數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：第一講一平行線等分線段定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎(chǔ)·鞏固1等腰梯形各邊中點(diǎn)連線所圍成的四邊形是(）A。矩形B。菱形C。正方形D.等腰梯形思路解析：連結(jié)梯形各邊中點(diǎn)，可得平行四邊形,由于等腰梯形的對(duì)角線相等，所以平行四邊形的鄰邊相等,由此可以斷定此四邊形必為菱形。答案：B2如圖1—1—圖1A。cmB.5cmC.cmD.3cm思路解析：根據(jù)AB∥CD∥EF和AO=OD=DF,有BO=OC=CE，所以BO=BE.答案：A3如圖1-1—19，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中點(diǎn),則DG=_____，CH=__________。圖1-1-19圖1思路解析：利用AD∥EF∥BC和E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)平行線等分線段定理,可得G、H、F分別是BD、AC、DC的中點(diǎn)，由此即得結(jié)論.答案：BGAHBEDF4如圖1-1-20,在△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD=AD，若EG=5cm，則AC=______________；若BD=20cm圖1思路解析：由E是AB的中點(diǎn)，EF∥BD，可得F是AD的中點(diǎn),結(jié)合CD=AD，可以得到F、D是AC的三等分點(diǎn),又由EG∥AC，可得EF等于BD的一半，F(xiàn)D=EG,由此可得兩個(gè)結(jié)論。答案：15cm10cm5如圖1-1-21,AB=AC,AD⊥BC于D，M是AD的中點(diǎn)，CM交AB于P,DN∥CP.若AB=6cm，則AP=______________;若PM=綜合·應(yīng)用思路解析：由AB=AC和AD⊥BC,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，有D是BC的中點(diǎn);再由DN∥CP，可得N是BP的中點(diǎn)，P是AN的中點(diǎn)，由此，AP=AB，PM=PC.答案:2cm4cm6如圖1-1圖1思路分析:作OE⊥AB于E，可得一組平行線,利用O是CD的中點(diǎn)，得到E是AB的中點(diǎn)，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)就有本題的結(jié)論。證明：作OE⊥AB于E?！逜C⊥AB，DB⊥AB，∴AC∥OE∥DB?！逴是DC中點(diǎn)，∴E是AB中點(diǎn).∴OA=OB.7如圖11—2—3，已知∠ACB=90°,AC=BC，CE=CF,EM⊥AF，CN⊥AF,求證:MN=NB.圖1思路分析:由已知易得ME與NC平行,所以要說(shuō)明MN=NB，只要點(diǎn)C是一條線段的中點(diǎn)即可，由此啟發(fā)我們作輔助線CD.證明：延長(zhǎng)ME交BC的延長(zhǎng)線于D,由已知可得，Rt△EDC≌Rt△FAC?！郉C=CB.又∵EM⊥AF,CN⊥AF,∴DM∥CN。又C是BD的中點(diǎn)，∴N是MB的中點(diǎn)。∴MN=NB.8已知線段AB，求作AB的五等分點(diǎn).圖1思路分析：本題是平行線等分線段定理的實(shí)際應(yīng)用.只要作射線AM,在AM上任意截取5條相等的線段，連結(jié)最后一等分的后端點(diǎn)A5與點(diǎn)B,再過(guò)其他分點(diǎn)作BA5的平行線，分別交AB于C、D、E、F，則AB就被這些平行線分成五等份了。作法：（1)如圖,作射線AM；（2)在射線AM上截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A(3)連結(jié)A5B,分別過(guò)A1、A2、A3、A4作A5B的平行線A1C、A2D、A3E、A49梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC,∠B=60°，AB=BC,E為AB的中點(diǎn),求證：△ECD為等邊三角形。圖1思路分析：一般在梯形中給出了一腰的中點(diǎn)，常添加的輔助線有：①過(guò)這一點(diǎn)作底邊的平行線,由平行線等分線段定理推論得另一腰的中點(diǎn);②可延長(zhǎng)DE（或CE）與底邊相交,構(gòu)造全等三角形。證明：連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交DC于F.∵梯形ABCD,∴AD∥BC?！郃D∥EF∥BC.又∵E是AB的中點(diǎn)，∴F是DC的中點(diǎn)。(經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線平分另一腰)∵DC⊥BC,∴EF⊥DC.∴ED=EC(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）?！唷鱁DC為等腰三角形.∵AB=BC,∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形.∴∠ACB=60°。又E是AB邊的中點(diǎn),∴CE平分∠ACB.∴∠1=∠2=30°.∴∠DEF=30°.∴∠DEC=60°。又ED=EC,∴△DEC為等邊三角形。10已知直線l1∥l2∥l3，任作兩直線m、n，分別交l1、l2、l3于點(diǎn)A、B、C、D、E、F,如圖1-圖1-1—26圖1—1-27圖1（1)分別量出線段AB、AC、DE、DF的長(zhǎng)，觀察結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)?（2)把直線n沿DA方向平移到A點(diǎn)，得到直線n′，分別與直線l2、l3交于E′、F′,如圖1—（3)如圖1-1—27，若繼續(xù)把直線n平移使其經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，分別與直線l(4)利用你的發(fā)現(xiàn)，判斷圖1—思路分析：對(duì)于線段的關(guān)系，尤其是四條線段的關(guān)系，很有可能是成比例,但要通過(guò)驗(yàn)證才能確定.而兩個(gè)三角形在大小不一的情況下,又有了成比例的線段，就可以聯(lián)想到兩個(gè)三角形相似.要判斷最后一個(gè)圖形中有幾對(duì)相似三角形,就要設(shè)法把圖形分離出（2）（3）中的基本圖形.解：（1）通過(guò)測(cè)量可得AB=1.5cm,AC=4cm,DE=1.15cm,DF=3。1cm,觀察且計(jì)算可發(fā)現(xiàn)=0。375,≈0.371，由于作圖和測(cè)量都會(huì)有一定的誤差，因此可以確定有。（2）△ABE′∽△ACF′,由于AF′是由DF平移而來(lái)的，由平移的特征可得AE′=DE,AF′=DF，所以仍然有,而通過(guò)測(cè)量同樣可計(jì)算出的值也