第2章 對(duì)稱(chēng)圖形-圓全章復(fù)習(xí)與測(cè)試（解析版）

第2章對(duì)稱(chēng)圖形—圓全章復(fù)習(xí)與測(cè)試1．理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征；

2．了解切線(xiàn)的概念，探索并掌握切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線(xiàn)是否為圓的切線(xiàn)，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線(xiàn)；

3．了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作圓；

4．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫(huà)圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；

5．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力.一．圓的認(rèn)識(shí)（1）圓的定義定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線(xiàn)段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱(chēng)性．②中心對(duì)稱(chēng)性．二．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。箯蕉ɡ淼膽?yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．這類(lèi)題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．五．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線(xiàn)，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來(lái)．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等．（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線(xiàn)，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）．幾何語(yǔ)言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)．幾何語(yǔ)言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．九．確定圓的條件不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)不能畫(huà)一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過(guò)一點(diǎn)可畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓，過(guò)兩點(diǎn)也能畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓，過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)能畫(huà)且只能畫(huà)一個(gè)圓．十．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說(shuō)明：①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)．十一．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（1）直線(xiàn)和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)．②相切：一條直線(xiàn)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線(xiàn)和圓相切，這條直線(xiàn)叫圓的切線(xiàn)，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．③相交：一條直線(xiàn)和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線(xiàn)和圓相交，這條直線(xiàn)叫圓的割線(xiàn)．（2）判斷直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線(xiàn)l的距離為d．①直線(xiàn)l和⊙O相交?d＜r②直線(xiàn)l和⊙O相切?d＝r③直線(xiàn)l和⊙O相離?d＞r．十二．切線(xiàn)的性質(zhì)（1）切線(xiàn)的性質(zhì)①圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心．（2）切線(xiàn)的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線(xiàn)符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿(mǎn)足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線(xiàn)過(guò)圓心；②直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)；③直線(xiàn)與圓的切線(xiàn)垂直．（3）切線(xiàn)性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直．十三．切線(xiàn)的判定（1）切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線(xiàn)必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過(guò)半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線(xiàn)．②切線(xiàn)的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑時(shí)，直線(xiàn)和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的．③在判定一條直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線(xiàn)和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，證明該線(xiàn)段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線(xiàn)段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線(xiàn)，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．十四．切線(xiàn)的判定與性質(zhì)（1）切線(xiàn)的性質(zhì)①圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心．（2）切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．（3）常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的：①判定切線(xiàn)時(shí)“連圓心和直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”；②有切線(xiàn)時(shí)，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”．十五．弦切角定理（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．如右圖所示，直線(xiàn)PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．十六．切線(xiàn)長(zhǎng)定理（1）圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)．（2）切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)，平分兩條切線(xiàn)的夾角．（3）注意：切線(xiàn)和切線(xiàn)長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線(xiàn)是直線(xiàn)，不能度量；切線(xiàn)長(zhǎng)是線(xiàn)段的長(zhǎng)，這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．（4）切線(xiàn)長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到．十七．切割線(xiàn)定理（1）切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．幾何語(yǔ)言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線(xiàn)∴PT的平方＝PA?PB（切割線(xiàn)定理）（2）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等．幾何語(yǔ)言：∵PBA，PDC是⊙O的割線(xiàn)∴PD?PC＝PA?PB（切割線(xiàn)定理推論）（割線(xiàn)定理）由上可知：PT2＝PA?PB＝PC?PD．十八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線(xiàn)的交點(diǎn)．（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線(xiàn)平分這個(gè)內(nèi)角．十九．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．二十．