專題08導數(shù)及其應(yīng)用小題拔高練

【一專三練】專題08導數(shù)及其應(yīng)用小題拔高練新高考數(shù)學復習分層訓練（新高考通用）一、單選題1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)可得，，結(jié)合結(jié)構(gòu)特征，先構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析單調(diào)性，比較出；結(jié)合，，進而求解.【詳解】因為，，即，，先證明，設(shè)，則，令，則；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，即，所以，即，即.而，所以.故選：D.2．（2023·遼寧·哈爾濱三中校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且僅有四個相異實根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)圖象的對稱性，將關(guān)于的方程有且僅有四個相異實根，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在有且僅有兩個相異實根，結(jié)合函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍.【詳解】，，關(guān)于的方程有且僅有四個相異實根，根據(jù)對稱性知，時，有且僅有兩個相異實根，即在上有兩個不相等的實數(shù)根，化簡得：.令，，由，得，由，得，在為減函數(shù)，為增函數(shù)，又時，，時，，的簡圖如圖所示：直線恒過點，，，時，此時直線相切，直線與曲線只有一個公共點，此時方程在上有一個實數(shù)根，不符合題意；由圖可知當或時，直線與均有兩個公共點，即方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，∴關(guān)于的方程有且僅有四個相異實根時，的取值范圍為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵是把方程有四個根的問題轉(zhuǎn)化為上有兩個根的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)研究出函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合簡圖找出臨界狀態(tài)，從而得到解答.3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義域為的函數(shù)滿足，，，若，則的極值情況是（

）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極小值，也無極大值【答案】C【分析】結(jié)合導數(shù)運算公式由條件求，由此可得，再根據(jù)極值與導數(shù)的關(guān)系，利用導數(shù)求函數(shù)的極值即可.【詳解】∵，∴．取可得，，由，令，得，因為，可得，∴，則，∴．令，則；令，，易知時，，在上單調(diào)遞減；時，，在上單調(diào)遞增，所以當時，取最小值，又，當時，，時，，∴存在，，使得．不妨設(shè)，則當時，，當時，，當時，．∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴既有極大值，又有極小值．故選：C.4．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，實數(shù)滿足不等式，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)關(guān)于對稱，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的對稱性和單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】，，所以函數(shù)關(guān)于對稱，，，，恒成立，則是增函數(shù)，由，則則，得，故選：A5．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃┮阎?，，（其中為自然常數(shù)），則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將變形，得，，，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可得，，再根據(jù)可得答案.【詳解】，，，設(shè)，則，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為，所以，即，因為，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以，綜上所述：.故選：D6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知均為正實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用特殊值法當時，，排除選項A，B，C；再證明選項D成立.【詳解】已知均為正實數(shù)，,當時，，滿足成立，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤，對于D，由已知，則，.由則，所以，即，得，，即.下面證明，.設(shè)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以>，即.所以，故D正確，故選：D.7．（2023·廣東揭陽·?？寄M預(yù)測）已知一族曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為．則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．數(shù)列的通項為 B．數(shù)列的通項為C．當時， D．【答案】B【分析】設(shè)直線與曲線方程聯(lián)立，由結(jié)合韋達定理直線的方程可得出從而可判斷A,B選項;由，，可判斷選項C；設(shè)，求出其導數(shù)，得出其單調(diào)性，從而得出，根據(jù)可判斷選項D.【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，得，則由，即，得(負值舍去)，所以可得，，所以A對，B錯；因為，，所以，故C對；因為，令，，可得在上遞減，可知在上恒成立，又.所以成立，故D正確.故選：B.8．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）若過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線方程，再根據(jù)切線過點，結(jié)合韋達定理可得的關(guān)系，進而可得的關(guān)系，再利用導數(shù)即可得出答案.【詳解】設(shè)切點，則切線方程為，又切線過，則，有兩個不相等實根，其中或，令或，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，，，當時，，當時，，所以，即.故選：D.二、多選題9．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)a,b滿足:且,則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】構(gòu)造,求導判斷單調(diào)性來確定A,D選項的正誤,將特殊值代入確定選項B的正誤,根據(jù)分析確定取值范圍,確定選項C的正誤即可.【詳解】解:由題知,當且僅當時取等,故有:關(guān)于選項A,構(gòu)造,所以在上單調(diào)遞增,,即,故選項A正確;關(guān)于選項B,不妨取代入,可得不成立,故選項B錯誤;關(guān)于選項C,,,故選項C正確;關(guān)于選項D,構(gòu)造,令,在單調(diào)遞減,當時，,,即即單調(diào)遞減,,即,,,,故選項D正確.故選:ACD10．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃┮阎?，下列說法正確的是（

