531單調(diào)性（2）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練（2019選擇性）

5.3.1單調(diào)性（2）（滿分100分時(shí)間：40分鐘）班級(jí)姓名得分一、單項(xiàng)選擇題：（本題共5小題，每小題5分，共25分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.）1．若且，且，且，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知中三個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù)變形特點(diǎn)，可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小【詳解】解：令（），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，所以，所以因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是對(duì)已知的等式變形后，正確構(gòu)造函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性，再比較大小，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題2．若函數(shù)對(duì)任意的都有成立，則與的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．無(wú)法比較大小【答案】A【分析】令，由結(jié)合題設(shè)，可知在上單調(diào)遞減，即，即可確定與的大小關(guān)系.【詳解】令，則，∵對(duì)任意的都有成立，∴，即在上單調(diào)遞減，又，∴，即，可得.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)已知條件構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而比較函數(shù)值的大小.3．已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，若對(duì)任意的，都有，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】不等式變形為，引入函數(shù)，確定其單調(diào)性后可解不等式．【詳解】設(shè)，則，所以是增函數(shù)，不等式變形為，即，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性后解不等式．4．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，且，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可知在上單調(diào)遞增，有在上恒成立，即恒成立，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求的范圍.【詳解】由題設(shè)，對(duì)任意的，且，都有，∴在上單調(diào)遞增，則，即恒成立，若，則，∴上，單調(diào)遞減；上，單調(diào)遞增.∴，故有.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷在上單調(diào)遞增，即，應(yīng)用參變分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，并構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而確定參數(shù)范圍.5．若函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性得到關(guān)于以及，求出不等式的解集即可．【詳解】解：令，則，當(dāng)時(shí)，，故即在上單調(diào)遞增，是偶函數(shù)，，，是偶函數(shù)，，等價(jià)于即，為偶函數(shù)，在遞增，在遞減，，解得：，故選：B．二、多選題6．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在函數(shù)上存在點(diǎn)，使得函數(shù)過(guò)該點(diǎn)的切線與只有一個(gè)交點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)可作兩條切線與函數(shù)相切C．D．的值與2的關(guān)系不確定【答案】AC【分析】求出在點(diǎn)處的切線，設(shè)，由導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，研究函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷選項(xiàng)A；求出在點(diǎn)處的切線將和、代入，構(gòu)造函數(shù)判斷方程有無(wú)實(shí)根即可判斷選項(xiàng)B；求出的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，證明，即，即，根據(jù)的單調(diào)性可得出結(jié)論，可判斷選項(xiàng)C和D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)椋O(shè)點(diǎn)處切線為，則切線為，設(shè)，所以，由可得：；由可得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，令則，可得在單調(diào)遞增，而，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)點(diǎn)則切線為，若切線過(guò)點(diǎn)，可得，即，令，則，由可得：；由可得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以無(wú)解，所以不存在過(guò)點(diǎn)的切線，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C和D：，所以可得在單調(diào)遞增，由，，設(shè)，記，（），則，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，即即，即，根?jù)在單調(diào)遞增，可得，所以，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.【點(diǎn)睛】求曲線過(guò)點(diǎn)的切線的方程的一般步驟是：（1）設(shè)切點(diǎn)，（2）求出在處導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)處的切線斜率；（3）構(gòu)建關(guān)系，解得；（4）由點(diǎn)斜式求得切線方程.7．若實(shí)數(shù)，，滿足，則（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意可得、、，根據(jù)，即可得到的取值范圍，再利用作差法及函數(shù)的性質(zhì)判斷，再設(shè)，，即可得到、的關(guān)系，從而得解．【詳解】解：因?yàn)榧此裕?，．由，故，．即，故A正確；因?yàn)椋?，所以，而函?shù)，，易知時(shí)，，在上遞增，故．所以．設(shè)，則，，所以，即，所以因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，，所以，所以因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以，所以，故正確的有AC，故選：．8．如果定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，都有，則稱函數(shù)為“H函數(shù)”，下列函數(shù)是“H函數(shù)”的有（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】新定義變形為函數(shù)是增函數(shù)，因此只要確定函數(shù)是不是增函數(shù)即可得．【詳解】因?yàn)椋?，即時(shí)，恒成立，因此是增函數(shù)，時(shí)，為偶函數(shù)，在定義域內(nèi)不可能是增函數(shù)，A不滿足新定義；，則恒成立，所以是上的增函數(shù)，滿足新定義；，恒成立，是上的增函數(shù)，滿足新定義；時(shí)，，不是定義域內(nèi)的增函數(shù)，不滿足新定義．故選：BC．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，通過(guò)變形新定義轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)或單調(diào)性定義確定函數(shù)在定義域內(nèi)是否為增函數(shù)即可得．三、填空題9．已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，則的最大值為_____________．【答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，由為上的增函數(shù)可知恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，△，從而可得，兩邊同乘可得，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最大值．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以恒成立，所以，△，又，所以，則由△，可得，兩邊同時(shí)乘以，可得，令，，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的基本性質(zhì)以及最值的求法．10．已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且，則的取值范圍是______．【答案】【分析】先求解出，然后根據(jù)極值點(diǎn)確定出滿足的關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)解析式以及的關(guān)系式將化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)并分析其單調(diào)性和值域，由此求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，且，是兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，是的兩個(gè)根，所以，滿足，又因?yàn)?，所以且，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以解得，令，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)中求解雙變量問(wèn)題的一般步驟：（1）先根據(jù)已知條件確定出變量滿足的條件；（2）將待求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題，同時(shí)注意將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，具體有兩種可行的方法：①通過(guò)將所有涉及的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量（亦可）的函數(shù)問(wèn)題；②通過(guò)的乘積關(guān)系，用表示（用表示亦可），將雙變量問(wèn)題替換為（或）的單變量問(wèn)題；（3）構(gòu)造關(guān)于或的新函數(shù)，同時(shí)根據(jù)已知條件確定出或的范圍即為新函數(shù)定義域，借助新函數(shù)的單調(diào)性和值域完成問(wèn)題的分析求解.11．設(shè)函數(shù)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值集合為________．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的圖象，進(jìn)而根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合即可得解；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，極小值為；作出函數(shù)的圖象如圖：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)b的取值集合為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，涉及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合思想等，屬于中檔題．本題解題的關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.四、解答題12．已知函數(shù)（為常數(shù)），函數(shù)，（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，已知方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且；方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且．求證：．【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，k）上單調(diào)遞減，在（k，+∞）上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）證明見解析；

