專題84直線平面平行的判定及性質(zhì)（知識點講解）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點講解真題測試（新教材新高考）

專題8.4直線、平面平行的判定及性質(zhì)（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題，凸顯邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【知識點展示】（一）空間平行關(guān)系1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α3.判斷或證明線面平行的常用方法：利用線面平行的定義，一般用反證法；利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言的敘述；)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)． （二）平行關(guān)系中的三個重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.(3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.【?？碱}型剖析】題型一：與線、面平行相關(guān)命題的判定例1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若m//，m//n，則n// B．若m//，n//，則m//nC．若m//，n，則m//n D．若m//，m，＝n，則m//n【答案】D【解析】【分析】舉例說明判斷A，B，C；利用線面平行的性質(zhì)判斷D作答.【詳解】如圖，長方體中，平面視為平面，對于A，直線AB視為m，直線視為n，滿足m//，m//n，而，A不正確；對于B，直線AB視為m，直線BC視為n，滿足m//，n//，而m與n相交，B不正確；對于C，直線AB視為m，直線視為n，滿足m//，n，顯然m與n是異面直線，C不正確；對于D，由直線與平面平行的性質(zhì)定理知，D正確.故選：D例2.（2022·上海靜安·二模）在下列判斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數(shù)是（

）.（1）、都垂直于平面r，那么∥.（2）、都平行于平面r，那么∥.（3）、都垂直于直線l，那么∥.（4）如果l、m是兩條異面直線，且∥，∥，∥，∥，那么∥A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相關(guān)結(jié)論分析可得結(jié)果.【詳解】由面面平行的判定定理分析可知（1）錯，（2），（3），（4）正確.故選：D例3．（四川·高考真題（文））下列命題正確的是（）A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D．若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行【答案】C【解析】【詳解】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項C正確.例4.（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））若，是兩個不同平面，，是兩條不同直線，則下列4個推斷中正確的是（

）A．，，，B．，，C．，，，D．，，【答案】A【解析】【分析】利用線面，面面位置關(guān)系逐項分析即得.【詳解】對于A，如圖，，，結(jié)合，，可知，故A正確；對于B，如圖，，可能異面，故B錯誤；對于C，如圖，，可能相交，故C錯誤；對于D，如圖，可能相交，故D錯誤.故選：A．【方法技巧】直線、平面間平行的判定方法(1)關(guān)注是否符合判定定理與性質(zhì)定理，并注意定理中易忽視的條件．(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．(3)利用實物進(jìn)行空間想象，比較判斷．(4)熟記一些常見結(jié)論，如垂直于同一條直線的兩個平面平行等．題型二：直線與平面平行的判定例5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，、、、、分別是、、、、的中點，給出下列四個判斷：①平面；②平面；③平面；④平面，錯誤的序號為___________.【答案】①②④【解析】【分析】連接、、、、、、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合假設(shè)法可判斷①②③④的正誤.【詳解】連接、、、、、、、，在三棱柱中，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，、分別為、的中點，則且，故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，故平面，同理可證四邊形為平行四邊形，則，，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，則平面，，故平面平面，平面，則平面，③對；對于①，若平面，，則平面平面，因為過點且與平面平行的平面只有一個，矛盾，故①錯，同理可知，②④均錯.故答案為：①②④.例6.【多選題】（2017·全國·高考真題（文））如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】【分析】利用線面平行判定定理逐項判斷可得答案．【詳解】對于選項A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關(guān)系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯誤；對于選項B，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；對于選項C，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；對于選項D，由于AB∥CD∥NQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；故選：BCD例7.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面，分別是，的中點.記平面與平面的交線為，求證：直線平面【答案】證明見解析【解析】【分析】先通過可得出平面，再利用線面平行的性質(zhì)即可證明.【詳解】因為分別是的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，又平面，平面與平面的交線為，所以，而平面，平面，所以平面PAC.【總結(jié)提升】證明直線與平面平行的方法(1)線面平行的定義：一條直線與一個平面無公共點(不相交)．(2)線面平行的判定定理：關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與已知直線平行的直線．常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊、成比例線段出現(xiàn)平行線或過已知直線作一平面找其交線．注意內(nèi)外平行三條件，缺一不可．題型三：線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用例8.（福建·高考真題（文））如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可得,再根據(jù)為的中點可得為的中點,從而根據(jù)三角形的中位線可得.【詳解】如圖:因為平面,平面,且平面平面,所以,又因為為的中點,所以為的中點,所以,因為正方體的棱長為2.所以,所以.故答案為:.例9.(2019·全國卷Ⅰ改編)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．證明：MN∥平面C1DE.【答案】見解析【解析】證明:連接B1C，ME.因為M，E分別為BB1，BC的中點，所以ME∥B1C，且ME＝B1C．又因為N為A1D的中點，所以ND＝A1D．由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED．又MN平面C1DE，ED?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.證明：FG∥平面AA1B1B．【答案】見解析【解析】證明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1?平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【總結(jié)提升】1.思路方法：(1)通過線面平行可得到線線平行，其中一條線應(yīng)是兩平面的交線，要樹立這種應(yīng)用意識．(2)利用線面平行性質(zhì)必須先找出交線．2.易錯提醒（1）在推證線面平行時，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤.（2）線面平行關(guān)系證明的難點在于輔助面和輔助線的添加，在添加輔助線、輔助面時一定要以某一性質(zhì)定理為依據(jù)，絕不能主觀臆斷.（3）解題中注意符號語言的規(guī)范應(yīng)用.題型四：平面與平面平行的判定與性質(zhì)例11.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知長方體中，，，，分別為棱和的中點，為長方體表面上任意一點．若平面，則的最大值為（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性質(zhì)結(jié)合題意可確定點所在的平面，再由平面幾何的性質(zhì)即可確定的值為最大值時的位置，即可求解【詳解】如圖所示，取，分別為棱和的中點，連接,由題意易知，所以；又易知，故可以證明平面平面；又平面，由面面平行的性質(zhì)可知平面，所以由題意可知在等腰梯形四條邊上運動，過點作，交于點，由題意可知,所以,所以，又，所以故當(dāng)與點重合時，的值為最大值，此時；故選：C例12.（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，平面平面，所在的平面與，分別交于和，若，，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)，證得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，平面平面，所在的平面與，分別交于和，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得，所以，因為，，，所以.故答案為：.例13.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點.求證：平面平面BDF【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)，可證明平面；又，可得平面.進(jìn)而根據(jù)線面平行證明面面平行.【詳解】證明：在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，所以.因為，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以又平面BDF，平面BDF，所以平面.同理，，又平面BDF，平面BDF，所以平面.又，平面，所以平面平面例14.（陜西·高考真題（文））如圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,.（1）證明:平面A1BD//平面CD1B1;（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）1.【解析】【詳解】試題分析：（1）要證明⊥平面，只要證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可，由已知可證出⊥BD，取的中點為，通過證明四邊形為正方形可證⊥．由線面垂直的判定定理問題得證；（2）由已知是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABD﹣A1B1D1的體積試題解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性質(zhì)可得BB1和DD1平行且相等，故四邊形BB1D1D為平行四邊形，故有BD和B1D1平行且相等．而BD不在平面CB1D1內(nèi)，而B1D1在平面CB1D1內(nèi)，∴BD∥平面CB1D1．同理可證，A1BCD1為平行四邊形，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD內(nèi)的兩條相交直線，故有平面A1BD∥平面CD1B1．（Ⅱ）由題意可得A1O為三棱柱ABD﹣A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O===1，∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的體積V=S△ABD?A1O=?A1O=×1=1．【規(guī)律方法】1.證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定