第07講 有理數(shù)的乘法與除法（3種題型）（原卷版）

第07講有理數(shù)的乘法與除法（3種題型）1．理解有理數(shù)的乘法與除法法則；2．能利用有理數(shù)的乘法與除法法則進(jìn)行簡單的有理數(shù)乘法運算；(重點)3．會利用有理數(shù)的乘法與除法解決實際問題．(難點)一．倒數(shù)（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?1a=1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個數(shù)的相反數(shù)求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“﹣”即可求一個數(shù)的倒數(shù)求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒有倒數(shù)．二．有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．（3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．（4）方法指引：①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘．②多個因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當(dāng)先，這樣做使運算既準(zhǔn)確又簡單．三．有理數(shù)的除法（1）有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b＝a?1b（b（2）方法指引：（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0．（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．一．倒數(shù)（共7小題）1．（2023?泗洪縣三模）﹣2023的倒數(shù)是（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣ D．2．（2021秋?啟東市校級期中）若a的相反數(shù)等于2，則a的倒數(shù)是（）A．﹣ B．﹣2 C． D．23．（2022秋?大豐區(qū)期末）若m，n互為倒數(shù)，則|mn﹣2|＝．4．（2023春?邗江區(qū)月考）2023的____是﹣2023，則橫線上可填寫的數(shù)學(xué)概念名詞是（）A．倒數(shù) B．平方 C．絕對值 D．相反數(shù)5．（2023?南京模擬）的相反數(shù)是，的倒數(shù)是．6．（2022秋?邗江區(qū)期末）若a、b是互為倒數(shù)，則2ab﹣5＝．7．（2020秋?射陽縣校級月考）|﹣3|的倒數(shù)是．二．有理數(shù)的乘法（共15小題）8．（2015?蘇州模擬）計算（﹣2）×5的結(jié)果是（）A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣109．（2022秋?邗江區(qū)校級月考）計算﹣×＝．10．（2022秋?泰州月考）計算（﹣2）×（﹣3）的結(jié)果等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．611．（2022秋?銅山區(qū)校級月考）已知|x|＝3，|y|＝6．若xy＜0，求x+y的值．12．（2022秋?泰州月考）用簡便方法計算：（1）；（2）（﹣99）×999．13．（2023春?無錫月考）在明代的《算法統(tǒng)宗》一書中將用格子的方法計算兩個數(shù)相乘稱作“鋪地錦”，如圖1，計算82×34，將乘數(shù)82記入上行，乘數(shù)34記入右行，然后用乘數(shù)82的每位數(shù)字乘以乘數(shù)34的每位數(shù)字，將結(jié)果記入相應(yīng)的格子中，最后按斜行加起來，既得2788．如圖，用“鋪地錦”的方法表示兩個兩位數(shù)相乘，則的a值是．14．（2022秋?宿豫區(qū)期中）用簡便方法計算：．15．（2022秋?姜堰區(qū)期中）小明說：“請你任意想一個數(shù)，把這個數(shù)乘3后加12，然后除以6，再減去你原來所想的那個數(shù)的，我都可以知道你計算的結(jié)果．”請根據(jù)小明的說法進(jìn)行探索．（1）如果你想的那個數(shù)是﹣2，請列式并計算結(jié)果；（2）你覺得小明說的話可信嗎？請說明你的理由．16．（2022秋?徐州月考）已知|x|＝3，|b|＝7．若xy＜0，求x﹣y的值．17．（2022秋?江寧區(qū)校級月考）分類討論思想是數(shù)學(xué)的重要思想，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的過程中，也深有感受?。?）當(dāng)ab＜0時，若b＞0，|a|＜|b|，則a+b0；（2）當(dāng)abc＜0時，若ab＞0，則c0；（3）當(dāng)a與b都是整數(shù)，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（寫出分類討論的過程）18．（2022秋?靖江市校級月考）已知：|a|＝2，|b|＝5．（1）若ab＜0，求a﹣b的值；（2）若|a﹣b|＝a﹣b，求ab的值．19．（2022秋?港閘區(qū)校級月考）如果a，b，c是非零有理數(shù)，求式子的所有可能的值．20．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）在數(shù)軸上有一點A，將點A向左移動2個單位得到點B，點B向左移動4個單位得到點C，點A、B、C分別表示有理數(shù)a、b、c．若a、b、c三個數(shù)的乘積為負(fù)數(shù)且這三個數(shù)的和與其中的一個數(shù)相等，則a的值為．21．（2022秋?崇川區(qū)校級月考）已知：|a|＝2，|b|＝5，若|a﹣b|＝a﹣b，則ab＝22．（2022秋?啟東市校級月考）若定義一種新的運算“*”，規(guī)定有理數(shù)a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．三．有理數(shù)的除法（共6小題）23．（2023?如東縣一模）計算（﹣6）÷3＝（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣24．（2023?姑蘇區(qū)三模）計算（﹣12）÷3的結(jié)果等于（）A．﹣4 B．4 C．﹣9 D．925．（2023?蘇州一模）化簡的結(jié)果是（）A．2 B．﹣2 C． D．26．（2022秋?亭湖區(qū)期中）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列各問題：（1）從中取出2張卡片，如何抽取能使這2張卡片上的數(shù)字乘積最大，并說明理由；（2）從中取出2張卡片，如何抽取能使這2張卡片上的數(shù)字相除的商最小，并說明理由．27．（2022秋?玄武區(qū)期中）下列說法：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若a、b互為倒數(shù)，則＝1；③若|a|＝a，則a＞0；④若a+b＝0，則a、b互為相反數(shù)．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個28．（2022秋?鹽都區(qū)期中）計算：（1）；（2）；（3）．一、單選題1．（2022秋·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）下列四個算式中運算結(jié)果為2022的是（）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）的倒數(shù)是（

