數(shù)學(xué)（文科）總復(fù)習(xí)演練提升同步測評平面向量的數(shù)量積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)1．（2016·安徽皖江名校聯(lián)考)在△ABC中，已知向量eq\o（AB,\s\up6（→））＝(2，2），|eq\o（AC，\s\up6（→))|＝2，eq\o（AB,\s\up6(→））·eq\o（AC，\s\up6（→））＝－4，則△ABC的面積為（)A．4B．5C．2D．3【解析】∵eq\o（AB,\s\up6（→))＝（2，2）,∴|eq\o（AB，\s\up6（→）)|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).∵eq\o(AB,\s\up6(→)）·eq\o（AC,\s\up6(→））＝|eq\o(AB,\s\up6(→))｜·|eq\o(AC,\s\up6(→)）|cosA＝2eq\r(2)×2cosA＝－4，∴cosA＝－eq\f(\r(2）,2)，∵0＜A＜π，∴sinA＝eq\f(\r(2),2），∴S△ABC＝eq\f（1，2)|eq\o(AB，\s\up6(→))|·｜eq\o（AC，\s\up6（→))|sinA＝2.【答案】C2．(2017·安徽江淮十校第一次聯(lián)考)在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2,eq\o（BC，\s\up6（→)）＝2eq\o(BD，\s\up6(→)），eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AE，\s\up6（→))，則eq\o（AD，\s\up6（→))·eq\o（BE,\s\up6(→))的值為（）A．－eq\f(4,3）B．－eq\f（1，3）C.eq\f(1，3)D。eq\f(4，3)【解析】由已知得eq\o（AD,\s\up6（→）)·eq\o(BE,\s\up6（→）)＝eq\f(1,2）(eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o（AC，\s\up6（→)))·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\o(BA,\s\up6(→)）＋\f(1,3)\o（AC，\s\up6（→)）)）＝－eq\f（1，2）eq\o(AB，\s\up6(→)）2＋eq\f（1,6）eq\o（AB,\s\up6(→)）·eq\o(AC，\s\up6（→）)＋eq\f(1，2）eq\o(AC,\s\up6（→))·eq\o（BA，\s\up6（→)）＋eq\f（1，6)eq\o（AC，\s\up6(→))2.①因為△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2,所以①式＝－eq\f(1，2）×22＋0＋0＋eq\f(1,6)×22＝－eq\f(4,3）.故選A.【答案】A3．已知向量a＝（2cosα，2sinα）,b＝（3cosβ，3sinβ),若a與b的夾角為60°，則直線xcosα－ysinα＋eq\f(1,2）＝0與圓(x－cosβ）2＋(y＋sinβ)2＝eq\f(1，2）的位置關(guān)系是()A．相交B．相交且過圓心C．相切D．相離【解析】∵a＝(2cosα，2sinα)，b＝（3cosβ，3sinβ)，∴|a|＝2，｜b|＝3.∴a·b＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝6cos(α－β)．而a·b＝|a|｜b|cos60°＝3,∴6cos（α－β）＝3?cos(α－β)＝eq\f(1，2）.則圓心(cosβ，－sinβ)到直線xcosα－ysinα＋eq\f（1，2)＝0的距離d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cosαcosβ＋sinαsinβ＋\f(1,2）））＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（cos(α－β）＋\f（1，2）））＝1＞eq\f(\r(2)，2)＝r,∴相離．【答案】D4．（2016·駐馬店質(zhì)檢)若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點，且滿足（eq\o（OB，\s\up6(→））－eq\o（OC，\s\up6(→））)·（eq\o（OB，\s\up6（→））＋eq\o(OC,\s\up6(→））－2eq\o（OA，\s\up6（→)))＝0，則△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解析】因為（eq\o（OB,\s\up6(→))－eq\o(OC，\s\up6(→）))·(eq\o（OB,\s\up6(→））＋eq\o(OC,\s\up6(→））－2eq\o(OA，\s\up6(→）)）＝0，即eq\o(CB,\s\up6（→））·(eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o(AC,\s\up6(→）))＝0,∵eq\o(AB,\s\up6（→）)－eq\o(AC,\s\up6（→））＝eq\o(CB,\s\up6(→）)，∴（eq\o(AB，\s\up6（→）)－eq\o(AC，\s\up6（→）)）·(eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（AC,\s\up6（→)))＝0，即｜eq\o（AB,\s\up6（→)）｜＝|eq\o(AC,\s\up6(→）)|,所以△ABC是等腰三角形,故選C.【答案】C5．（2015·遼陽一模）在△ABC中，如圖，若|eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（AC，\s\up6（→)）｜＝｜eq\o(AB,\s\up6（→））－eq\o(AC,\s\up6（→)）｜，AB＝2,AC＝1，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點，則eq\o(AE,\s\up6（→））·eq\o(AF,\s\up6（→））等于（）A。