廣東省惠州市2024-2025學(xué)年高三第二次調(diào)研考試（期中）數(shù)學(xué)試題

高三第二次調(diào)研考試試題數(shù)學(xué)全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘.2024.10注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?座位號(hào)?學(xué)校?班級(jí)等考生信息填寫在答題卡上.2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無(wú)效.3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無(wú)效.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集概念即可求解.【詳解】因?yàn)楹?，，所?故選：B.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.3 B.2 C. D.1【答案】C【解析】【分析】求出，再求可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C.3.已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，則A.100 B.99 C.98 D.97【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由已知，所以故選C.【考點(diǎn)】等差數(shù)列及其運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法.4.在正方體中，棱的中點(diǎn)分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征找到直線與平面所成角，解直角三角形，即可求得答案.【詳解】連接，在正方體中，平面，棱的中點(diǎn)為，則平面，而平面，故，則即為直線與平面所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，則，故，故選：C5.已知向量滿足：，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再由投影向量的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A6.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判別，建立不等式，利用充分條件與必要條件的定義，可得答案.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.7.已知“水滴”的表面是一個(gè)由圓錐的側(cè)面和部分球面（常稱為“球冠”）所圍成的幾何體.如圖所示，將“水滴”的軸截面看成由線段和優(yōu)弧所圍成的平面圖形，其中點(diǎn)所在直線與水平面平行，和與圓弧相切.已知“水滴”的“豎直高度”與“水平寬度”（“水平寬度”指的是平行于水平面的直線截軸截面所得線段的長(zhǎng)度的最大值）的比值為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓心為O，連接OA，OB，OC，設(shè)球冠的半徑為，根據(jù)幾何性質(zhì)可得，從而可得，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式即可得的值.【詳解】設(shè)優(yōu)弧所在圓的圓心為，半徑為，連接，如圖所示．易知“水滴”的“豎直高度”為，“水平寬度”為，由題意知，解得，因?yàn)榕c圓弧相切于點(diǎn)，所以，在中，，又，所以，由對(duì)稱性知，，則，所以，故選：D.8.在統(tǒng)計(jì)某學(xué)校所有選擇理科和文科的學(xué)生數(shù)據(jù)中，發(fā)現(xiàn)理科生多于文科生，女生多于男生，則關(guān)于本次學(xué)生樣本的數(shù)據(jù)中，結(jié)論一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生【答案】C【解析】【分析】分別設(shè)出理科男女生，文科男女生的人數(shù)，根據(jù)題意列出不等式即可求解.【詳解】根據(jù)已知條件設(shè)理科女生有人，理科男生有人；文科女生有人，文科男生有人；根據(jù)題意可知：，根據(jù)同向不等式可加的性質(zhì)有：，即，所以理科女生多于文科男生，故C正確，其他選項(xiàng)沒(méi)有足夠證據(jù)論證.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測(cè)某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：.則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（）A.極差是4B.眾數(shù)小于平均數(shù)C.方差是2D.數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為4.5【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)極差、眾數(shù)、平均數(shù)、方差、百分位數(shù)的定義求解判斷選項(xiàng)即可.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為：.A項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；B項(xiàng)，眾數(shù)為3，平均數(shù)為，所以眾數(shù)與平均數(shù)相等，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，方差為，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由，是整數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，故D正確.故選：AD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.函數(shù)是奇函數(shù)D.【答案】ABD【解析】【分析】由圖象可以得到，求出的解析式，可判斷A，B，由奇偶函數(shù)的判斷方法可以判斷C，由平移變化和誘導(dǎo)公式可以判斷D.【詳解】由圖象可知：，則；又，故，又，所以，所以A項(xiàng)正確；，由五點(diǎn)作圖法可知：，解得：，所以B項(xiàng)正確；因此可得，則，設(shè)，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；由，所以D項(xiàng)正確；故選：ABD.11.如圖，心形曲線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)和?1,1均在上B.點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為C.OP的最大值與最小值之和為3D.【答案】ABD【解析】【分析】點(diǎn)代入曲線判斷A，根據(jù)曲線分段得出函數(shù)取得最大值判斷B，應(yīng)用三角換元再結(jié)合三角恒等變換求最值判斷C，應(yīng)用三角換元結(jié)合橢圓的方程得出恒成立判斷D.【詳解】令，得出，則對(duì)于A：時(shí)，得或，時(shí)，得，所以和均在L上，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：因?yàn)榍€關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以時(shí)，最大，最大值為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C：，因?yàn)榍€關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以，因?yàn)榭扇∪我饨?，所以取最小值，取最大值，所以和為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：等價(jià)為點(diǎn)在橢圓內(nèi)，即滿足，即，整理得，即恒成立，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用三角換元，再結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，最后應(yīng)用三角函數(shù)值域求最值即可.