）A．2 B． C． D．3．（2022秋·江蘇南通·七年級校聯(lián)考期末）要使算式的運算結(jié)果最小，則“”內(nèi)應(yīng)填入的運算符號為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）如圖，若數(shù)軸上的兩點、表示的數(shù)分別為、，則與的（

）A．和為正數(shù) B．差為正數(shù) C．積為正數(shù) D．商為正數(shù)5．（2022秋·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上點所表示的數(shù)分別是，若，，則原點的位置在（

）A．的左邊 B．線段上C．線段上 D．線段上6．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上的點A，B，C分別表示有理數(shù)a，b，c，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇南京·七年級南師附中新城初中校聯(lián)考期中）如圖為乘法表的一部分，每一個空格填入該格最上方與最左方的兩數(shù)之積，則16個陰影空格中填入的數(shù)之和是（

）A．87464 B．87500 C．87536 D．875728．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期中）下列算式中，與相等的是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）下列說法①若，則a、b互為相反數(shù)；②若a、b互為倒數(shù)，則；③若，則a、b均大于0；④若，則a一定為正數(shù)，其中正確的個數(shù)為（

）A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④二、填空題10．（2022秋·江蘇鹽城·七年級?？计谥校┮?guī)定符號的意義為：，那么______．11．（2022秋·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┰跀?shù)、1、、5、中任取兩個數(shù)相乘，其中最大的積是______，最小的積是______；任取三個數(shù)相乘，其中最大的積是______，最小的積是______．12．（2020秋·江蘇常州·七年級校考期中）的相反數(shù)是______，的倒數(shù)是______．13．（2020秋·江蘇揚(yáng)州·七年級校考期中）從數(shù)，1，，任取兩個數(shù)相乘，所得的結(jié)果最小的是______．14．（2022秋·江蘇宿遷·七年級?？计谥校┙衲陣鴳c長假期間，我市新區(qū)“誠信專業(yè)修腳店”推出酬賓優(yōu)惠：充500元送100元，顧客可獲得價值600元的貴賓卡一張，進(jìn)店消費時憑借此卡還可以享受標(biāo)價折的優(yōu)惠，這樣兩次優(yōu)惠相加，持此貴賓卡的顧客消費時的實際支付款只相當(dāng)于標(biāo)價的__________折．15．（2023春·江蘇常州·七年級?？计谥校τ谌我庥欣頂?shù)a、b，定義新運算“”，規(guī)定，則________．16．（2022秋·江蘇淮安·七年級校考期末）新亞商場在2023年“元旦”期間舉行促銷活動，根據(jù)顧客按商品標(biāo)價的一次性購物總額，規(guī)定相應(yīng)的優(yōu)惠方法如下：①如果不超過600元，則不予優(yōu)惠；②如果超過600元，但不超過900元，則按購物總額給予8折優(yōu)惠；③如果超過900元，則其中900元給予8折優(yōu)惠，超過900元的部分給予6折優(yōu)惠，促銷期間，小王和媽媽分別看中一件商品，若各自單獨付款，則應(yīng)分別付款560元和640元；若合并付款，則她們總共只需付款___________元．三、解答題17．（2022秋·江蘇淮安·七年級淮陰中學(xué)新城校區(qū)?？计谀┯嬎悖?8．（2022秋·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）計算：(1)；(2)．