專題六一元二次不等式及線性分式不等式

專題六一元二次不等式及線性分式不等式思維導(dǎo)圖知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)1．一元二次不等式的定義含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2，一般形如a＋bx＋c＞0或a＋bx＋c＜0(a≠0)．一元二次不等式的解集(不妨設(shè)a＞0，Δ＝－4ac，x1＜x2)方程或不等式

解集

Δ＞0Δ＝0Δ＜0a＋bx＋c＝0{x1，x2}{x0}?a＋bx＋c＞0(－∞，x1)∪(x2，＋∞)(－∞，x0)∪(x0，＋∞)Ra＋bx＋c≥0(－∞，x1]∪[x2，＋∞)RRa＋bx＋c＜0(x1，x2)??a＋bx＋c≤0[x1，x2]{x0}?3.解一元二次不等式的基本步驟(1)一看：看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，將不等式兩邊同乘－1化為正．(2)二算：判斷對(duì)應(yīng)方程解的情況，若有解，求出方程的解．(3)三寫：寫出一元二次不等式的解集．4．分式不等式的解法先移項(xiàng)、通分標(biāo)準(zhǔn)化，則>0?f(x)·g(x)>0；≥0?典例解析典例解析【例1】解下列一元二次不等式．(1)－9≥0; (2)2＋3x<0；(3)－4x＋3<0; (4)2－x＋3≥0；(5)4－4x＋1>0; (6)－＋2x＋3<0.【思路點(diǎn)撥】先將一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)化為正的，再解不等式．【答案】解：(1)∵二次項(xiàng)系數(shù)為1>0，且方程－9＝0的解為x1＝－3，x2＝3，∴－9≥0?x≥3或x≤－3，∴原不等式的解集為(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)∵二次項(xiàng)系數(shù)為2>0，且方程2＋3x＝0的解為x1＝0，x2＝－∴2＋3x<0?－<x<0，∴原不等式的解集為(3)∵二次項(xiàng)系數(shù)為1>0，且方程－4x＋3＝0的解為x1＝1，x2＝3，∴－4x＋3<0?1<x<3，∴原不等式的解集為(1，3)．(4)∵二次項(xiàng)系數(shù)為2>0，且方程2－x＋3＝0無解，∴原不等式的解集為R.(5)∵二次項(xiàng)系數(shù)為4>0，且方程4－4x＋1＝0的解為x1＝x2＝，∴4－4x＋1>0?x≠，∴原不等式的解集為(6)∵二次項(xiàng)系數(shù)為－1<0，∴將不等式兩邊同乘－1得－2x－3>0，方程－2x－3＝0的解為x1＝－1，x2＝3，∴－2x－3>0?x>3或x<－1，∴原不等式的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．【變式訓(xùn)練1】求不等式(2－3x)(x＋3)>0的解集．解：由(3x－2)(x＋3)<0得－3<x<，∴原不等式的解集為【例2】已知不等式a＋bx＋2＞0的解集為，求a，b的值．【思路點(diǎn)撥】先用化歸思想將不等式問題轉(zhuǎn)化為方程問題，再用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．【答案】解：由題意可知－和是方程a＋bx＋2＝0的兩根，則解得【變式訓(xùn)練2】已知不等式＋bx＋c>0的解集為{x|x>2或x<1}．求：(1)b和c的值；(2)不等式c＋bx＋1≤0的解集．解：(1)∵不等式＋bx＋c＞0的解集為{x|x＞2或x<1}，∴1，2是方程不等式＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到b＝－(1＋2)＝－3，c＝1×2＝2.(2)∵c＋bx＋1≤0?2－3x＋1≤0?(2x－1)(x－1)≤0?≤x≤1，∴c＋bx＋1≤0的解集為【例3】當(dāng)x為什么實(shí)數(shù)時(shí)，有意義？【思路點(diǎn)撥】由題意得3－x－2≥0，再解此不等式．【答案】解：由題意可得3－x－2≥0?2＋x－3≤0?(2x＋3)(x－1)≤0?－≤x≤1，∴當(dāng)x∈時(shí)，有意義．【變式訓(xùn)練3】方程m＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個(gè)相異實(shí)根，則m的取值范圍是________．解：∵方程有兩個(gè)相異實(shí)根，∴故m的取值范圍為∪(0，＋∞)．