）A．存在使得是奇函數(shù)B．任意?的圖象是中心對稱圖形C．若為的兩個極值點，則D．若在上單調(diào)，則【答案】ABD【分析】對于A，當時,為奇函數(shù)，從而即可判斷；對于B，設(shè)函數(shù)的對稱中心為,根據(jù)，求出對稱中心即可判斷；對于C，求導，由題意和韋達定理可得，，再由重要不等式得，即可判斷；對于D，由題意可得恒成立，由，求解即可.【詳解】解：對于A，當時,為奇函數(shù)，故正確；對于B，設(shè)函數(shù)的對稱中心為,則有，又因為，，所以，解得，所以的對稱中心為，故正確；對于C，因為，又因為為的兩個極值點，所以，，所以C錯誤；對于D，若單調(diào)，則有恒成立，所以，解得，選項D正確.故選：ABD.11．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，若為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于y軸對稱，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)為奇函數(shù)可得，根據(jù)的圖象關(guān)于y軸對稱可得，兩個等式兩邊同時取導數(shù)，可得、，對x賦值，結(jié)合選項即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，定義域為R，所以，故，等式兩邊同時取導數(shù)，得，即①，因為的圖象關(guān)于y軸對稱，則，故，等式兩邊同時取導數(shù)，得②.由，令，得，解得，由，令，得，由②，令，得，令，得，解得，故選：ABD.12．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（

）A．當時，在有最小值1B．當時，圖象關(guān)于點中心對稱C．當時，對任意恒成立D．至少有一個零點的充要條件是【答案】AC【分析】利用基本不等式判斷選項；利用函數(shù)的對稱性即可判斷選項；利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項；舉例說明即可判斷選項.【詳解】對于，當時，，當時，則當且僅當，即時去等號，所以函數(shù)在有最小值1，故選項正確；對于，當時，則，因為，所以此時函數(shù)圖象不關(guān)于點中心對稱，故選項錯誤；對于，當時，則，令，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則當時，對任意恒成立，故選項正確；對于，因為時，函數(shù)，，函數(shù)在上有一個零點，所以選項錯誤，故選：.13．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知正數(shù)，滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得出，由基本不等式判斷A；由指數(shù)和對數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】解：因為正數(shù)，滿足，所以，構(gòu)造函數(shù)，，令，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，對于A，，所以，故A錯誤對于B，由，可得，所以，故B正確對于C，由，可得，則，故C錯誤對于D，由，可得，，所以，所以，故D正確．故選：BD．14．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由可得，進而可借助導數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及不等式的基本性質(zhì)對選項逐一進行分析.【詳解】可得，時，為遞減函數(shù)，故，故A正確；取，則，故B錯誤；令時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，時，有，故，故C正確；，，則，則，又則，故，故D正確；故選：ACD.15．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導函數(shù)為，則以下結(jié)論中，正確的是（

）A．是的對稱中心 B．是增函數(shù)C．是偶函數(shù) D．最大值與最小值的和為2【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式、定義域，求解導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)對稱性、最值、單調(diào)性與導函數(shù)函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得答案.【詳解】對A，已知函數(shù)，則，所以，因此關(guān)于點對稱，故A正確；對B，又，則，所以不是增函數(shù)，故B不正確；對C，又，所以是偶函數(shù)，故C正確；對D，又函數(shù)在閉區(qū)間上有最值，又關(guān)于點對稱，所以最大值與最小值的和為2，故D正確.故選：ACD.16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，點分別在函數(shù)的的圖像上，為坐標原點，則下列命題正確的是（

）A．若關(guān)于的方程在上無解，則B．存在關(guān)于直線對稱C．若存在關(guān)于軸對稱，則D．若存在滿足，則【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，求出方程在上有解的a范圍判斷A；設(shè)出點的坐標，由方程有解判斷B；設(shè)出點的坐標，建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的值域判斷CD作答.【詳解】函數(shù)，對于A，方程在上有解，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得，因此關(guān)于的方程在上無解，則或，A錯誤；對于B，設(shè)點，依題意，點Q關(guān)于直線對稱點在函數(shù)的圖象上，即關(guān)于t的方程有解，即有解，此時，令函數(shù)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而函數(shù)在上都單調(diào)遞增，它們的取值集合分別為，因此函數(shù)的值域為，又，于是在有解，所以存在關(guān)于直線對稱，B正確；對于C，設(shè)點，則點P關(guān)于y軸對稱點在函數(shù)的圖象上，即，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，又，恒有，因此，C正確；對于D，令，由得，顯然，且，，令，，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，即有，，而，當且僅當時取等號，所以，即，D正確.故選：BCD17．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若，其中，則（