eq\f(8，9)B.eq\f(10，9)C。eq\f(25，9）D.eq\f（26,9)【解析】若|eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o（AC，\s\up6（→）)｜＝|eq\o（AB，\s\up6（→))－eq\o（AC,\s\up6(→）)｜，則eq\o（AB,\s\up6(→))2＋eq\o（AC,\s\up6（→)）2＋2eq\o(AB，\s\up6（→))·eq\o(AC，\s\up6(→）)＝eq\o（AB，\s\up6（→)）2＋eq\o(AC,\s\up6(→））2－2eq\o（AB,\s\up6(→）)·eq\o（AC，\s\up6(→))，即有eq\o(AB，\s\up6（→））·eq\o（AC，\s\up6(→）)＝0.E,F為BC邊的三等分點，則eq\o（AE，\s\up6(→））·eq\o（AF,\s\up6(→））＝(eq\o(AC，\s\up6（→)）＋eq\o(CE,\s\up6(→))）·(eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o(BF,\s\up6（→）)）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1，3)\o（CB,\s\up6(→)))）·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\o（AB，\s\up6(→)）＋\f（1,3）\o(BC，\s\up6(→)）））＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，3）\o（AC，\s\up6（→)）＋\f(1,3）\o(AB,\s\up6（→）)）)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，3)\o(AC，\s\up6(→))＋\f（2,3）\o（AB，\s\up6(→))))＝eq\f（2,9)eq\o（AC，\s\up6(→）)2＋eq\f(2，9)eq\o（AB，\s\up6（→））2＋eq\f(5，9)eq\o(AB，\s\up6（→）)·eq\o(AC,\s\up6（→）)＝eq\f（2,9)×（1＋4)＋0＝eq\f（10,9）。故選B。【答案】B6．（2016·合肥聯(lián)考）已知|a｜＝1，|b｜＝2，a與b的夾角為60°,則a＋b在a上的投影為________．【解析】∵｜a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×eq\f（1,2）＝7,∴｜a＋b|＝eq\r（7)，cos〈a＋b,a>＝eq\f(（a＋b）·a,|a＋b|·|a|)＝eq\f（1＋1,\r（7)）＝eq\f(2\r（7）,7)。∴a＋b在a上的投影為｜a＋b｜·cos〈a＋b，a〉＝eq\r（7)×eq\f(2\r(7)，7)＝2.【答案】27．（2015·濰坊模擬)如圖，在△ABC中，O為BC中點，若AB＝1，AC＝3,<eq\o(AB，\s\up6（→）)，eq\o（AC，\s\up6(→))〉＝60°,則|eq\o（OA,\s\up6（→))｜＝________．【解析】因為〈eq\o（AB，\s\up6（→））,eq\o(AC,\s\up6（→))〉＝60°,所以eq\o（AB,\s\up6(→）)·eq\o（AC，\s\up6(→))＝｜eq\o（AB,\s\up6（→））｜·|eq\o（AC，\s\up6(→））｜cos60°＝1×3×eq\f（1，2）＝eq\f(3，2），又eq\o（AO,\s\up6(→)）＝eq\f（1,2）(eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o（AC,\s\up6（→））），所以eq\o(AO，\s\up6(→））2＝eq\f（1,4）（eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o(AC，\s\up6(→）))2＝eq\f（1,4)(eq\o（AB，\s\up6(→）)2＋2eq\o(AB，\s\up6(→））·eq\o（AC，\s\up6(→）)＋eq\o(AC,\s\up6（→）)2），所以eq\o（AO，\s\up6(→)）2＝eq\f(1,4）（1＋3＋9）＝eq\f(13，4)，所以|eq\o（OA,\s\up6(→)）|＝eq\f（\r（13）,2)。【答案】eq\f（\r（13),2）8．在△ABC中,若eq\o(OA,\s\up6（→））·eq\o(OB,\s\up6（→））＝eq\o（OB，\s\up6（→)）·eq\o（OC,\s\up6(→)）＝eq\o（OC,\s\up6(→)）·eq\o（OA，\s\up6（→)），則點O是△ABC的________（填“重心”、“垂心”、“內(nèi)心”、“外心”）．【解析】∵eq\o（OA,\s\up6(→））·eq\o(OB，\s\up6（→)）＝eq\o（OB，\s\up6(→))·eq\o(OC，\s\up6(→）)，∴eq\o（OB,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6（→）)－eq\o（OC，\s\up6（→)）)＝0，∴eq\o(OB,\s\up6(→））·eq\o（CA,\s\up6(→）)＝0，∴OB⊥CA,即OB為△ABC底邊CA上的高所在直線．同理eq\o(OA,\s\up6（→））·eq\o(BC,\s\up6（→)）＝0，eq\o（OC,\s\up6(→））·eq\o（AB，\s\up6(→))＝0，故O是△ABC的垂心．【答案】垂心9．