第12講 弧長及扇形的面積（2種題型）（解析版）

第12講弧長及扇形的面積（2種題型）1.理解弧長和扇形面積公式的探求過程.2.會(huì)利用弧長和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.重點(diǎn)：會(huì)利用弧長和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.難點(diǎn)：理解弧長和扇形面積公式的探求過程并會(huì)應(yīng)用解決問題.一．弧長的計(jì)算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．二．扇形面積的計(jì)算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．一．弧長的計(jì)算（共13小題）1．（2023?南京一模）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的半圓分別與AB，AC交于點(diǎn)D，E．若BC＝6，∠A＝60°，則的長為（）A． B．π C．2π D．3π【分析】連接OD、OE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)求出∠DOE＝60°，再根據(jù)弧長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：連接OD、OE，∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，∴∠DOE＝60°，∴的長為：＝π，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長的計(jì)算，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?常州期末）如圖，同一個(gè)圓中的兩條弦AB、CD相交于點(diǎn)E．若∠AEC＝120°，AC＝4，則與長度之和的最小值為（）A．4π B．2π C． D．【分析】如圖，以AC為邊作等邊△ACH，則∠AHC＝60°，而∠AEC＝120°，則E在△ACH的外接圓P上運(yùn)動(dòng)，記AB，CD所在的圓為⊙O，連接OA，OB，OC，OD，證明∠AOD+∠BOC＝120°，再證明OA+OC≥AC，（當(dāng)A，O，C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，以AC為邊作等邊△ACH，則∠AHC＝60°，而∠AEC＝120°，則E在△ACH的外接圓P上運(yùn)動(dòng)，記AB，CD所在的圓為⊙O，連接OA，OB，OC，OD，∴，，∴∠AOD+∠BOC＝2（∠ACD+∠BAC）＝2（180°﹣∠AEC）＝2×60°＝120°，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可得：OA+OC≥AC，（當(dāng)A，O，C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），當(dāng)OA+OC＝AC時(shí)，⊙O半徑最小，此時(shí)半徑為，∴此時(shí)與的和最小，最小值為：．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長的計(jì)算，確定弧長和取最小值時(shí)圓心O的位置是解本題的關(guān)鍵．3．（2023?蘇州一模）半徑是10cm，圓心角為120°的扇形弧長為cm．（結(jié)果保留π）【分析】直接利用弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：∵扇形的半徑是10cm，圓心角為120°，∴扇形弧長＝＝（cm）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長的計(jì)算，熟記弧長公式是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023?泗洪縣二模）若扇形的圓心角為36°，半徑為15，則該扇形的弧長為3π．【分析】直接利用弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：該扇形的弧長＝＝3π．故答案為：3π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式l＝．5．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C，D在⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn)，∠ACD＝60°，AB＝8，則的長為．【分析】連接OD．根據(jù)圓周角定理求出∠AOD＝2∠ACD＝120°，那么∠BOD＝60°，代入弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OD．∵∠ACD＝60°，∴∠AOD＝2∠ACD＝120°，∴∠BOD＝60°，∵AB＝8，∴OA＝OB＝4，∴的長為＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r），根據(jù)圓周角定理求出∠AOD＝2∠ACD＝120°是解題的關(guān)鍵．6．（2023?啟東市三模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半徑為9，則劣弧的長為（）A．4π B．8π C．9π D．18π【分析】連接OD，OC．利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC，再求出圓心角∠DOC，利用弧長公式求解．【解答】解：連接OD，OC，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝130°，∴∠ADC＝50°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝50°，∴∠DAC＝80°，∴∠DOC＝2∠DAC＝160°，∴的長＝＝8π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長公式，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出圓心角，記住弧長公式．7．（2023?蘇州一模）如圖，正方形ABCD的邊長是1，延長AB到E，以A為圓心，AE為半徑的弧恰好經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)C，則的長為．?【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，求出∠EAC，再根據(jù)弧長公式求出答案即可．【解答】解：連接AC，由勾股定理得：AC＝＝，∵AB是小正方形的對(duì)角線，∴∠EAC＝45°，∴的長度是＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)和弧長計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，注意：一條弧所對(duì)的圓心角是n°，半徑為r，那么這條弧的長度是．8．（2023?寶應(yīng)縣校級(jí)三模）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，點(diǎn)E在AB的延長線上，以A為圓心，AE為半徑畫弧，交AD的延長線于點(diǎn)F，且弧EF經(jīng)過點(diǎn)C，則的長為．【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，求出∠EAF，再根據(jù)弧長公式求出答案即可．【解答】解：如圖，連接AC，則AC＝＝，∴弧長＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)和弧長計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，注意：一條弧所對(duì)的圓心角是n°，半徑為r，那么這條弧的長度是．9．（2023?海陵區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑為10，點(diǎn)P是弦AB所對(duì)優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，作AH⊥BP，垂足為H．（1）若∠P＝45°，求AB的長及的長；（2）若AB＝5，求點(diǎn)H到AP的距離的最大值．【分析】（1）連接OA，OB，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求得∠AOB＝90°，然后利用勾股定理及扇形弧長面積公式即可求得答案；（2）結(jié)合已知條件易得△AOB是等邊三角形，則∠AOB＝90°，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求得∠P＝30°，再由三角函數(shù)可得AH＝AP，PH＝AP，設(shè)點(diǎn)H到AP的距離為h，利用等面積法可得h＝AP，那么當(dāng)AP為直徑時(shí)，h最大，從而得出答案．【解答】（1）如圖，連接OA，OB，∵⊙O的直徑為10，∴OA＝OB＝5，∵∠P＝45°，∴∠AOB＝2∠P＝90°，∴AB＝＝5，的長為：＝π；（2）∵AB＝OA＝OB＝5，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠P＝∠AOB＝30°，∵AH⊥BP，∴AH＝AP，PH＝AP，設(shè)點(diǎn)H到AP的距離為h，則AH?PH＝AP?h，那么h＝AP，若要h最大，那么AP最大即可，故當(dāng)AP為直徑時(shí)h最大，即h最大值為×10＝，即點(diǎn)H到AP的距離的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查與圓有關(guān)的性質(zhì)及與圓有關(guān)的計(jì)算，（1）中圓周角定理及弧長公式是重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握；（2）中利用等面積法得出點(diǎn)H到AP的距離與AP的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?如皋市期末）如圖，CE是⊙O的直徑，半徑OA⊥弦BC，垂足為點(diǎn)D，連AB，AC，AE．（1）求證：∠ACB＝∠E；（2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的長．