2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何8.3圓的方程學(xué)案新人教A版

8.3圓的方程必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.圓的定義及方程定義平面上到的距離等于的點(diǎn)的集合(軌跡)叫做圓

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心:

半徑:

一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圓心:-D2,-E2半徑:

留意:當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個(gè)點(diǎn)-D2,-E2;當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F=2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),點(diǎn)M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2?點(diǎn)M在圓上;

(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2?點(diǎn)M在圓外;

(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2?點(diǎn)M在圓內(nèi).

考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)已知圓的方程為x2+y2-2y=0,過(guò)點(diǎn)A(1,2)作該圓的切線(xiàn)只有一條.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圓心為(a,b),半徑為t的圓.()(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓心為-a2,-a,半徑為12-3a2-4(4)已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()(5)若點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則x02+y02+Dx0+Ey0+F>2.若圓C的半徑為1,圓心C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-3)2=13.以A(-2,1),B(1,5)為半徑兩端點(diǎn)的圓的方程為()A.(x+2)2+(y-1)2=25B.(x-1)2+(y-5)2=25C.(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=54.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線(xiàn)4x-3y=0和x軸都相切,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=15.已知點(diǎn)A(2,0),B(0,4),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB外接圓的方程為.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)求圓的方程【例1】(1)過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線(xiàn)x-y-1=0相切于點(diǎn)B(2,1),則圓C的方程為.

(2)已知圓C的圓心在直線(xiàn)x+y=0上,圓C與直線(xiàn)x-y=0相切,且被直線(xiàn)x-y-3=0截得的弦長(zhǎng)為6,則圓C的方程為.

解題心得求圓的方程的方法方法解讀適合題型幾何法通過(guò)探討圓的性質(zhì)、直線(xiàn)和圓及圓和圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量(圓心、半徑)和方程.常用的幾何性質(zhì)如下:(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上;(2)圓心在任一弦的垂直平分線(xiàn)上;(3)當(dāng)兩圓內(nèi)切或外切時(shí),切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線(xiàn)題設(shè)條件中有明顯的幾何特征待定系數(shù)法(1)依據(jù)條件設(shè)出圓的方程,一般地,若題目中有與圓心和半徑有關(guān)的信息,則選擇標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),若已知圓上三點(diǎn)的坐標(biāo)(或三點(diǎn)坐標(biāo)易求),則選擇一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0);(2)由題目給出的條件,列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程題設(shè)條件中有明顯的代數(shù)特征對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為.

(2)(多選)已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說(shuō)法正確的有()A.圓M的圓心坐標(biāo)為(4,-3)B.圓M被x軸截得的弦長(zhǎng)為8C.圓M的半徑為25D.圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為6考點(diǎn)與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例2】已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且點(diǎn)A(-1,0),B(3,0).(1)求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程;(2)求直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解題心得求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)從圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點(diǎn)P(x,y)引該圓的一條切線(xiàn),切點(diǎn)為Q,PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離,則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0(2)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C交于A(yíng),B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡方程為.

考點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題(多考向探究)考向1借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值【例3】已知點(diǎn)M(m,n)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上隨意一點(diǎn).(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3解題心得借助幾何性質(zhì)求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題,常依據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合思想求解.(1)形如u=y-bx-(2)形如t=ax+by形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)截距的最值問(wèn)題.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)意(x-2)2+(y-1)2=1,則z=y+1x的最大值與最小值分別為和考向2借助圓的幾何性質(zhì)求最值【例4】已知點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)P在直線(xiàn)x+y+2=0上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0上運(yùn)動(dòng),則|PA|+|PQ|的最小值是.

解題心得形如|PA|+|PQ|形式的與圓有關(guān)的折線(xiàn)段問(wèn)題(其中P,Q均為動(dòng)點(diǎn)),要立足兩點(diǎn):(1)削減動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)“曲化直”,即將折線(xiàn)段轉(zhuǎn)化為同始終線(xiàn)上的兩線(xiàn)段之和,一般要通過(guò)對(duì)稱(chēng)性解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2024山東濟(jì)寧模擬)已知兩點(diǎn)A(0,-3),B(4,0),若點(diǎn)P是圓C:x2+y2-2y=0上的動(dòng)點(diǎn),則△ABP的面積的最小值為.