19．（2022秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期中）計算：(1)；(2)；(3)．20．（2022秋·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）先計算，再閱讀材料，解決問題：(1)計算：．(2)認(rèn)真閱讀材料，解決問題：計算：．分析：利用通分計算的結(jié)果很麻煩，可以采用以下方法進(jìn)行計算：解：原式的倒數(shù)是：．故．請你根據(jù)對所提供材料的理解，選擇合適的方法計算：．21．（2022秋·江蘇泰州·七年級校考期中）若點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A、B兩點之間的距離表為，即．結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示x和3的兩點之間的距離表示為．若，，且數(shù)x、y在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是______，最小距離是______．(2)若表示一個有理數(shù)，且，則______．(3)當(dāng)時，的最大值是______．一、單選題1．下列各組的兩個數(shù)中，互為倒數(shù)的是（）A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和2．兩個不為0的有理數(shù)相除，如果交換被除數(shù)與除數(shù)的位置，它們的商不變，那么這兩個數(shù)（）A．一定相等 B．一定互為倒數(shù) C．一定互為相反數(shù) D．相等或互為相反數(shù)3．某商場舉辦“迎新春送大禮”的促銷活動，全場商品一律打八折銷售．小明買了一件商品，比標(biāo)價少付了40元，那么他購買這件商品花了（）A．80元 B．120元 C．160元 D．200元4．在1，，，4這四個數(shù)中，任取兩個數(shù)相乘，所得積最大的是（）A． B． C．4 D．65．已知，試求的值不可能為（）A．3 B．-3 C．0 D．-16．一個大于1的正整數(shù)a，與其倒數(shù)，相反數(shù)-a比較，大小關(guān)系正確的是（）A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤7．有兩個正數(shù)，，且，把大于等于且小于等于的所有數(shù)記作．例如，大于等于且小于等于的所有數(shù)記作．若整數(shù)在內(nèi)，整數(shù)在內(nèi)，那么的一切值中屬于整數(shù)的個數(shù)為（）A．5個 B．個 C．個 D．個二、填空題8．計算：=______．9．直接寫出計算結(jié)果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．10．絕對值小于2020的所有整數(shù)的和為_____，積為_____．11．________×（﹣）＝﹣1．三、解答題12．若m、n互為相反數(shù)，p、q互為倒數(shù)，且=6，求的值．13．學(xué)習(xí)了有理數(shù)之后，老師給同學(xué)們出了一道題：計算：17×（﹣9），下面是小方給出的答案，請判斷是否正確，若錯誤給出正確解答過程．解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．14．計算（1）（2）15．在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的“探究”．（提出問題）三個有理數(shù)a、b、c滿足，求的值．（解決問題）解：由題意得：a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即，，時，則：；②當(dāng)a，b，c有一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)時，設(shè)，，則：所以：的值為3或-1．（探究）請根據(jù)上面的