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到＝，則根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ACB＝∠E；（2）先利用（1）的結(jié)論得到∠E＝30°，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝60°，則可判斷△OAC為等邊三角形，所以O(shè)A＝AC＝3，然后根據(jù)弧長公式求解．【解答】（1）證明：∵OA⊥弦BC，∴＝，∴∠ACB＝∠E；（2）解：∵∠E＝∠ACB＝30°，∴∠AOC＝2∠E＝60°，∵OA＝OC，∴△OAC為等邊三角形，∴OA＝AC＝3，∴的長為＝π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長的計(jì)算：記住弧長公式是解決問題的關(guān)鍵（弧長公式為l＝，其中弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．也考查了垂徑定理和圓周角定理．11．（2023?建湖縣三模）如圖，弧AB與∠ACB的一邊CB切于點(diǎn)B，與另一邊CA交于點(diǎn)A，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝，則弧AB的長是π．（結(jié)果保留π）．【分析】設(shè)所在圓的圓心為O點(diǎn)，連接OB、OA，過O點(diǎn)作OD⊥AC于D點(diǎn)，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥BC，再證明四邊形OBCD為矩形的∠BOD＝90°，OD＝BC＝5，CD＝OB＝r，接著在Rt△OAD中利用勾股定理得到（r﹣5）2+（5）2＝r2，解方程求出r，得AD＝5，OA＝10，然后利用正弦的定義求出∠AOD＝30°，所以∠AOB＝60°，最后利用弧長公式求出即可．【解答】解：設(shè)所在圓的圓心為O點(diǎn)，連接OB、OA，過O點(diǎn)作OD⊥AC于D點(diǎn)，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，∵BC與⊙O相切，∴OB⊥BC，∵∠OBA＝∠ODA＝90°，∠ACB＝90°∴四邊形OBCD為矩形，∴∠BOD＝90°，OD＝BC＝5，CD＝OB＝r，∴AD＝r﹣5，在Rt△OAD中，（r﹣5）2+（5）2＝r2，解得：r＝10，AD＝10﹣5＝5，OA＝10，∴AD＝OA，∴∠AOD＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴的長＝＝π．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了弧長公式和直角三角形的性質(zhì)，能求出∠AOB的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．12．（2023?淮陰區(qū)一模）半徑為3，圓心角為30°的扇形的弧長為．【分析】根據(jù)弧長的計(jì)算公式即可得到結(jié)論．【解答】解：弧長l＝＝；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的弧長的計(jì)算，熟記弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．13．（2023?興化市一模）75°的圓心角所對(duì)的弧長是π，則此弧所在圓的半徑為6．【分析】利用弧長公式求解即可．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r．則有＝π，解得r＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式：l＝．二．扇形面積的計(jì)算（共14小題）14．（2023?天寧區(qū)校級(jí)一模）已知扇形的圓心角為80°，半徑為3cm，則這個(gè)扇形的面積是2πcm2．【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【解答】解：扇形的面積＝＝2πcm2．故答案是：2π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形的面積公式，正確理解公式是解題關(guān)鍵．15．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）已知扇形的半徑為4，面積為4，則該扇形的弧長為2．【分析】根據(jù)扇形的面積公式S扇形＝lR進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵S扇形＝lR，即4＝l×4，∴l(xiāng)＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握S扇形＝lR是正確解答的前提．16．（2023?連云港二模）如圖所示，將扇形OAB沿OA方向平移得對(duì)應(yīng)扇形CDE，線段CE交弧AB點(diǎn)F，當(dāng)OC＝CF時(shí)平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，則兩個(gè)扇形重疊部分的面積為．【分析】連接OF，過點(diǎn)C作CH⊥OF，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)三角函數(shù)求出，根據(jù)S陰＝S扇形AOF﹣S△COF求出結(jié)果即可．【解答】解：如圖所示，連接OF，過點(diǎn)C作CH⊥OF，由平移性質(zhì)知，CE∥OB，∴∠CFO＝∠BOF，∵CO＝CF，∴∠COF＝∠CFO，∴，在等腰△OCF中，，∴CH＝OH?tan30°＝×＝，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線求出，．17．（2023?大豐區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)M，連接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么圖中陰影部分的面積是．【分析】連接OD、BC，根據(jù)垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等邊三角形，得到∠BOC＝60°，根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OD、BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥DB，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△CBD，∴圖中陰影部分的面積＝扇形COB的面積＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?連云港期末）一個(gè)扇形的半徑是3，面積為6π，那么這個(gè)扇形的圓心角是（）A．260° B．240° C．140° D．120°【分析】設(shè)這個(gè)扇形的圓心角是n°，根據(jù)，求出這個(gè)扇形的圓心角為多少即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)扇形的圓心角是n°，由題意得，∴n＝240，∴這個(gè)扇形的圓心角為240度．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了扇形的面積的計(jì)算方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為r的扇形面積為S，則．19．（2023?錫山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)M．連接OC，DB．如果OC∥DB，圖中陰影部分的面積是2π，那么圖中陰影部分的弧長是（）A． B． C． D．【分析】連接OD，BC，根據(jù)垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等邊三角形，得到∠BOC＝60°，根據(jù)扇形的面積公式即可求得圓的半徑，然后根據(jù)弧長公式求得即可．【解答】解：連接OD，BC．∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴圖中陰影部分的面積＝＝2π，∴OC＝2或﹣2（舍去），∴的長＝＝π，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、扇形面積的計(jì)算，弧長的計(jì)算，圓周角定理，通過解直角三角形得到相關(guān)線段的長度是解答本題的關(guān)鍵．20．（2023?連云港）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是（）A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20【分析】根據(jù)進(jìn)行的性質(zhì)可求出BD，再根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系，即S陰影部分＝S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD﹣S以BD為直徑的圓進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接BD，則BD過點(diǎn)O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S陰影部分＝S以AD為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形ABCD﹣S以BD為直徑的圓＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2＝+20﹣＝20，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，矩形的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算，掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提．21．（2022秋?蘇州期末）如圖，C為⊙O上一點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，AB＝4，∠ABC＝30°，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A'BC'，BC'交⊙O于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【分析】連接OC，OD，根據(jù)∠ABC＝30°及旋轉(zhuǎn)，得到∠ABC＝∠CBC'＝30°，∠DOB＝60°，從而得到△BOD是等邊三角形，結(jié)合AB是⊙O的直徑，即可得到∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，從而得到△AOC是等邊三角形，即可得到OD⊥BC，∠BOC＝120°，根據(jù)扇形面積公式及三角形面積公式即可得到答案．