2024中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 重難題型分類練 題型八 閱讀理解題 (含答案)

2024中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難題型分類練題型八閱讀理解題

類型一定義新運(yùn)算

i.閱讀下列材料

定義運(yùn)算：min|?,b\,當(dāng)時(shí)，min|a,b\=b\當(dāng)aV。時(shí)，mink/,力|="

例如:min|-1,3|=-1;

完成下列任務(wù)

(l)①min|(—3)°,2|=

@min|-V14,-4|=

⑵如圖，已知反比例函數(shù)》=§和一次函數(shù)”=一級(jí)+力的圖象交于4、B兩點(diǎn),當(dāng)一2Vx

VO時(shí)，"”川二，一2x+/?|=(x+1)(1—3)—x2.求這兩個(gè)函數(shù)的解析式.

2.對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N,若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和

m整除,則稱N是〃?的“卻倍數(shù)

例如：???247+(2+4+7)=247口3=19,

???247是13的“和倍數(shù)”.

又如：?.?214+(2+1+4)=214+7=304,

???214不是“和倍數(shù)”.

(1)判斷357,441是否是“和倍數(shù)”？說明理由;

(2)三位數(shù)4是12的“和倍數(shù)”，a,4c分別是數(shù)A其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，且a>Qc.在

a，b,c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為尸(A),最小的兩位數(shù)記為G(A).若

F(A)+G(A)

為整數(shù)，求出滿足條件的所有數(shù)A.

16

類型二新概念的理解與應(yīng)用

3.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，已知點(diǎn)M(mb),N.

時(shí)于點(diǎn)Q給出如下定義：將點(diǎn)P向右(色0)或向左3<0)平移同個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上(色0)或向

下S<0)平移網(wǎng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)產(chǎn)，點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為Q,稱點(diǎn)。為點(diǎn)P的“對(duì)

應(yīng)點(diǎn)

⑴如圖，點(diǎn)Ml，1)，點(diǎn)N在線段OM的延長(zhǎng)線上.若點(diǎn)P(—2,0),點(diǎn)。為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)

點(diǎn)”,

第3題圖

①在圖中畫出點(diǎn)Q；

②連接PQ，交線段ON于點(diǎn)工求證：NT=WOM；

（2）。。的半徑為1,M是（DO上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段0M上，且0N=4]Wl）.若P為G。外

一點(diǎn)，點(diǎn)。為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，連接PQ.當(dāng)點(diǎn)M在。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)直接寫出PQ長(zhǎng)的最大值

與最小值的差（用含，的式子表示）.

4.小東在做九上課本123習(xí)題：“1：<2也是一個(gè)很有趣的比.已知線段A8（如圖①），用直

尺和圓規(guī)作上的一點(diǎn)P,使AP：AB=I:也.”小東的作法是：如圖②，以AB為斜邊作

等腰直角三角形ABC,再以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交線段AB于點(diǎn)P,點(diǎn)尸即為

所求作的點(diǎn)，小東稱點(diǎn)P為線段A8的“趣點(diǎn)”.

（1）你贊同他的作法嗎？請(qǐng)說明理由；

（2）小東在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作和探究：連接CP,點(diǎn)。為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡在

AB的上方，構(gòu)造△DPE,使得△DPEsACPB.

①如圖③，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)人時(shí)，求NCPE的度數(shù)；

②如圖④，DE分別交CP,于點(diǎn)M,N,當(dāng)點(diǎn)。為線段4c的“趣點(diǎn)”時(shí)（COV4。），猜想：

點(diǎn)N是否為線段ME的“趣點(diǎn)”？并說明理由.

