統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時集訓(xùn)42空間圖形的基本關(guān)系與公理理含解析北師大版

PAGE課后限時集訓(xùn)(四十二)空間圖形的基本關(guān)系與公理建議用時：40分鐘一、選擇題1．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥cC[若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C.]2．給出下列說法：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面．其中正確的序號是()A．① B．①④C．②③ D．③④B[①明顯正確；②錯誤，三條平行直線可能確定1個或3個平面；③若三個點共線，則兩個平面相交，故③錯誤；④明顯正確．故選B.]3．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是()ABCDD[A，B，C圖中四點肯定共面，D中四點不共面．]4.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線ACB．直線ABC．直線CDD．直線BCC[由題意知，D∈l，lβ，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.]5.(2024·蘭州模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點E為BC的中點，點F為B1C1的中點，則異面直線AF與C1EA.eq\f(2,3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(2\r(5),5)B[不妨設(shè)正方體的棱長為1，取A1D1的中點G，連接AG，易知GA∥C1E，則∠FAG(或其補角)為異面直線AF與C1E所成的角．連接FG(圖略)，在△AFG中，AG＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，AF＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2)＝eq\f(3,2)，F(xiàn)G＝1，于是cos∠FAG＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－12,2×\f(3,2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),3)，故選B.]6．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成角的大小為()A．30° B．60°C．75° D．90°D[將正三棱柱ABC-A1B1C1補為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接C1D，BD(圖略)，則C1D∥B1A，∠BC1D為所求角或其補角．設(shè)BB1＝eq\r(2)，則BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2eq\r(3)，又因為BC1＝C1D＝eq\r(6)，所以∠BC1D＝90°.]二、填空題7．已知AE是長方體ABCD-EFGH的一條棱，則在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱共有________條．4[如圖，作出長方體ABCD-EFGH.在這個長方體的十二條棱中，與AE異面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4條．]8．已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成角的度數(shù)為________．30°[如圖，設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中位線．由此可得GF∥AB，且GF＝eq\f(1,2)AB＝1，GE∥CD，且GE＝eq\f(1,2)CD＝2，∴∠FEG或其補角即為EF與CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠GEF＝eq\f(GF,GE)＝eq\f(1,2)，可得∠GEF＝30°，∴EF與CD所成角的度數(shù)為30°.]9．在下列四個圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號)①②③④②④[圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面．]eq\a\vs4\al(三、解答題)10.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？[解](1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC.∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)∵BE綊eq\f(1,2)AF，G為FA的中點，∴BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面．11.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．[解](1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相沖突．故直線EF與BD是異面直線．(2)取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.1.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成的角的余弦值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)A[如圖所示，分別取AB，AD，BC，BD的中點E，F(xiàn)，G，O，連接EF，F(xiàn)O，OG，GE，GF，則EF∥BD，EG∥AC，F(xiàn)O⊥OG，∴∠FEG或其補角為異面直線AC與BD所成的角．設(shè)AB＝2a，則EG＝EF＝eq\r(2)a，F(xiàn)G＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，∴△EFG是等邊三角形，∴∠FEG＝60°，∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為eq\f(1,2)，故選A.]2.(2024·全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線B[如圖所示，作EO⊥CD于O，連接ON，過M作MF⊥OD于F.連接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，∴△MFB與△EON均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知EO＝eq\r(3)，ON＝1，EN＝2，MF＝eq\f(\r(3),2)，BF＝eq\f(5,2)，∴BM＝eq\r(7).∴BM≠EN.連接BD，BE，∵點N是正方形ABCD的中點，∴點N在BD上，且BN＝DN.又∵M為ED的中點，∴BM，EN為△DBE的中線，∴BM，EN必相交．故選B.]3.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)m，n滿意什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD.試證明：EG＝FH.[解](1)證明：因為AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)當(dāng)EH∥FG，且EH＝FG時，四邊形EFGH為平行四邊形．因為eq\f(EH,BD)＝eq\f(AE,A