【解答】解：連接OC，OD，過O作OE⊥BD，∵AB是⊙O的直徑，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∵AB＝4，∴OB＝2，∵△ABC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到ΔA'BC'，∴∠ABC＝∠CBC'＝30°，∴∠DOB＝60°，△BOD是等邊三角形，∴∠BOC＝120°，OD⊥BC，∴Rt△OCF≌Rt△DBF（HL），∴陰影部分的面積為：S扇COD＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，扇形面積公式，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，利用扇形面積減三角形面積求得陰影部分面積．22．（2023?啟東市三模）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出△DAB是等邊三角形，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積，進(jìn)而求出即可．【解答】解：如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝∠BDC＝60°，∴△DAB是等邊三角形，∵AB＝2，∴△ABD的高為＝，∵扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，∴∠DBE+∠DBF＝60°，∠ABE+∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBF，設(shè)AD、BE相交于點(diǎn)G，設(shè)BF、DC相交于點(diǎn)H，∵∠A＝∠DBH，AB＝BD，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積，∴圖中陰影部分的面積是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝﹣．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了扇形的面積計(jì)算以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出四邊形EBFD的面積等于△ABD的面積是解題關(guān)鍵．23．（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）如圖．將扇形AOB翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點(diǎn)C，連接AC．若OA＝2，則圖中陰影部分的面積是﹣．【分析】由翻折的性質(zhì)得到CA＝CO，而OA＝OC，得到△OAC是等邊三角形，求出扇形OAC的面積，△AOC的面積，即可求出陰影的面積．【解答】解：連接CO，直線l與AO交于點(diǎn)D，如圖所示，∵扇形AOB中，OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵點(diǎn)A與圓心O重合，∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，∴OC＝AC，∴OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∵CD⊥OA，∴CD＝＝，∴陰影部分的面積為：﹣×2×＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、翻折變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．24．（2023?如皋市一模）如圖，⊙O的直徑AB＝8，C為⊙O上一點(diǎn)，在AB的延長線上取一點(diǎn)P，連接PC交⊙O于點(diǎn)D，PO＝4，∠OPC＝30°．（1）求CD的長；（2）計(jì)算圖中陰影部分的面積．【分析】（1）作OE⊥CD于點(diǎn)E，連接OC，OD，根據(jù)垂徑定理得CE＝DE，再根據(jù)PO＝4，∠OPC＝30°，得OE＝2，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）根據(jù)陰影部分的面積為扇形COD的面積減去△COD的面積即可．【解答】解：（1）作OE⊥CD于點(diǎn)E，連接OC，OD，∴CE＝DE，∵PO＝4，∠OPC＝30°，∴OE＝PO＝2，∵直徑AB＝8，∴OD＝4，∴DE＝＝＝2，∴CD＝2DE＝4；（2）∵OD＝2DE，∴∠DOE＝30°，∴∠COD＝60°，∴陰影部分的面積為﹣×4×2＝﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，扇形面積的計(jì)算，含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積公式．25．（2022秋?南京期末）如圖，用長度均為12m的兩根繩子分別圍成矩形ABCD和扇形OEF，設(shè)AB的長為xm，半徑OE為Rm，矩形和扇形的面積分別為S1m2，S2m2．（1）BC的長為（6﹣x）m，的長為（12﹣2R）m；（用含x或R的代數(shù)式表示）（2）求S1，S2的最大值，并比較大?。痉治觥浚?）根據(jù)長方形周長公式和扇形周長的定義可求BC，的長；（2）根據(jù)長方形面積公式，扇形的面積公式，結(jié)合完全平方公式可求S1，S2的最大值，再進(jìn)行比較即可求解．【解答】解（1）BC的長為12÷2﹣x＝（6﹣x）m，的長為（12﹣2R）m．故答案為：（6﹣x），（12﹣2R）；（2）S1＝x（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，S1有最大值9．S2＝（12﹣2R）R＝﹣（R﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴當(dāng)R＝3時(shí)，S2有最大值9．∴S1的最大值＝S2的最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，關(guān)鍵是熟練掌握長方形周長公式和扇形周長的定義，長方形面積公式，扇形的面積公式．26．（2023?清江浦區(qū)校級(jí)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角邊BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)D．點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，連接DE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）若∠B＝30°，AC＝4，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OD、CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCD＝∠ODC，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝90°，推出△ACD是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EC＝ED，求得∠ECD＝∠EDC于是得到結(jié)論；（2）由（1）已證：∠ODF＝90°，根據(jù)直角三角形內(nèi)角和得到∠DOF＝60°，求得∠F＝30°，解直角三角形得到根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD、CD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，又∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，∴△ACD是直角三角形，又∵點(diǎn)E是斜邊AC的中點(diǎn)，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，∴直線DE是⊙O的切線；（2）解：由（1）已證：∠ODF＝90°，∵∠B＝30°，∴∠DOF＝60°，∴∠F＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，∴BC＝＝＝4，∴，在Rt△ODF中，，∴陰影部分的面積為：＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．27．（2023?邗江區(qū)二模）如圖，已知⊙O的半徑為3，AB是直徑，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以B的長為半徑畫?。畠苫∠嘟挥贑、D兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是π﹣．【分析】連接AC、BC，如圖，先判斷△ACB為等邊三角形，則∠BAC＝60°，由于S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，所以圖中陰影部分的面積＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O，然后利用扇形的面積公式、等邊三角形的面積公式和圓的面積公式計(jì)算．【解答】解：連接BC，如圖，由作法可知AC＝BC＝AB＝3，∴△ACB為等邊三角形∴∠BAC＝60°，∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，∴圖中陰影部分的面積＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O＝4×﹣2×3××3﹣π×（）2＝π﹣．故答案為：π﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積和三角形的面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，明確陰影部分的面積＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O是解此題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，B，C，D為上的點(diǎn)，且直線與夾角為．若，，的長分別為，和，則的半徑是（

