第1章 一元二次方程全章復習與測試（原卷版）

第1章一元二次方程全章復習與測試1.了解一元二次方程及有關概念；2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據實際問題建立一元二次方程的數學模型的方法．一、一元二次方程的有關概念1.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要點詮釋：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數；②未知數的最高次數為2.對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數不為0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．要點詮釋：解一元二次方程時，根據方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．三、一元二次方程根的判別式及根與系數的關系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數根；（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數根.2.一元二次方程的根與系數的關系如果一元二次方程的兩個實數根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.要點詮釋：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據參系數的性質確定根的范圍；

(3)解與根有關的證明題．

2.一元二次方程根與系數的應用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數系數；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數系數；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程．四、列一元二次方程解應用題1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

3.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；

答(寫出答案，切忌答非所問).

4.常見應用題型

數字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.要點詮釋：列方程解應用題就是先把實際問題抽象為數學問題（列方程），然后由數學問題的解決而獲得對實際問題的解決.一．一元二次方程的定義（共2小題）1．（2022秋?丹徒區(qū)期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2﹣+2＝0 B．x2+2x+3＝x（x+1） C．2x+3y＝6 D．（a2+2）x2﹣2x+3＝02．（2022秋?大豐區(qū)期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，則（）A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3二．一元二次方程的一般形式（共2小題）3．（2022秋?建鄴區(qū)期中）將方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正確的是（）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝04．（2021秋?海州區(qū)校級期末）一元二次方程3x2﹣2x＝1的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（）A．3，﹣2，1 B．3，2，1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1三．一元二次方程的解（共2小題）5．（2022秋?邳州市期末）已知關于x的方程x2+bx+2＝0的一個根為x＝1，則實數b的值為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．（2023?武進區(qū)校級模擬）若關于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一個根是0，則k的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2四．解一元二次方程-直接開平方法（共2小題）7．（2022秋?蘇州期末）方程x2＝4的根是（）A． B．2 C．或 D．2或﹣28．（2022秋?宜興市期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5五．解一元二次方程-配方法（共2小題）9．（2017秋?灌云縣月考）已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0，下列配方正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝710．（2022秋?京口區(qū)校級期末）解下列方程：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；（2）2x2﹣4x﹣7＝0．六．解一元二次方程-公式法（共1小題）11．（2022秋?海安市期末）用適當的方法解下列方程：（1）4x2﹣4x+1＝x2+2x+1；（2）x2﹣x﹣1＝0．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小題）12．（2023?鼓樓區(qū)二模）解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）．13．（2023?武進區(qū)校級模擬）按要求解方程：（1）直接開平方法：4（t﹣3）2＝9（2t﹣3）2；（2）配方法：2x2﹣7x﹣4＝0；（3）公式法：3x2+5（2x+1）＝0；（4）因式分解法：3（x﹣5）2＝2（5﹣x）．八．換元法解一元二次方程（共2小題）14．（2022秋?建湖縣校級月考）用適當的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣6＝0．（2）（x+4）2＝5（x+4）．（3）3x2﹣1＝4x．（4）（x+2）2﹣8（x+2）+15＝0．15．（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）小敏與小霞兩位同學解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：小敏：兩邊同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，則x＝6．小霞：移項，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．九．根的判別式（共2小題）16．（2022秋?邗江區(qū)期末）已知關于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）若方程有兩個相等的實數根，請求出m，n的關系；（2）求證：當n＝m﹣2時，方程總有兩個實數根．17．（2022秋?泰興市期末）已知關于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有兩個實數根．（1）求k的取值范圍；（2）取一個合適的k的值，使得方程的解為負整數并求出此時方程的解．一十．根與系數的關系（共3小題）18．（2023?南京三模）若x1，x2是方程x2﹣ax﹣2＝0的兩個根，則（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜019．（2022秋?太倉市期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩根，求代數式a2+2a+b﹣5的值．20．（2022秋?大豐區(qū)期末）已知關于x的一元二次方程ax2﹣（2a﹣2）x+a﹣2＝0（a≠0）（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程的兩個實數根都是整數，求正整數a的值．一十一．一元二次方程的應用（共2小題）21．（2022秋?常州期末）常州大劇院舉辦文藝演出．經調研，如果票價定為每張50元，那么1200張門票可以全部售出；如果票價每增加1元，那么售出的門票將會減少20張．要使門票收入達到60500元，票價應定為多少元？22．（2022秋?江陰市期末）某校為表彰“學生節(jié)”中表現優(yōu)異的學生，計劃購買古典詩詞和散文兩類圖書作為獎品．已知古典詩詞類圖書每本60元，散文類圖書每本40元．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，商家決定對古典詩詞類圖書推出銷售優(yōu)惠活動，但是散文類圖書售價不變．若購買古典詩詞類圖書不超過40本時，均按每本60元價格銷售；超過40本時，每增加2本，單價降低1元．（1）如果購買古典詩詞類圖書46本，則每本古典詩詞類圖書的單價是元；（2）如果該校共購進圖書100本，用去購書款4750元．求該校購進古典詩詞類圖書多少本？一十二．配方法的應用（共1小題）23．（2022秋?淮安區(qū)校級期末）先閱讀下面的內容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因為m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．問題：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長，且a，b滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長．一十三．高次方程（共2小題）24．（2022?揚州一模）已知x1、x2、x3為方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三個實數根，則下列結論一定正確的是（）A．x1x2x3＜0 B．x1+x2﹣x3＞0 C．x1﹣x2﹣x3＞0 D．x1+x2+x3＜025．（2022秋?鎮(zhèn)江月考）閱讀理解：回顧我們學過的各類方程的解法，不難發(fā)現：各類方程的解法雖各不相同，但是它們的一個共同的基本數學思想——轉化，即化未知為已知．用轉化的數學思想，我們可以解一些新的方程．例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過因式分解把它轉化為x（x2+x﹣2）＝0，解一元一次方程x＝0和一元二次方程x2+x﹣2＝0，可得x＝0，x＝﹣2，x＝1；操作嘗試：解一元三次方程x4+x3﹣x2＝0．一十四．無理方程（共2小題）26．（2022秋?邳州市期中）我們已探索過二元一次方程組、分式方程及一元二次方程方程的解法，在學習過程中感受到轉化數學思想及檢驗反思的數學方法．（1）你能否用這些數學思想方法來探索方程﹣x+＝﹣1的解？（2）在求解的過程中，你有何疑惑，請嘗試解決這些疑惑？27．（2022秋?太倉市期中）閱讀理解以下內容，解決問題：例：解方程：x2+|x|﹣2＝0．解：∵x2＝|x|2，∴方程即為：|x|2+|x|﹣2＝0，設|x|＝t，原方程轉化為：t2+t﹣2＝0解得，t1＝1，t2＝﹣2，當t1＝1時，即|x|＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；當t2＝﹣2時，即|x|＝﹣2，不成立．∴綜上所述，原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1．以上解方程的過程中，將其中|x|作為一個整體設成一個新未知數t，從而將原方程化為關于t的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數）．（1）已知方程：x2+﹣2x﹣﹣1＝0，若設x+＝m，則利用“換元法”可將原方程化為關于m的方程是；（2）仿照上述方法，解方程：﹣﹣5＝0．一十五．一元二次方程的整數根與有理根（共2小題）28．（2022秋?連云港期末）一元二次方程x2﹣8x﹣a＝0的兩實數根都是整數，則下列選項中a可以取的值是（）A．12 B．16 C．20 D．2429．（2022?工業(yè)園區(qū)校級自主招生）已知關于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p，q都是實數．（1）若q＝0時，方程有兩個不同的實數根x1，x2，且，求實數p的值．（2）若方程有三個不同的實數根x1，x2，x3，且，求實數p和q的值．（3）是否同時存在質數p和整數q使得方程有四個不同的實數根x1，x2，x3，x4且x1x2x3x4＝3（）4？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列方程屬于一元二次方程的是（）A．1﹣x＝2x B．x+2y＝3 C．2x2﹣x+1＝0 D．2．（3分）把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，103．（3分）下列配方有錯誤的是（）A．x2﹣4x﹣1＝0，化為（x﹣2）2＝5 B．x2+6x+8＝0，化為（x+3）2＝1 C．2x2﹣7x﹣6＝0，化為（x﹣）2＝ D．3x2﹣4x﹣2＝0，化為（3x+2）2＝64．（3分）關于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的兩個實數根互為相反數，則k的值是（）A．k＝±2 B．k＝2 C．k≥﹣1 D．k＝﹣25．（3分）若關于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有實數根，則x2+2x的值為（）A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣26．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0，其中較大的一個根為x1，下列最接近x1的范圍是（）A．3＜x1＜4 B．3＜x1＜3.5 C．3.5＜x1＜3.7 D．3.7＜x1＜47．（3分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個不相等的實數根，則（）A．m＜1 B．m＞1 C．m≠0 D．0＜m＜18．（3分）已知無論x取何值，等式（x+a）（x+b）＝x2+2x+n恒成立，則關于代數式a3b+ab3﹣2的值有下列結論：①交換a，b的位置，代數式的值不變；②該代數式的值是非正數；③該代數式的值不會小于﹣2，上述結論正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．（3分）2018年，宣城市全年居民人均可支配收入26112元，2020年全年居民人均可支配收入為30746元，設宣城市2018年至2020年全年居民人均可支配收入的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．26112（1+2x）＝30746 B．26112（1+x）2＝30746 C．26112（1﹣2x）＝30746 D．26112（1﹣x）2＝3074610．（3分）三角形的兩邊長分別為2和7，第三邊是方程x2﹣10x+21＝0的解，則第三邊的長為（）A．7 B．3 C．7或3 D．無法確定二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）若ax2﹣9x+5＝0是一元二次方程，則不等式3a+6＞0的解集是．12．（3分）解方程2（x﹣