第4題圖

5.若關(guān)于x的函數(shù)當(dāng)r—1<x</+1時(shí)，函數(shù)），的最大值為M,最小值為N,令函數(shù)h

M-N

=1—,我們不妨把函數(shù)萬稱之為函數(shù)的“共同體函數(shù)

⑴①若函數(shù)），=4044工，蘭/=1時(shí)，求函數(shù)），的“共同體函數(shù)，力的值；

②若函數(shù)），=匕+〃（原0,h6為常數(shù)），求函數(shù)J的“共同體函數(shù)*的解析式；

2

⑵若函數(shù)丁=彳（x>l）,求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”的最大值；

人

（3）若函數(shù)丁=-/+4%+k是否存在實(shí)數(shù)A,使得函數(shù)1y的最大值等于函數(shù)），的“共同體函數(shù)”

的最小值.若存在，求出2的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6.在四邊形4BCD中，。是邊8c上的一點(diǎn).若△048g△OCZ),則點(diǎn)。叫做該四邊形的“等

形點(diǎn)

⑴正方形“等形點(diǎn)”(填“存在”或“不存在”)：

⑵如圖，在四邊形44a＞中，邊上的點(diǎn)。是四邊形A8CO的“等形點(diǎn)”.已知8=4地，

Q4=5,BC=12,連接AC,求人C的長(zhǎng)：

第6題圖

(3)在四邊形EFGH中,EH//FG.若邊FG上的點(diǎn)0是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求患的

值.

類型三解題方法型

7.閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程根的情況

我們知道，一元二次方程加+&+。=0（g0）的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y=a:r+bx+c[a^0）

的圖象（稱為拋物線）與x袖交點(diǎn)的橫坐標(biāo).拋物線與大軸的交點(diǎn)、有三種情況：有兩個(gè)攵點(diǎn)、

有一個(gè)交點(diǎn)、無交點(diǎn).與此相對(duì)應(yīng)，一元二次方程的根也有三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根'無實(shí)數(shù)根.因此可用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定一元二次方程

根的情況.

b4ac—b2

下面根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（一五,F-）和一元二次方程根的判別式4=/-4農(nóng)，分

別從4>0和?<0兩種情況進(jìn)行分析：

（1）。>0時(shí)，拋物線開口向上.

①當(dāng)/=〃一44c>0時(shí)，有467（—b2<0.

4ac—tr

*.Vz>0,/.頂點(diǎn)縱坐標(biāo)一^一<0-

???頂點(diǎn)在X軸的下方，拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖①）.

:.一元二次方程五十床+。=0（〃和）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

②^J=b2—4ac=0時(shí)，有4ac—b2=0.

4。。一b1

??Z>0,J頂點(diǎn)縱坐標(biāo)一元一=0.

???頂點(diǎn)在x軸上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（如圖②）.

???一元二次方程aF+云+c=03#））有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

③當(dāng)/=從一4奴<0時(shí)，

（2）。<0時(shí)，拋物線開口向下.

圖①

圖②

第7題圖

任務(wù)：（1）上面小論文中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（從下面選項(xiàng)中選

出兩個(gè)即可）；

A.數(shù)形結(jié)合B.統(tǒng)計(jì)思想C.分類討論D.轉(zhuǎn)化思想

⑵請(qǐng)參照小論文中當(dāng)。＞0時(shí)①②的分析過程，寫出③中當(dāng)時(shí)，一元二次方程根的

情況的分析過程，并畫出相應(yīng)的示意圖：

（3）實(shí)際上，除一兀二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí).例如：

可用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)一元一次方程的解.請(qǐng)你再舉出一例為.

W源自北師九下尸52議一議

8.閱讀下列材料:

在△ABC中，NA,ZB,NC所對(duì)的邊分別為a,b,c,求證：端田=5石-

證明：如圖①，過點(diǎn)C作COJ_A3于點(diǎn)。，則:

在RtABCD中，CD=asinB,

在RSAC。中，CO=OsinA,

：?asinB=bsinA,

?，______(L-

**sinA-sinB'

根據(jù)上面的材料解決下列問題:

(1)如圖②，在△ABC中，NA,/B,NC所對(duì)的邊分別為a,b,c,求證：67=377；

(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境.如圖③，規(guī)劃中的一

片三角形區(qū)域需美化，已知NA=67。，N8=53。，AC=80米，求這片區(qū)域的面積.(結(jié)果保

留根號(hào).參考數(shù)據(jù)：sin53cM).8,sin67。卸9)

圖2

第8題圖

9.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個(gè)里程碑.在

該書的第2卷“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給

人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.