）A．4 B． C．5 D．【答案】A【分析】延長，與直線交于E，連接，設(shè)弧長為所對(duì)的圓周角為，根據(jù)題意得出，，利用三角形內(nèi)角和定理求得，即可求得弧長為所對(duì)的圓心角為，代入弧長公式即可求得的半徑．【詳解】解：延長，與直線交于E，連接，，，的長分別為，和，的長為，的長為，設(shè)弧長為所對(duì)的圓周角為，則，，，，，，弧長為所對(duì)的圓心角為，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，求得弧長為所對(duì)的圓心角是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，若，的半徑為9，則劣弧的長為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接；由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得的度數(shù)，再由及三角形內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，由圓周角定理可得的度數(shù)，最后由弧長公式即可求得結(jié)果．【詳解】解：連接，如圖；∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，弧長公式等知識(shí)，綜合運(yùn)用這些知識(shí)是關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，F(xiàn)是中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)G，則圖中陰影部分面積的差為（

）A． B． C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)圖形可以求得的長，然后根據(jù)圖形即可求得的值．【詳解】解：∵在矩形中，，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）中國美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤造型也會(huì)讓美食錦上添花，圖1中的擺盤，其形狀是扇形的一部分，圖2是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤），通過測量得到，、兩點(diǎn)之間的距離為，圓心角為，則圖中擺盤的面積是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，先證是等邊三角形，求出，再利用扇形面積公式分別求出和，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，

由題意，，是等邊三角形，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積計(jì)算、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握扇形面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．5．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，與x軸相切．點(diǎn)A，B在上，它們的橫坐標(biāo)分別是0，9．若沿著x軸向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B第一次落在x軸上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)B第一次落在x軸上時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的距離為的長，進(jìn)而得到此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程中的長度不變，確定的位置，再進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，

∵∴，∵與x軸相切，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，，∴在平行于軸的直線上，即：，∴，∴的長為，當(dāng)點(diǎn)B第一次落在x軸上時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的距離為的長，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，∵沿著x軸向右作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，的長度保持不變，∴點(diǎn)位置轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖所示的位置：

∵，∴，∴，即：，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，切線的性質(zhì)，求弧長，勾股定理．解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)B第一次落在x軸上時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)的位置．6．（2023·江蘇南京·?？级＃┤鐖D，是⊙的直徑，弦于點(diǎn)，若，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理得到，，，再利用三角函數(shù)求出，即可利用弧長公式計(jì)算解答．【詳解】如圖：連接，

是的直徑，弦于點(diǎn)，，，，，，，的長的長，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查垂徑定理，解直角三角形，弧長公式，圓周角定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考三模）如圖，在半圓中，，將半圓沿弦所在的直線折疊，若弧恰好過圓心，則弧的長是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)O作，連接，根據(jù)題中條件可得，，即可得到弧長弧長，用弧長公式求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)O作，連接，如圖所示，