考向3建立函數(shù)關(guān)系求最值【例5】(2024福建廈門(mén)模擬)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓x2+(y-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),則PA·PB的最大值為解題心得利用函數(shù)關(guān)系求最值時(shí),先依據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,再依據(jù)函數(shù)學(xué)問(wèn)或基本不等式求最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2024寧夏銀川模擬)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓(x-3)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(0,2),B(0,-2),則|PA+PB|的最大值為8.3圓的方程必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.定點(diǎn)定長(zhǎng)(a,b)rD2.(1)=(2)>(3)<考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.A因?yàn)閳A心C與點(diǎn)(2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),所以圓心C(0,0).又圓C的半徑為1,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=1.3.C由題意得半徑r=(-2-1)2+(1-5)2=5,若以A(-2,1)為圓心,則所求圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=25,若以B(1,5)為圓心,則所求圓的方程為(x-1)4.A因?yàn)閳A心在第一象限,且與x軸相切,所以設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,1)(a>0).又圓C與直線(xiàn)4x-3y=0相切,所以|4a-3|5=1,解得a=2.所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(5.(x-1)2+(y-2)2=5(方法1)由題意知OA⊥OB,則△AOB外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)(1,2),半徑為12|AB|=5,所以△AOB外接圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5(方法2)設(shè)△AOB外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,因?yàn)樵搱A過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,4),O(0,0)三點(diǎn),所以4+2+F=0,16+4E+F=0,F=0,解得D=-即(x-1)2+(y-2)2=5.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)(x-3)2+y2=2(2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)(方法1)由已知得kAB=0,所以線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為x=3.①過(guò)點(diǎn)B且垂直于直線(xiàn)x-y-1=0的直線(xiàn)的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.②聯(lián)立①②,解得x所以圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑r=(4所以圓C的方程為(x-3)2+y2=2.(方法2)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因?yàn)辄c(diǎn)A(4,1),B(2,1)都在圓C上,所以(4-a)2+(1-b)2=r2,故圓C的方程為(x-3)2+y2=2.(2)由圓C的圓心在直線(xiàn)x+y=0上,可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),又圓C與直線(xiàn)x-y=0相切,所以圓的半徑r=2|a|.因?yàn)閳A心到直線(xiàn)x-y-3=0的距離d=2a-32,圓C被直線(xiàn)x-y-3=0截得的弦長(zhǎng)為6,所以d2+622=r2,即(2a-3)22+32=2a2,解得a=對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)x2+y2-2x=0(2)ABD(1)設(shè)點(diǎn)O,A,B的坐標(biāo)分別為(0,0),(1,1),(2,0),則AO=AB,所以點(diǎn)A在線(xiàn)段OB的垂直平分線(xiàn)上.又因?yàn)镺B為該圓的一條弦,所以圓心在線(xiàn)段OB的垂直平分線(xiàn)上,可設(shè)圓心坐標(biāo)為(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以該圓的半徑為1,其方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.(2)由x2+y2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,故圓M的圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5,明顯選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)C不正確.令y=0,解得x1=0,x2=8,故圓M被x軸截得的弦長(zhǎng)為8,同理,圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為6,故選項(xiàng)B,D均正確.故選ABD.例2解(1)設(shè)點(diǎn)C(x,y),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn),所以y≠0.又AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1.又kAC=yx+1,kBC=所以yx+1·yx-3=-1,化簡(jiǎn)得x2+y2-2x-3=0.故直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),C(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)B(3,0),M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn),所以x=x0+32,y=y0+02,所以x0=2x-3,由(1)知,點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),將x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0),即(x-2)2+y2=1(y≠0).故點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(y≠0).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)D(2)(x-1)2+(y-3)2=2(1)由題意得,圓心C的坐標(biāo)為(3,-4),半徑r=2,如圖.因?yàn)閨PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以點(diǎn)P的軌跡方程為6x-8y-21=0.故選D.(2)依題意,圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心C(0,4).設(shè)點(diǎn)M(x,y),則CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由題意知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2.例3解(1)(方法1)依題意,圓心C(2,7),半徑r=22.設(shè)m+2n=t,則點(diǎn)M(m,n)為直線(xiàn)x+2y=t與圓C的公共點(diǎn),所以圓心C到該直線(xiàn)的距離d=|2+2×7-解得16-210≤t≤16+210.所以m+2n的最大值為16+210.(方法2)由x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.因?yàn)辄c(diǎn)M(m,n)為圓C上隨意一點(diǎn),所以可設(shè)m-2=22cos即m=2+22cosθ所以m+2n=2+22cosθ+2(7+22sinθ)=16+22cosθ+42sinθ=16+210sin(θ+φ),其中tanφ=12因?yàn)?1≤sin(θ+φ)≤1,所以m+2n的最大值為16+210.(2)設(shè)點(diǎn)Q(-2,3).則直線(xiàn)MQ的斜率k=n-設(shè)直線(xiàn)MQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由直線(xiàn)MQ與圓C有公共點(diǎn),得|2k-7+2解得2-3≤k≤2+3,即2-3≤n-3m+2≤2+3.所以n-3m+2對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34+734-73由題意,得y+1x表示過(guò)點(diǎn)A(0,-1)和圓(x-2)2+(y-1)2=1上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的直線(xiàn)的斜率.當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí),直線(xiàn)的斜率分別取得最大值與最小值.設(shè)切線(xiàn)方程為y=kx-1,即kx-y-1=0,則|2k-2|k2+1例425依題意,圓心C(2,1),半徑r=5.設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線(xiàn)x+y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'(m,n),則m+02故A'(-4,-2).連接A'C交直線(xiàn)x+y+2=0于點(diǎn)P,交圓C于點(diǎn)Q(圖略),此時(shí)|PA|+|PQ|取得最小值.由對(duì)稱(chēng)性可知此時(shí)|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=25.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4112依題意,圓心C(0,1),半徑r=1.如圖,過(guò)圓心C向直線(xiàn)AB作垂線(xiàn)交圓C于點(diǎn)P,連接BP,AP,此時(shí)△ABP的面積最小.因?yàn)橹本€(xiàn)AB的方程為x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,所以圓心C到直線(xiàn)又|AB|=32+42=5,所以△ABP的面積的最小值為12例512由題意,知PA=(2-x,-y),PB=(-2-x,-y),所以PA·PB=