《2、對稱性》知識清單

《2、對稱性》知識清單雙曲線的對稱性知識清單一、雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸和原點對稱1、關(guān)于x軸和y軸對稱對于雙曲線方程$＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1$（這里$a\gt0$，＄b\gt0$），如果點$（x,y)＄在雙曲線上，那么點$（x,y)＄和$（x,y)＄也在雙曲線上。這就說明雙曲線關(guān)于x軸和y軸對稱。比如說，有雙曲線方程$＼frac{x^｛2}｝｛4}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1$，當(dāng)$x＝2$，＄y＝3$滿足方程，那么$x＝2$，＄y=－3$以及$x=－2$，＄y＝3$也滿足方程。2、關(guān)于原點對稱如果點$（x,y)＄在雙曲線上，那么點$（x,y)＄也在雙曲線上。還是以雙曲線方程$＼frac{x^｛2}｝｛4}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1$為例，當(dāng)$x＝2$，＄y＝3$滿足方程，那么$x=－2$，＄y＝3$也滿足方程。這就表明雙曲線關(guān)于原點對稱。二、對稱中心是原點1、定義雙曲線的對稱中心就是原點$（0,0)＄。因為雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點都對稱，所有的對稱線和對稱點都圍繞著原點，所以原點就是雙曲線的對稱中心。2、在解題中的應(yīng)用當(dāng)我們知道雙曲線的一部分性質(zhì)或者點的坐標(biāo)時，利用其關(guān)于原點對稱的性質(zhì)，可以快速得到雙曲線另一部分的信息。例如，已知雙曲線一支上一點的坐標(biāo)，我們可以根據(jù)對稱中心是原點，得到另一支上對稱點的坐標(biāo)。三、對稱軸是坐標(biāo)軸1、x軸和y軸為對稱軸對于雙曲線$＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1$，x軸和y軸就是它的對稱軸。這意味著雙曲線沿著x軸或者y軸對折后，雙曲線的兩部分能夠完全重合。2、在研究雙曲線性質(zhì)中的作用在求雙曲線的頂點、焦點等重要點的坐標(biāo)時，對稱軸起到了關(guān)鍵的定位作用。雙曲線的頂點就在對稱軸上，對于$＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1$，頂點坐標(biāo)為$（±a,0)＄就在x軸上。四、習(xí)題1、已知雙曲線方程為$＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1$，點$P(3,4)＄在雙曲線上，那么點$P$關(guān)于x軸對稱的點$P_1$的坐標(biāo)是多少？這個點是否在雙曲線上？解：點$P(3,4)＄關(guān)于x軸對稱的點$P_1$的坐標(biāo)為$（3,4)＄。把$x＝3$，＄y=－4$代入雙曲線方程$＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1$中，左邊$＝＼frac{3^｛2}｝｛9}＼frac{（－4)＾｛2}｝｛16}＝11＝0$，右邊$＝1$，等式成立，所以點$P_1$在雙曲線上。2、對于雙曲線$＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛25}＝1$，如果點$A(m,n)＄在雙曲線上，那么點$A$關(guān)于原點對稱的點$A'＄的坐標(biāo)是什么？解：點$A(m,n)＄關(guān)于原點對稱的點$A'＄的坐標(biāo)為