∵將半圓沿弦所在的直線折疊，若弧恰好過圓心，∴，∴，∵，∴，∴弧長2弧長，∵，∴，∵，∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的幾何問題，涉及到圓的性質(zhì)、弧長公式等，正確作出輔助線是關(guān)鍵．8．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，同一個(gè)圓中的兩條弦、相交于點(diǎn)E．若，，則與長度之和的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，以為邊作等邊，則，而，則E在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，記，所在的圓為，連接，，，，證明，再證明，（當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊，則，而，則E在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，記，所在的圓為，連接，，，，∴，，∴，∵結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可得：，（當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），當(dāng)時(shí)，半徑最小，此時(shí)半徑為，∴此時(shí)與的和最小，最小值為：．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，三角形外接圓的含義，圓周角定理的應(yīng)用，弧長的計(jì)算，確定弧長和取最小值時(shí)圓心O的位置是解本題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖，菱形的邊長為，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長是（

）A． B．12 C． D．【答案】D【分析】如圖，連接、、，設(shè)、交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，設(shè)中點(diǎn)為，連接、，根據(jù)菱形及等邊三角形得性質(zhì)可得，，可得出，可得必經(jīng)過點(diǎn)，根據(jù)，可得點(diǎn)在以為直徑的圓上，根據(jù)、的速度及菱形性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)，，可得點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長是的長，利用勾股定理可求出的長，根據(jù)圓周角定理可得，利用弧長公式即可得答案．【詳解】如圖，連接、、，設(shè)、交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，設(shè)中點(diǎn)為，連接、，∵菱形的邊長為，，∴，是等邊三角形，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴，，，∵點(diǎn)的速度為每秒個(gè)單位，點(diǎn)的速度為每秒個(gè)單位，∴，∵，∴，∴，∴，，∴必經(jīng)過點(diǎn)，∵，，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，且、、、四點(diǎn)共圓，∵當(dāng)點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)，，∴點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長是的長，∵，，∴，∴，即點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的證明、勾股定理、圓周角定理及弧長公式，正確得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，正方形的邊，弧和弧都是以2為半徑的圓弧，則圖中空白兩部分的面積之差是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)弧和弧的交點(diǎn)為E,連接作.先求出，再求出，即可得到.再根據(jù)即可得到空白的面積.再根據(jù)即可得到得到陰影的面積，再用即可得到空白的面積，最后用即可得到圖中空白兩部分的面積之差.【詳解】設(shè)弧和弧的交點(diǎn)為E,連接則是等邊三角形作，則

故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓中求不規(guī)則圖形的面積，熟練掌握扇形的面積公式及拱形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵二、填空題11．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）已知圓錐側(cè)面展開圖的半徑為，圓心角為，則該圓錐的側(cè)面積為______．（結(jié)果保留）【答案】【分析】根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，圖的半徑為，圓心角為，∴圓錐的側(cè)面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積的計(jì)算方法，掌握扇形面積的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知圓錐的底面圓半徑為4，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，則它的母線長為___________．【答案】12【分析】圓錐的底面周長即為側(cè)面展開后扇形的弧長，已知扇形的圓心角，所求圓錐的母線即為扇形的半徑，利用扇形的弧長公式求解．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑是4，∴圓錐的底面圓周長為，∴側(cè)面展開后所得的扇形的弧長是，∵側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為∴側(cè)面展開后所得的扇形的半徑為：∵圓錐的母線就是側(cè)面展開后所得的扇形的半徑，∴圓錐的母線長度為12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了求圓錐的母線長．關(guān)鍵是體現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長為圓錐的底面周長，扇形的半徑為圓錐的母線長．13．（2017秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知扇形的圓心角為120°，弧長為，則它的半徑為______．【答案】3【分析】根據(jù)弧長計(jì)算進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，由題意得，，解得，∴扇形的半徑為，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形半徑，熟知弧長計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵14．（2022·江蘇常州·?？级＃┮阎膶?duì)角線，將繞其對(duì)稱中心O旋轉(zhuǎn)180°，則點(diǎn)D所轉(zhuǎn)過的路徑長為_____．【答案】【分析】點(diǎn)D所轉(zhuǎn)過的路徑是一段圓心角為180°，半徑為的弧，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可得答案．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵將繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)，∴點(diǎn)D所轉(zhuǎn)過的路徑是一段圓心角為180°，半徑為的弧，∴點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的路徑長=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)及弧長，熟練掌握弧長公式是解題關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)扇形的弧長是，半徑是，則這個(gè)扇形的圓心角是______．【答案】【分析】根據(jù)弧長公式計(jì)算即可求解．【詳解】根據(jù)弧長公式，解得.故答案為：150.【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟記公式：弧長公式.16．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？既＃┮阎刃蔚陌霃綖?，面積為4，則該扇形的弧長為________．【答案】2【分析】先由扇形的面積公式求圓心角度數(shù)，然后再由弧長公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角為，由題意可得，解得，扇形的弧長為，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積及弧長的計(jì)算，熟記扇形的面積和弧長公式是解答此題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，將扇形翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開后折痕所在直線與交于點(diǎn)C，連接．若，則圖中陰影部分的面積是______．

【答案】【分析】連接，由翻折的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得是等邊三角形，則扇形面積減去等邊三角形的面積即為所求的陰影部分的面積．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)l交于點(diǎn)D，

