第2章 對稱圖形-圓全章復(fù)習與測試（解析版）

第2章對稱圖形—圓全章復(fù)習與測試1．理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；

2．了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；

3．了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；

4．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；

5．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學(xué)習，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學(xué)過的知識解決問題的能力.一．圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．二．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．三．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．五．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時要注意是對角，而不是鄰角互補．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．（經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）．幾何語言：若弦AB、CD交于點P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．八．點與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內(nèi)?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．九．確定圓的條件不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．十．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．十一．直線與圓的位置關(guān)系（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線和圓沒有公共點．②相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點叫切點．③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．十二．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．十三．切線的判定（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時注意：①切線必須滿足兩個條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結(jié)論直接得出來的．③在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”．十四．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”．十五．弦切角定理（1）弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．如右圖所示，直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．十六．切線長定理（1）圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．（4）切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對；③弧相等關(guān)系兩對，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到．十七．切割線定理（1）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．幾何語言：∵PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線∴PT的平方＝PA?PB（切割線定理）（2）推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．幾何語言：∵PBA，PDC是⊙O的割線∴PD?PC＝PA?PB（切割線定理推論）（割線定理）由上可知：PT2＝PA?PB＝PC?PD．十八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．（2）任何一個三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．十九．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．二十．弧長的計算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設(shè)未標明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．二十一．扇形面積的計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．二十二．圓錐的計算（1）連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線．連接頂點與底面圓心的線段叫圓錐的高．（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=12?2πr?l＝π（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl（5）圓錐的體積=1注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．二十三．圓柱的計算（1）圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長．（2）圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長×高（3）圓柱的表面積＝上下底面面積+側(cè)面積（4）圓柱的體積＝底面積×高．一．圓的認識（共1小題）1．（2022秋?東臺市月考）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，這是因為（）A．圓的直徑是半徑的2倍 B．同一個圓所有的直徑都相等 C．圓的周長是直徑的π倍 D．圓是軸對稱圖形【分析】井蓋一般都做成圓形的是因為圓內(nèi)最長的線段是圓的直徑，而且都相等，所以井蓋不會掉到井里面．【解答】解：生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里，這是因為同一個圓里所有的直徑都相等．故選：B．【點評】本題考查圓的認識，軸對稱圖形等知識，明確圓的特征，是解答此題的關(guān)鍵．二．垂徑定理（共2小題）2．（2023?鼓樓區(qū)校級三模）如圖，在半圓ACB中，AB＝6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若BC恰好過圓心O，則BC的長是（）A． B．π C．2π D．4π【分析】過點O作OD⊥BC于E，交半圓O于D點，連接AC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到ED＝EO，則OE＝OB，則可根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，根據(jù)圓周角定理得∠ACB＝90°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BC＝AC＝3．【解答】解：過點O作OD⊥BC于E，交半圓O于D點，連接AC，如圖，∵半圓O沿BC所在的直線折疊，圓弧BC恰好過圓心O，∴ED＝EO，∴OE＝OB，∵OD⊥BC，∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AC＝3．