弧長(zhǎng)的計(jì)算（1）圓周長(zhǎng)公式：C＝2πR（2）弧長(zhǎng)公式：l=nπR180（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng)．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．二十一．扇形面積的計(jì)算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．二十二．圓錐的計(jì)算（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段叫做圓錐的母線(xiàn)．連接頂點(diǎn)與底面圓心的線(xiàn)段叫圓錐的高．（2）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=12?2πr?l＝π（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl（5）圓錐的體積=1注意：①圓錐的母線(xiàn)與展開(kāi)后所得扇形的半徑相等．②圓錐的底面周長(zhǎng)與展開(kāi)后所得扇形的弧長(zhǎng)相等．二十三．圓柱的計(jì)算（1）圓柱的母線(xiàn)（高）等于展開(kāi)后所得矩形的寬，圓柱的底面周長(zhǎng)等于矩形的長(zhǎng)．（2）圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長(zhǎng)×高（3）圓柱的表面積＝上下底面面積+側(cè)面積（4）圓柱的體積＝底面積×高．一．圓的認(rèn)識(shí)（共1小題）1．（2022秋?東臺(tái)市月考）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋ǎ〢．圓的直徑是半徑的2倍 B．同一個(gè)圓所有的直徑都相等 C．圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍 D．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形【分析】井蓋一般都做成圓形的是因?yàn)閳A內(nèi)最長(zhǎng)的線(xiàn)段是圓的直徑，而且都相等，所以井蓋不會(huì)掉到井里面．【解答】解：生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里，這是因?yàn)橥粋€(gè)圓里所有的直徑都相等．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的認(rèn)識(shí)，軸對(duì)稱(chēng)圖形等知識(shí)，明確圓的特征，是解答此題的關(guān)鍵．二．垂徑定理（共2小題）2．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）如圖，在半圓ACB中，AB＝6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線(xiàn)折疊，若BC恰好過(guò)圓心O，則BC的長(zhǎng)是（）A． B．π C．2π D．4π【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于E，交半圓O于D點(diǎn)，連接AC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到ED＝EO，則OE＝OB，則可根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，根據(jù)圓周角定理得∠ACB＝90°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BC＝AC＝3．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于E，交半圓O于D點(diǎn)，連接AC，如圖，∵半圓O沿BC所在的直線(xiàn)折疊，圓弧BC恰好過(guò)圓心O，∴ED＝EO，∴OE＝OB，∵OD⊥BC，∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AC＝3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)和圓周角定理，折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3．（2023?鹽城二模）如圖，在半徑為5的⊙O中，半徑OC與弦AB垂直，垂足為點(diǎn)D，且AB＝8，則CD的長(zhǎng)等于2．【分析】連接OA，由垂徑定理得到AD＝4，由勾股定理求出OD＝3，由此CD＝OC﹣OD＝2．【解答】解：連接OA，∵半徑OC與弦AB垂直，∴AD＝AB＝×8＝4，∵OA＝5，∴OD＝＝3，∴CD＝OC﹣OD＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是連接OA構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理，垂徑定理來(lái)求解．三．垂徑定理的應(yīng)用（共2小題）4．（2023?亭湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5cm，瓶?jī)?nèi)液體的最大深度CD＝2cm，則截面圓中弦AB的長(zhǎng)為（）cm．A．4 B．6 C．8 D．8.4【分析】由垂徑定理得AC＝BC＝AB，再由勾股定理得AC＝4cm，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意得：OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，∠OCA＝90°，∵OA＝OD＝5cm，CD＝2cm，∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm），在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC＝＝＝4（cm），∴AB＝2AC＝8（cm）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023?寶應(yīng)縣二模）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門(mén)洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門(mén)洞，圓弧所在的圓外接于矩形．如圖，已知矩形的寬為m，高為3m，則改建后門(mén)洞的圓弧長(zhǎng)是m．（結(jié)果請(qǐng)保留π）【分析】如圖：連接AC，BD相交于O，由題意可得：；由勾股定理可得，進(jìn)而得到，同理可得：，易證△DOC是等邊三角形，則⊙O的半徑為、∠DOC＝60°，進(jìn)而得到改建后門(mén)洞的圓弧所對(duì)的圓心角為300°，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解答．【解答】解：如圖：連接AC，BD相交于O，由題意可得：，∴，∴，同理：，∴，∴△DOC是等邊三角形，⊙O的半徑為∴∠DOC＝60°，∴改建后門(mén)洞的圓弧所對(duì)的圓心角為300°，∴改建后門(mén)洞的圓弧長(zhǎng)是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，求得弧所對(duì)的圓心角和圓的半徑是解答本題的關(guān)鍵．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共1小題）6．（2022秋?南京期中）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB＝，BC＝1，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E連接AC．證明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E連接AC．∵∠AOC＝90°，∴∠ABC＝（360°﹣90°）＝135°，∴∠ABE＝45°，∵∠E＝90°，AB＝，∴AE＝EB＝1，∵BC＝1，∴EC＝2，∴AC＝＝＝，∴OA＝OC＝AC＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．五．圓周角定理（共2小題）7．（2023?蘇州一模）如圖，已知矩形ABCD的一邊AB長(zhǎng)為12，點(diǎn)P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP、CP，且滿(mǎn)足∠BPC＝30°，則BC的值可能是（）A．6 B．6.8 C． D．【分析】考慮∠BPC的兩個(gè)臨界點(diǎn)，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠BPC最小，此時(shí)BC的值最大；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，∠BPC最大，此時(shí)BC最?。环謩e計(jì)算BC的值，確定BC的最大值和最小值，可得結(jié)論．【解答】解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠BPC最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝12，∠BPC＝30°，∴BC＝＝＝4≈6.928，此時(shí)BC是滿(mǎn)足題意的最大值；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，∠BPC最大，此時(shí)BC最小，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CP于E，設(shè)BE＝a，AP＝x，則BC＝AD＝2x，∵∠BPC＝30°，∴BP＝2BE＝2a，PE＝a，∴，解得：x＝24+12（舍）或24﹣12，∴BC＝2x＝48﹣24，綜上，48﹣24≤BC≤4，即6.432≤BC≤6.928．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，正確畫(huà)圖，確定點(diǎn)P的兩個(gè)臨界點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．8．（2023?建鄴區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，若AB＝4，則的長(zhǎng)是π．?