由翻折的性質(zhì)得：，，，，，即是等邊三角形，，由勾股定理得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求扇形面積等知識(shí)，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，半圓的直徑，弦，弦在半圓上滑動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始滑動(dòng)，到點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止滑動(dòng)，若是的中點(diǎn)，則在整個(gè)滑動(dòng)過程中線段掃過的面積為___________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，進(jìn)而得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得旋轉(zhuǎn)的圓心角為，半徑，根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻拷猓哼B接，如下圖：∵，∴∴，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，弦在半圓上滑動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始滑動(dòng)，到點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止滑動(dòng)，就繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，掃過的部分為下圖中的陰影部分，由題意可得：，∴，，又∵，∴，∴掃過的部分的面積就是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及逆定理，扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算方法以及勾股定理的逆定理是正確解答的前提．三、解答題19．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，弦與交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，現(xiàn)有以下信息：

①為直徑；②；③．(1)從三條信息中選擇兩條作為條件，另一條作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題．你選擇的條件是______，結(jié)論是______（填寫序號(hào)），請(qǐng)說明理由．(2)在（1）的條件下，若的長為，求半徑．【答案】(1)①②；③；詳見解析（答案不唯一，證明合理即可）(2)【分析】（1）任選其中兩條作為已知條件，剩余一條作為結(jié)論，均為真命題，結(jié)合圓當(dāng)中的基本性質(zhì)和定理進(jìn)行證明即可；（2）結(jié)合條件可推出，從而結(jié)合弧長計(jì)算公式直接求解即可．【詳解】（1）證：如圖所示，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，情況一：選擇條件是①②，結(jié)論是③，是真命題；理由如下：∵為直徑，∴，∴為等腰直角三角形，，∵，∴，∴條件是①②，結(jié)論是③，該命題為真命題；情況二：選擇條件是①③，結(jié)論是②，是真命題；理由如下：∵為直徑，∴，∴為等腰直角三角形，，∵，∴，∴條件是①③，結(jié)論是②，該命題為真命題；情況三：選擇條件是②③，結(jié)論是①，是真命題；理由如下：∵，，∴，∵，∴，，∵是圓上的弦，∴為直徑，∴條件是②③，結(jié)論是①，該命題為真命題；故答案為：①②；③；（答案不唯一，證明合理即可）

（2）解：由（1）可知，，如圖所示，連接，則，∵的長為，∴，解得：，∴的半徑．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，以及弧長計(jì)算等，理解直徑所對(duì)的圓周角為直角及其推論，掌握弧長計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．20．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，是⊙O的直徑，過D作⊙O的切線，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形．(1)求證：是⊙O的切線；(2)已知⊙O的半徑為1，求圖中弧所圍成的陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，再由與圓相切證明四邊形是矩形即可；（2）可根據(jù)進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：連接，是⊙的直徑，點(diǎn)O在上，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，與⊙O相切于點(diǎn)D，，四邊形是矩形，，是⊙O的半徑，且，是⊙O的切線．（2）解：連接，則，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，

，，，，陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定綜合問題和求不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是證明直線與半徑垂直，用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，利用了平行四邊形、矩形以及正方形的判定和性．21．（2023·江蘇連云港·?？级＃┤鐖D，在中，，以為直徑作，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，且，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）通過證明得到，即可證得是的切線；（2）先證明，得到，進(jìn)而求出，得到，通過即可得到答案．【詳解】（1）證明：連結(jié)∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即而點(diǎn)在上，∴是的切線；（2）解：如下圖所示，連接∵，∴，∴，∴，連結(jié)，，交于，則，∴，∴，而，∴，∵是中點(diǎn)，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和平行直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)量掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)．22．（2022春·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在邊長為1個(gè)單位長度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)解答下列問題：(1)畫出向左平移5個(gè)單位長度后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的，并寫出點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到所經(jīng)過的路徑長為．【答案】(1)見解析，；(2)見解析，【分析】（1）根據(jù)平移變換的定義作出三個(gè)頂點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的定義作出旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）如圖所示，即為所求，∵，∴點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到所經(jīng)過的路徑長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖—平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，弧長，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)．23．（2023·江蘇徐州·?？既＃┤鐖D，已知P是外一點(diǎn)．按要求完成下列問題：

(1)作圖：(保留作圖的痕跡)①連接，與交與點(diǎn)A，延長，與交于點(diǎn)B；②以點(diǎn)P為圓心，長為半徑畫弧，以點(diǎn)O為圓心，長為半徑畫弧；③兩弧相交于點(diǎn)C，連接，與交于點(diǎn)D，連接，．(2)證明：為的切線；(3)計(jì)算：利用直尺、三角尺或量角器測量相關(guān)數(shù)據(jù)，可計(jì)算出弧與弦所圍“弓形”的面積為______．(結(jié)果保留根號(hào)或精確到)【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意完成作圖即可；（2）先連接，得到是等腰三角形，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，再利用等腰三角形“三線合一”證明即可；（3）測量出圓的半徑和扇形的圓心角，再根據(jù)面積公式計(jì)算即可；數(shù)據(jù)僅供參考，以實(shí)際測量為準(zhǔn)．【詳解】（1）解：依題意畫圖如下：

（2）如下圖：連接，依題意得：，；

∵，∴是等腰三角形，∵，，∴∴點(diǎn)D是的中點(diǎn)，是中底邊上的中線，∴是中底邊上的高，即，∴，∴為的切線；（3）經(jīng)測量得到，半徑，(數(shù)據(jù)僅供參考，以實(shí)際測量為準(zhǔn))過點(diǎn)O作于E，則由垂徑定理可知，