）A． B．C． D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】對求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的大致圖象．設(shè)，由圖象可得知，，的取值范圍，從而可判斷A；又根據(jù)，對照系數(shù)可得的值，可得得取值范圍，從而可判斷C，D；結(jié)合A和C即可判斷B．【詳解】因為，所以，令，解得或，當時，或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為和；當時，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，的圖象如右圖所示，設(shè)，則，，故A錯誤；又，所以，即，對照系數(shù)得，故選項C正確；，故選項D正確；因為，所以，解得，故選項B正確．故選：BCD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的大致圖象，再利用數(shù)形結(jié)合求解是解答本題的關(guān)鍵．三、填空題18．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）若曲線存在兩條互相垂直的切線，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】先求導函數(shù)，由題可得，分類討論和時，是否存在符合的值即可判斷.【詳解】由題知，令，則．若函數(shù)曲線存在兩條互相垂直的切線則可得，，．當時，，，與題目矛盾；當時，由，可得的值域是故，使得，，．故答案為：．19．（2023·江蘇南京·南京市第一中學校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線l對稱，若P，Q分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為______．【答案】【分析】整體代換求解直線的解析式，利用導數(shù)的幾何意義求解函數(shù)的圖象上到直線距離最短的點，即為點，即可求解兩點間的最短距離.【詳解】解：令，則，，．因為與關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以P，Q兩點之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍，函數(shù)在點處的切線斜率為，令得，，，所以點P到直線距離的最小值為，所以這兩點之間距離的最小值為．故答案為：.20．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)，若有解，則實數(shù)a的取值范圍是______________．【答案】【分析】分析的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性求解.【詳解】，所以是奇函數(shù)，又，在R的范圍內(nèi)是增函數(shù)，有解等價于，有解，令，當時，是增函數(shù)，當x趨于時，趨于，滿足題意；當時，當時，，是增函數(shù)，當時，是減函數(shù)，；令，則，當時，，是增函數(shù)，當時，是減函數(shù)，并且當時，，，當時，即當時，滿足題意，所以a的取值范圍是；故答案為：.21．（2023·山東·河北衡水中學統(tǒng)考一模）過點與曲線相切的直線方程為______．【答案】【分析】由導數(shù)的幾何意義得出切線方程，進而由切點的位置得出，從而得出切線方程.【詳解】設(shè)切點坐標為，，.則切線方程為，因為在切線上，所以，即又，所以，令，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以方程只有唯一解為.即切點坐標為，故所求切線方程為，即.故答案為：22．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個極值點與，若，則實數(shù)a＝____________.【答案】4【分析】由得，所以，根據(jù)解方程即可求出結(jié)果．【詳解】因為函數(shù)有兩個極值點與由，則有兩根與所以，得因為，所以，又則，所以故答案為：23．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【分析】分和兩種情況討論，當時，根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到，當時，分和兩種情況討論，時，將轉(zhuǎn)化為，然后借助函數(shù)的單調(diào)性和最值解不等式即可.【詳解】由題意知，當時，；當時，；當時，．當時，，結(jié)合圖象知；當時，，當時，顯然成立；當時，，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．24．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知a，b為實數(shù)，若對任意，都有恒成立，則的最小值為__________．【答案】1【分析】根據(jù)題意將不等式進行等價轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進而求解.【詳解】對任意，都有恒成立，故．由，得，所以，從而恒成立，故，易知，于是．設(shè)．設(shè)．故在上單調(diào)遞增，結(jié)合，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增．故，所以的最小值為1，此時．故答案為：.25．（2023·湖北·荊州中學校聯(lián)考二模）已知定義在上的函數(shù)，，設(shè)曲線與在公共點處的切線相同，則實數(shù)______．【答案】5【分析】由于兩曲線與在公共點處的切線相同，設(shè)公共點，則，列方程組可求出的值【詳解】解：依題意設(shè)曲線與在公共點處的切線相同.∵，∴，∴，即，即∵，∴，故答案為：26．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考模擬預(yù)測）已知，若對任意的，不等式恒成立，則m的最小值為______.【答案】【分析】不等式變形后構(gòu)造同構(gòu)不等式，，引入函數(shù)，利用其單調(diào)性，變形不等式，然后再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值，得