吉林省松原市前郭爾羅斯蒙古族自治縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

吉林省松原市前郭爾羅斯蒙古族自治縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考試模塊：選擇性必修第一冊考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前,考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3.考生作答時,請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍:空問向量與立體幾何、直線與圓的方程、圓錐曲線。一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的斜率為A. B. C. D.2.已知橢圓的兩個焦點分別為，點是上一點，且，則的方程為A. B. C. D.3.已知圓與圓相交于A，B兩點，則直線AB的方程為A. B. C. D.4.如圖，在四面體ABCD中，是棱AB上一點，且是棱CD的中點，則A. B.C. D.5.在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小2，則點的軌跡方程為A. B. C. D.6.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是上一點，且，，則的漸近線方程為A. B. C. D.7.某市舉辦青少年機器人大賽，組委會設(shè)計了一個正方形場地ABCD（邊長為8米）如圖所示，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點，在場地ABCD中設(shè)置了一個半徑為米的圓，圓與直線AB相切于點.比賽中，機器人從點出發(fā)，經(jīng)過線段AG上一點，然后再到達圓，則機器人走過的最短路程是A.米 B.米 C.米 D.米8.已知離心率為的橢圓的短軸長為，直線過點且與橢圓交于A，B兩點，若，則直線的方程為A. B. C. D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知的三個頂點是，則A.邊BC的長度是 B.直線BC的方程為C.邊BC上的高所在直線的方程為 D.的面積是410.已知為坐標原點，拋物線的焦點為，準線為直線，直線PQ與交于P，Q兩點.則下列說法正確的是A.點到直線的距離是4B.若PQ的方程是，則的面積為3C.若PQ的中點到直線的距離為3，則D.若點在直線PQ上，則11.已知正方體的棱長為1，動點在正方形內(nèi)（包含邊界），則下列說法正確的是A.若，則B.若，則直線AP和所成角為C.若.則點的軌跡長度為D.若，則點到直線BP的距離的最小值為三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，則以的交點為圓心，且經(jīng)過點的圓的方程是_________________.13.已知直線，拋物線的準線是，點是上一點，若點到直線的距離分別是，則的最小值是______________.14.已知為坐標原點，，點是直線上一點，若以為圓心，2為半徑的圓上存在點，使得，則線段OE長度的取值范圍是_________________.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知的外接圓為圓.（1）求圓的方程;（2）已知直線與圓交于E，F(xiàn)兩點，求的面積.16.（本小題滿分15分）如圖，在直三棱柱中，為BC的中點.（1）求證:直線A1C//平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）已知雙曲線的離心率是，焦距為6.（1）求的方程;（2）若直線與相交于A，B兩點，且（為坐標原點），求的值.18.（本小題滿分17分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為6的正方形，是等邊三角形，平面MAB⊥平面ABCD.（1）求平面CDM與平面ABM所成二面角的正弦值;（2）已知E，F(xiàn)，G分別是線段AM，DM，CD上一點，且，若是線段BM上的一點，且點到平面EFG的距離為，求的值.19.（本小題滿分17分）極點與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德?迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點（不是坐標原點）對應(yīng)的極線為.已知橢圓的長軸長為，左焦點與拋物線的焦點重合.對于橢圓，極點對應(yīng)的極線為，過點的直線與橢圓交于M，N兩點，在極線上任取一點，設(shè)直線MQ，NQ，PQ的斜率分別為均存在）.（1）求極線的方程;（2）求證:;（3）已知過點且斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，直線PA，PB與橢圓的另一個交點分別為C，D，證明直線CD恒過定點，并求出定點的坐標.