∵，，∴°，∴，∴∴弧與弦所圍“弓形”的面積為：．【點(diǎn)睛】本題考查用尺規(guī)作圓的切線的方法，圓切線的證明，弓形面積的求法等知識(shí)，根據(jù)題意正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)的外接圓半徑為______；內(nèi)切圓的半徑為______；(2)將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出，并求出線段旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積(結(jié)果保留)．【答案】(1)；(2)圖見解析；掃過的面積：【分析】（1）先根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)利用直角坐標(biāo)系和勾股定理求三角形各邊長度，然后根據(jù)直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半求得外接圓半徑，利用直角三角形內(nèi)切圓半徑公式即可求解；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫圖．根據(jù)扇形面積公式和三角形公式，通個(gè)面積的加減求得AC掃過部分面積即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，在中，∴的外接圓半徑為∴內(nèi)切圓的半徑為：，故答案為；；（2）如圖，為所作圖形；∵為旋轉(zhuǎn)所得，∴，∴，則線段掃過的面積為：，即．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的外接圓、內(nèi)切圓與圓心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)角；直角三角形的內(nèi)切圓直徑為兩直角邊和與斜邊的差；也考查了旋轉(zhuǎn)變換和與扇形有關(guān)的陰影面積，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．25．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，，是的切線，，為切點(diǎn)，是的直徑，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，計(jì)算圖中陰影部分的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得到，由切線長定理推出，求出，推出是等邊三角形，即可得到的度數(shù)；（2）由證明得到求出的長，即可求出的面積，求出扇形的面積，即可求出陰影的面積．【詳解】（1）解：如圖，連接，

