第3章 點、線、面的投影

第2章制圖的基本知識第3章點、線、面的投影第4章線面幾何元素間的相對位置第5章投影變換第6章曲線與曲面第7章基本立體第8章平面截切立體第10章

組合體第11章軸測圖第12章建筑形體的表達方法第13章透視投影第14章標高投影第15章計算機繪圖第1章

緒論

第9章

兩立體相貫

3.1點的投影

3.1.1點的三面投影3.1.2點的投影特性3.1.3特殊位置的點3.1.4兩點間的相對位置3.1.5重影點3.3平面的投影3.3.1平面的表示法3.3.2平面上的點與直線3.3.3平面的分類

3.2直線的投影3.2.1直線及直線上點的投影3.2.2直線的分類3.2.3一般位置直線的實長與傾角第3章

點、線、面的投影【知識目標】

1.掌握點的投影規(guī)律、特殊位置點、重影點，點的坐標和投影的關系。

2.掌握直線及直線上點的投影規(guī)律、直線的分類及特點、直角三角形法求實長和傾角。

3.掌握平面及平面上點與直線的投影規(guī)律、平面的分類及特點。【能力目標】

能夠運用正投影理論判斷和求解點、直線、平面在投影體系中的空間位置，初步形成基本空間問題的分析能力和解決能力。第3章

點、線、面的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.1點的投影3.1.1點的三面投影

投影法則規(guī)定，空間點用大寫字母表示，如圖中的A。

返回本章目錄正面投影：從前向后投射在V面上得到，用同名小寫字母加上角撇表示，如圖中a’。

水平投影：從上向下投射在H面上得到，用用相應的小寫字母表示，如圖中a。

側(cè)面投影：從左向右投射在W面上得到，用同名小寫字母加上角兩撇表示，如圖中a”。第3章

點、線、面的投影3.1.1點的三面投影

將V面保持不動，W面繞OZ軸向后旋轉(zhuǎn)90

，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90

，使H面、W面與V面共面，得到如右圖的投影展開圖。注意：投影之間用細實線連接，稱為投影連線。3.1點的投影返回本章目錄3.1.2點的投影特性——點的投影規(guī)律點的投影符合“三等”規(guī)律，即長對正、高平齊、寬相等。（1）點的兩面投影連線垂直于相應的投影軸，即a’a⊥OX，a’a”⊥OZ。（2）水平投影a到OX軸的距離等于側(cè)面投影a”到OZ軸的距離，即第3章

點、線、面的投影規(guī)定：O為坐標原點，OX軸

向左為正，OY軸向前為正，OZ軸向上為正，反之為負。3.1點的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影規(guī)定：O為坐標原點，OX軸

向左為正，OY軸向前為正，OZ軸向上為正，反之為負。3.1.2點的投影特性——點的投影與坐標的關系

X、Y、Z三個方向的坐標值分別反映點Ａ到W、V、H面的距離，即反映點A的空間位置，即：（1）（2）（3）3.1點的投影返回本章目錄例3-1已知點A的正面投影a’和側(cè)面投影a”、B(2,3,4)、點C到H面、V面及W面距離分別2，5，5，求作A、B、C的三面投影。第3章

點、線、面的投影(a)題目

(b)作圖結果1）根據(jù)點的投影規(guī)律作出點A的水平投影a。2）點B的投影根據(jù)點B的坐標值:ObX=2，3）點C的投影根據(jù)點C到各投影面的距離：3.1點的投影返回本章目錄3.1.3特殊位置的點特殊位置的點是指投影面內(nèi)的點或投影軸上的點。點A：點A位于H面，點的水平投影a與其本身重合，正面投影a’在OX軸上，側(cè)面投影a”在OYW上。第3章

點、線、面的投影點B：點B位于OZ軸，點的水平投影b在原點，正面投影b’和側(cè)面投影b”與其本身重合。3.1點的投影返回本章目錄3.1.4兩點間的相對位置

空間兩點存在左右、前后、上下的相對位置關系，可通過比較兩點坐標值的大小來判定，X坐標大的位于左方，Y坐標大的位于前方，Z坐標大的位于上方。下圖點A在點B之左、前、下方。第3章

點、線、面的投影3.1點的投影返回本章目錄

若空間兩點位于某投影面的同一投射線上，兩點在此投影面的投影重合，則稱這兩點為該投影面的重影點。第3章

點、線、面的投影

圖中水平重影點中點C在點A的下方，不可見，記為a(c)；同理，正面重影點a’(b’)、側(cè)面重影點a”(d”)。重影點可見與不可見判定原則：遠離投影面的點可見，靠近投影面的點不可見，即坐標值大的點可見，坐標值小的點不可見。不可見點的投影加圓括號表示。3.1.5重影點3.1點的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.2直線的投影3.2.1直線及直線上點的投影

