第01講 一元二次方程（解析版）

第01講一元二次方程理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會把一元二次方程化為一般形式；一、一元二次方程的有關(guān)概念

1．一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要點詮釋：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項，是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．

要點詮釋：

(1)只有當(dāng)時，方程才是一元二次方程；

(2)在求各項系數(shù)時，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要結(jié)論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個根，則a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.類型一、關(guān)于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:

(1)；(2)．

【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得

，

所以．

其中，二次項的系數(shù)，所以原方程是一元二次方程．

(2)整理原方程，得

，

所以．

其中，二次項的系數(shù)為，所以原方程不是一元二次方程．

【總結(jié)升華】識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.例2.判定下列方程是否關(guān)于x的一元二次方程：

(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案與解析】(1)經(jīng)整理，得它的一般形式

(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，

其中，由于對任何實數(shù)a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：

對任何實數(shù)a，它都是一個一元二次方程．

(2)經(jīng)整理，得它的一般形式

(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，

其中，當(dāng)m≠1且m≠-1時，有m2-1≠0，它是一個一元二次方程；當(dāng)m=1時方程不存在，

當(dāng)m=-1時，方程化為4x=0，它們都不是一元二次方程．

【總結(jié)升華】對于含有參數(shù)的一元二次方程，要十分注意二次項系數(shù)的取值范圍，在作為一元二次方程進行研究討論時，必須確定對參數(shù)的限制條件．如在第(2)題，對參數(shù)的限定條件是m≠±1．

例如，一個關(guān)于x的方程，若整理為(m-4)x2+mx-3=0的形式，僅當(dāng)m-4≠0，即m≠4時，才是一元二次方程(顯然，當(dāng)m=4時，它只是一個一元一次方程4x-3=0)．又如，當(dāng)我們說：“關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”時，實際上就給出了條件“a-1≠0”，也就是存在一個條件“a≠1”．由于這個條件沒有直接注明，而是隱含在其他的條件之中，所以稱它為“隱含條件”．【變式】判斷下列各式哪些是一元二次方程．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．【答案】②③⑥.【解析】①不是方程；④不是整式方程；⑤含有2個未知數(shù)，不是一元方程；⑦化簡后沒有二次項，不是2次方程.②③⑥符合一元二次方程的定義．類型二、一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)的確定

例3.把下列方程中的各項系數(shù)化為整數(shù)，二次項系數(shù)化為正數(shù)，并求出各項的系數(shù)：

(1)-3x2-4x+2=0；(2)．

【答案與解析】(1)兩邊都乘-1，就得到方程

3x2+4x-2=0．

各項的系數(shù)分別是：a=3，b=4，c=-2．

(2)兩邊同乘-12，得到整數(shù)系數(shù)方程

6x2-20x+9=0．

各項的系數(shù)分別是：．

【總結(jié)升華】一般地，常根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)是負數(shù)的一元二次方程調(diào)整為二次項系數(shù)是正數(shù)的一元二次方程；把分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元二次方程調(diào)整為整數(shù)系數(shù)的一元二次方程．值得注意的是，確定各項的系數(shù)時，不應(yīng)忘記系數(shù)的符號，如(1)題中c=-2不能寫為c=2，(2)題中不能寫為．例4.已知關(guān)于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各項的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．【答案與解析】將原方程整理為一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，