⑴我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來推理，觀察卜.列圖形，找出可以推出的

田④

第9題圖

公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd

公式②：(a-\-b)[c-\-d)=ac~\-ad~\rbe+bd

公式③：(?—h)2=a2—lab+b2

公式④：(a+b)2=a2+lab+b2

圖①對(duì)應(yīng)公式一，圖②對(duì)應(yīng)公式______，圖③對(duì)應(yīng)公式一，圖④對(duì)應(yīng)公式.

(2)《兒何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式3+/力3—匕)=〃2—〃的方法，

如圖⑤，請(qǐng)寫出證明過程；(已知圖中各四邊形均為矩形)

(3)如圖⑥，在等腰直角三角形ABC中，N84C=90。，。為8c的中點(diǎn)，E為邊AC上任意

一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，過點(diǎn)E作EG_L8C于點(diǎn)G,作于點(diǎn)兒過點(diǎn)8作8F〃AC

交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”.記△BFG與仆CEG的面積之和為S，△ABD與4AEH的面積之和為

$2.

①若石為邊人。的中點(diǎn)，則今的值為

②若E不為邊4C的中點(diǎn)時(shí)，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成

立,請(qǐng)說明理由.

圖⑤圖⑥

第9題圖

10.【閱讀理解】如圖①，l\〃k，△ABC的面積與△DSC的面積相等嗎？為什么？

解：相等，在aABC和ADBC中，分別作4EJL/2，DF_h，垂足分別為點(diǎn)E,F.

???NAEF=ZDFC=90°,：.AE//DF.

???四邊形4￡尸。是平行四邊形，

：.AE=DF.

又SAA8C=]BCAE,5ADBC=7BCDF,

:、SAABC=SADBC-

【類比探究】如圖②，在正方形A8C7)的右側(cè)作等腰△C7)E,CE=DE,4。=4,連接AE,

求AAQE的面積.

解：過點(diǎn)E作EF工CD于點(diǎn)F,連接4F.

請(qǐng)將余下的求解步驟補(bǔ)充完整.

【拓展應(yīng)用】如圖③，在正方形43CO的右側(cè)作正方形CEFG,點(diǎn)、B,C,￡在同一直線上,

>40=4,連接8。，BF,DF,直接寫出△BO廠的面積.

R

圖③

第10題圖

參考答案與解析

1.解：⑴①1;

②一4；【解法提示】???(/I)2<42,V4,???一迎>-4,Amin|-Vl4,-4|=

-4.

(2)，??當(dāng)-2<r<0時(shí)，ming,—2:i+b|=(x+l)(x—3)—/=-2Y—3,

且由圖象得，當(dāng)一2<x<0時(shí)，ming,—2t+Z?|=—2x+b,

???。=一3,

???一次函數(shù)的解析式為”=-2L3,

(—2,1),

2

???反比例函數(shù)的解析式為V=—?.

人

2.解：(1)357不是“和倍數(shù)”，441是9的“和倍數(shù)”.理由如卜:

:357+(3+5+7)=23……12,

???357不是“和倍數(shù)”.

?.?441+(4+4+1)=49,

A441是9的“和倍數(shù)”；

(2)二三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，

，a+〃+c=12.

，44)=10。+力，G(A)=10c+A

F(A)+G(A)

為整數(shù),

,16

10。+〃+lOc+力8。+8c+2a+20+2c8a+8c+248a+8c+8o+c+1

16=16=16-=-16-+1=-2-+1,

,a+c+1

1,―2-是整數(shù),

，a+c為奇數(shù).

當(dāng)a+c=3時(shí)，b=9,不符合題意:

當(dāng)a+c=5時(shí)，〃=7,不符合題意;

當(dāng)a+c=7時(shí)，b=5,則。=6,c=l或。=5,c=2(舍去);

當(dāng)〃+c=9時(shí)，。=3,則。=8,c=l或a=7,c=2或〃=6,c=3(舍去)或a=5,c=4(舍

去)；

當(dāng)a+c=ll時(shí)，b=\,不符合題意:

。=6仿=8a=7

或卜=3.