【例4】已知一元二次不等式a＋(a－1)x＋(a－1)＜0對(duì)于所有實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】由題意得a<0且Δ<0.【答案】解：由題意得解得∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為【變式訓(xùn)練4】若不等式k＋2kx＋(k＋2)<0對(duì)于一切x(x∈R)的解集為?，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)當(dāng)k＝0時(shí)，原不等式化為2<0，其解集為?，∴k＝0符合題意；(2)當(dāng)k≠0時(shí)，要使二次不等式的解集為空集，則必須滿足解得k＞0.綜合(1)(2)得k的取值范圍為[0，＋∞)．【例5】解不等式：≥1【思路點(diǎn)撥】先移項(xiàng)、通分化為分式形式，再化為一元二次不等式，再進(jìn)行解不等式．注意：分母不為0.【答案】解：－1≥0??x≥4或x<－1.∴原不等式的解集為(－∞，－1)∪[4，＋∞)．【變式訓(xùn)練5】解不等式：≤0.解：原不等式??x<－或x≥∴不等式的解集為高考鏈接高考鏈接1．(四川省2018年對(duì)口升學(xué)考試試題)一元二次不等式－1<0的解集為(C)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1]【提示】∵－1<0，∴(x＋1)(x－1)<0，∴－1<x<1.2．不等式(＋3)(－x－12)<0的解集是(A)A．(－3，4) B．(－3，3)C．(－∞，－3)∪(4，＋∞) D．(3，4)3．若0<a<1，則不等式(x－a)>0的解集是(C)A. B.C．(－∞，a)∪ D.∪(a，＋∞)【提示】判別a的的大小關(guān)系．4．若＋2ax＋a＋2<0的解集為空集，則a的取值范圍是[－1，2]．【提示】由題意Δ≤0?(2a)2－4(a＋2)≤0?－1≤a≤2.同步精練同步精練選擇題1．不等式(＋1)(x＋1)2＜0的解集為(D)A．{－1} B．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)C．R D．?2．不等式2x－>0的解集為(B)A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0，2)C．? D．R3．若關(guān)于x的不等式＋ax－3≤0的解集是[－1，3]，則實(shí)數(shù)a的值為(B)A．2 B．－2 C．3 D．－1【提示】由題意得－1和3是方程的兩根，則有－1＋3＝－a，解得a＝－2.4.≥1的解集是(D)A．(－∞，－2]∪(1，＋∞) B．(－∞，－2]∪[1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)5．若不等式a＋bx＋2<0的解集為，則a－b的值為(C)A．－10 B．－14 C．－7 D．146．已知二次函數(shù)f(x)＝a＋bx＋c的圖像的頂點(diǎn)在第一象限，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分居原點(diǎn)的兩側(cè)，那么a，b，c的符號(hào)是(B)A．a(chǎn)<0，b<0，c<0 B．a(chǎn)<0，b>0，c>0C．a(chǎn)<0，b<0，c>0 D．a(chǎn)<0，b>0，c<0【提示】二次函數(shù)的圖像，開口，對(duì)稱軸．填空題7．不等式－bx＋2b2<0的解集為___?_____．8．已知不等式＋bx＋1<0的解集為?，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為[－2，2]．9．不等式≤0的解集為(－∞，－2]∪[3，＋∞)．解答題10．解不等式：(x－a)(x－b)>0.解：分類討論①a＝b時(shí)，(x－a)2>0，解集為{x|x≠a}；②a>b時(shí)，解集為{x|x>a或x<b}；③a<b時(shí)，解集為(x|x>b或x<a}．11．當(dāng)m為何值時(shí)，方程－2(m－1)x＋3＝11有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解？解：由方程－2(m－1)x＋3＝11，得－2(m－1)x＋3－11＝0，∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ>0，即4(m－1)2－4(3－11)