檢查員后，觀察到了以下顯著改善：等待的概率：59%→9.7%平均等待時間：1.2