由于已知條件已指出它是一個一元二次方程，所以存在一個隱含條件

m2-8≠0，即m≠±．

可知它的各項系數(shù)分別是

a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．

參數(shù)m的取值范圍是不等于±的一切實數(shù)．

【總結(jié)升華】在含參數(shù)的方程中，要認定哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母是參數(shù)，才能正確處理有關(guān)的問題．【變式1】將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：（1）；（2）．【答案】（1），二次項系數(shù)是3、一次項系數(shù)是-5、常數(shù)項是2.（2）化為二次項系數(shù)是a、一次項系數(shù)是1、常數(shù)項是-a-2.【變式2】關(guān)于x的方程2x2-【答案】原方程化簡為x2-ax+1=0,則-a=-1,a=1.類型三、一元二次方程的解（根）例5.若0是關(guān)于的方程的解，求實數(shù)的值，并討論此方程解的情況．【思路點撥】根據(jù)一元二次方程解的性質(zhì)，直接求出的值，根據(jù)若是一元二次方程時，注意二次項系數(shù)不為0，再利用根的判別式求出即可．【答案與解析】解：∵0是關(guān)于的方程的解，∴∴①當(dāng)∴∴原方程為：∴此方程有兩個不相等的根．解得：②當(dāng)∴∴【總結(jié)升華】此題主要考查了一元二次方程的解以及根的判別式，熟練記憶根的判別式公式是解決問題的關(guān)鍵．例6.已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項為0，（1）求m的值；（2）求方程的解．【答案與解析】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項為0，∴m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2，∴m的值為1或2；（2）當(dāng)m=2時，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：x2+5x=0x（x+5）=0，解得：x1=0，x2=﹣5．當(dāng)m=1時，5x=0，解得x=0．【總結(jié)升華】此題是一元一次方程與一元二次方程的解法的小綜合，注意本題中說的是“方程”，而不是“一元二次方程”．【變式】（1）x=1是x2-ax+7=0（2）已知關(guān)于x的一元二次方程有一個根是0，求m的值.【答案】（1）當(dāng)x=1時，1-a+7=0,解得a=8.（2）由題意得一、單選題1．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？计谀┫铝嘘P(guān)于的方程中，一定是一元二次方程的為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)時，該方程不是關(guān)于x的一元二次方程，故A不符合題意；B、方程整理后不含有二次項，該方程不是關(guān)于x的一元二次方程，故B不符合題意；C、該方程屬于分式方程，不是關(guān)于x的一元二次方程，故C不符合題意；D、符合一元二次方程的定義，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．2．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程，可列表如下：則方程的正數(shù)解滿足（