.,.*=5或2=3

.c=[c=

1I<=2

tA能被12整除,

工滿足條件的所有數(shù)A為516,156,732,372.

3.(1)①解：畫出點(diǎn)Q如解圖①；

②證明：如解圖②，連接PP'

由題意可知產(chǎn)(-2+1,0+1),即叫一1,1).

丁尸(一2,0),M(l,I),M2,2),

:.PP//OM,PP'=OM,

又???N為產(chǎn)。的中點(diǎn)，

???％丁為4。9。的中位線,

：?NT=gPP=TOMx

(2)解：4f—2.

用②

第3題解圖

【解法提示】如解圖③，由題意可知將點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)產(chǎn)與將點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)M的方式相同，

??，?=0"=1.設(shè)?！钡闹悬c(diǎn)為。，首先，考慮兩種極端情況，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，此

時(shí)M,N重合，點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)8,當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)

稱點(diǎn)為點(diǎn)4,顯然PP'〃/M,。產(chǎn)=氐4,???四邊形PP7M為平行四邊形..??/W=PP』l一般

情況下，當(dāng)點(diǎn)N在線段CM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)C,M重合），點(diǎn)。也在84上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A,

8重合），同理②可得MN為△P8Q的中位線，???BQ=2A/N=2（1—，）=2—2f,??.AQ=A8-

8Q=1—（2—2f）=2f—1,易知A,P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，當(dāng)點(diǎn)尸固定時(shí)，點(diǎn)A是個(gè)定點(diǎn)，，當(dāng)

ON為/，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。的軌跡為以點(diǎn)A為圓心，AQ為半徑的圓，???PQ的最大值為

出+4Q,最小值為以一AQ,其差為2AQ=4L2.

第3題解圖③

4.解：（1）贊同，理由如下：

?「△A8C為等腰直角三角形,

：,AC=BC,NA=NB=45。，

.…AC巫1

,,cos45。=而=為=忑，

*：AC=AP,

.絲=_!_

??麗飛，

???點(diǎn)P為線段48的“趣點(diǎn)”；

(2)①由題意可得NCA8=NB=45。，NACB=90。，AC=AP=BC,

:.ZACP=ZAPC=^X(180。-45°)=67.5。，

/.Z^CP=90o-67.50=22.5°,

???NCP3=180°—45°-22.5°=112.5°,

■:ADPESRCPB,點(diǎn)。，A重合,

：.ZDPE=ZCPB=\\2.5\

，ZCPE=NDPE+NCPR-180°=45°；

②點(diǎn)N是線段ME的“趣點(diǎn)”，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)。為線段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（COVAO）,

,噗=左’而AC=AP，

.AD__1_

??麗=詆，

?,嗡=古'NA=NA'

:?△ADPSXACB,

：./4QP=NACB=90。，

AZAPD=45°,DP//CB，

JZDPC=/尸CB=22.5°=4PDE,

：?DM=PM,

JZWDC=ZMCD=90°-22.50=67.5°,

：,MD=MC,

同理可得MC=MM

MP=MD=MC=MN,

；?NMDP=NMPD=22.5。,NE=N8=45°,

；?NEMP=45。,

/.NMPE=90°,

.MP__1___MN

?赤=g=ME'

???點(diǎn)N是線段M￡的“趣點(diǎn)”.

13

-Ww-

2X2

?.?4044>0,隨x的增大而增大，

3.1

???當(dāng)時(shí)，"=6066,當(dāng)三=/時(shí)，N=2022,

M-N

???函數(shù)），的“共同體函數(shù)"-=2022；

②若心>0,則），隨x的增大而增大，

???當(dāng)時(shí)，）+6,當(dāng)x=f—；時(shí)，N=k（L；）+〃,

乙JJL

M-Nk

??h=-5-=2；

若左VO,y隨工的增大而減小，

,當(dāng)x=/一；時(shí)，M=k[t—^）+6,當(dāng)時(shí)，N=?/+：）+〃,

4

M-N

?*.h=,2

???函數(shù)），的“共同體函數(shù)”力的解析式為

2>0

h=

\k;

[-5,k<0

2

(2)??、，=;(在1)，

二在T+4范圍內(nèi)，)，隨工的增大而減小,

22

，M=j-,N=p,

z-2z+2

.,M-NMNI

==1-1

?h=F~T~2~d-尸-

24

*-2

—3

/-->*>-

2\9*\2

”2,

???函數(shù)），的“共同體函數(shù)”/?的最大值為3;

⑶存在.