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，各項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】直接令即可求出二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】令，則二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)和為.故答案為：13.橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi)__________【答案】【解析】【詳解】本題著重考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及橢圓的離心率等幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸思想.利用橢圓及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.由橢圓的性質(zhì)可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.【點(diǎn)評(píng)】求雙曲線的離心率一般是通過(guò)已知條件建立有關(guān)的方程，然后化為有關(guān)的齊次式方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可.體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質(zhì).來(lái)年需要注意橢圓的長(zhǎng)軸，短軸長(zhǎng)及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求解等.14.若關(guān)于的方程有實(shí)根，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)實(shí)根為，則，轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)在直線，利用的幾何意義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)到直線距離的最小值，再構(gòu)造函數(shù)求解并驗(yàn)證最值取到即可.【詳解】設(shè)方程的實(shí)根為，則，所以，即.設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上.設(shè)點(diǎn)O0,0到直線的距離為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，則，又，由幾何意義可知，所以.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，由，解得，此時(shí)；由，解得，此時(shí).所以最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求曲線y=fx在點(diǎn)1,f（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先確定切點(diǎn)，再求切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線方程.（2）分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的最小值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為：，又，，即為所求切線的斜率.所以切線方程為：，化簡(jiǎn)得：【小問(wèn)2詳解】，（）由f′x>0；由f′x所以在1,2上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在區(qū)間上的極小值為，也是最小值.16.如圖，四棱錐中，底面，.（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，然后由公式求平面與平面夾角的余弦值即可.【小問(wèn)1詳解】證明：已知底面，且底面，所以.由，可得又平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn).由，可得，又因?yàn)?，所以三角形是正三角形，?在中，，所以.可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得，由（1）可知，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知雙曲線及直線.（1）若與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若與交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）將雙曲線及直線聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)題意即可求解；（2）方法一：根據(jù)面積，其中d為O到直線l的距離，然后用含k的式子表示出，解方程即可求出k的值；方法二：根據(jù)得，然后用含k的式子表示出，解方程即可求出k的值.【小問(wèn)1詳解】直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)根，整理得，解得且，雙曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】解法一：設(shè)交點(diǎn)，由（1）知雙曲線與直線聯(lián)立的方程為.由韋達(dá)定理得：，則又到直線的距離，所以的面積，解得或，又因?yàn)榍遥曰?所以當(dāng)或時(shí)，的面積為.解法二：設(shè)交點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，由（1）知雙曲線與直線聯(lián)立的方程為.由韋達(dá)定理得：，當(dāng)在雙曲線的一支上且時(shí)，；當(dāng)在雙曲線的兩支上且時(shí)，綜上，.由已知得，故，即所以，解得或，又因?yàn)榍?，所以?所以當(dāng)或時(shí)，的面積為.18.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知且均為整數(shù).（1）求值；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，求的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）三角形三個(gè)內(nèi)角和得到角的范圍，結(jié)合題意得到及的值，在通過(guò)三角形三個(gè)內(nèi)角和得到角的范圍，由二倍角公式得出的值，用和差角公式得出的值；（2）由正切值算出正余弦值，由正弦定理得出三邊關(guān)系，再由余弦定理得出邊得到等腰三角形，從而得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由，則.由，則，故，所以，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，由，可得.因?yàn)?，所以，則，所以.由，則，解得或（舍去），故，又為正整數(shù)，所以，所以，綜上，.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，則，在中，由正弦定理，可得，又的中點(diǎn)為，所以，在中，由余弦定理得：，所以，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第1小問(wèn)解決的關(guān)鍵在于，緊緊抓住均為整數(shù)的條件，依次分析的正切值，從而得解.19.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列an為項(xiàng)數(shù)列，由所有項(xiàng)0數(shù)列組成集合.（1）若an是12項(xiàng)0數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；（2）從集合中任意取出兩個(gè)數(shù)列，記.①求隨機(jī)變量的分布列，并證明：；②若用某軟件產(chǎn)生項(xiàng)數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，且.若，比較與的大小.【答案】（1）0（2）①分布列見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和問(wèn)題，進(jìn)而求解即可；（2）①由題知的可能取值為：，進(jìn)而結(jié)合題意得到，再結(jié)合等式求數(shù)學(xué)期望，并結(jié)合不等式放縮即可證明；②