）A．解的整數(shù)部分是，十分位是 B．解的整數(shù)部分是，十分位是C．解的整數(shù)部分是，十分位是 D．解的整數(shù)部分是，十分位是【答案】B【分析】通過觀察表格可得時，，即可求解．【詳解】解：由表格可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴時，，∴解的整數(shù)部分是，十分位是．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的解，通過觀察所給的信息，確定一元二次方程解的范圍是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考期末）關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值是（）A． B．1 C．1或 D．或0【答案】A【分析】根據(jù)方程是一元二次方程，可得，將代入解析式，求出的值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，∴，，∴；故選A．【點睛】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解．熟練掌握一元二次方程二次項系數(shù)不為0，使等式成立的未知數(shù)的值是方程的解，是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的方程的一個根為3，則m的值為_______．【答案】【分析】根據(jù)題意把3代入方程，得到關(guān)于m的方程，解方程即可得．【詳解】解：依題意得，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）若m是方程的一個根，則代數(shù)式的值為________．【答案】2022【分析】根據(jù)m是方程的一個根，得到，進而得到，代入代數(shù)式計算即可得解．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，∴，∴；故答案為：2022．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解，熟練掌握方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值為______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出即可．【詳解】解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，∴且，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和絕對值，能根據(jù)一元二次方程的定義得出且是解此題的關(guān)鍵．三、解答題7．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）先化簡再求值：，其中a是方程的根．【答案】，．【分析】先計算括號內(nèi)的分式的減法，再把除法化為乘法運算，約分后可得結(jié)果，再把化為，再整體代入計算即可．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，一元二次方程的解的含義，掌握“分式的混合運算以及整體代入法求值”是解本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·江蘇·九年級期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱兩個不同的點P（m，n）和Q（－n，－m）為“反換點”．如：點（一2，1）和（一1，2）是一對“反換點”．(1)下列函數(shù)：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中圖象上至少存在一對“反換點”的是（只填序號）；(2)直線y＝x﹣3與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象在第一象限內(nèi)交于點P，點P和點Q為一對“反換點”若S△OPQ＝6，求k的值；(3)拋物線y＝﹣x2﹣4x上是否存在一對“反換點”？如果存在，請求出這一對“反換點”所連線段的中點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)②③(2)(3)【分析】（1）設(shè)兩個不同的點P（m，n）和Q（－n，－m）是一對“反換點”；①假設(shè)圖象上存在“反換點”，將P（m，n），Q（－n，－m）坐標(biāo)分別代入解析式，計算兩等式是否有解，若有解，則圖象存在反換點；（2）設(shè)，則，其中，由題意得，求出的值，進而得到點坐標(biāo)，然后代入中計算求解即可；（3）假設(shè)圖象上存在“反換點”，則有，①+②式得，有即，將代入①中求解的值，的值，進而得到的點坐標(biāo)，計算兩點的中點坐標(biāo)即可．（1）解：設(shè)兩個不同的點P（m，n）和Q（－n，－m）是一對“反換點”，且即①假設(shè)圖象上存在“反換點”，將P（m，n）代入，則有即將Q（－n，－m）代入，則有即與矛盾∴P（m，n）和Q（－n，－m）不能同時在圖象上∴圖象上不存在“反換點”故①不符合題意；②假設(shè)圖象上存在“反換點”，將P（m，n）代入，則有即將Q（－n，－m）代入，則有即與相同∴P（m，n）和Q（－n，－m）均在圖象上∴圖象上存在“反換點”故②符合題意；③假設(shè)圖象上存在“反換點”，將P（m，n）代入，則有①將Q（－n，－m）代入，則有即②將①代入②中得即解得或（舍去）∴存在使P（m，n）和Q（－n，－m）均在圖象上∴圖象上存在“反換點”故③符合題意；故答案為：②③．（2）解：設(shè)，則，其中∴解得∴將代入得解得∴的值為．（3）解：假設(shè)圖象上存在“反換點”則有①+②式得∴或（舍去）將代入①中得解得或當(dāng)時，，此時，，兩點的中點坐標(biāo)為；當(dāng)時，，此時，，兩點的中點坐標(biāo)為；∴存在“反換點”，線段中點坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，反比例函數(shù)與幾何綜合，解一元二次方程等知識．解題的關(guān)鍵在于理解題意并用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?、單選題1．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習(xí)）一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（