直線的投影一般為直線，當直線與投影面垂直時投影積聚為一個點。

直線投影的作法：先做直線兩端點的三面投影，再用粗實線連接兩點的同面投影即可。返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.2直線的投影

3.2.1直線及直線上點的投影

直線上點的投影必然落在直線的投影上，且直線上點分線段之比例，投影后保持不變。如圖K為直線AB上的點，則點K的三面投影落在直線AB的投影上，且有AK:KB=ak:kb=a’k’:k’b’=a”k”:k”b”。返回本章目錄例3-2已知直線AB的三面投影，K為直線AB上的一點且AK：KB=1:2，求點K的三面投影。第3章

點、線、面的投影題目結果作圖步驟如下：（1）過a’作一輔助線，在此線上取三等分點1，2，3。（2）連接3b’，過1作3b’的平行線，交a’b’于k’，k’即為所求點K的正面投影。（3）過k’作OX軸的垂線，交ab于k，k即為點K的水平投影。（4）側(cè)面投影k”在積聚點上，不可見。返回本章目錄一般位置直線：與三個投影面傾斜投影面平行線：與一個投影面平行且與另外兩個投影面傾斜，其中平行于H面的直線稱為水平線，平行于V面的直線稱為正平線，平行于W面的直線稱為側(cè)平線。投影面垂直線：垂直于投影面，垂直于H面的直線稱為鉛垂線，垂直于V面的直線稱為正垂線，垂直于W面的直線稱為側(cè)垂線。第3章

點、線、面的投影上圖中，三棱錐上SA、SB、SC為一般位置直線，AC為水平線，AB為正垂線，BC為側(cè)垂線。3.2.2直線的分類

3.2直線的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.2.2直線的分類———一般位置直線

與三個投影面都傾斜。投影與三個投影軸傾斜且不反映實長，投影長度比實際長度短，投影與投影軸的夾角不反映直線與投影面的傾角。與水平面的傾角

與正平面的傾角

與側(cè)平面的傾角

3.2直線的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.2.2直線的分類———投影面平行線

（以正平線為例）Aa’b’B為矩形，a’b’=AB，傾角

為0，ab//OX軸，a”b”//OZ軸。a’b’與OX軸的夾角反映傾角

，與OZ軸的夾角反映傾角

。投影面平行線的投影特性：（1）在其所平行的投影面的投影反映實長，且反映與另外兩投影面的傾角。（2）另外兩投影面上的投影平行于相應的投影軸。3.2直線的投影返回本章目錄投影面平行線的投影特征返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.2.2直線的分類———投影面垂直線

（以正垂線為例）

由于直線AB垂直于V面，所以AB//H面與W面，傾角

=0

、

=90

、

=0

，V面投影積聚為一點，H面投影ab⊥OX，a”b”⊥OZ，且ab=a”b”=AB。投影面垂直線的投影特性：（1）所垂直的投影面上的投影積聚于一點。（2）在另兩個投影面上的投影分別垂直于相應的投影軸且反映實長。3.2直線的投影返回本章目錄投影面垂直線的投影特征返回本章目錄第3章

點、線、面的投影作圖步驟如下：（1）作水平線AB的三面投影：過a向左后方作與OX軸夾角為30

的輔助線，取ab=30確定b；過a’作平行OX軸的輔助線，作bb’⊥OX交輔助線于b’；利用點的投影規(guī)律確定b”。作水平線AB投影例3-3已知點A的三面投影，求過點A作水平線AB和正垂線AC的三面投影。其中：AB=30，

=30

，點B在點A左后方；AC=15，點C在點A的前方。題目3.2直線的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影作圖步驟如下：（2）作正垂線AC的三面投影：c’與a’積聚，根據(jù)點C在點A的前方，作ac//OYH、a”c”//OYW量取ac=a”c”=15確定水平投影c和側(cè)面投影c”，粗實線連接ac與a”c”。作正垂線AC投影例3-3已知點A的三面投影，求過點A作水平線AB和正垂線AC的三面投影。其中：AB=30，

=30

，點B在點A左后方；AC=15，點C在點A的前方。3.2直線的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.2.3一般位置直線的實長與傾角

原理：AC//ab且AC=ab，BC=ZB-ZA=

Z，在此構造直角三角形中就可求出直線AB的實長和傾角

。利用直角三角形法求出直線段的實長與傾角。3.2直線的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.2.3一般位置直線的實長與傾角

