數(shù)學(xué)高二-直線方程重難點題型鞏固（解析版）-【重難點突破】2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)?？碱}專練（新高考）

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h專題2-1直線方程重難點題型鞏固總覽總覽題型解讀【題型1】知識點梳理與概念辨析 2【題型2】由平行，垂直關(guān)系求參數(shù) 5【題型3】由截距求直線方程 7【題型4】斜率或傾斜角取值范圍問題 10【題型5】直線過定點問題 15【題型6】3類與直線有關(guān)的對稱問題 18【題型7】光的反射問題 21【題型8】直線方程3類常考最值問題 25【題型9】直線距離問題綜合 29【題型10】坐標(biāo)系中三角形三線綜合問題 33題型題型匯編知識梳理與?？碱}型【題型1】知識點梳理與概念辨析1、成立的前提條件①兩條直線的斜率存在分別為；②不重合；補充當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時，的傾斜角都是，則.2、公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在補充：當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線也垂直.3、梳理清楚五類直線方程的表達式與限制條件（易錯）下列說法中正確的有（

）A．若兩直線平行，則兩直線的斜率相等B．若兩直線的斜率相等，則兩直線平行C．若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直D．若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于【答案】C【分析】根據(jù)直線斜率與位置關(guān)系的相關(guān)知識直接判斷即可.【詳解】對于A，兩直線平行，可以是斜率都不存在，所以A錯誤；對于B，若兩直線的斜率相等，則兩直線平行或重合，所以B錯誤；對于C，若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直，故C正確；對于D，若兩直線垂直，可能是一條直線斜率為0，另一條直線斜率不存在，則不是兩直線的斜率乘積等于，故D錯誤下列命題正確的是（

）A．經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示B．直線過點．傾斜角為，則其方程為C．在坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程來表示D．直線在軸上截距為2【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率是否存在可判斷A,B;根據(jù)截距可以為0可判斷C;計算出直線在軸上截距可判斷D.【詳解】對于A選項：當(dāng)直線過點Px0,y0對于B選項：直線過點Px0,y0對于C選項：在坐標(biāo)軸上截距相等的直線可能過原點，所以不一定能用表示，故C錯誤；對于D選項：由直線,令，解得，所以該直線在軸上截距為，故D錯誤（多選）下列關(guān)于直線的斜率和傾斜角的敘述正確的有A．平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角 B．平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有斜率 C．若一條直線的斜率為，則該直線的傾斜角為 D．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為【解答】解：平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角，故正確；但由于和軸垂直的直線傾斜角等于，故它的斜率不存在，故錯誤；若一條直線的斜率為，則該直線的傾斜角為不一定是，如時，此時，直線的傾斜角為．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為，故正確，故選：．【鞏固練習(xí)1】下列四個命題中，正確的是（

）A．直線在軸上的截距為2B．直線的傾斜角和斜率均存在C．若兩直線的斜率滿足，則兩直線互相平行D．若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等【答案】B【分析】根據(jù)方程直接求解可判斷A；由傾斜角和斜率的定義可判斷B；根據(jù)直線平行與斜率的關(guān)系可判斷C；由傾斜角為時斜率不存在可判斷D.【詳解】對于直線，令得，所以直線在軸上的截距為，故錯誤；直線的傾斜角為0，斜率為0，存在，故B正確；若兩直線的斜率滿足，則兩直線互相平行或重合，所以C錯誤；若兩直線的傾斜角為，則它們的斜率不存在，所以D錯誤【鞏固練習(xí)2】下列四個命題：其中正確命題的個數(shù)是（

）①經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示；②經(jīng)過任意兩個不同的點，的直線都可以用方程表示；③兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的直線；④經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由直線方程的四種特殊形式的適用范圍逐一核對四個命題得答案.【詳解】①經(jīng)過定點的直線當(dāng)斜率存在時可以用方程表示，當(dāng)斜率不存在時用方程，①錯誤；②經(jīng)過任意兩個不同的點，白的直線都可以用方程表示，②錯誤；③兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的直線；③正確；④經(jīng)過定點且垂直于軸的直線不能用方程表示，④錯誤【鞏固練習(xí)3】（多選）下列關(guān)于直線方程的說法正確的是（