(2017·上海靜安區(qū)一模)如圖,已知O為坐標原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→））＝（3cosx,3sinx）,eq\o(OB，\s\up6(→））＝(3cosx，sinx），eq\o(OC,\s\up6（→）)＝(eq\r(3)，0)，x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2))).（1)求證:（eq\o（OA，\s\up6(→))－eq\o（OB,\s\up6（→）)）⊥eq\o（OC,\s\up6（→）);（2）若△ABC是等腰三角形，求x的值．【解析】（1）證明∵eq\o（OA，\s\up6（→))－eq\o（OB，\s\up6(→））＝(0，2sinx)，∴(eq\o（OA，\s\up6(→))－eq\o（OB,\s\up6（→））)·eq\o（OC，\s\up6（→））＝0×eq\r（3)＋2sinx×0＝0，∴（eq\o（OA,\s\up6（→))－eq\o(OB,\s\up6(→)）)⊥eq\o(OC，\s\up6（→)）。（2）若△ABC是等腰三角形，則AB＝BC,∴（2sinx)2＝(3cosx－eq\r(3)）2＋sin2x，整理得2cos2x－eq\r（3）cosx＝0，解得cosx＝0，或cosx＝eq\f（\r(3),2）.∵x∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2）)），∴cosx＝eq\f（\r(3),2），x＝eq\f(π,6)。10．(2015·德州一模)在△ABC中,角A,B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos（A－B),sin（A－B))，n＝（cosB,－sinB)，且m·n＝－eq\f（3,5)。（1)求sinA的值;(2)若a＝4eq\r(2),b＝5，求角B的大小及向量eq\o(BA，\s\up6（→））在eq\o（BC,\s\up6(→)）方向上的投影．【解析】（1)由m·n＝－eq\f(3，5），得cos（A－B)cosB－sin(A－B）sinB＝－eq\f(3,5），所以cosA＝－eq\f(3，5).因為0＜A＜π，所以sinA＝eq\r（1－cos2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3,5)）)\s\up12（2)）＝eq\f（4，5)。(2)由正弦定理，得eq\f（a，sinA)＝eq\f(b，sinB）,則sinB＝eq\f(bsinA,a）＝eq\f(5×\f(4，5）,4\r（2）)＝eq\f（\r（2)，2），因為a＞b，所以A＞B，則B＝eq\f(π，4）.由余弦定理得（4eq\r（2））2＝52＋c2－2×5c×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(3，5）)）,解得c＝1，故向量eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o（BC,\s\up6(→)）方向上的投影為｜eq\o（BA,\s\up6（→））|cosB＝ccosB＝1×eq\f（\r(2）,2)＝eq\f(\r(2），2）。B組專項能力提升（時間：20分鐘)11．(2015·湖南)已知點A,B，C在圓x2＋y2＝1上運動，且AB⊥BC。若點P的坐標為（2，0），則|eq\o(PA，\s\up6（→)）＋eq\o（PB,\s\up6（→))＋eq\o（PC，\s\up6(→）)|的最大值為（）A．6B．7C．8D．9【解析】由A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，所以AC為圓直徑，故eq\o(PA，\s\up6(→））＋eq\o(PC，\s\up6(→）)＝2eq\o（PO,\s\up6(→))＝(－4,0),設(shè)B（x，y)，則x2＋y2＝1且x∈［－1，1],eq\o(PB，\s\up6(→)）＝(x－2,y)，所以eq\o(PA，\s\up6（→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)）＋eq\o(PC，\s\up6(→）)＝（x－6，y）．故｜eq\o(PA，\s\up6(→))＋eq\o（PB,\s\up6(→))＋eq\o（PC,\s\up6(→))｜＝eq\r(－12x＋37)，所以x＝－1時有最大值eq\r(49）＝7，故選B。【答案】B12．（2016·山東）已知向量a＝（1,－1)，b＝(6，－4）．若a⊥（ta＋b)，則實數(shù)t的值為________．【解析】根據(jù)已知，a2＝2，a·b＝10.由a⊥（ta＋b)，得a·（ta＋b)＝ta2＋a·b＝2t＋10＝0,解得t＝－5.【答案】－513．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝（eq\r(3)，1），則a與b夾角的大小為________．【解析】a·b＝2eq\r(3），∴cos〈a，b〉＝eq\f（a·b,｜a||b|)＝eq\f（2\r(3),2×2)＝eq\f（\r(3），2）,又〈a，b>∈［0，π]，∴〈a，b〉＝eq\f(π,6）.【答案】eq\f(π，6)14．(2016·江蘇)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，eq\o(BA,\s\up6（→）)·eq\o（CA，\s\up6（→）)＝4，eq\o(BF，\s\up6(→))·eq\o（CF，\s\up6(→）)＝－1，則eq\o（BE,\s\up6（→））·eq\o（CE,\s\up6(→)）的值是________．【解析】設(shè)eq\o（BD,\s\up6(→）)＝a,eq\o(DF,\s\up6（→））＝b，則eq\o(BA，\s\up6(→)）·eq\o(CA，\s\up6(→)）＝（a＋3b）·(－a＋3b）＝9｜b|2－|a|2＝4，eq\o（BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6（→））＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b｜2－｜a|2＝