期中數(shù)學(xué)答案1.A直線可化為，所以直線的斜率.故選A.2.C由，得.即，又是橢圓上一點，所以，解得，故橢圓的方程為.故選C.3.A圓、圓的方程可以化簡為，將兩圓方程相減，得，即直線AB的方程為.故選A.4.D由題意，得.故選D.5.B由題意知動點到直線的距離與它到定點（3.0）的距離相等.由拋物線的定義知，點的軌跡是以（3，0）為焦點，為準線的拋物線，所以，點的軌跡方程為.故選B6.D由雙曲線定義知，因為，所以，因為，，所以，即，化簡得，又，所以，解得，所以雙曲線的漸進線方程為.故選D.7.A如圖、以點為原點，以AB，AD分別為軸，軸建立平面直角坐標系，則由題意，得，所以，因為圓與直線AB相切于點且半徑為，所以圓的方程為，設(shè)點關(guān)于直線AG的對稱點為，則解得連接，線段分別與AG，圓交于點M，N，當機器人走過的路線是線段FM，MN時，路程最短，又，所以機器人走過的最短路程是.故選A.8.B因為離心率為的橢圓的短軸長為，所以，解得，所以橢圓的方程為，由，得為AB的中點，設(shè)，則，因為A，B是橢圓上兩點，所以兩式相減，得所以，故直線的方程為，即.故選B9.ABD，故A正確;由題意，得，所以直線BC的方程為，即，故B正確;邊BC上的高所在直線的斜率為-3，所以邊BC上的高所在直線的方程為，即，故C錯誤，點到直線BC的距離，所以的面積是，故D正確.故選ABD.10.BD對于選項A，由題意可知拋物線的焦點為，準線的方程為，所以點到直線的距離是2.故A錯誤；對于選項B，由得解得所以=6，又PQ與x軸的交點為，所以，所以的面積為，故B正確：對于選項C.因為PQ的中點到直線的距離為3，所以即=4，所以故C錯誤；對于選項D，設(shè)，由得-16.因為，所以，故D正確.故選BD.11.ACD以點為原點，以所在直線分別為軸.軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示.則.，設(shè)..其中，對于A選項，由，得，即.所以，故A正確；對于B選項.由A選項知，所以.又.設(shè)直線AP和所成角為，則,所以，故B錯誤;對于C選項，因為，所以.即，又點在平面內(nèi)（包含邊界）所以點的軌跡是平面內(nèi)以為圓心，為半徑的半圓弧.所以其長度為.故C正確;對于D選項.由C選項知.設(shè).則，所以，所以點到直線BP的距離，令.所以，當且僅當，即時，等號成立，故點到直線BP的距離的最小值為，故D正確.故選ACD.12.由題意，得的交點為，所以所求圓的圓心是，半徑為，故所求圓的方程為.13.拋物線的焦點是，準線是，設(shè)點到直線的距離為，則，所以，當且僅當且在與之間時等號成立，所以的最小值是.14.由題意可設(shè)，則圓的方程為.若圓上存在點，使得，設(shè)，則，化簡可得，故點在以為圓心，為半徑的圓上，因為點也在圓上，所以圓與圓有交點，所以，即，解得，又，所以，即線段OE長度的取值范圍是.15.解:（1）設(shè)圓的方程為，則…3分解得所以圓的方程為………6分（2）由，得，所以圓的圓心為，半徑………………7分圓心M到直線的距離為…………9分又點到直線的距離為，……………11分所以的面積為.………13分16.（1）證明:設(shè).連接DE，在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以是的中點，又為BC的中點.所以.……………3分又平面平面,所以直線平面.………………6分（2）解:在直三棱柱中，平面ABC，又AB，平面ABC，所以AB又所以以A為原點，AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸，z軸，可以建立空間直角坐標系.…………………8分因為，所以，則，……………………10分，設(shè)平面的法向量為，則令1，得,所以平面的一個法向量為………………………12分又，設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.………15分17.解：（1）因為雙曲線的離心率是，焦距為6.所以，其中，解得，所以.所以的方程為.…………………5分（2）設(shè)，聯(lián)立方程消去，得，因為直線與相交于A，B兩點，所以即且，由韋達定理，得，………8分又，所以.即.所以，…………12分將韋達定理代入上式，得，即，解得，滿足且.………………15分18.解:（1）取AB，CD的中點分別為，連接，因為底面ABCD是正方形，所以.因為是正三角形.為AB的中點，所以，又平面平面ABCD，平面平面平面MAB，所以平面ABCD.…………2分又平面ABCD，所以，以點為原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空同直角坐標系如圖所示.由題意，得，設(shè)平面CDM的法向量為，所以即令,則.即平面CDM的一個法向量為.…5分易知平面ABM的一個法向量為,設(shè)平面CDM與平面ABM所成二面角為，則，所以，即平面CDM與平面ABM所成二面角的正弦值為.…………8分（2）因為分別是線段上一點，且，所以，，所以.10分設(shè)平面EFG的法向量為.所以即令，則，即平面EFG的一個法向量為............................................................13分設(shè)，則……………………15分所以點到平面EFG的距離.解得舍去），即.……………………17分19.（1）解:因為橢圓的長軸長為，所以，解得，因為橢圓的左焦點與拋物線的焦點重合,所以,解得,所以橢圓的方程為.………………………2分由題意可知對于橢圓E,極點P(-6,0)對應(yīng)的極線lp的方程為即………………4分（2）證明:設(shè),由題意知直線的斜率必然存在,故設(shè)直線,聯(lián)立方程消去,得,，即,所以.……………