）A．直線的傾斜角可以是B．直線過點，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為C．過點的直線的直線方程還可以寫成D．經(jīng)過兩點的直線方程可以表示為【答案】AC【分析】當(dāng)可知直線傾斜角為，知A正確；分別討論直線過坐標(biāo)原點和不過坐標(biāo)原點兩種情況，可知B錯誤；根據(jù)和可整理得到C正確；當(dāng)或時，兩點式方程無法應(yīng)用，知D錯誤.【詳解】對于A，當(dāng)時，直線方程為：，此時直線傾斜角為，A正確；對于B，當(dāng)直線過坐標(biāo)原點時，，此時其在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點時，設(shè)，則，；綜上所述：過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為：或，B錯誤；對于C，在直線上，，則，，C正確；對于D，若或，則過兩點的直線無法表示為，D錯誤.【題型2】由平行，垂直關(guān)系求參數(shù)1、由一般式確定兩直線平行的方法判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)（不全為0），（不全為0），則：當(dāng)時，直線相交；當(dāng)時，直線平行或重合，代回檢驗；2、由一般式確定兩直線垂直的方法判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)（不全為0），（不全為0），則：當(dāng)時，直線相交；當(dāng)時，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．若直線與直線垂直，則實數(shù)的值為.【答案】或【分析】利用兩直線位置關(guān)系計算即可.【詳解】由題意可知或.已知直線與平行，則實數(shù)的值為A． B．2 C．或2 D．以上答案均不對【解答】解：直線與平行，，解得【鞏固練習(xí)1】直線：與直線：平行，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當(dāng)時，有，故或，當(dāng)時，的方程為，的方程為，此時兩條直線重合，不符合；當(dāng)時，的方程為，的方程為，符合；綜上，“”是“”的充要條件【鞏固練習(xí)2】已知直線和，問實數(shù)為何值時，分別有：（1）與相交？（2）？（3）與重合？【解答】解：（1）直線和，與相交，，解得，．（2）直線和，與平行，，解得．（3）直線和，與重合，，解得．【題型3】求直線方程易錯點：忽略截距式方程的限制已知直線經(jīng)過(1)當(dāng)直線的傾斜角為45°時，求直線的方程；(2)當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由直線的傾斜角為45°時，求得斜率為，結(jié)合點斜式方程，即可求解；（2）當(dāng)直線過原點時，得到；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)方程為，代入點，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意，直線的傾斜角為45°時，可得直線的斜率為，又由直線經(jīng)過，所以直線的方程為，即直線的方程為.（2）當(dāng)直線過原點時，因為直線經(jīng)過，可得直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點時，可設(shè)直線的方程為，因為直線過點，可得，解得，所以直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.直線過點，則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為（

）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】利用截距式設(shè)直線的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可.【詳解】設(shè)直線：，，因為直線過點，所以，即，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，則直線與軸、軸的正半軸圍城的三角形面積.【鞏固練習(xí)1】過點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直線過原點和不過原點兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式即可得解.【詳解】當(dāng)直線過原點時在兩坐標(biāo)軸上的截距都為，滿足題意，又因為直線過點，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，因為點在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故C項正確.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·甘肅慶陽·階段練習(xí)）已知直線過定點．(1)求點的坐標(biāo)；(2)若直線在軸和軸上的截距相等，求的值．【答案】(1)(2)或2【分析】（1）利用直線求定點的方法直接列方程求解即可.（2）首先得出，然后根據(jù)截距相等列方程求解即可.【詳解】（1）直線，則，定點.（2）由直線在軸和軸上的截距相等，顯然不為0（否則直線在坐標(biāo)軸上的截距不相等，與題意矛盾），令，可得，令，可得，由直線在軸和軸上的截距相等，有，解得或2【鞏固練習(xí)3】過點的直線（1）求在兩個坐標(biāo)軸上截距相等的方程；（2）求與x,y正半軸相交，交點分別是A、B,當(dāng)△AOB面積最小時的直線方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）分類討論，直線過原點，直接求出斜率后得直線方程，直線不過原點時設(shè)方程為求解；（2）設(shè)出截距式方程為，代入點的坐標(biāo)，用基本不等式求得的最小值，從而得直線方程．【詳解】（1）當(dāng)直線過原點時，斜率為，直線方程為；當(dāng)直線不過原點時設(shè)方程為，則，解得，直線方程為，即．綜上所求直線方程為和．（2）設(shè)直線方程為，∵直線過點，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴，，∴△AOB面積最小值為24，此時直線方程為，即【題型4】斜率或傾斜角取值范圍問題求斜率范圍看直線能否豎直，直線能豎直則斜率范圍帶求傾斜角范圍看直線能否水平：直線能水平則傾斜角為范圍帶有0°和180°（23-24高二上·湖南張家界·階段練習(xí)）已知某直線的傾斜角，則該直線的斜率的范圍為．【答案】【分析】根據(jù)傾斜角和斜率關(guān)系確定斜率范圍即可.【詳解】當(dāng)，斜率，當(dāng)，斜率不存在，當(dāng)，斜率，綜上，，則.已知直線：y=kx-4與直線：x+2y+2=0的交點在第三象限.則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得兩直線的交點坐標(biāo)，根據(jù)其所處現(xiàn)象列出不等式，求解即可.【詳解】聯(lián)立直線的方程可得，顯然，故，則，根據(jù)題意，且，解得且，故.已知點，，若直線與線段有公共點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出圖像，求斜率范圍即可.【詳解】