（Ⅲ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，求出，分和兩種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；

（Ⅱ）將k=1代入f（x），然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可證明；

（Ⅲ）利用分析法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f（2x1）f（x1）＜0，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（2x）f（x），x（0，1），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性以及函數(shù)值，即可證明．【詳解】（Ⅰ）解：由題意可知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令f'（x）=0，解得x=k，

當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，則f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)k時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，k）上單調(diào)遞減，在（k，+∞）上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）證明：當(dāng)k=1時(shí)，，則故；

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知，方程f（x）=m與g（x）=m的根互為倒數(shù)，

又因?yàn)榉匠蘤（x）=m有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2且0＜x1＜1＜x2，

方程g（x）=m有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x3，x4，且0＜x3＜1＜x4，

所以，，可得x1x4=1，x2x3=1，

所以x1（1+x4）+x2（1+x3）=x1+x2+x1x4+x2x3=x1+x2+2，

故要證x1（1+x4）+x2（1+x3）＞4，只需證明x1+x2＞2，

要證x1+x2＞2，只需證x2＞2x1，

因?yàn)?＜x1＜1＜x2，所以2x1＞1，

因?yàn)閒（x）在（1+∞）上單調(diào)遞增，所以只需證f（x2）＞f（2x1），

進(jìn)而只需證f（2x1）f（x2）＜0，

因?yàn)閒（x1）=f（x2），只需證明f（2x1）f（x1）＜0，

構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（2x）f（x），x∈（0，1），

則，

所以函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，又h（1）=0，

所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＜0，

則f（2x1）f（x1）＜0，即f（2x1）＜f（x2），

所以2x1＜x2，即x1+x2＞2，

故x1（1+x4）+x2（1+x3）＞4．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)，一般會(huì)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的取值情況進(jìn)行研究13．已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)解.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，分，，三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）依題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有唯一的實(shí)數(shù)解，令，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊點(diǎn)的函數(shù)的符號(hào)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得證.【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)造增；當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，函數(shù)單調(diào)遞增.（2）依題意，，即，令，則；當(dāng)時(shí)，令，則在R上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，故存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，故?dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)；即關(guān)于x的方程有唯一實(shí)數(shù)解.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．14．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）0；（2）答案見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，運(yùn)用分類討論思想