【分析】作點(diǎn)O關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接OM交AC于點(diǎn)N，連接OC，利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)易得∠OAN＝30°，再由圓周角定理可求得∠BOC的度數(shù)，然后利用扇形弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，作點(diǎn)O關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接OM交AC于點(diǎn)N，連接OC，由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得，ON＝MN＝OM，OM⊥AC，點(diǎn)M在未折疊時(shí)以AB為直徑的半圓上，則OM＝OA＝OB＝AB＝×4＝2，ON＝OA，∠ANO＝90°，∴∠OAN＝30°，∴∠BOC＝2∠OAN＝60°，那么的長(zhǎng)為：＝π，故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形的弧長(zhǎng)，圓周角定理及軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，結(jié)合已知條件求得∠OAN＝30°是解題的關(guān)鍵．六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）9．（2023?梁溪區(qū)模擬）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，AD、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，AF為直徑，連接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，則∠CBF的度數(shù)為（）A．16° B．24° C．12° D．14°【分析】由圓周角定理推出∠DAF＝∠BAF＝32°，∠ABF＝90，得到∠BAD＝64°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，即可求出∠CBF的．【解答】解：∵AF為圓的直徑，∴∠ABF＝90°，＝，∵＝，∴＝，∴∠DAF＝∠BAF＝32°，∴∠BAD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是由圓周角定理求出∠BAD的度數(shù)．七．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共1小題）10．（2023春?無(wú)錫月考）已知⊙O的半徑為3，OA＝5，則點(diǎn)A在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．無(wú)法確定【分析】點(diǎn)在圓上，則d＝r；點(diǎn)在圓外，d＞r；點(diǎn)在圓內(nèi)，d＜r（d即點(diǎn)到圓心的距離，r即圓的半徑）．【解答】解：∵OA＝5＞3，∴點(diǎn)A在⊙O外，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，就是比較點(diǎn)與圓心的距離和半徑的大小關(guān)系．八．確定圓的條件（共1小題）11．（2023?泗洪縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，過(guò)A，B，C三點(diǎn)作一圓弧，則圓心的坐標(biāo)是（2，1）．【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線(xiàn)，交點(diǎn)即為圓心．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線(xiàn)，交點(diǎn)即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，1）．故答案為：（2，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．九．三角形的外接圓與外心（共2小題）12．（2023?蘇州二模）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上 B．平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上 C．矩形的四個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上 D．正n邊形的各個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上【分析】根據(jù)三點(diǎn)共圓可知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上；根據(jù)矩形和正n邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分可知矩形的四個(gè)頂點(diǎn)和正n邊形的各個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分但不一定相等，可知平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不一定在同一個(gè)圓上，即可得出答案．【解答】解：A．根據(jù)三點(diǎn)共圓可知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上，故A選項(xiàng)不符合題意；B．平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分但不一定相等，可知平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不一定在同一個(gè)圓上，平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的距離不一定相等，知平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不一定在同一個(gè)圓上，故B選項(xiàng)符合題意；C．矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，所以矩形的四個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的距離相等，可知矩形的四個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上，故C選項(xiàng)不符合題意；D．正n邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，所以正n邊形的各個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的距離相等，可知正n邊形的各個(gè)頂點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外接圓，圓的認(rèn)識(shí)，三角形、平行四邊形、矩形及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（2023?濱海縣模擬）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝4，則圖中陰影部分的面積等于．?【分析】連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，根據(jù)垂徑定理求出AD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形AOC的面積，利用扇形面積的公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，則AD＝DB＝AB＝2，∵△ABC為等邊三角形，∴S△AOB＝S△AOC，∠AOB＝∠AOC＝120°，∴∠AOD＝60°，∴OA＝，∴S陰影＝S扇形AOC＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．一十．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（共1小題）14．（2022秋?徐州期末）卡塔爾世界杯小組賽，一粒制勝球（如圖）射門(mén)前是否出底線(xiàn)成為球迷討論的熱點(diǎn)，裁判依據(jù)VAR圖判定該球并未出界，VAR圖中的圓與直線(xiàn)a的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【分析】通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，足球所在的圓與直線(xiàn)a只有一個(gè)公共點(diǎn)，可知VAR圖中的圓與直線(xiàn)a相切，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：∵足球所在的圓與直線(xiàn)a只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴VAR圖中的圓與直線(xiàn)a相切，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，通過(guò)觀(guān)察，得到直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．一十一．切線(xiàn)的性質(zhì)（共3小題）15．（2023?阜寧縣二模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的半圓O與邊AC相切，切點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC，垂足為F．（1）求證：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求線(xiàn)段AD、AE與弧DE圍成的陰影部分面積．【分析】（1）連接OE，由切線(xiàn)的性質(zhì)可證明OE⊥AC，根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形OECF是矩形，可得結(jié)論；（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得EO的長(zhǎng)，由扇形的面積公式可得答案．【解答】（1）證明：連接OE，∵AC是⊙O的切線(xiàn)，∴OE⊥AC，又∵∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，∴四邊形OECF是矩形，∴OF＝CE．（2）解：∵∠A＝30°，BD＝2，∴∠EOD＝60°，OE＝OD＝1，，∴S陰影＝S△AOE﹣S扇形DOE＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線(xiàn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?灌云縣月考）如圖，⊙O的直徑AE的延長(zhǎng)線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)BD相交于點(diǎn)D，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且∠BCE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】連接OB，根據(jù)圓周角定理可求得∠BOD＝50°，再根據(jù)BD是⊙O的切線(xiàn)，可得∠OBD＝90°，據(jù)此即可求得∠D的度數(shù)．【解答】解：如圖：連接OB，∵∠BCE＝25°，∴∠BOD＝2∠BCE＝50°，∵BD是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OBD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣50°＝40°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用圓周角定理和切線(xiàn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．17．（2023?海門(mén)市二模）如圖，⊙O的直徑AB＝12，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E，∠DAC＝30°．?（1）求∠BAC的度數(shù)及CD的長(zhǎng)；（2）求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OC，BC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得OC⊥CD，進(jìn)一步可知AD∥OC，根據(jù)∠DAC＝30°，可得∠BAC＝∠OCA＝30°，根據(jù)cos∠BAC＝＝，可得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得CD的長(zhǎng)；（2）先證明△AOE是等邊三角形，根據(jù)cos∠DAC＝＝，可得AD的長(zhǎng)，進(jìn)一步可得DE的長(zhǎng)，再證明∠EOC＝∠AOE，根據(jù)陰影部分的面積＝S△CDE＝求解即可．【解答】解：（1）連接OC，BC，∵CD是⊙O的切線(xiàn)，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠OCA＝∠DAC＝30°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA＝30°，∵AB是直徑，AB＝12，∴∠ACB＝90°，∵cos∠BAC＝＝，∴AC＝，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，∴CD＝AC＝；（2）連接EC，OE，∵OE＝OA，∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝30°+30°＝60°，∴△AOE是等邊三角形，∴AE＝OA＝6，∠AOE＝60°，∵cos∠DAC＝＝，∴AD＝9，∴DE＝AD﹣AE＝9﹣6＝3，∵∠AOE＝60°，∠DAC＝30°，∴∠EOC＝∠AOE＝60°，∴陰影部分的面積＝S△CDE＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，陰影部分的面積，涉及解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，本題綜合性較強(qiáng)，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．一十二．切線(xiàn)的判定（共1小題）18．（2017秋?射陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向以0.5個(gè)單位/秒的速度平移，使⊙P與y軸相切，則平移的時(shí)間為2或10秒．【分析】平移分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫(xiě)出答案即可．【解答】解：當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5．故答案為2或10【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)圓與直線(xiàn)相切時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑．一十三．切線(xiàn)的判定與性質(zhì)（共5小題）19．（2023春?新吳區(qū)期中）如圖，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，點(diǎn)B是AD上一點(diǎn)，∠ACB的角平分線(xiàn)CE交以AB為直徑的⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥EC，垂足為F，⊙O恰好過(guò)點(diǎn)C．（1）求證：CD是⊙O切線(xiàn)；（2）若，求CF的長(zhǎng)．【分析】（1）如圖所示，連接OC，先根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠A＝30°，由圓周角定理得到∠BOC＝60°，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠OCD＝90°即可證明結(jié)論；（2）由AB是直徑，得到∠ACB＝90°，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到BC＝6，由角平分線(xiàn)的定義得到∠BCE＝45°，即可證明△BCF是等腰直角三角形，則．【解答】（1）證明：如圖所示，連接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，又∵OC為半徑，∴CD是⊙O切線(xiàn)；（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，，∴，∵CE平分∠ACB，∴，∵BF⊥CE，即∠BFC＝90°，∴∠CBF＝45°＝∠BCF，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線(xiàn)的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．20．（2023?濱?？h模擬）如圖，在半徑為5的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上有點(diǎn)E，且EF＝ED．（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）若BE：：3，求：①BD的長(zhǎng)；②由弦BD與弧BD圍成的陰影部分面積．【分析】（1）連接OD，根據(jù)同圓的半徑相等得到∠OCD＝∠ODC，根據(jù)OC⊥AB得到∠OCD+∠CFO＝90°，根據(jù)EF＝ED得到∠EFD＝∠EDF，結(jié)合對(duì)頂角相等退出∠ODE＝90°，即可得證；（2）①先根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)的特殊值得到∠DOE＝60°，從而得出△ODB是等邊三角形，即可求出BD的長(zhǎng)；②根據(jù)扇形面積公式求出扇形ODB的面積，再根據(jù)等邊三角形的面積公式求出等邊△ODB的面積，即可求出陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵OC⊥AB，∴∠OCB＝90°，∴∠OCD+∠CFO＝90°，∴∠ODC+∠CFO＝90°，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，又∠CFO＝∠EFD，∴∠EDF＝∠CFO，∴∠ODC+∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，∵OD為⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：①∵BE：：3，設(shè)，∴DE＝3x，由（1）可知∠ODE＝90°，OB＝OD＝5，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2＝OD2+DE2，∴，解得：，∴BE＝5，∴，∴∠DOE＝60°，又OD＝OB，∴△ODB是等邊三角形，∴BD＝OD＝OB＝5；②∵，，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線(xiàn)的判定定理，扇形的面積公式，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的面積計(jì)算公式等知識(shí)，熟練掌握：經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．21．（2023?秦淮區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線(xiàn)l與△ABC的外接圓相切于點(diǎn)B，D是l上一點(diǎn)，DC＝DB．（1）求證：DC與△ABC的外接圓相切；（2）若DC＝AB＝4，則BC的長(zhǎng)是．【分析】（1）設(shè)AB中點(diǎn)為O，連接OC，如圖，利用圓周角定理得到AB是△ABC的外接圓的直徑，再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠ABD＝90°，然后證明∠OCD＝90°，即OC⊥DC，從而根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到結(jié)論；（2）連接OD交BC于E點(diǎn)，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出OD＝2，再證明OD垂直平分BC，則根據(jù)垂徑定理得到BE＝CE，然后利用面積法求出BE，從而得到BC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：設(shè)AB中點(diǎn)為O，連接OC，如圖，∵∠ACB＝90°，∴AB是△ABC的外接圓的直徑，即點(diǎn)O為△ABC的外接圓的圓心．