）A．3、2、 B．3、2、3 C．3、、3 D．3、、【答案】D【分析】將一元二次方程化為一般形式即可求得結(jié)果．【詳解】解：將一元二次方程化為一般形式，得，二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式以及多項式的有關(guān)概念，解決問題的關(guān)鍵是將一元二次方程化為一般形式．2．（2022秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，則m＝（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程成立的條件和常數(shù)項為0列出方程組，解方程組即可求解．【詳解】若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，則，解得，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含義，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程的一個近似解為（）x4.674.614.564.514.464.414.35A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可判斷代數(shù)式的值為4.61和4.56時，對應(yīng)x的值為?1.12和?1.11，觀察原方程可理解為求代數(shù)式的值為4.6時，對應(yīng)的x的值，由此判斷即可．【詳解】解：∵x=?1.12時，；x=?1.11時，；∴時，對應(yīng)x應(yīng)滿足?1.12<x<?1.11，∴原方程的近似解為：?1.117．故選C．【點睛】本題考查一元二次方程的近似解，理解表格中的數(shù)據(jù)，掌握求近似解的方法是解題關(guān)鍵．二、填空題4．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為______．【答案】【分析】利用整體思想設(shè)，得到方程，再根據(jù)即可得到的值，最后得出結(jié)論．【詳解】解：∵在中，設(shè)∴∵有一個根∴在中∴即在中，∴故答案為：【點睛】本題考查了換元法解一元二次方程，利用整體思想解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知m是方程的一個根，則代數(shù)式的值為_________【答案】【分析】由方程根的定義得到，整體代入即可得到答案．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，∴，∴．故答案為：【點睛】此題考查了一元二次方程的解和代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知方程的兩個根分別是2、1，則______．【答案】【分析】把代入得出，整理即可得出答案．【詳解】解：把代入得：，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方程解的定義，得出．三、解答題7．（2022秋·九年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（m﹣）﹣x＝3，試問：(1)m為何值時，該方程是關(guān)于x的一元一次方程？(2)m為何值時，該方程是關(guān)于x的一元二次方程？【答案】(1)m＝或或(2)【分析】（1）根據(jù)方程中只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；（2）根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(2)二次項系數(shù)不為0；由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得m2﹣1＝1，解得m＝，當(dāng)m＝時，該方程是一元一次方程；m﹣＝0，解得m＝，當(dāng)m＝時，該方程是一元一次方程；m2﹣1＝0，解得m＝±1，m＝±1時，該方程是一元一次方程，綜上，當(dāng)m＝或或±1時，該方程是關(guān)于x的一元一次方程；（2）解：由題意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，解得m＝﹣，當(dāng)m＝﹣時，該方程是關(guān)于x的一元二次方程．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念，只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)，特別要注意a≠0的條件，這是在做題過程中容易忽視的知識點．8．（2022秋·九年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．(1)m為何值時，此方程是一元一次方程？求出該一元一次方程的解；(2)m為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．【答案】(1)m＝1；x＝﹣1(2)m≠1；二次項系數(shù)為m﹣1，一次項系數(shù)為m﹣2，常數(shù)項為﹣2m+1【分析】（1）當(dāng)二次項系數(shù)為0，一次項系數(shù)不為0時，方程為一元一次方程，然后解方程即可；（2）當(dāng)二次項系數(shù)不為0時，方程是一元二次方程．（1）解：若關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，則m﹣1＝0且m﹣2≠0，解得m＝1．∴原方程變形為﹣x﹣2+1＝0解得x＝﹣1．（2）解：當(dāng)m≠1時，關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此時該方程的二次項系數(shù)為m﹣1，一次項系數(shù)為m﹣2，常數(shù)項為﹣2m+1．【點睛】本題考查了一元二次方程、一元一次方程的定義及解一元一次方程，難度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相關(guān)定義是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·江蘇·九年級階段練習(xí)）（1）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，求m的取值范圍．（2）如果是方程的一個根，求的值．【答案】（1）且；（2）9【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和二次根式有意義的條件進行求解即可；（2）把代入中得到，再由進行求解即可．【詳解】解：（1）∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，∴且；（2）∵是方程的一個根，∴，即∴．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的解，二次根式有意義的條件，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程的相關(guān)知識．10．（2022秋·江蘇·九年級階段練習(xí)）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．【答案】1【分析】根據(jù)方程的根的定義，得到m2﹣2m﹣3＝0，化簡得m2﹣2m＝3，再化簡原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，將m2﹣2m＝3代入原式，從而求得原式的值．【詳解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．【點睛】本題考查了方程的根的定義，整式的乘法，掌握相關(guān)定義并進行正確的運算是解題的關(guān)鍵，解題中注意整體代入法的運用．11．（2022秋·九年級課時練習(xí)）定義一種新運算“a*b”：當(dāng)a≥b時，a*b＝a＋3b；當(dāng)a＜b時，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42(1)x2*（x2﹣2）＝30，則x＝；(2)小明在計算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）隨取了一個x的值進行計算，得到的結(jié)果是40，小華說小明計算錯了，請你說明小華是如何判斷的．【答案】(1)±3(2)見解析【分析】（1）認真閱讀題目，理解新運算的定義，然后計算即可；（2）先判斷出（﹣3x2＋6x﹣5）與（﹣x2＋2x＋3）大小關(guān)系，然后根據(jù)新運算定義計算．（1）解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2）∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3，故答案為：±3．（2）解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x