第03講 一元二次方程的解法（公式法3種題型）（原卷版）

第03講一元二次方程的解法（公式法3種題型）1.了解求根公式的推導過程.（難點）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重點）3.理解并會用判別式求一元二次方程的根.4.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況一、公式引入一元二次方程（），可用配方法進行求解：得：．對上面這個方程進行討論：因為，所以當時，利用開平方法，得：， 即：當時，這時，在實數(shù)范圍內(nèi)，x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等，所以原方程沒有實數(shù)根．二、求根公式一元二次方程（），當時，有兩個實數(shù)根： ，這就是一元二次方程（）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步驟把一元二次方程化成一般形式（）；確定a、b、c的值；求出的值（或代數(shù)式）；若，則把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無解．根的判別式1.一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示，記作．2.一元二次方程， 當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根； 當時，方程有兩個相等的實數(shù)根； 當時，方程沒有實數(shù)根．五、根的判別式的應用（1）不解方程判定方程根的情況；（2）根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質確定根的范圍；（3）解與根有關的證明題．題型1根的判別式例1.選擇：下列關于的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）不解方程，判別方程的根的情況是（ ）（A）有兩個相等的實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）只有一個實數(shù)根 （D）沒有實數(shù)根方程的根的情況是( )（A）有兩個相等實根 （B）有兩個不等實根（C）沒有實根 （D）無法確定一元二次方程的根的情況為（ ）（A）有兩個不相等的實數(shù)根 （B）有兩個相等的實數(shù)根（C）只有一個實數(shù)根 （D）沒有實數(shù)根例2.不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）； （2）；（3）； （4）． 題型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┯霉椒ń夥匠蹋海?．用公式法解下列方程：（1）； （2）．例5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．題型3根的判別式的應用例6．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考期中）關于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程有一個根不小于7，求的取值范圍．例7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）已知關于的一元二次方程．(1)若該方程有一個根是，求的值；(2)求證：無論取什么值，該方程總有兩個實數(shù)根．例8．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀╆P于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程有一個根小于2，求k的取值范圍．一、單選題1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）關于一元二次方程根的情況，下列說法中正確的是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定2．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃╆P于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則k的值可以是（

）A． B． C． D．24．（2023春·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則k的值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．5．（2023秋·江蘇·九年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┤絷P于x的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是______．7．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）若關于的方程（為常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根，則______．8．（2023·江蘇鹽城·校考二模）已知關于的一元二次方程有一個根為1，則的值為________．9．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）關于的方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是______．10．（2023·江蘇·模擬預測）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得一元二次方程____________沒有實數(shù)根．11．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關于x的方程________=0有兩個不相等的實數(shù)根．三、解答題12．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）求證：關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．13．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┮阎P于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程有一實數(shù)根大于4，求a的取值范圍．14．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）關于的一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當取最小整數(shù)時，求的值．15．（2023秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）已知關于的方程．(1)若方程有兩個相等的實數(shù)根，請求出，的關系；(2)求證：當時，方程總有兩個實數(shù)根．一、單選題1．（2023春·江蘇南京·九年級南京市竹山中學?？茧A段練習）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定2．（2022秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習）關于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．可能有實數(shù)根，也可能沒有C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根3．（2023春·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習）若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是()A． B． C．且 D．且二、填空題5．（2023春·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關于的方程__________有兩個相等的實數(shù)根．6．（2023春·江蘇泰州·九年級靖江市靖城中學?？茧A段練習）方程沒有實數(shù)根，則m的取值范圍是______．三、解答題7．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習）已知關于x的一元二次方程．(1)若該方程的一個根為，求a的值及該方程的另一根；(2)求證：無論a取何實數(shù)，該方程都有實數(shù)根．8．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）關于x的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若m為正整數(shù)，求出此時方程的根．9．（2022秋·江蘇南京·九年級?？茧A段練習）已知關于x的方程（m為常數(shù)，且）(1)求證：方程總有實數(shù)根；(2)若該方程有兩個實數(shù)根；①不論m取何實數(shù)，該方程總有一個不變的實數(shù)根為______；②若m為整數(shù)，且方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求m的值．10．（2022秋·江蘇南通·九年級?？茧A段練習）已知關于x的方程．(1)證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；(2)m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．11．（2022秋·江蘇泰州·九年級校考階段練習）先化簡，冉求值，其中x滿足．12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練