若與線段有公共點，分析必過，且，，則.已知點，過點的直線l與線段相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為，直線l的斜率的取值范圍為．【答案】【分析】分別求得直線，的斜率，結(jié)合圖形可得的范圍，再由直線的斜率公式，可得傾斜角的范圍.【詳解】如圖所示：由點，可得直線的斜率為，直線的斜率為，由直線與線段相交，可得的范圍是；由斜率與傾斜角的正切圖象得傾斜角【鞏固練習(xí)1】已知直線的斜率，則該直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運用斜率公式將轉(zhuǎn)化為（），解不等式即可.【詳解】直線傾斜角為，則，由可得，所以.【鞏固練習(xí)2】直線l的斜率k的取值范圍是，則傾斜角的范圍是．【答案】【分析】利用，再根據(jù)條件和的圖像即可求出結(jié)果.【詳解】因為，又斜率k的取值范圍是，所以，又，時，，時，，由圖可得，

【鞏固練習(xí)3】已知直線和的交點在第四象限，則的取值范圍為.【答案】【分析】求出兩直線交點的坐標(biāo)，根據(jù)交點位置可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】聯(lián)立可得，所以，兩直線的交點坐標(biāo)為，且交點在第四象限，則，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·吉林延邊·期中）設(shè)點，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出直線的斜率，再畫出圖形分析可得或，從而即可得解.【詳解】依題意，直線的斜率分別為，如圖所示：若直線過點且與線段相交，則的斜率滿足或，即的斜率的取值范圍是或.【鞏固練習(xí)5】已知點，若經(jīng)過點的直線l與線段AB有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求出的斜率，數(shù)形結(jié)合求出直線的斜率的取值范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】依題意，直線的斜率，直線的斜率，直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率滿足，當(dāng)時，直線l的傾斜角，當(dāng)時，，所以直線l的傾斜角的取值范圍為.故選：C【鞏固練習(xí)6】已知點，過點的直線l與線段相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為，直線l的斜率的取值范圍為．【答案】【分析】分別求得直線，的斜率，結(jié)合圖形可得的范圍，再由直線的斜率公式，可得傾斜角的范圍.【詳解】如圖所示：由點，可得直線的斜率為，直線的斜率為，由直線與線段相交，可得的范圍是；由斜率與傾斜角的正切圖象得傾斜角【題型5】直線過定點問題核心思路:把參數(shù)當(dāng)成主元，把xy當(dāng)成參數(shù)，當(dāng)m前面的系數(shù)為0時，則不管m為何值，方程恒成立，即可推出等量關(guān)系直線恒過定點【答案】【分析】整理直線方程，列出方程組，求出定點坐標(biāo)即得.【詳解】直線，化為，令，解得，所以直線恒過定點已知點，直線，若直線l與線段有交點，則實數(shù)m的取值范圍為.【答案】【分析】首先求出直線恒過定點，表示出直線的斜率，再結(jié)合圖形即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】∵，即，令，則，即直線過定點，且斜率，則，根據(jù)題意結(jié)合圖形可得或，即或.故答案為：.已知直線l方程為，那m為時，點到直線l的距離最大，最大值為【答案】【分析】求出直線過定點的坐標(biāo)，當(dāng)時，為所求點到直線距離的最大值，再由垂直求得值．【詳解】直線l：化為，由，得，直線l必過定點．當(dāng)點到直線l的距離最大時，垂直于已知的直線l，即點與定點的連線長就是所求最大值，此時直線與直線垂直，，解得，此時，點到直線的最大距離是．綜上所述，時，點到直線的距離最大，最大值為．【鞏固練習(xí)1】若直線必過一定點，則該定點坐標(biāo)是．【答案】2,3【分析】將直線變形成為，令參數(shù)的系數(shù)為0,剩余部分為0,解出關(guān)于的二元一次方程組,即可得定點.【詳解】由得，要是恒成立，只需，解之得，所以過定點.【鞏固練習(xí)2】已知直線為實數(shù)）過定點，則點的坐標(biāo)為．【解答】解：直線為實數(shù)），即，該直線經(jīng)過和的交點，故答案為：．【鞏固練習(xí)3】已知點，直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由直線恒過定點，分別計算，，結(jié)合圖象即可得的范圍.【詳解】直線經(jīng)過定點，如圖所示，則，因為直線與連接兩點的線段相交，所以由圖可知，.【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·山東·期中）已知直線過點．(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點，若與軸正半軸交于點與軸正半軸交于點，求面積的最小值．【答案】(1)或(2)4【分析】（1）因為在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以按截距是否為，分類求解；（2）設(shè)直線斜率為，求解與坐標(biāo)軸的交點，將面積表示為函數(shù)，利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）①當(dāng)直線過坐標(biāo)原點，直線過點．所以方程為，即；②當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點，，設(shè)方程為，由直線過點，將代入方程得，解得，所以直線的方程為，即；綜上：的方程為或.（2）由題意知斜率存在且小于0，設(shè)方程為，令，解得；令，解得；因為，所以，，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以面積的最小值為4.模塊二模塊二中檔題型【題型6】與直線有關(guān)的對稱問題類型一：點關(guān)于直線對稱方法：待定系數(shù)法解方程組類型二：直線關(guān)于直線對稱方法：求一個對稱點和交點聯(lián)立得兩點式方程類型三：直線關(guān)于點對稱中心對稱后斜率不變，再求一個對稱點即可得出點斜式方程一、點關(guān)于點對稱若直線與直線關(guān)于點對稱，則直線一定過定點A． B． C． D．【解答】解：由于直線恒過定點，其關(guān)于點對稱的點為，又由于直線與直線關(guān)于點對稱，直線恒過定點．二、點關(guān)于直線對稱點關(guān)于直線的對稱點是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點是，則有，解得，，故點關(guān)于直線的對稱點是．三、直線關(guān)于直線對稱（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程組求出兩條直線的交點坐標(biāo)，再求出直線上的點關(guān)于直線的對稱點即可求解.【詳解】由，解得，則直線與直線交于點，在直線上取點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，依題意，，整理得，解得，即點，直線的方程為，即，所以直線關(guān)于直線對稱的直線方程為.故選：D四、直線關(guān)于點對稱與直線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的直線方程為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)直線點，關(guān)于點對稱的直線上的點，所求直線關(guān)于點的對稱直線為，由中點坐標(biāo)公式得，；解得，代入直線，得，整理得：，即所求直線方程為：．【鞏固練習(xí)1】與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得對稱直線的斜率，再由直線直線與的交點，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由直線的斜率為，可得直線關(guān)于的對稱直線的斜率為，又因為直線與的交點為，所以對稱直線的方程為，即對稱直線的方程為.【鞏固練習(xí)2】已知點，直線，點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是．【解答】解：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，則，解得，，故點【鞏固練習(xí)3】點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為．【解答】解：設(shè)所求的對稱點為，則，解得，故所求對稱點的坐標(biāo)為．【題型7】光的反射問題在直線方程的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常遇到光的反射問題，比如求入(反)射光線方程、求從確定入射點到確定反射點所走的路程、求從確定入射點出發(fā)經(jīng)過幾次反射又返回最初入射點的最短路程問題，這些問題的快速解決基本上都離不開“對稱法”.（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射后又經(jīng)過點，則光線從A到B走過的路程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點關(guān)于線對稱求出C點標(biāo),結(jié)合反射光線的性質(zhì)應(yīng)用兩點間距離公式求出距離的最小值即可.【詳解】一束光線從出發(fā)，經(jīng)直線反射,與交于點P,由題意可得，點關(guān)于直線的對稱點在反射光線上，設(shè),則,,故光線從A到B所經(jīng)過的最短路程是.（23-24高二上·山東濰坊·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知，B0,3，從點射出的光線經(jīng)直線反射到軸上，再經(jīng)軸反射后又回到點，則光線所經(jīng)過的路程的為.