，是的切線，，為切點(diǎn)，，是等邊三角形，；（2）如圖，連接，

，，，，，，，，，【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，扇形面積、三角形面積的計(jì)算，等邊三角形的判定與性質(zhì)，求出扇形和的面積是解答本題的關(guān)鍵．一．選擇題（共6小題）1．（2022?費(fèi)縣一模）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如示意圖，AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D，延長AC，BD交于點(diǎn)P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為5cm，則圖中弧CD的長為_______cm．（結(jié)果保留π）（）A．53π B．56π C．【分析】連接OC，OD，求出圓心角∠COD的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式求出弧長即可．【解答】解：連接OC，OD，∵AC、BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C、D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，由四邊形內(nèi)角和為360°可得，∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∴CD=60×π×5故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查弧長的計(jì)算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．2．（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2．以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作BD，向菱形內(nèi)部作BC，使BC=BDA．2π332 B．33-4π3【分析】首先判斷出△ABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝BD＝2，然后根據(jù)S陰影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC求出陰影部分的面即可．【解答】解：如圖所示：連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB＝BD＝2，∴S陰影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC＝2×32×2-60π×2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，明確S陰影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC是解題的關(guān)鍵．3．（2022?上城區(qū)二模）已知半徑為6的扇形的面積為12π，則扇形的弧長為（）A．4 B．2 C．4π D．2π【分析】根據(jù)扇形面積的計(jì)算公式即可求出答案．【解答】解：設(shè)扇形的弧長為l，由扇形面積公式可得，12lR=12解得l＝4π，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算公式是正確解答的關(guān)鍵．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B（2，0），四邊形ABCD和AEFG都是正方形，點(diǎn)A、D、E共線，點(diǎn)G、A、B在x軸上，點(diǎn)C，E，F(xiàn)在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，則FC的長為（）A．52π B．5π C．5π【分析】設(shè)點(diǎn)A（a，0），則AB＝2﹣a，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC＝AB＝2﹣a，根據(jù)勾股定理在Rt△OBC中，可得OC2＝OB2+BC2＝22+（2﹣a）2＝8﹣4a+a2，由圓的性質(zhì)可得OE＝OC，在Rt△OAE中，AE＝AG＝2a，根據(jù)勾股定理可得OE2＝OA2+AE2，即可算出a的值，即可算出OC=22+12的長度，可證明△OBC≌△EGO中，可得∠COB+∠FOG【解答】解：設(shè)點(diǎn)A（a，0），則AB＝2﹣a，根據(jù)題意可得，BC＝AB＝2﹣a，在Rt△OBC中，OC2＝OB2+BC2＝22+（2﹣a）2＝8﹣4a+a2，∵OE＝OC，在Rt△OAE中，AE＝AG＝2a，∴OE2＝OA2+AE2，∴8﹣4a+a2＝a2+（2a）2，解得：a＝1，a＝﹣2（舍去），∴點(diǎn)A（1，0），AB＝1，∴OC=2在△OBC和△EGO中，OB=FG=2∠EGO=∠OBC=90°△OBC≌△EGO（SAS），∴∠EOG＝∠OCB，∵∠COB+∠OCB＝90°，∴∠COB+∠FOG＝90°，∴∠FOC＝90°，∴弧FC的長=nπr故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長的計(jì)算，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握弧長的計(jì)算，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022?蓬安縣模擬）如圖，在半徑為4的扇形OAB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，連結(jié)AD并延長交OB于點(diǎn)E，則圖中陰影部分面積的最小值為（）A．4π﹣4 B．4π-833 C．2π﹣4 【分析】根據(jù)題意和圖形，可以畫出相應(yīng)的輔助線，OA＝4，∠AOE＝90°，則當(dāng)OE取得最大值時(shí)，陰影部分的面積取得最小值，則當(dāng)AE和半徑為2的小圓O相切時(shí)，OE最大，然后計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，OC＝4，∴OD＝2，OA＝4，∴點(diǎn)D在以點(diǎn)O為圓心2為半徑的圓弧上，∴當(dāng)AE′與小圓O相切時(shí)，OE′最大，此時(shí)OC′與小圓O交于點(diǎn)D′，∵OA＝4，∠AOE＝90°，∴當(dāng)OE最大時(shí)，陰影部分取得最小值，∵∠AD′O＝90°，OD′＝2，OA＝4，∴OA＝2OD′，∴∠OAD′＝30°，∴tan∠OAE′=OE'即tan30°=OE'解得OE′=4∴圖中陰影部分面積的最小值為：90π×42360-故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是分析出何時(shí)陰影部分面積最小．6．（2022?達(dá)拉特旗一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，若⊙O的半徑為23，∠CDF＝15°，則陰影部分的面積為（）A．16π﹣123 B．16π﹣243 C．20π﹣123 D．4π﹣33【分析】連接AD，OE，先通過直徑所對(duì)是圓周角是直角，證出∠CDF＝∠DAC，從而得出∠BAC＝2∠DAC＝30°，再通過S陰影＝S扇形OAE﹣S△AOE計(jì)算即可．【解答】解：連接AD，OE，作OH⊥AE于H，∵AB為直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠CDF＝15°，∴∠DAC＝15°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°，∴∠AOE＝120°，在Rt△AOH中，OA＝23，∴OH=12×OA=3，∴AE＝2AH＝6，∴S陰影＝S扇形OAE﹣S△AOE=120°π?(23)2360?12故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及扇形的面積計(jì)算等知識(shí)，求出扇形的圓心角度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）7．（2022?呼蘭區(qū)一模）一個(gè)扇形的面積為3π，它所對(duì)的弧長為2πcm，則這個(gè)扇形的半徑為3cm．【分析】應(yīng)用扇形面積計(jì)算公式S=1【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，S=13π=12解得：r＝3．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022?南平模擬）在半徑為3的圓中，圓心角為20°的扇形面積是π2【分析】應(yīng)用扇形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：S=nπ故答案為：π2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022?虎丘區(qū)校級(jí)模擬）如圖，等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2．分別以點(diǎn)B、點(diǎn)C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點(diǎn)D、E、F，則圖中陰影部分的面積為1-π4【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出AB，AC的長，再計(jì)算出△ABC的面積，根據(jù)∠B+∠C＝90°，兩個(gè)扇形的半徑相等，即可算出扇形的面積，再根據(jù)陰影部分的面積等于三角形的面積減去扇形的面積，計(jì)算即可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴BC2＝AB2+AC2，∴AB=AC=2∴S△ABC=1∵∠A+∠C＝90°，BE＝CE=1∴S扇=nπ∴S陰＝S△ABC﹣S扇＝1-π【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算及根據(jù)題意應(yīng)用面積差求陰影部分的方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022?莆田模擬）如圖，方格紙中2個(gè)小正方形的邊長均為1，圖中陰影部分均為扇形，則這兩個(gè)小扇形的面積之和為π4（結(jié)果保留π【分析】由平行線的性質(zhì)可得，∠1＝∠2，因?yàn)閮蓚€(gè)扇形的半徑相等，即可算出兩個(gè)扇形的圓心角的和為∠1+∠3＝90°，根據(jù)扇形面積計(jì)算公式即可得出答案．【解答】解：如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，∠1＝∠2，∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴S=nπ故答案為：π4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．11．（2022春?南崗區(qū)校級(jí)月考）已知扇形的弧長為4π，直徑為16，則此扇形的圓心角為90°．【分析】設(shè)此扇形的圓心角為x°，代入弧長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：設(shè)此扇形的圓心角為x°，由題意得，8πx180=4解得，x＝90，故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長公式l=nπr12．（2022?福州模擬）在半徑為6的圓中，150°的圓心角所對(duì)的弧長是5π．【分析】利用弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：弧長=150×π×6180=故答案為：5π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式l=nπr13．（2022春?沭陽縣期中）如圖所示，分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心，以3cm為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為9πcm2．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積之和等于以3cm為半徑的圓的面積．【解答】解：由圖可得，陰影部分所對(duì)的圓心角之和為360°，∴圖中陰影部分的面積之和為：π×32＝9π（cm2），故答案為：9πcm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、多邊形內(nèi)角與外角，解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積之和等于以3cm為半徑的圓的面積．14．（2022?九龍坡區(qū)模擬）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，連接AB，以點(diǎn)B為圓心，以O(shè)B的長為半徑作弧，交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為5π-636【分析】利用扇形面積、三角形面積的計(jì)算方法，根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OC、BC，則△OBC是等邊三角形，∴S陰影部分＝S凸△OBC﹣S扇形OBD＝2S扇形OBC﹣S△OBC﹣S扇形OBD＝2×60π×2=5π-6故答案為：5π-63【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積、三角形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提．三．解答題（共6小題）15．（2022春?長興縣月考）如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑OA為6cm．求扇形AOB的弧長和面積．【分析】根據(jù)扇形的弧長公式和扇形的面積公式求解即可．【解答】解：扇形AOB的弧長=120?π×6180=4π扇形AOB的扇形面積=120?π×62360=12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了考查了扇形的弧長和面積的計(jì)算，熟練掌握扇形的弧長和面積是解題的關(guān)鍵．16．（2022?費(fèi)縣一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，弦AE的延長線與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，∠CAD＝36°，連接BC．（1）求∠B的度數(shù)；（2）若AB＝3，求EC的長．【分析】（1）連接OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角定義求出∠COB，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠B即可；（2）連接OE，根據(jù)圓周角定理求出∠COE的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵A