吉林省松原市前郭爾羅斯蒙古族自治縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

吉林省松原市前郭爾羅斯蒙古族自治縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考試模塊：選擇性必修第一冊(cè)考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前,考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。3.考生作答時(shí),請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效,在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。4.本卷命題范圍:空問(wèn)向量與立體幾何、直線與圓的方程、圓錐曲線。一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的斜率為A. B. C. D.2.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，則的方程為A. B. C. D.3.已知圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程為A. B. C. D.4.如圖，在四面體ABCD中，是棱AB上一點(diǎn)，且是棱CD的中點(diǎn)，則A. B.C. D.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，則點(diǎn)的軌跡方程為A. B. C. D.6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，，則的漸近線方程為A. B. C. D.7.某市舉辦青少年機(jī)器人大賽，組委會(huì)設(shè)計(jì)了一個(gè)正方形場(chǎng)地ABCD（邊長(zhǎng)為8米）如圖所示，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點(diǎn)，在場(chǎng)地ABCD中設(shè)置了一個(gè)半徑為米的圓，圓與直線AB相切于點(diǎn).比賽中，機(jī)器人從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)線段AG上一點(diǎn)，然后再到達(dá)圓，則機(jī)器人走過(guò)的最短路程是A.米 B.米 C.米 D.米8.已知離心率為的橢圓的短軸長(zhǎng)為，直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線的方程為A. B. C. D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，則A.邊BC的長(zhǎng)度是 B.直線BC的方程為C.邊BC上的高所在直線的方程為 D.的面積是410.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，直線PQ與交于P，Q兩點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是A.點(diǎn)到直線的距離是4B.若PQ的方程是，則的面積為3C.若PQ的中點(diǎn)到直線的距離為3，則D.若點(diǎn)在直線PQ上，則11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)（包含邊界），則下列說(shuō)法正確的是A.若，則B.若，則直線AP和所成角為C.若.則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若，則點(diǎn)到直線BP的距離的最小值為三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，則以的交點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程是_________________.13.已知直線，拋物線的準(zhǔn)線是，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離分別是，則的最小值是______________.14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，若以為圓心，2為半徑的圓上存在點(diǎn)，使得，則線段OE長(zhǎng)度的取值范圍是_________________.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知的外接圓為圓.（1）求圓的方程;（2）已知直線與圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的面積.16.（本小題滿分15分）如圖，在直三棱柱中，為BC的中點(diǎn).（1）求證:直線A1C//平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）已知雙曲線的離心率是，焦距為6.（1）求的方程;（2）若直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值.18.（本小題滿分17分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，是等邊三角形，平面MAB⊥平面ABCD.（1）求平面CDM與平面ABM所成二面角的正弦值;（2）已知E，F(xiàn)，G分別是線段AM，DM，CD上一點(diǎn)，且，若是線段BM上的一點(diǎn)，且點(diǎn)到平面EFG的距離為，求的值.19.（本小題滿分17分）極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德?迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是坐標(biāo)原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，在極線上任取一點(diǎn)，設(shè)直線MQ，NQ，PQ的斜率分別為均存在）.（1）求極線的方程;（2）求證:;（3）已知過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C，D，證明直線CD恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