故選：A．【點評】本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)和圓周角定理，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．3．（2023?鹽城二模）如圖，在半徑為5的⊙O中，半徑OC與弦AB垂直，垂足為點D，且AB＝8，則CD的長等于2．【分析】連接OA，由垂徑定理得到AD＝4，由勾股定理求出OD＝3，由此CD＝OC﹣OD＝2．【解答】解：連接OA，∵半徑OC與弦AB垂直，∴AD＝AB＝×8＝4，∵OA＝5，∴OD＝＝3，∴CD＝OC﹣OD＝2．故答案為：2．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是連接OA構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理，垂徑定理來求解．三．垂徑定理的應(yīng)用（共2小題）4．（2023?亭湖區(qū)校級二模）如圖，一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5cm，瓶內(nèi)液體的最大深度CD＝2cm，則截面圓中弦AB的長為（）cm．A．4 B．6 C．8 D．8.4【分析】由垂徑定理得AC＝BC＝AB，再由勾股定理得AC＝4cm，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意得：OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，∠OCA＝90°，∵OA＝OD＝5cm，CD＝2cm，∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm），在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC＝＝＝4（cm），∴AB＝2AC＝8（cm）．故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023?寶應(yīng)縣二模）某仿古墻上原有一個矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形．如圖，已知矩形的寬為m，高為3m，則改建后門洞的圓弧長是m．（結(jié)果請保留π）【分析】如圖：連接AC，BD相交于O，由題意可得：；由勾股定理可得，進而得到，同理可得：，易證△DOC是等邊三角形，則⊙O的半徑為、∠DOC＝60°，進而得到改建后門洞的圓弧所對的圓心角為300°，最后根據(jù)弧長公式即可解答．【解答】解：如圖：連接AC，BD相交于O，由題意可得：，∴，∴，同理：，∴，∴△DOC是等邊三角形，⊙O的半徑為∴∠DOC＝60°，∴改建后門洞的圓弧所對的圓心角為300°，∴改建后門洞的圓弧長是．故答案為：．【點評】本題主要考查了弧長公式、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，求得弧所對的圓心角和圓的半徑是解答本題的關(guān)鍵．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共1小題）6．（2022秋?南京期中）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB＝，BC＝1，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．【分析】過點A作AE⊥CB交CB的延長線于點E連接AC．證明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得結(jié)論．【解答】解：過點A作AE⊥CB交CB的延長線于點E連接AC．∵∠AOC＝90°，∴∠ABC＝（360°﹣90°）＝135°，∴∠ABE＝45°，∵∠E＝90°，AB＝，∴AE＝EB＝1，∵BC＝1，∴EC＝2，∴AC＝＝＝，∴OA＝OC＝AC＝．故選：C．【點評】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．五．圓周角定理（共2小題）7．（2023?蘇州一模）如圖，已知矩形ABCD的一邊AB長為12，點P為邊AD上一動點，連接BP、CP，且滿足∠BPC＝30°，則BC的值可能是（）A．6 B．6.8 C． D．【分析】考慮∠BPC的兩個臨界點，①如圖1，當點P與點A重合時，∠BPC最小，此時BC的值最大；②如圖2，當點P是AD的中點時，∠BPC最大，此時BC最??；分別計算BC的值，確定BC的最大值和最小值，可得結(jié)論．【解答】解：①如圖1，當點P與點A重合時，∠BPC最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝12，∠BPC＝30°，∴BC＝＝＝4≈6.928，此時BC是滿足題意的最大值；②如圖2，當點P是AD的中點時，∠BPC最大，此時BC最小，過點B作BE⊥CP于E，設(shè)BE＝a，AP＝x，則BC＝AD＝2x，∵∠BPC＝30°，∴BP＝2BE＝2a，PE＝a，∴，解得：x＝24+12（舍）或24﹣12，∴BC＝2x＝48﹣24，綜上，48﹣24≤BC≤4，即6.432≤BC≤6.928．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，正確畫圖，確定點P的兩個臨界點是解本題的關(guān)鍵．8．（2023?建鄴區(qū)校級二模）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過點O，若AB＝4，則的長是π．?【分析】作點O關(guān)于AC的對稱點M，連接OM交AC于點N，連接OC，利用軸對稱性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)易得∠OAN＝30°，再由圓周角定理可求得∠BOC的度數(shù)，然后利用扇形弧長公式計算即可．【解答】解：如圖，作點O關(guān)于AC的對稱點M，連接OM交AC于點N，連接OC，由軸對稱性質(zhì)可得，ON＝MN＝OM，OM⊥AC，點M在未折疊時以AB為直徑的半圓上，則OM＝OA＝OB＝AB＝×4＝2，ON＝OA，∠ANO＝90°，∴∠OAN＝30°，∴∠BOC＝2∠OAN＝60°，那么的長為：＝π，故答案為：π．【點評】本題主要考查扇形的弧長，圓周角定理及軸對稱性質(zhì)，結(jié)合已知條件求得∠OAN＝30°是解題的關(guān)鍵．六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）9．（2023?梁溪區(qū)模擬）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，AD、BC的延長線相交于點E，AF為直徑，連接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，則∠CBF的度數(shù)為（）A．16° B．24° C．12° D．14°【分析】由圓周角定理推出∠DAF＝∠BAF＝32°，∠ABF＝90，得到∠BAD＝64°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，即可求出∠CBF的．【解答】解：∵AF為圓的直徑，∴∠ABF＝90°，＝，∵＝，∴＝，∴∠DAF＝∠BAF＝32°，∴∠BAD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．故選：D．【點評】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是由圓周角定理求出∠BAD的度數(shù)．七．點與圓的位置關(guān)系（共1小題）10．（2023春?無錫月考）已知⊙O的半徑為3，OA＝5，則點A在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．無法確定【分析】點在圓上，則d＝r；點在圓外，d＞r；點在圓內(nèi)，d＜r（d即點到圓心的距離，r即圓的半徑）．【解答】解：∵OA＝5＞3，∴點A在⊙O外，故選：C．【點評】考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握判斷點與圓的位置關(guān)系，就是比較點與圓心的距離和半徑的大小關(guān)系．八．確定圓的條件（共1小題）11．（2023?泗洪縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則圓心的坐標是（2，1）．【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，1）．故答案為：（2，1）．【點評】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．九．三角形的外接圓與外心（共2小題）12．（2023?蘇州二模）下列說法錯誤的是（）A．三角形的三個頂點一定在同一個圓上 B．平行四邊形的四個頂點一定在同一個圓上 C．矩形的四個頂點一定在同一個圓上 D．正n邊形的各個頂點一定在同一個圓上【分析】根據(jù)三點共圓可知三角形的三個頂點一定在同一個圓上；根據(jù)矩形和正n邊形的對角線互相平分可知矩形的四個頂點和正n邊形的各個頂點一定在同一個圓上，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分但不一定相等，可知平行四邊形的四個頂點不一定在同一個圓上，即可得出答案．【解答】解：A．根據(jù)三點共圓可知三角形的三個頂點一定在同一個圓上，故A選項不符合題意；B．平行四邊形的對角線互相平分但不一定相等，可知平行四邊形的四個頂點不一定在同一個圓上，平行四邊形的四個頂點到對角線交點的距離不一定相等，知平行四邊形的四個頂點不一定在同一個圓上，故B選項符合題意；C．矩形的對角線互相平分，所以矩形的四個頂點到對角線交點的距離相等，可知矩形的四個頂點一定在同一個圓上，故C選項不符合題意；D．正n邊形的對角線互相平分，所以正n邊形的各個頂點到對角線交點的距離相等，可知正n邊形的各個頂點一定在同一個圓上，故D選項不符合題意；故選：B．【點評】本題主要考查三角形的外接圓，圓的認識，三角形、平行四邊形、矩形及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．13．（2023?濱?？h模擬）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝4，則圖中陰影部分的面積等于．?【分析】連接OC，過點O作OD⊥AB于D，根據(jù)垂徑定理求出AD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形AOC的面積，利用扇形面積的公式計算即可．【解答】解：如圖，連接OC，過點O作OD⊥AB于D，則AD＝DB＝AB＝2，∵△ABC為等邊三角形，∴S△AOB＝S△AOC，∠AOB＝∠AOC＝120°，∴∠AOD＝60°，∴OA＝，∴S陰影＝S扇形AOC＝，故答案為：．【點評】本題主要考查扇形面積的計算，等邊三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．一十．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）14．（2022秋?徐州期末）卡塔爾世界杯小組賽，一粒制勝球（如圖）射門前是否出底線成為球迷討論的熱點，裁判依據(jù)VAR圖判定該球并未出界，VAR圖中的圓與直線a的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)，足球所在的圓與直線a只有一個公共點，可知VAR圖中的圓與直線a相切，于是得到問題的答案．【解答】解：∵足球所在的圓與直線a只有一個公共點，∴VAR圖中的圓與直線a相切，故選：A．【點評】此題重點考查直線與圓的位置關(guān)系，通過觀察，得到直線與圓的公共點的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．一十一．切線的性質(zhì)（共3小題）15．（2023?阜寧縣二模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB邊上一點，以BD為直徑的半圓O與邊AC相切，切點為E，過點O作OF⊥BC，垂足為F．（1）求證：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求線段AD、AE與弧DE圍成的陰影部分面積．【分析】（1）連接OE，由切線的性質(zhì)可證明OE⊥AC，根據(jù)有三個角是直角的四邊形OECF是矩形，可得結(jié)論；（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得EO的長，由扇形的面積公式可得答案．【解答】（1）證明：連接OE，∵AC是⊙O的切線，∴OE⊥AC，又∵∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，∴四邊形OECF是矩形，∴OF＝CE．（2）解：∵∠A＝30°，BD＝2，∴∠EOD＝60°，OE＝OD＝1，，∴S陰影＝S△AOE﹣S扇形DOE＝＝．【點評】本題主要考查切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?灌云縣月考）如圖，⊙O的直徑AE的延長線與過點B的切線BD相交于點D，點C為⊙O上一點，且∠BCE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】連接OB，根據(jù)圓周角定理可求得∠BOD＝50°，再根據(jù)BD是⊙O的切線，可得∠OBD＝90°，據(jù)此即可求得∠D的度數(shù)．【解答】解：如圖：連接OB，∵∠BCE＝25°，∴∠BOD＝2∠BCE＝50°，∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣50°＝40°，故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握和運用圓周角定理和切線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．17．（2023?海門市二模）如圖，⊙O的直徑AB＝12，C為⊙O上的一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E，∠DAC＝30°．?（1）求∠BAC的度數(shù)及CD的長；（2）求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OC，BC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OC⊥CD，進一步可知AD∥OC，根據(jù)∠DAC＝30°，可得∠BAC＝∠OCA＝30°，根據(jù)cos∠BAC＝＝，可得AC的長，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得CD的長；（2）先證明△AOE是等邊三角形，根據(jù)cos∠DAC＝＝，可得AD的長，進一步可得DE的長，再證明∠EOC＝∠AOE，根據(jù)陰影部分的面積＝S△CDE＝求解即可．【解答】解：（1）連接OC，BC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠OCA＝∠DAC＝30°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA＝30°，∵AB是直徑，AB＝12，∴∠ACB＝90°，∵cos∠BAC＝＝，∴AC＝，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，∴CD＝AC＝；（2）連接EC，OE，∵OE＝OA，∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝30°+30°＝60°，∴△AOE是等邊三角形，∴AE＝OA＝6，∠AOE＝60°，∵cos∠DAC＝＝，∴AD＝9，∴DE＝AD﹣AE＝9﹣6＝3，∵∠AOE＝60°，∠DAC＝30°，∴∠EOC＝∠AOE＝60°，∴陰影部分的面積＝S△CDE＝＝＝．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，陰影部分的面積，涉及解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，本題綜合性較強，熟練掌握切線的性質(zhì)和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．一十二．切線的判定（共1小題）18．（2017秋?射陽縣校級月考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向以0.5個單位/秒的速度平移，使⊙P與y軸相切，則平移的時間為2或10秒．【分析】平移分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫出答案即可．【解答】解：當⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為1；當⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為5．故答案為2或10【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．一十三．切線的判定與性質(zhì)（共5小題）19．（2023春?新吳區(qū)期中）如圖，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，點B是AD上一點，∠ACB的角平分線CE交以AB為直徑的⊙O于點E，過點B作BF⊥EC，垂足為F，⊙O恰好過點C．（1）求證：CD是⊙O切線；（2）若，求CF的長．【分析】（1）如圖所示，連接OC，先根據(jù)等邊對等角得到∠A＝30°，由圓周角定理得到∠BOC＝60°，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠OCD＝90°即可證明結(jié)論；（2）由AB是直徑，得到∠ACB＝90°，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到BC＝6，由角平分線的定義得到∠BCE＝45°，即可證明△BCF是等腰直角三角形，則．【解答】（1）證明：如圖所示，連接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，又∵OC為半徑，∴CD是⊙O切線；（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，，∴，∵CE平分∠ACB，∴，∵BF⊥CE，即∠BFC＝90°，∴∠CBF＝45°＝∠BCF，∴．【點評】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．20．（2023?濱?？h模擬）如圖，在半徑為5的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，在AB的延長線上有點E，且EF＝ED．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若BE：：3，求：①BD的長；②由弦BD與弧BD圍成的陰影部分面積．【分析】（1）連接OD，根據(jù)同圓的半徑相等得到∠OCD＝∠ODC，根據(jù)OC⊥AB得到∠OCD+∠CFO＝90°，根據(jù)EF＝ED得到∠EFD＝∠EDF，結(jié)合對頂角相等退出∠ODE＝90°，即可得證；（2）①先根據(jù)勾股定理求出BE的長，再利用銳角三角函數(shù)的特殊值得到∠DOE＝60°，從而得出△ODB是等邊三角形，即可求出BD的長；②根據(jù)扇形面積公式求出扇形ODB的面積，再根據(jù)等邊三角形的面積公式求出等邊△ODB的面積，即可求出陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵OC⊥AB，∴∠OCB＝90°，∴∠OCD+∠CFO＝90°，∴∠ODC+∠CFO＝90°，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，又∠CFO＝∠EFD，∴∠EDF＝∠CFO，∴∠ODC+∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，∵OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：①∵BE：：3，設(shè)，∴DE＝3x，由（1）可知∠ODE＝90°，OB＝OD＝5，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2＝OD2+DE2，∴，解得：，∴BE＝5，∴，∴∠DOE＝60°，又OD＝OB，∴△ODB是等邊三角形，∴BD＝OD＝OB＝5；②∵，，∴．【點評】本題主要考查了切線的判定定理，扇形的面積公式，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的面積計算公式等知識，熟練掌握：經(jīng)過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．21．（2023?秦淮區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l與△ABC的外接圓相切于點B，D是l上一點，DC＝DB．（1）求證：DC與△ABC的外接圓相切；（2）若DC＝AB＝4，則BC的長是．【分析】（1）設(shè)AB中點為O，連接OC，如圖，利用圓周角定理得到AB是△ABC的外接圓的直徑，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABD＝90°，然后證明∠OCD＝90°，即OC⊥DC，從而根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）連接OD交BC于E點，如圖，先利用勾股定理計算出OD＝2，再證明OD垂直平分BC，則根據(jù)垂徑定理得到BE＝CE，然后利用面積法求出BE，從而得到BC的長．【解答】（1）證明：設(shè)AB中點為O，連接OC，如圖，∵∠ACB＝90°，∴AB是△ABC的外接圓的直徑，即點O為△ABC的外接圓的圓心．∵直線l與⊙O相切于點B，∴AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵DC＝DB，∴∠DBC＝∠DCB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠OCD＝∠OCB+∠DCB＝∠OBC+∠DBC＝∠OBD＝90°，即OC⊥DC，又∵點C在⊙O上，∴DC與⊙O相切，即DC與△ABC的外接圓相切；（2）解：連接OD交BC于E點，如圖，∵DC＝AB＝4，∴OB＝2，BD＝4，∴OD＝＝2，∵OB＝OC，DB＝DC，∴OD垂直平分BC，∴BE＝CE，∵BE?OD＝OB?BD，∴BE＝＝，∴BC＝2BE＝．故答案為：．【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．22．（2023?寶應(yīng)縣二模）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O與AB相交于點C，與AO相交于點D，連接CD，已知∠BOC＝∠ACD，OD＝CD．（1）求證：AB為⊙O的切線；（2）若AO＝20，求線段AD、AC、弧CD圍成的陰影部分的面積．【分析】（1）由OD＝CD，得∠DOC＝∠DCO，進而結(jié)合∠AOB＝90°，∠BOC＝∠ACD，推證∠ACO＝90°，所以AB是⊙O的切線；（2）易證△COD是等邊三角形，所以∠AOC＝60°；解直角三形，得OC＝10，，由直角三角形與扇形面積差求陰影部分面積．【解答】（1）證明：∵OD＝CD，∴∠DOC＝∠DCO，∵∠AOB＝90°，∴∠DOC+∠BOC＝90°，∵∠BOC＝∠ACD，∴∠DCO+∠ACD＝90°，即∠ACO＝90°，∴OC⊥AB，∵點C在⊙O上，∴AB是⊙O的切線；（2）解：∵OD＝OC，OD＝CD，∴OD＝OC＝CD，∴△COD是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴，即，∴OC＝10，∴，∴，∴，∴圖中陰影部分面積＝．【點評】本題考查切線的判定定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、扇形面積計算等；運用等邊三角形知識，求得特殊角，利用解直角三角形知識求得相關(guān)線段是解題關(guān)鍵．23．（2023春?江陰市期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓上一點，點D是的中點，過點D的直線垂直直線AC于點E，與AB的延長線交于點G，弦AF⊥AE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AD＝5，AF＝6，求AG的長．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，可得AE∥OD，進而得到OD⊥EG，再根據(jù)切線的判定方法進行判斷即可；（2）由垂徑定理可得DE＝AH＝3，由勾股定理可求出AE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AB，進而得出半徑，由相似三角形可求出BG，進而求出AG．【解答】（1）證明：如圖，連接DO并延長交AF于點H，連接DB，∵點D是的中點，∴＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，又∵AE⊥EG，∴OD⊥EG，∵OD是⊙O的半徑，∴EG是⊙O的切線；（2）解：∵AE⊥AF，OD⊥EG，AE⊥EG，∴四邊形AEDH是矩形，∴DH⊥AF，∴DE＝AH＝HF＝AF＝3，在Rt△ADE中，DE＝3，AD＝5，∴AE＝＝4，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°＝∠AED，∵∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴＝，即＝，∴AB＝，∴OD＝OA＝OB＝AB＝，∵OD∥AE，∴△GOD∽△GAE，∴＝，即，解得GB＝，∴AG＝AB+BG＝+＝．【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及垂徑定理勾股定理，掌握切線的判定方法，勾股定理、垂徑定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．一十四．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）24．（2023?姑蘇區(qū)校級開學(xué)）如圖，不等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，I是其內(nèi)心，BI⊥OI，AC＝14，BC＝13，△ABC內(nèi)切圓半徑為（）A．4 B． C． D．【分析】延長BI交⊙O于點D，連接OB，OD，AI，OD交AC于點E，利用圓周角定理，以及內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，證明△ADI是等腰三角形，過點I作IG⊥BC，IM⊥AC，IN⊥AB，證明△AED≌△BGI（AAS），得到，利用切線長定理，求出AB的長，過點C作CH⊥AB，連接IC，設(shè)AH＝x，利用勾股定理，求出△ABC的高，進而求出△ABC的面積，再利用△ABC的面積等于△ABC的周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，求出內(nèi)切圓的半徑即可．【解答】解：延長BI交⊙O于點D，連接OB，OD，AI，OD交AC于點E，則：∠DAC＝∠DBC，∵I是△ABC內(nèi)心，∴∠ABD＝∠DBC，∠CAI＝∠BAI，∴∠DAC＝∠DBA，∴∠DAC+∠CAI＝∠DBA+∠BAI，即：∠DAI＝∠AID，∴AD＝DI，∵OD＝OB，OI⊥BD，∴DI＝BI，∴AD＝BI，∵∠ABD＝∠DBC，∴，∴OD⊥AC，，過點I作IG⊥BC，IM⊥AC，IN⊥AB，則：∠BGI＝∠AED＝90°，∵AD＝BI，∠DAC＝∠DBC，∴△AED≌△BGI（AAS），∴，∴CG＝BC﹣BG＝13﹣7＝6，∵I是△ABC內(nèi)心，∴CM＝CG＝6，BN＝BG＝7，AN＝AM＝AC﹣CM＝14﹣6＝8，∴AB＝AN+BN＝7+8＝15，如圖2：過點C作CH⊥AB，連接IC，設(shè)AH＝x，則：BH＝15﹣x，∴CH2＝AC2﹣AH2＝AB2﹣BH2，即：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2，解得：，∴，∴，設(shè)⊙I的半徑為r，則：IG＝IM＝IN＝r∴，即：，解得：r＝4；故選：A．【點評】本題考查三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，熟練掌握內(nèi)心是三角形角平分線的交點，合理的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．一十五．正多邊形和圓（共3小題）25．（2022秋?無錫期末）若⊙O的內(nèi)接正n邊形的邊長與⊙O的半徑相等，則n的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】因為⊙O的半徑與這個正n邊形的邊長相等，推出這個多邊形的中心角＝60°，構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：∵⊙O的半徑與這個正n邊形的邊長相等，∴這個多邊形的中心角＝60°，∴＝60°，∴n＝6，故選：C．【點評】本題考查正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．26．（2022秋?鹽都區(qū)期中）如圖，點A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，點O為正多邊形的中心，若∠ADB＝18°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．10 B．12 C．15 D．20【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，∴點A、B、C、D在以點O為圓心，OA為半徑的同一個圓上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴這個正多邊形的邊數(shù)＝＝10，故選：A．【點評】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．27．（2023?鎮(zhèn)江一模）在九年級《數(shù)學(xué)實驗手冊》中，我們探究了最小覆蓋圓與圖形之間的關(guān)系．現(xiàn)有如圖所示的等邊三角形△ABC，邊長為3，若分別以頂點A、B、C為圓心作三個等圓，這三個等圓能完全覆蓋△ABC，則所作等圓的最小半徑是．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定得到△ABO≌△ACO，△ACO≌△BCO，再利用全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得到，最后利用直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可解答．【解答】解：當三個等圓相交于一點時，此時恰好能完全覆蓋△ABC，設(shè)這個點為O，連接OA、OB、OC，此時OA或OB或OC是所作等圓的最小半徑，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，由題意可知：OA＝OB＝OC，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴，在△ACO和△BCO中，，∴△ACO≌△BCO（SSS），∴∠ACO＝∠BCO＝30°，延長AD交BC于點E，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，，在Rt△OEC中，∠OCE＝30°，∴OC＝2OE，∵OE2+CE2＝OC2，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴所作等圓的最小半徑為：．故答案為：．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一十六．弧長的計算（共4小題）28．（2023?濱湖區(qū)一模）如圖，分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長為3，則勒洛三角形的周長為（）A． B．3π C． D．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和弧長公式計算即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖．∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝a，∴的長＝的長＝的長＝＝π，∴勒洛三角形的周長為π×3＝3π．故選：B．【點評】本題考查了弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r），也考查了等邊三角形的性質(zhì)．29．（2022秋?宜興市期末）如圖，是一個圓形人工湖，弦AB是湖上的一座橋．已知AB的長為10，圓周角∠C＝30°，則的長為（）A．π B． C．5π D．π【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOB＝60°，再根據(jù)弧長公式計算即可．【解答】解：如圖，設(shè)圓心為O，連接AO，BO，則OA＝OB，∵∠C＝30°，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝10，∴弧AB的長為：＝．故選：B．【點評】此題主要考查了弧長計算以及圓周角定義，正確掌握弧長公式是解題關(guān)鍵．30．（2023?射陽縣校級模擬）東南環(huán)立交是蘇州中心城區(qū)城市快速內(nèi)環(huán)道路系統(tǒng)的重要節(jié)點，也是江蘇省最大規(guī)模的城市立交．左圖是該立交橋的部分道路示意圖（道路寬度忽略不計），A為立交橋入口，D、G為出口，其中直行道為AB、CD、FG，且AB＝CD＝FG；彎道是以點O為圓心的一段弧，且BC、CE、EF所在的圓心角均為90°．甲、乙兩車由A口同時駛?cè)肓⒔粯?，均?6m/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車到點O的距離y（m）與時間x（s）的對應(yīng)關(guān)系如右圖所示．結(jié)合題目信息，下列說法錯誤的是（）A．該段立交橋總長為672m B．從G口出比從D口出多行駛192m C．甲車在立交橋上共行駛22s D．甲車從G口出，乙車從D口出【分析】根據(jù)題意，根據(jù)弧長公式并結(jié)合圖象問題可得．【解答】解：由圖象可知，兩車通過，，時每段所用時間均為6s，通過直行道AB，CG，EF時，每段用時為8s，根據(jù)題意立交橋總長為（3×6+3×8）×16＝672m，故A不符合題意；根據(jù)兩車運行路線，從G口出比從D口出多走，弧長之和，用時為12s，則走12×16＝192m，故B不符合題意；甲車在立交橋上共行駛時間為8+6+8＝22s，故C不符合題意；根據(jù)兩車運行時間，可知甲先駛出，應(yīng)從D口駛出，乙車從G口出，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解答時要注意數(shù)形結(jié)合．31．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，A，B，C，D為⊙O上的點，且直線AB與CD夾角為45°．若，，的長分別為π，π和3π，則⊙O的半徑是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】設(shè)弧長為π所對的圓周角為α，根據(jù)題意得出∠BDC＝2α，∠ABD＝4α，利用三角形內(nèi)角和定理求得α＝，即可求得弧長為π所對的圓心角為×2＝45°，代入弧長公式即可求得⊙O的半徑．【解答】解：∵，，的長分別為π，π和3π，∴的長為2π，的長為4π，∴設(shè)弧長為π所對的圓周角為α，則∠BDC＝2α，∠ABD＝4α，∵∠BDC+∠ABD+∠E＝180°，∠E＝45°，∴2α+4α+45°＝180°，∴α＝，∴弧長為π所對的圓心角為×2＝45°，∴＝π，∴R＝4，故選：A．【點評】本題考查了弧長的計算，三角形內(nèi)角和定理，求得弧長為π所對的圓心角是解題的關(guān)鍵．一十七．扇形面積的計算（共3小題）32．（2023?錫山區(qū)校級三模）如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝2，以O(shè)為圓心，OA為半徑作弧，且∠AOD＝60°，則陰影部分面積為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理求出求出CF，求出∠OFC＝30°，則∠COF＝60°，可得∠AOF＝∠EOF＝∠COE＝30°，則∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝30°，OE＝FE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OE，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計算即可．【解答】解：如圖，過點E作EH⊥OF于H，由題意得，OF＝OA＝4，OC＝AB＝2，由勾股定理得，CF＝＝＝2，∴∠OFC＝30°，∴∠COF＝60°，∴∠AOF＝∠EOF＝∠COE＝30°，∵∠AOD＝60°，∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝30°，∴∠OFC＝∠DOF，∠COE＝30°，∴OE＝FE，∵∠C＝90°，OC＝2，∴OE＝＝，∴EH＝，∴陰影部分的面積＝S扇形ODF﹣S△OEF＝﹣×4×＝﹣，故選：A．【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)、扇形面積計算，掌握扇形面積公式、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意：扇形的半徑為r，圓心角為n°的扇形的面積是．33．（2023春?大豐區(qū)月考）如圖所示，分別以n邊形的頂點為圓心，以1cm為半徑畫圓，當n＝2023時，則圖中陰影部分的面積之和為（）A．2πcm2 B．πcm2 C．2022πcm2 D．2023πcm2【分析】求出2023邊形的外角和＝360°，即陰影部分的圓心角的和等于360°，再根據(jù)扇形的面積公式求出答案即可．【解答】解：∵2023邊形的外角和＝360°，∴圖中陰影部分的面積之和＝＝π（cm2），故選：B．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角和扇形的面積計算，能求出陰影部分的圓心角的度數(shù)和＝360°是解此題的關(guān)鍵．34．（2023?姑蘇區(qū)校級開學(xué)）如圖，正方形的邊AB＝2，弧BD和弧AC都是以2為半徑的圓弧，則圖中空白兩部分的面積之差是（）A． B． C． D．2π﹣4【分析】假設(shè)左邊空白部分的面積設(shè)為a，右邊空白部分的面積設(shè)為b，根據(jù)對稱性，上下兩片陰影部分面積都設(shè)為c，則a+c＝扇形的面積，b+c＝正方形面積一扇形面積，兩個算式作差即為所求．【解答】解：設(shè)左邊空白部分的面積設(shè)為a，右邊空白部分的面積設(shè)為b，根據(jù)對稱性，上下兩片陰影部分面積設(shè)為c，則a+c＝扇形的面積，b+c＝正方形面積一扇形面積，兩式作差：a+c﹣（b+c）＝a+c﹣b﹣c＝a﹣b＝扇形面積﹣（正方形面積﹣扇形面積）＝2扇形面積﹣正方形面積＝2×＝2π﹣4，答：無陰影的兩部分的面積之差為2π﹣4，故選：D．【點評】本題主要考查了圓中求不規(guī)則圖形的面積，熟練掌握扇形的面積公式及拱形面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．一十八．圓錐的計算（共5小題）35．（2023春?江陰市期中）將半徑為4，圓心角為90°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則此圓錐底面圓的半徑是（）A．1 B． C．2 D．【分析】設(shè)此圓錐底面圓的半徑是r，根據(jù)弧長公式可得，求解即可獲得答案．【解答】解：設(shè)此圓錐底面圓的半徑是r，根據(jù)題意，可得，解得r＝1，即此圓錐底面圓的半徑是1．故選：A．【點評】本題主要考查了計算弧長以及圓錐的相關(guān)計算，解題關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面展開圖是一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長．36．（2022秋?鹽都區(qū)月考）若圓錐的底面直徑為6cm，側(cè)面展開圖的面積為15πcm2，則圓錐的母線長為（）A． B． C．3cm D．5cm【分析】已知圓錐底面圓的半徑可求出側(cè)面展開圖的弧長，根據(jù)側(cè)面展開圖的面積即可求解．【解答】解：如圖所示，∵圓錐的底面直徑為6cm，∴圓錐的底面半徑為3cm∴圓錐的底面圓周長是C＝2πr＝6π，∵側(cè)面展開圖的面積為15πcm2，∴側(cè)面展開圖的面積，∴圓錐的母線長為l＝5．故選：D．【點評】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的面積，掌握面積公式的計算方法是關(guān)鍵．37．（2022秋?沭陽縣校級期末）如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm【分析】設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到＝2πr，解方程求出r，然后計算9﹣2r即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，根據(jù)題意得＝2πr，解得r＝2，所以AB＝12﹣2r＝12﹣2×2＝8（cm）．故選：C．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．38．（2023?靖江市二模）已知甲、乙兩個圓錐側(cè)面展開圖的面積相等，母線長分別為l甲、l乙，底面半徑分別為r甲、r乙，若l甲：l乙＝3：2，則r甲：r乙＝2：3．【分析】根據(jù)扇形的面積＝弧長與半徑的積的一半得出?l甲?2πr甲＝l乙?2πr乙，求出l甲?r甲＝l乙?r乙，根據(jù)l甲：l乙＝3：2求出r甲：r乙即可．【解答】解：∵甲、乙兩個圓錐側(cè)面展開圖的面積相等，母線長分別為l甲、l乙，底面半徑分別為r甲、r乙，∴?l甲?2πr甲＝l乙?2πr乙，∴l(xiāng)甲?r甲＝l乙?r乙，∵l甲：l乙＝3：2，∴r甲：r乙＝l乙：l甲＝2：3．故答案為：2：3．【點評】本題考查了圓錐的計算，能熟記扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵，注意：扇形的面積＝弧長與半徑的積的一半．39．（2023?徐州二模）若圓錐的母線長為5，底面半徑為2，則這個圓錐的側(cè)面積為10π．【分析】由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，所以根據(jù)扇形的面積公式可計算出這個圓錐的側(cè)面積．【解答】解：根據(jù)題意，這個圓錐的側(cè)面積＝×2π×2×5＝10π．故答案為：10π．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1．（4分）平面內(nèi)有一點P到圓上最遠的距離是6，最近的距離是2，則圓的半徑是（）A．2 B．4 C．2或4 D．8【分析】分兩種情況：點在圓外，直徑等于兩個距離的差；點在圓內(nèi)，直徑等于兩個距離的和．【解答】解：∵點P到⊙O的最近距離為2，最遠距離為6，則：當點在圓外時，則⊙O的直徑為6﹣2＝4，半徑是2；當點在圓內(nèi)時，則⊙O的直徑是6+2＝8，半徑為4，故選：C．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，注意此題的兩種情況．從過該點和圓心的直線中，即可找到該點到圓的最小距離和最大距離．2．（4分）如圖，在⊙O中，∠BOD＝160°，則度數(shù)是（）A．200° B．160° C．120° D．80°【分析】根據(jù)圓心角∠BOD的度數(shù)得出即可．【解答】解：∵圓心角∠BOD＝160°，∴圓心角∠BOD對的弧的度數(shù)是160°，故選：B．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，注意：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．3．（4分）如圖，已知CD為圓O的直徑，過點D的弦DE平行于半徑OA，若角D＝50°，則角C的度數(shù)是（）A．50° B．25° C．30° D．40°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可求解．【解答】解：∵OA∥DE，∴∠AOD＝∠D＝50°，∴∠C＝∠AOD＝25°．故選：B．【點評】本題主要考查了圓周角定理，以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)圓周角定理把求圓周角的問題轉(zhuǎn)化為求圓心角的問題是解題的關(guān)鍵．4．（4分）直線AB、CD相交于點O，射線OM平分∠AOD，點P在射線OM上（點P與點O不重合），如果以點P為圓心的圓與直線AB相離，那么圓P與直線CD的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和點與直線的位置關(guān)系解答即可．【解答】解：如圖所示；∵OM平分∠AOD，以點P為圓心的圓與直線AB相離，∴以點P為圓心的圓與直線CD相離，故選：A．【點評】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答．5．（4分）下列說法正確的是（）A．垂直于弦的直線必經(jīng)過圓心 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．平分弧的直徑平分弧所對的弦 D．同一平面內(nèi)，三點確定一個圓【分析】根據(jù)垂徑定理及推論、確定圓的條件分別對每一項進行分析即可．【解答】解：A、根據(jù)垂直于弦的直徑必經(jīng)過圓心，故此選項錯誤；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故此選項錯誤；C、平分弧的直徑平分弧所對的弦，故此選項正確；D、不在同一直線上的三點確定一個圓，故此選項錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了命題與定理，了解垂徑定理及推論、確定圓的條件是解題的關(guān)鍵，難度不大．6．（4分）如圖，已知A，B，C，D是圓上的點，，AC，BD交于點E，則下列結(jié)論正確的是（）A．AB＝AD B．BE＝CD C．BE＝AD D．AC＝BD【分析】根據(jù)弧與弦的關(guān)系得出＝，進而判斷即可．【解答】解：∵，∴+＝+，∴＝，∴AC＝BD，故選：D．【點評】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)弧與弦的關(guān)系得出＝．7．（4分）已知⊙O的半徑為5cm，若OP＝3cm，那么點P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點P在圓內(nèi) B．點P在圓上 C．點P在圓外 D．都有可能【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進行判斷．【解答】解：∵OP＝3＜5，∴點P在⊙O內(nèi)．故選：A．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．8．（4分）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，點A是中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．AB＝OC B．∠BAC+∠AOC＝180° C．BC＝2AC D．∠BAC+∠AOC＝180°【分析】直接利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得出各線段、角的關(guān)系進而得出答案．【解答】解：A、∵點A是中點，∴＝，∴AB＝AC，無法得出AB＝OC，故選項A錯誤；B、連接BO，∵＝，∴∠BOA＝∠AOC，∵BO＝AO＝AO＝CO，∴∠AOC＝∠BAO＝∠ACO，∴∠OAC+∠ACO+∠AOC＝∠BAC+∠AOC＝180°，故此選項正確；C、∵AB＝AC，AB+AC＞BC，∴BC≠2AC，故選項C錯誤；D、無法得出∠BAC+∠AOC＝180°，故選項D錯誤；故選：B．【點評】此題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．9．（4分）小洋用一張半徑為24cm的扇形紙板做一個如圖所示的圓錐形小丑帽子側(cè)面（接縫忽略不計），如果做成的圓錐形小丑帽子的底面半徑為10cm，那么這張扇形紙板的面積是（）A．120πcm2 B．240πcm2 C．260πcm2 D．480πcm2【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算．【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝?2π?10?24＝240π（cm2），所以這張扇形紙板的面積為240πcm2．故選：B．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．10．（4分）如圖，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周長為16．若⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點，則DF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根據(jù)切線長定理求出AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，得出等邊三角形ADF，推出AD＝AF＝DF，根據(jù)BC＝6，求出BD+CF＝6，求出AD+AF＝4，即可求出答案．【解答】解：∵⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點，∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∵BC＝BE+CE＝6，∴BD+CF＝6，∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AD＝AF＝DF，∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，∴AB+AC＝10，∵BD+CF＝6，∴AD+AF＝4，∵AD＝AF＝DF，∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，故選：A．【點評】本題考查了對切線長定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AD+AF的值，主要考查學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力，題目比較好，難度也適中．二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）11．（4分）（1）圖①中有2條弧，分別為、；（2）寫出圖②中的一個半圓；劣?。?、；優(yōu)?。骸ⅲ痉治觥浚?）根據(jù)弧的定義求解可得；（2）根據(jù)半圓、劣弧、優(yōu)弧概念求解可得．【解答】解：（1）圖①中有2條弧，分別為、，故答案為：2，、；（2）寫出圖②中的一個半圓；劣?。骸?；優(yōu)?。骸?，故答案為：，、，、．【點評】本題主要考查圓的認識，解題的關(guān)鍵是掌握優(yōu)弧、半圓、劣弧的概念．12．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，則∠AOC＝36°．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，再求出答案即可．【解答】解：∵AC＝CD＝DF＝EF＝FB，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AOB＝180°，∴∠AOC＝∠AOB＝36°，故答案為：36°．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，能熟記圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．13．（4分）如圖：P是⊙O的直徑BA延長線上一點，PD交⊙O于點C，且PC＝OD，如果∠P＝24°，則∠DOB＝72°．【分析】連接OC，由PC＝OD，OC＝OD得到PC＝CO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠1＝∠P＝24°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠2＝48°，由于∠D＝∠2＝48°，然后利用∠DOB＝∠P+∠D計算即可．【解答】解：連接OC，如圖，∵PC＝OD，而OC＝OD，∴PC＝CO，∴∠1＝∠P＝24°，∴∠2＝2∠P＝48°，而OD＝OC，∴∠D＝∠2＝48°，∴∠DOB＝∠P+∠D＝72°．故答案為72°．【點評】本題考查了圓的認識：掌握圓的定義和與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)．14．（4分）已知圓錐的母線長5，底面半徑為3，則圓錐的側(cè)面積為15π，圓錐側(cè)面展開圖形的圓心角是216度．【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解，根據(jù)弧長公式求出圓心角．【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝2π×3×5÷2＝15π，圓錐的底面周長＝2π×3＝6π；扇形圓心角＝＝216°．故答案為：15π；216．【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計算方法，特別是圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長．15．（4分）△ABC的三邊分別是3，4，5，則△ABC的外接圓的半徑是．【分析】根據(jù)勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，根據(jù)圓周角定理解答．【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圓的半徑為，故答案為：．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖⊙O的半徑為1，圓周角∠ABC＝30°，則圖中陰影部分的面積為﹣．【分析】連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理，由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，即△OAC為等邊三角形，并且邊長為1，而S陰影部分＝S扇形OAC﹣S△OAC，然后根據(jù)扇形的面積公式和等邊三角形的面積進行計算即可得到陰影部分的面積．【解答】解：連接OA，OC，如圖，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，∴△OAC為等邊三角形，而⊙O的半徑為1，即OA＝1，∴S陰影部分＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣×12＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查了扇形的面積公式：S＝，（其中n為扇形的圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑），或S＝lR，l為扇形的弧長，R為半徑．三．解答題（共7小題，滿分56分）17．（7分）如圖所示，AB、CD是⊙O的兩條弦，且AC＝BD，則AB與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？【分析】連接AD，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系解答即可．【解答】解：相等．理由是：連接AD，∵AC＝BD，BC＝BC，∴∠CDA＝∠BAD，∠CAB＝∠CDB，∴∠CDA+∠CDB＝∠BAD+∠CAB即∠ADB＝∠CAD，∴AB＝CD．【點評】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系解答．18．（7分）如圖：A、B、C是⊙O上的三點，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度數(shù)．【分析】由，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，再利用圓周角定理求出∠BCA，然后由三角形的內(nèi)角和得到∠OAC．【解答】解：∵OB＝OC∴∠OCB＝∠OBC＝40°∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+100°＝150°又∵OA＝OC