方法一：作出a’與b’的高度差

Z，再以水平投影ab和

Z為直角邊構造直角三角形，斜邊即為實長，ab與斜邊的夾角即為傾角

。方法二：在正面投影以

Z和ab長構造直角三角形，斜邊則為直線AB的實長，ab長度的直角邊與斜邊的夾角即為傾角

。3.2直線的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.2.3一般位置直線的實長與傾角

利用直角三角形法求一般位置直線實長及傾角

3.2直線的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.2.3一般位置直線的實長與傾角

利用直角三角形法求一般位置直線實長及傾角

作圖要領：1）一直角邊是直線在某一投影面投影長度；2）另一直角邊是直線兩端點對該投影面的距離差；3）斜邊即為實長，投影與斜邊的夾角即為直線與該投影面的傾角。3.2直線的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影例3-4已知點A的兩面投影，直線AB的長度為40，

=45

，

=30

，點B在點A的上方、右方、前方，求作直線AB的兩面投影。作圖步驟：（1）作長度40的水平線，以其為斜邊構造傾角為45

和30

的兩直角三角形，得到ab，

Z，a’b’與

Y。（2）畫與a’距離為

Z的水平輔助線，再以a’為圓心，R=a’b’為半徑畫圓弧，弧與水平輔助線的交點即為b’。利用點的投影規(guī)律與

Y求出b。（3）用粗實線連接ab與a’b’。作圖過程3.2直線的投影題目也可利用ab長度和

Y先求出b，再利用點的投影規(guī)律和

Z求出b’。返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.3平面的投影

3.3.1平面的表示法1.幾何元素法——平面可由不在同一直線上的三點、直線及直線外一點、兩平行直線、兩相交直線和任一平面圖形表示。返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.3.1平面的表示法一般位置平面的跡線正垂面的跡線正平面的跡線水平跡線正面跡線側(cè)面跡線2.跡線法跡線即平面與投影面的交線。跡線既屬于平面也屬于投影面，簡明起見，只標注跡線本身而不標注跡線的其他兩面投影。一般位置平面和投影面垂直面有三條跡線，投影面平行面有兩條跡線。3.3平面的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影鉛垂面的跡線側(cè)垂面的跡線水平面的跡線側(cè)平面的跡線3.3平面的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.3.2平面上的點與直線1.平面上的點與直線如果點在平面上，則該點必在平面的一條直線上。如果直線在平面上，則直線的兩端點在平面上或通過平面上一點且平行于平面上的一條直線。3.3平面的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影例3-5已知平面ABCD、點E和直線FG的兩面投影，判斷點E和直線FG是否在平面ABCD上。題目判斷E點是否在平面上判斷FG是否在平面上（1）連接ae并延長交bc于k，作k’，連接a’k’，發(fā)現(xiàn)e’不在a’k’上，故點E不在平面上。（2）延伸fg交ad于m，交bc于n；作m’與n’，連接m’n’，由f’g’在m’n’上可判斷直線FG在平面上。3.3平面的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影直線CD為平面P上的水平線，直線AB⊥直線CD，則直線AB為平面P對H面的最大斜度線。因為AB<AE，sin

>sin

1，

>

1，所以AB為平面P對H面的最大斜度線。直角三角形AaB垂直于水平跡線PH，因此對H面的最大斜度線AB與H面的夾角

ABa即為平面P與H面的傾角。3.3.2平面上的點與直線2.最大斜度線平面上與投影面傾角最大的直線稱為平面上的最大斜度線，分為對H面的最大斜度線、對V面的最大斜度線和對W面的最大斜度線。3.3平面的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影平面上對H面的最大斜度線與水平線垂直，其與H面的夾角等于該平面對H面的傾角；平面上對V面的最大斜度線與正平線垂直，其與V面的夾角等于該平面對V面的傾角；平面上對W面的最大斜度線與側(cè)平線垂直，其與W面的夾角等于該平面對W面的傾角。3.3.2平面上的點與直線2.最大斜度線可以證明，對某一投影面的最大斜度線與該投影面平行線垂直。3.3平面的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影（2）作H面的最大斜度線CM：過c作cm⊥ak交ab于m，過m作mm’⊥OX交a’b’于m’，粗實線連接cm和c’m’。題目1.作水平線2.作最大斜度線（1）作水平線AK：過a’作a’k’//OX交b’c’于k’，過k’作k’k⊥OX交bc于k，粗實線連接ak和a’k’。例3-6已知平面ABC的兩面投影，求作該平面的水平線和對H面的最大斜度線。3.3平面的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影3.3.3平面的分類根據(jù)平面與投影面的位置關系，可以將平面分為一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。1.一般位置平面與三個投影面皆傾斜的平面稱為一般位置平面。三面投影皆為原圖形的類似形，既不反映實形也不反映與投影面的傾角。3.3平面的投影返回本章目錄第3章

點、線、面的投影