期中數(shù)學(xué)答案1.A直線可化為，所以直線的斜率.故選A.2.C由，得.即，又是橢圓上一點(diǎn)，所以，解得，故橢圓的方程為.故選C.3.A圓、圓的方程可以化簡(jiǎn)為，將兩圓方程相減，得，即直線AB的方程為.故選A.4.D由題意，得.故選D.5.B由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與它到定點(diǎn)（3.0）的距離相等.由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡是以（3，0）為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以，點(diǎn)的軌跡方程為.故選B6.D由雙曲線定義知，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，即，化?jiǎn)得，又，所以，解得，所以雙曲線的漸進(jìn)線方程為.故選D.7.A如圖、以點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB，AD分別為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由題意，得，所以，因?yàn)閳A與直線AB相切于點(diǎn)且半徑為，所以圓的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線AG的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得連接，線段分別與AG，圓交于點(diǎn)M，N，當(dāng)機(jī)器人走過(guò)的路線是線段FM，MN時(shí)，路程最短，又，所以機(jī)器人走過(guò)的最短路程是.故選A.8.B因?yàn)殡x心率為的橢圓的短軸長(zhǎng)為，所以，解得，所以橢圓的方程為，由，得為AB的中點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)锳，B是橢圓上兩點(diǎn)，所以兩式相減，得所以，故直線的方程為，即.故選B9.ABD，故A正確;由題意，得，所以直線BC的方程為，即，故B正確;邊BC上的高所在直線的斜率為-3，所以邊BC上的高所在直線的方程為，即，故C錯(cuò)誤，點(diǎn)到直線BC的距離，所以的面積是，故D正確.故選ABD.10.BD對(duì)于選項(xiàng)A，由題意可知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離是2.故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由得解得所以=6，又PQ與x軸的交點(diǎn)為，所以，所以的面積為，故B正確：對(duì)于選項(xiàng)C.因?yàn)镻Q的中點(diǎn)到直線的距離為3，所以即=4，所以故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，由得-16.因?yàn)椋?，故D正確.故選BD.11.ACD以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸.軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.則.，設(shè)..其中，對(duì)于A選項(xiàng)，由，得，即.所以，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng).由A選項(xiàng)知，所以.又.設(shè)直線AP和所成角為，則,所以，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所?即，又點(diǎn)在平面內(nèi)（包含邊界）所以點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)以為圓心，為半徑的半圓弧.所以其長(zhǎng)度為.故C正確;對(duì)于D選項(xiàng).由C選項(xiàng)知.設(shè).則，所以，所以點(diǎn)到直線BP的距離，令.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故點(diǎn)到直線BP的距離的最小值為，故D正確.故選ACD.12.由題意，得的交點(diǎn)為，所以所求圓的圓心是，半徑為，故所求圓的方程為.13.拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線是，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且在與之間時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是.14.由題意可設(shè)，則圓的方程為.若圓上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，因?yàn)辄c(diǎn)也在圓上，所以圓與圓有交點(diǎn)，所以，即，解得，又，所以，即線段OE長(zhǎng)度的取值范圍是.15.解:（1）設(shè)圓的方程為，則…3分解得所以圓的方程為………6分（2）由，得，所以圓的圓心為，半徑………………7分圓心M到直線的距離為…………9分又點(diǎn)到直線的距離為，……………11分所以的面積為.………13分16.（1）證明:設(shè).連接DE，在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，又為BC的中點(diǎn).所以.……………3分又平面平面,所以直線平面.………………6分（2）解:在直三棱柱中，平面ABC，又AB，平面ABC，所以AB又所以以A為原點(diǎn)，AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸，z軸，可以建立空間直角坐標(biāo)系.…………………8分因?yàn)?，所以，則，……………………10分，設(shè)平面的法向量為，則令1，得,所以平面的一個(gè)法向量為………………………12分又，設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.………15分17.解：（1）因?yàn)殡p曲線的離心率是，焦距為6.所以，其中，解得，所以.所以的方程為.…………………5分（2）設(shè)，聯(lián)立方程消去，得，因?yàn)橹本€與相交于A，B兩點(diǎn)，所以即且，由韋達(dá)定理，得，………8分又，所以.即.所以，…………12分將韋達(dá)定理代入上式，得，即，解得，滿足且.………………15分18.解:（1）取AB，CD的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以.因?yàn)槭钦切?為AB的中點(diǎn)，所以，又平面平面ABCD，平面平面平面MAB，所以平面ABCD.…………2分又平面ABCD，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空同直角坐標(biāo)系如圖所示.由題意，得，設(shè)平面CDM的法向量為，所以即令,則.即平面CDM的一個(gè)法向量為.…5分易知平面ABM的一個(gè)法向量為,設(shè)平面CDM與平面ABM所成二面角為，則，所以，即平面CDM與平面ABM所成二面角的正弦值為.…………8分（2）因?yàn)榉謩e是線段上一點(diǎn)，且，所以，，所以.10分設(shè)平面EFG的法向量為.所以即令，則，即平面EFG的一個(gè)法向量為............................................................13分設(shè)，則……………………15分所以點(diǎn)到平面EFG的距離.解得舍去），即.……………………17分19.（1）解:因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以，解得，因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,所以,解得,所以橢圓的方程為.………………………2分由題意可知對(duì)于橢圓E,極點(diǎn)P(-6,0)對(duì)應(yīng)的極線lp的方程為即………………4分（2）證明:設(shè),由題意知直線的斜率必然存在,故設(shè)直線,聯(lián)立方程消去,得,，即,所以.……………