??？=-X2+4x+k=—。-2）2+女+4,

，函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為直線4=2,y的最大值為k+4,

—3

--

22），隨工的增大而增大,

35

，M=一(/―5^+々+4,/=—(/—X)?+k+4,

M-N

：.h=~-=—，+2；

②當(dāng)2</+：,即,<QW2時(shí),

M=—(2—2)2+&+4=〃+4,N=—Q一方)24-JI+4,

：h=^L_k=1(/_|)2.

③當(dāng)搭＜z+2W3,即2＜忘|時(shí),

3

"=一(2—2)2+什4=攵+4,N=~(t~^尸+2+4,

M-N13,

??/?=^—=70-2)；

15

即

->?>-時(shí)

23,/2y隨x的增大而減小

53

M=—(，-5>+A+4,N=—(/-5)2+Z+4,

M-N

h=-2~=L2

一，+2,忘於

5產(chǎn)

2

-\!

27

5

-

2

1—2,

畫出h關(guān)于，的函數(shù)圖象如解圖,

5

2

2

第5題解圖

.?.當(dāng)，=2時(shí)，力有最小值，最小值為上，

；?k+4=J,

O

31

解得2=一破.

6.解：(1)不存在；

【解法提示丁??當(dāng)點(diǎn)。在正方形48co的邊8C上時(shí)，N0ABVNDAB=9()。,NOCQ=90。,

，/O4B#NOC7),???△04BgZ\OC。不成立，.,?不存在“等形點(diǎn)”.

(2)如解圖①，過點(diǎn)A作AE1BC于點(diǎn)E

第6題解圖①

???點(diǎn)。是四邊形A8CD的“等形點(diǎn)”，

???△0A8絲△OCO,

：.0A=0C=5,AB=CD=4y[2,

：.B0=BC-0C=1,

設(shè)BE=x,則EO=BO-BE=l~x,

在RtAABE和RtAAOE皿，

由勾股定理得AB2-BE2=AO2-OE2,

即(46)2—『=52—(7—62,

解得x=4,

???0E=3,AE=4,

ACE=8,

???在Rt^ACE中，由勾股定理得AC=44；

⑶如解圖②，???點(diǎn)0是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，

:.△0EFW40GH,

：.OE=OG,OF=()H,ZEOF=ZGOH,

VEH//FG,

：.NHEO=/EOF,ZEHO=NGOH,

：?4HEO=/EHO,

：?OE=OH,

：.OF=OG,

.QL=.

??OG?

第6題解圖②

7.解：⑴AC；

（2）aX）時(shí),拋物線開口向上.

當(dāng)/=房一4ac<0時(shí)，有4ac--b2>0.

—kr

,?Z>0,二頂點(diǎn)縱坐標(biāo)44>0.

???頂點(diǎn)在x軸的上方，拋物線與x軸無交點(diǎn)（如解圖）.

第7題解圖

，一元二次方程av2+&+c=0(〃W0)無實(shí)數(shù)根；

(3)可用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)二元一次方程組的解.(答案不唯一.乂如：可用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元一

次不等式解集等)

8.(1)證明：如解圖①，過點(diǎn)A作4N_LBC于點(diǎn)N.

在RtZ\ABN中，AN=csinB,

在RtZ\ACN中，AN=〃sinC,

AcsinB=bsinC,

.bc

**sinB-sinC;

第8題解圖

(2)解：VZBAC=67°,28=53°,

AZC=60°.

如解圖②，過點(diǎn)4作于點(diǎn)"

在RtZ\AC〃中，A”=4Csin60o=80X坐=4()小米.

???ACBC

X,sinB-sinZBAC'

80_BC

“l(fā)in0.8-0.9，

???8C=90米，

，S