【答案】【分析】作出點關(guān)于軸的對稱點以及關(guān)于的對稱點，將問題轉(zhuǎn)化為求解，由此求解出結(jié)果.【詳解】點關(guān)于軸的對稱點，關(guān)于的對稱點，如圖所示，

又因為，B0,3，所以直線方程為：，即，所以，解得，即.所以光線經(jīng)過的路程為.【鞏固練習(xí)1】一條光線沿經(jīng)過點且斜率為的直線射到x軸上后反射，則反射光線所在的直線方程為．【答案】【分析】根據(jù)點斜式求入射光線所在直線方程，然后利用對稱性可得所求.【詳解】由題知，入射光線所在直線方程為，即，因為入射光線所在直線和反射光線所在直線關(guān)于x軸對稱，所以反射光線所在的直線方程為.【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知光線從點射出，經(jīng)直線反射，且反射光線過點，則入射光線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出關(guān)于直線的對稱點，再求出與所在的直線方程即為入射光線所在直線的方程.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則解得即.所以人射光線所在直線的方程為，即.【鞏固練習(xí)3】一條光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在直線的一般方程為.【答案】【分析】根據(jù)條件，求出兩條直線的交點坐標(biāo)，再求出直線上的點(0，2)關(guān)于直線的對稱點即可.【詳解】由光的反射定律知，反射光線所在直線與直線關(guān)于直線對稱，則得，即有光線的入射點為，設(shè)直線上的點(0，2)關(guān)于直線對稱點為，則，解得，因此，反射光線所在直線必過點和點，直線AB方程為：，整理得：，所以反射光線所在直線的一般方程為：.【鞏固練習(xí)4】從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線剛好通過坐標(biāo)原點，則反射光線所在直線的方程為．【答案】【分析】求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，可求出反射光線的斜率，進而可求得反射光線所在直線的方程.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則線段的中點在直線上，則，①因為直線的斜率為，直線與直線垂直，則，②聯(lián)立①②可得，即點，因為反射光線過原點，所以，反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在直線的方程為，即．【題型8】直線方程3類常考最值問題類型一：點到直線距離最值即兩定點之間的距離類型二：線段和差最值問題一半需要做對稱類型三：由代數(shù)最值轉(zhuǎn)化為幾何將軍飲馬問題點到直線距離的最大值為A．1 B． C． D．2【解答】解：方法一：因為點到直線距離；要求距離的最大值，故需；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，可得，當(dāng)時等號成立．方法二：由可知，直線過定點，記，則點到直線距離（22-23高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知點、，在直線上，則的最小值等于.【答案】12【分析】求出關(guān)于的對稱點的坐標(biāo)，則即為的最小值.【詳解】設(shè)關(guān)于的對稱點為則，解得，，，則，所以的最小值是12.故答案為：.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由表示直線上一動點到定點的距離之和，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】解：表示直線上一動點到定點的距離之和，如圖所示：

設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以對稱點為，則由圖知：的最小值為【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點，當(dāng)取得最小值時，實數(shù)的值為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)兩點距離公式，結(jié)合直線方程即可求解.【詳解】，表示平面上點與點，的距離和，連接，與軸交于，此時直線方程為，令，則的最小值為，此時【鞏固練習(xí)2】設(shè)，求的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)的表達式可知，其幾何意義表示直線上一點到點和點的距離之和，根據(jù)“將軍飲馬”模型求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，表示直線上一點到點和點的距離之和，點關(guān)于直線的對稱點為，則滿足解得；所以點關(guān)于直線的對稱點為，如下圖所示：則所以.【鞏固練習(xí)3】著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離．結(jié)合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】y可看作x軸上一點到點與點的距離之和，可知當(dāng)A，P，B三點共線時取得最小值可得答案.【詳解】，則y可看作x軸上一點到點與點的距離之和，即，則可知當(dāng)A，P，B三點共線時，取得最小值，即．故選：A.【題型9】直線距離問題綜合一、兩點間的距離平面上任意兩點，間的距離公式為特別地，原點與任一點的距離.二、點到直線的距離平面上任意一點到直線：的距離.三、兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.已知點到直線的距離為，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【詳解】直線可化為，依題意得，整理得，所以或-1．當(dāng)時，點的坐標(biāo)為；當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，故選C．已知直線經(jīng)過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程為.【答案】或【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系，分類討論，可得其斜率之間的關(guān)系，求得斜率，可得答案.【詳解】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)直線時，顯然點，到直線的距離相等，如下圖：

則此時，由，且直線過，則直線的方程為，整理可得；當(dāng)直線與直線相交時，作于，于，如下圖：

若，由，，則，可得，即為的中點，其坐標(biāo)為，此時直線的斜率，直線的方程為，整理可得.已知點，直線，則點到直線的距離的取值范圍為．【解答】解：直線，即，該直線經(jīng)過和的交點2，，當(dāng)點在直線上，點到直線的距離最小為0；當(dāng)和直線垂直時，點到直線的距離最大為，故點到直線的距離的取值范圍為，【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·湖北十堰·期末）（多選）點到直線的距離相等，則的值可能為（

）A．－2 B．2 C．9 D．11【答案】BD【分析】分點在直線的同側(cè)或兩側(cè)進行討論即可.【詳解】①若點在的同側(cè)，則直線，即，解得，②若在的兩側(cè)，則經(jīng)過線段的中點，即【鞏固練習(xí)2】已知，兩點到直線：的距離相等，則（