∵直線(xiàn)l與⊙O相切于點(diǎn)B，∴AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∵DC＝DB，∴∠DBC＝∠DCB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠OCD＝∠OCB+∠DCB＝∠OBC+∠DBC＝∠OBD＝90°，即OC⊥DC，又∵點(diǎn)C在⊙O上，∴DC與⊙O相切，即DC與△ABC的外接圓相切；（2）解：連接OD交BC于E點(diǎn)，如圖，∵DC＝AB＝4，∴OB＝2，BD＝4，∴OD＝＝2，∵OB＝OC，DB＝DC，∴OD垂直平分BC，∴BE＝CE，∵BE?OD＝OB?BD，∴BE＝＝，∴BC＝2BE＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．22．（2023?寶應(yīng)縣二模）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O與AB相交于點(diǎn)C，與AO相交于點(diǎn)D，連接CD，已知∠BOC＝∠ACD，OD＝CD．（1）求證：AB為⊙O的切線(xiàn)；（2）若AO＝20，求線(xiàn)段AD、AC、弧CD圍成的陰影部分的面積．【分析】（1）由OD＝CD，得∠DOC＝∠DCO，進(jìn)而結(jié)合∠AOB＝90°，∠BOC＝∠ACD，推證∠ACO＝90°，所以AB是⊙O的切線(xiàn)；（2）易證△COD是等邊三角形，所以∠AOC＝60°；解直角三形，得OC＝10，，由直角三角形與扇形面積差求陰影部分面積．【解答】（1）證明：∵OD＝CD，∴∠DOC＝∠DCO，∵∠AOB＝90°，∴∠DOC+∠BOC＝90°，∵∠BOC＝∠ACD，∴∠DCO+∠ACD＝90°，即∠ACO＝90°，∴OC⊥AB，∵點(diǎn)C在⊙O上，∴AB是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵OD＝OC，OD＝CD，∴OD＝OC＝CD，∴△COD是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴，即，∴OC＝10，∴，∴，∴，∴圖中陰影部分面積＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線(xiàn)的判定定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、扇形面積計(jì)算等；運(yùn)用等邊三角形知識(shí)，求得特殊角，利用解直角三角形知識(shí)求得相關(guān)線(xiàn)段是解題關(guān)鍵．23．（2023春?江陰市期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)垂直直線(xiàn)AC于點(diǎn)E，與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G，弦AF⊥AE．（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）若AD＝5，AF＝6，求AG的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，可得AE∥OD，進(jìn)而得到OD⊥EG，再根據(jù)切線(xiàn)的判定方法進(jìn)行判斷即可；（2）由垂徑定理可得DE＝AH＝3，由勾股定理可求出AE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AB，進(jìn)而得出半徑，由相似三角形可求出BG，進(jìn)而求出AG．【解答】（1）證明：如圖，連接DO并延長(zhǎng)交AF于點(diǎn)H，連接DB，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，又∵AE⊥EG，∴OD⊥EG，∵OD是⊙O的半徑，∴EG是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵AE⊥AF，OD⊥EG，AE⊥EG，∴四邊形AEDH是矩形，∴DH⊥AF，∴DE＝AH＝HF＝AF＝3，在Rt△ADE中，DE＝3，AD＝5，∴AE＝＝4，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°＝∠AED，∵∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴＝，即＝，∴AB＝，∴OD＝OA＝OB＝AB＝，∵OD∥AE，∴△GOD∽△GAE，∴＝，即，解得GB＝，∴AG＝AB+BG＝+＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及垂徑定理勾股定理，掌握切線(xiàn)的判定方法，勾股定理、垂徑定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．一十四．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）24．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，不等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，I是其內(nèi)心，BI⊥OI，AC＝14，BC＝13，△ABC內(nèi)切圓半徑為（）A．4 B． C． D．【分析】延長(zhǎng)BI交⊙O于點(diǎn)D，連接OB，OD，AI，OD交AC于點(diǎn)E，利用圓周角定理，以及內(nèi)心是三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，證明△ADI是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)I作IG⊥BC，IM⊥AC，IN⊥AB，證明△AED≌△BGI（AAS），得到，利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理，求出AB的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，連接IC，設(shè)AH＝x，利用勾股定理，求出△ABC的高，進(jìn)而求出△ABC的面積，再利用△ABC的面積等于△ABC的周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，求出內(nèi)切圓的半徑即可．【解答】解：延長(zhǎng)BI交⊙O于點(diǎn)D，連接OB，OD，AI，OD交AC于點(diǎn)E，則：∠DAC＝∠DBC，∵I是△ABC內(nèi)心，∴∠ABD＝∠DBC，∠CAI＝∠BAI，∴∠DAC＝∠DBA，∴∠DAC+∠CAI＝∠DBA+∠BAI，即：∠DAI＝∠AID，∴AD＝DI，∵OD＝OB，OI⊥BD，∴DI＝BI，∴AD＝BI，∵∠ABD＝∠DBC，∴，∴OD⊥AC，，過(guò)點(diǎn)I作IG⊥BC，IM⊥AC，IN⊥AB，則：∠BGI＝∠AED＝90°，∵AD＝BI，∠DAC＝∠DBC，∴△AED≌△BGI（AAS），∴，∴CG＝BC﹣BG＝13﹣7＝6，∵I是△ABC內(nèi)心，∴CM＝CG＝6，BN＝BG＝7，AN＝AM＝AC﹣CM＝14﹣6＝8，∴AB＝AN+BN＝7+8＝15，如圖2：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，連接IC，設(shè)AH＝x，則：BH＝15﹣x，∴CH2＝AC2﹣AH2＝AB2﹣BH2，即：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2，解得：，∴，∴，設(shè)⊙I的半徑為r，則：IG＝IM＝IN＝r∴，即：，解得：r＝4；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，熟練掌握內(nèi)心是三角形角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，合理的添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．一十五．正多邊形和圓（共3小題）25．（2022秋?無(wú)錫期末）若⊙O的內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)與⊙O的半徑相等，則n的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】因?yàn)椤袿的半徑與這個(gè)正n邊形的邊長(zhǎng)相等，推出這個(gè)多邊形的中心角＝60°，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵⊙O的半徑與這個(gè)正n邊形的邊長(zhǎng)相等，∴這個(gè)多邊形的中心角＝60°，∴＝60°，∴n＝6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．26．（2022秋?鹽都區(qū)期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB＝18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．10 B．12 C．15 D．20【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，∴點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的同一個(gè)圓上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)＝＝10，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．27．（2023?鎮(zhèn)江一模）在九年級(jí)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》中，我們探究了最小覆蓋圓與圖形之間的關(guān)系．現(xiàn)有如圖所示的等邊三角形△ABC，邊長(zhǎng)為3，若分別以頂點(diǎn)A、B、C為圓心作三個(gè)等圓，這三個(gè)等圓能完全覆蓋△ABC，則所作等圓的最小半徑是．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定得到△ABO≌△ACO，△ACO≌△BCO，再利用全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得到，最后利用直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可解答．【解答】解：當(dāng)三個(gè)等圓相交于一點(diǎn)時(shí)，此時(shí)恰好能完全覆蓋△ABC，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為O，連接OA、OB、OC，此時(shí)OA或OB或OC是所作等圓的最小半徑，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，由題意可知：OA＝OB＝OC，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴，在△ACO和△BCO中，，∴△ACO≌△BCO（SSS），∴∠ACO＝∠BCO＝30°，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，，在Rt△OEC中，∠OCE＝30°，∴OC＝2OE，∵OE2+CE2＝OC2，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴所作等圓的最小半徑為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一十六．弧長(zhǎng)的計(jì)算（共4小題）28．（2023?濱湖區(qū)一模）如圖，分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱(chēng)為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，則勒洛三角形的周長(zhǎng)為（）A． B．3π C． D．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖．∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝a，∴的長(zhǎng)＝的長(zhǎng)＝的長(zhǎng)＝＝π，∴勒洛三角形的周長(zhǎng)為π×3＝3π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)公式：l＝（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r），也考查了等邊三角形的性質(zhì)．29．（2022秋?宜興市期末）如圖，是一個(gè)圓形人工湖，弦AB是湖上的一座橋．已知AB的長(zhǎng)為10，圓周角∠C＝30°，則的長(zhǎng)為（）A．π B． C．5π D．π【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOB＝60°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，設(shè)圓心為O，連接AO，BO，則OA＝OB，∵∠C＝30°，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝10，∴弧AB的長(zhǎng)為：＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了弧長(zhǎng)計(jì)算以及圓周角定義，正確掌握弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．30．（2023?射陽(yáng)縣校級(jí)模擬）東南環(huán)立交是蘇州中心城區(qū)城市快速內(nèi)環(huán)道路系統(tǒng)的重要節(jié)點(diǎn)，也是江蘇省最大規(guī)模的城市立交．左圖是該立交橋的部分道路示意圖（道路寬度忽略不計(jì)），A為立交橋入口，D、G為出口，其中直行道為AB、CD、FG，且AB＝CD＝FG；彎道是以點(diǎn)O為圓心的一段弧，且BC、CE、EF所在的圓心角均為90°．甲、乙兩車(chē)由A口同時(shí)駛?cè)肓⒔粯?，均?6m/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車(chē)到點(diǎn)O的距離y（m）與時(shí)間x（s）的對(duì)應(yīng)關(guān)系如右圖所示．結(jié)合題目信息，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．該段立交橋總長(zhǎng)為672m B．從G口出比從D口出多行駛192m C．甲車(chē)在立交橋上共行駛22s D．甲車(chē)從G口出，乙車(chē)從D口出【分析】根據(jù)題意，根據(jù)弧長(zhǎng)公式并結(jié)合圖象問(wèn)題可得．【解答】解：由圖象可知，兩車(chē)通過(guò)，，時(shí)每段所用時(shí)間均為6s，通過(guò)直行道AB，CG，EF時(shí)，每段用時(shí)為8s，根據(jù)題意立交橋總長(zhǎng)為（3×6+3×8）×16＝672m，故A不符合題意；根據(jù)兩車(chē)運(yùn)行路線(xiàn)，從G口出比從D口出多走，弧長(zhǎng)之和，用時(shí)為12s，則走12×16＝192m，故B不符合題意；甲車(chē)在立交橋上共行駛時(shí)間為8+6+8＝22s，故C不符合題意；根據(jù)兩車(chē)運(yùn)行時(shí)間，可知甲先駛出，應(yīng)從D口駛出，乙車(chē)從G口出，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解答時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合．31．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，A，B，C，D為⊙O上的點(diǎn)，且直線(xiàn)AB與CD夾角為45°．若，，的長(zhǎng)分別為π，π和3π，則⊙O的半徑是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】設(shè)弧長(zhǎng)為π所對(duì)的圓周角為α，根據(jù)題意得出∠BDC＝2α，∠ABD＝4α，利用三角形內(nèi)角和定理求得α＝，即可求得弧長(zhǎng)為π所對(duì)的圓心角為×2＝45°，代入弧長(zhǎng)公式即可求得⊙O的半徑．【解答】解：∵，，的長(zhǎng)分別為π，π和3π，∴的長(zhǎng)為2π，的長(zhǎng)為4π，∴設(shè)弧長(zhǎng)為π所對(duì)的圓周角為α，則∠BDC＝2α，∠ABD＝4α，∵∠BDC+∠ABD+∠E＝180°，∠E＝45°，∴2α+4α+45°＝180°，∴α＝，∴弧長(zhǎng)為π所對(duì)的圓心角為×2＝45°，∴＝π，∴R＝4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，求得弧長(zhǎng)為π所對(duì)的圓心角是解題的關(guān)鍵．一十七．扇形面積的計(jì)算（共3小題）32．（2023?錫山區(qū)校級(jí)三模）如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝2，以O(shè)為圓心，OA為半徑作弧，且∠AOD＝60°，則陰影部分面積為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理求出求出CF，求出∠OFC＝30°，則∠COF＝60°，可得∠AOF＝∠EOF＝∠COE＝30°，則∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝30°，OE＝FE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OE，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OF于H，由題意得，OF＝OA＝4，OC＝AB＝2，由勾股定理得，CF＝＝＝2，∴∠OFC＝30°，∴∠COF＝60°，∴∠AOF＝∠EOF＝∠COE＝30°，∵∠AOD＝60°，∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝30°，∴∠OFC＝∠DOF，∠COE＝30°，∴OE＝FE，∵∠C＝90°，OC＝2，∴OE＝＝，∴EH＝，∴陰影部分的面積＝S扇形ODF﹣S△OEF＝﹣×4×＝﹣，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算，掌握扇形面積公式、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意：扇形的半徑為r，圓心角為n°的扇形的面積是．33．（2023春?大豐區(qū)月考）如圖所示，分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心，以1cm為半徑畫(huà)圓，當(dāng)n＝2023時(shí)，則圖中陰影部分的面積之和為（）A．2πcm2 B．πcm2 C．2022πcm2 D．2023πcm2【分析】求出2023邊形的外角和＝360°，即陰影部分的圓心角的和等于360°，再根據(jù)扇形的面積公式求出答案即可．【解答】解：∵2023邊形的外角和＝360°，∴圖中陰影部分的面積之和＝＝π（cm2），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角和扇形的面積計(jì)算，能求出陰影部分的圓心角的度數(shù)和＝360°是解此題的關(guān)鍵．34．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，正方形的邊AB＝2，弧BD和弧AC都是以2為半徑的圓弧，則圖中空白兩部分的面積之差是（）A． B． C． D．2π﹣4【分析】假設(shè)左邊空白部分的面積設(shè)為a，右邊空白部分的面積設(shè)為b，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，上下兩片陰影部分面積都設(shè)為c，則a+c＝扇形的面積，b+c＝正方形面積一扇形面積，兩個(gè)算式作差即為所求．【解答】解：設(shè)左邊空白部分的面積設(shè)為a，右邊空白部分的面積設(shè)為b，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，上下兩片陰影部分面積設(shè)為c，則a+c＝扇形的面積，b+c＝正方形面積一扇形面積，兩式作差：a+c﹣（b+c）＝a+c﹣b﹣c＝a﹣b＝扇形面積﹣（正方形面積﹣扇形面積）＝2扇形面積﹣正方形面積＝2×＝2π﹣4，答：無(wú)陰影的兩部分的面積之差為2π﹣4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓中求不規(guī)則圖形的面積，熟練掌握扇形的面積公式及拱形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．一十八．圓錐的計(jì)算（共5小題）35．（2023春?江陰市期中）將半徑為4，圓心角為90°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則此圓錐底面圓的半徑是（）A．1 B． C．2 D．【分析】設(shè)此圓錐底面圓的半徑是r，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得，求解即可獲得答案．【解答】解：設(shè)此圓錐底面圓的半徑是r，根據(jù)題意，可得，解得r＝1，即此圓錐底面圓的半徑是1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了計(jì)算弧長(zhǎng)以及圓錐的相關(guān)計(jì)算，解題關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)．36．（2022秋?鹽都區(qū)月考）若圓錐的底面直徑為6cm，側(cè)面展開(kāi)圖的面積為15πcm2，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（）A． B． C．3cm D．5cm【分析】已知圓錐底面圓的半徑可求出側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖的面積即可求解．【解答】解：如圖所示，∵圓錐的底面直徑為6cm，∴圓錐的底面半徑為3cm∴圓錐的底面圓周長(zhǎng)是C＝2πr＝6π，∵側(cè)面展開(kāi)圖的面積為15πcm2，∴側(cè)面展開(kāi)圖的面積，∴圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l＝5．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積，掌握面積公式的計(jì)算方法是關(guān)鍵．37．（2022秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)期末）如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長(zhǎng)為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm【分析】設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)得到＝2πr，解方程求出r，然后計(jì)算9﹣2r即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，根據(jù)題意得＝2πr，解得r＝2，所以AB＝12﹣2r＝12﹣2×2＝8（cm）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．38．（2023?靖江市二模）已知甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積相等，母線(xiàn)長(zhǎng)分別為l甲、l乙，底面半徑分別為r甲、r乙，若l甲：l乙＝3：2，則r甲：r乙＝2：3．【分析】根據(jù)扇形的面積＝弧長(zhǎng)與半徑的積的一半得出?l甲?2πr甲＝l乙?2πr乙，求出l甲?r甲＝l乙?r乙，根據(jù)l甲：l乙＝3：2求出r甲：r乙即可．【解答】解：∵甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積相等，母線(xiàn)長(zhǎng)分別為l甲、l乙，底面半徑分別為r甲、r乙，∴?l甲?2πr甲＝l乙?2πr乙，∴l(xiāng)甲?r甲＝l乙?r乙，∵l甲：l乙＝3：2，∴r甲：r乙＝l乙：l甲＝2：3．故答案為：2：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，能熟記扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵，注意：扇形的面積＝弧長(zhǎng)與半徑的積的一半．39．（2023?徐州二模）若圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為5，底面半徑為2，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為10π．【分析】由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，所以根據(jù)扇形的面積公式可計(jì)算出這個(gè)圓錐的側(cè)面積．【解答】解：根據(jù)題意，這個(gè)圓錐的側(cè)面積＝×2π×2×5＝10π．故答案為：10π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分40分，每小題4分）1．（4分）平面內(nèi)有一點(diǎn)P到圓上最遠(yuǎn)的距離是6，最近的距離是2，則圓的半徑是（）A．2 B．4 C．2或4 D．8【分析】分兩種情況：點(diǎn)在圓外，直徑等于兩個(gè)距離的差；點(diǎn)在圓內(nèi)，直徑等于兩個(gè)距離的和．【解答】解：∵點(diǎn)P到⊙O的最近距離為2，最遠(yuǎn)距離為6，則：當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，則⊙O的直徑為6﹣2＝4，半徑是2；當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，則⊙O的直徑是6+2＝8，半徑為4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意此題的兩種情況．從過(guò)該點(diǎn)和圓心的直線(xiàn)中，即可找到該點(diǎn)到圓的最小距離和最大距離．2．（4分）如圖，在⊙O中，∠BOD＝160°，則度數(shù)是（）A．200° B．160° C．120° D．80°【分析】根據(jù)圓心角∠BOD的度數(shù)得出即可．【解答】解：∵圓心角∠BOD＝160°，∴圓心角∠BOD對(duì)的弧的度數(shù)是160°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，注意：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．3．（4分）如圖，已知CD為圓O的直徑，過(guò)點(diǎn)D的弦DE平行于半徑OA，若角D＝50°，則角C的度數(shù)是（）A．50° B．25° C．30° D．40°【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可求得∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可求解．【解答】解：∵OA∥DE，∴∠AOD＝∠D＝50°，∴∠C＝∠AOD＝25°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)圓周角定理把求圓周角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓心角的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．4．（4分）直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，射線(xiàn)OM平分∠AOD，點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上（點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合），如果以點(diǎn)P為圓心的圓與直線(xiàn)AB相離，那么圓P與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系解答即可．【解答】解：如圖所示；∵OM平分∠AOD，以點(diǎn)P為圓心的圓與直線(xiàn)AB相離，∴以點(diǎn)P為圓心的圓與直線(xiàn)CD相離，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)解答．5．（4分）下列說(shuō)法正確的是（）A．垂直于弦的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．平分弧的直徑平分弧所對(duì)的弦 D．同一平面內(nèi)，三點(diǎn)確定一個(gè)圓【分析】根據(jù)垂徑定理及推論、確定圓的條件分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、根據(jù)垂直于弦的直徑必經(jīng)過(guò)圓心，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、平分弧的直徑平分弧所對(duì)的弦，故此選項(xiàng)正確；D、不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了命題與定理，了解垂徑定理及推論、確定圓的條件是解題的關(guān)鍵，難度不大．6．（4分）如圖，已知A，B，C，D是圓上的點(diǎn)，，AC，BD交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是（）A．AB＝AD B．BE＝CD C．BE＝AD D．AC＝BD【分析】根據(jù)弧與弦的關(guān)系得出＝，進(jìn)而判斷即可．【解答】解：∵，∴+＝+，∴＝，∴AC＝BD，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)弧與弦的關(guān)系得出＝．7．（4分）已知⊙O的半徑為5cm，若OP＝3cm，那么點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓上 C．點(diǎn)P在圓外 D．都有可能【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【解答】解：∵OP＝3＜5，∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．8．（4分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在⊙O上，點(diǎn)A是中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．AB＝OC B．∠BAC+∠AOC＝180° C．BC＝2AC D．∠BAC+∠AOC＝180°【分析】直接利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得出各線(xiàn)段、角的關(guān)系進(jìn)而得出答案．【解答】解：A、∵點(diǎn)A是中點(diǎn)，∴＝，∴AB＝AC，無(wú)法得出AB＝OC，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、連接BO，∵＝，∴∠BOA＝∠AOC，∵BO＝AO＝AO＝CO，∴∠AOC＝∠BAO＝∠ACO，∴∠OAC+∠ACO+∠AOC＝∠BAC+∠AOC＝180°，故此選項(xiàng)正確；C、∵AB＝AC，AB+AC＞BC，∴BC≠2AC，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D、無(wú)法得出∠BAC+∠AOC＝180°，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．9．（4分）小洋用一張半徑為24cm的扇形紙板做一個(gè)如圖所示的圓錐形小丑帽子側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），如果做成的圓錐形小丑帽子的底面半徑為10cm，那么這張扇形紙板的面積是（）A．120πcm2 B．240πcm2 C．260πcm2 D．480πcm2【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)和扇形的面積公式計(jì)算．【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝?2π?10?24＝240π（cm2），所以這張扇形紙板的面積為240πcm2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．10．（4分）如圖，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周長(zhǎng)為16．若⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理求出AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，得出等邊三角形ADF，推出AD＝AF＝DF，根據(jù)BC＝6，求出BD+CF＝6，求出AD+AF＝4，即可求出答案．【解答】解：∵⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∵BC＝BE+CE＝6，∴BD+CF＝6，∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AD＝AF＝DF，∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，∴AB+AC＝10，∵BD+CF＝6，∴AD+AF＝4，∵AD＝AF＝DF，∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)切線(xiàn)長(zhǎng)定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AD+AF的值，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較好，難度也適中．二．填空題（共6小題，滿(mǎn)分24分，每小題4分）11．（4分）（1）圖①中有2條弧，分別為、；（2）寫(xiě)出圖②中的一個(gè)半圓；劣?。骸?；優(yōu)?。?、．【分析】（1）根據(jù)弧的定義求解可得；（2）根據(jù)半圓、劣弧、優(yōu)弧概念求解可得．【解答】解：（1）圖①中有2條弧，分別為、，故答案為：2，、；（2）寫(xiě)出圖②中的一個(gè)半圓；劣?。骸?；優(yōu)弧：、，故答案為：，、，、．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的認(rèn)識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握優(yōu)弧、半圓、劣弧的概念．12．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，則∠AOC＝36°．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，再求出答案即可．【解答】解：∵AC＝CD＝DF＝EF＝FB，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AOB＝180°，∴∠AOC＝∠AOB＝36°，故答案為：36°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，能熟記圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．13．（4分）如圖：P是⊙O的直徑BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PD交⊙O于點(diǎn)C，且PC＝OD，如果∠P＝24°，則∠DOB＝72°．【分析】連接OC，由PC＝OD，OC＝OD得到PC＝CO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠1＝∠P＝24°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠2＝48°，由于∠D＝∠2＝48°，然后利用∠DOB＝∠P+∠D計(jì)算即可．【解答】解：連接OC，如圖，∵PC＝OD，而OC＝OD，∴PC＝CO，∴∠1＝∠P＝24°，∴∠2＝2∠P＝48°，而OD＝OC，∴∠D＝∠2＝48°，∴∠DOB＝∠P+∠D＝72°．故答案為72°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握?qǐng)A的定義和與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)．14．（4分）已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)5，底面半徑為3，則圓錐的側(cè)面積為15π，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖形的圓心角是216度．【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×母線(xiàn)長(zhǎng)÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出圓心角．【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝2π×3×5÷2＝15π，圓錐的底面周長(zhǎng)＝2π×3＝6π；扇形圓心角＝＝216°．故答案為：15π；216．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計(jì)算方法，特別是圓錐的底面周長(zhǎng)等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長(zhǎng)．15．（4分）△ABC的三邊分別是3，4，5，則△ABC的外接圓的半徑是．【分析】根據(jù)勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，根據(jù)圓周角定理解答．【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圓的半徑為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖⊙O的半徑為1，圓周角∠ABC＝30°，則圖中陰影部分的面積為﹣．【分析】連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理，由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，即△OAC為等邊三角形，并且邊長(zhǎng)為1，而S陰影部分＝S扇形OAC﹣S△OAC，然后根據(jù)扇形的面積公式和等邊三角形的面積進(jìn)行計(jì)算即可得到陰影部分的面積．【解答】解：連接OA，OC，如圖，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，∴△OAC為等邊三角形，而⊙O的半徑為1，即OA＝1，∴S陰影部分＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣×12＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積公式：S＝，（其中n為扇形的圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑），或S＝lR，l為扇形的弧長(zhǎng)，R為半徑．三．解答題（共7小題，滿(mǎn)分56分）17．（7分）如圖所示，AB、CD是⊙O的兩條弦，且AC＝BD，則AB與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？【分析】連接AD，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系解答即可．【解答】解：相等．理由是：連接AD，∵AC＝BD，BC＝BC，∴∠CDA＝∠BAD，∠CAB＝∠CDB，∴∠CDA+∠CDB＝∠BAD+∠CAB即∠ADB＝∠CAD，∴AB＝CD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系解答．18．（7分）如圖：A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度數(shù)．【分析】由，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，再利用圓周角定理求出∠BCA，然后由三角形的內(nèi)角和得到∠OAC．【解答】解：∵OB＝OC∴∠OCB＝∠OBC＝40°∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+100°＝150°又∵OA＝OC