）A． B．6 C．或4 D．4或6【答案】D【分析】求出點到直線的距離和點到直線的距離，二者相等求解方程即可.【詳解】點到直線的距離為，點到直線的距離為，因為點到直線的距離和點到直線的距離相等，所以，所以或.【鞏固練習(xí)3】已知，，若，到直線的距離都等于，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】分別研究位于直線同側(cè)以及位于直線兩側(cè)時的情況，即可得出答案.【詳解】當(dāng)位于直線同側(cè)時，只有時，且兩平行線之間的距離為時，滿足條件，這樣的直線有2條；又，所以位于直線兩側(cè)時，只有當(dāng)直線恰為直線的中垂線時，滿足條件，此時的直線有1條.綜上所述，滿足條件的直線共有3條.【鞏固練習(xí)4】到直線的距離不超過，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】直接利用點到直線的距離公式得到不等式，解得即可.【詳解】因為到直線的距離不超過，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)5】已知三條直線，，，且與間的距離是．（1）求的值．（2）能否找到一點，使同時滿足下列三個條件？若能，求點的坐標(biāo)；若不能，說明理由．①點在第一象限；②點到的距離是點到的距離的；③點到的距離與點到的距離之比是．【解答】解：（1）將直線的方程化為，兩條平行線與間的距離，由，解得．（2）假設(shè)存在點，設(shè)點，．若點滿足條件②，則點在與，平行的直線上，且，解得或，所以或．若點滿足條件③，由點到直線的距離公式，有，即，所以或．由于點在第一象限，所以排除．聯(lián)立方程和，解得（舍去）；聯(lián)立方程和，解得，所以存在點，同時滿足三個條件．【題型10】坐標(biāo)系中三角形三線綜合問題中線處理策略：設(shè)點坐標(biāo)，再表示出中點坐標(biāo)，帶入中線方程高線處理策略：斜率之積為－1角平分線處理策略：把一個頂點關(guān)于角平分線做對稱（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知的頂點，頂點在軸上，邊上的高所在的直線方程為.(1)求直線的方程；(2)若邊上的中線所在的直線方程為，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程；（2）設(shè)點，利用的中點在直線上，求出值，再由點在直線上求出值.【詳解】（1）依題意，由邊上的高所在的直線的斜率為，得直線的斜率為，又，所以直線的方程為，即.（2）由點在軸上，設(shè)，則線段的中點，由點在直線上，得，得，即，又點在直線上，因此，解得，所以的值為.（23-24高二上·福建三明·期中）已知的頂點，邊上的中線所在的直線方程為，邊上的高所在的直線方程為．求：(1)直線的一般式方程；(2)求的邊的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)垂直確定，再計算直線方程得到答案.（2）設(shè)，根據(jù)的中點在直線上，結(jié)合在上，得到答案.【詳解】（1）邊上的高所在的直線方程為，斜率，故，直線方程為，即；（2）設(shè)，則的中點坐標(biāo)為，則，解得，即，.（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）在中，頂點A在直線上，頂點B的坐標(biāo)為邊的中線所在的直線方程為邊的垂直平分線的斜率為．(1)求直線的方程；(2)若直線l過點B，且點A、點C到直線l的距離相等，求直線l的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）求出直線方程，與直線方程聯(lián)立求出點的坐標(biāo)，再設(shè)出點的坐標(biāo)，由的中點在直線上，求出點的坐標(biāo)，然后求出直線方程.（2）按直線過的中點及與平行求出方程即得.【詳解】（1）由邊的垂直平分線的斜率為，得直線方程為，即，而邊中線所在的直線方程為，由，解得，則，設(shè)點，則點，于是，解得，即點，直線的斜率，所以直線的方程為，即.（2）由（1）知，，， 由直線l過點B，且點A、點C到直線l的距離相等，得直線過邊的中點，或，當(dāng)直線過時，直線的斜率為，方程為，即，當(dāng)直線時，直線的斜率為，方程為，即，所以直線l的方程為或.（22-23高二上·遼寧大連·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點的坐標(biāo)為，邊上的高線所在的直線方程為,的角平分線所在直線方程為.(1)求點的坐標(biāo)；(2)求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線的斜截式方程及兩直線垂直關(guān)系，結(jié)合直線的點斜式方程及兩直線相交求交點坐標(biāo)的方法即可求解.（2）利用角平分線的性質(zhì)及點關(guān)于線對稱，再根據(jù)（1）的結(jié)論及直線的兩點式方程即可求解.【詳解】（1）由，得，所以直線的斜率為，因為,所以，即，所以直線的直線方程為：，即，由，解得.所以點的坐標(biāo)為.（2）由題意根據(jù)內(nèi)角平分線的性質(zhì)，可得關(guān)于直線的對稱點在直線上.設(shè)，則由和垂直，且的中點在上，可得，解得，所以，所以直線的方程為，即.（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知的頂點邊上的高所在的直線方程為.(1)求直線的方程；(2)在兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.①角的平分線所在直線方程為；②邊上的中線所在的直線方程為.若__________.求直線的方程.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)直線垂直，求得斜率，利用點斜式方程，可得答案.（2）聯(lián)立直線方程，求得點的坐標(biāo)，選擇條件①，②分別利用角平分線的對稱或中線的對稱，求解即得答案.【詳解】（1）由邊上的高所在的直線方程為，得直線的斜率，而的頂點，所以直線的方程為：，即.（2）選①，角的平分線所在直線方程為，令該直線與邊交于點，由，解得，即點A坐標(biāo)為，設(shè)點B關(guān)于的對稱點為，則，解得，即坐標(biāo)為，顯然點在直線上，則直線的斜率，所以直線的方程為，即.選②，邊上的中線所在的直線方程為，由，解得，即點A坐標(biāo)為，設(shè)點，則的中點在直線上，即，整理得，又點在直線上，即，由，解得，即點，直線的斜率，所以直線的方程為，即.【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知的頂點，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．(1)求點的坐標(biāo)；(2)求直線的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由垂直關(guān)系求出直線的方程，再求出兩直線的交點坐標(biāo)即得.（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式求出點坐標(biāo)，再利用兩點式求出直線方程.【詳解】（1）由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，直線方程為，即，由，解得，所以點的坐標(biāo)是.（2）由點在直線上，設(shè)點，于是邊的中點在直線上，因此，