2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.5.1直線與直線平行教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE8.5空間中直線、平面的平行8.素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．駕馭基本領(lǐng)實(shí)4及等角定理.(邏輯推理)2．會用基本領(lǐng)實(shí)4證明線線平行.(邏輯推理)借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線平行的關(guān)系.必備學(xué)問·探新知學(xué)問點(diǎn)1基本領(lǐng)實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線__平行__.學(xué)問點(diǎn)2定理文字語言假如空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角__相等__或__互補(bǔ)__圖形語言作用推斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)[學(xué)問解讀]1．對基本領(lǐng)實(shí)4的相識(1)基本領(lǐng)實(shí)4，它表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性.(2)基本領(lǐng)實(shí)4是論證平行問題的主要依據(jù).2．對等角定理的兩點(diǎn)相識(1)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是基本領(lǐng)實(shí)4的干脆應(yīng)用.(2)當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同或相反時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ).因此等角定理用來證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ).關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一證明直線與直線平行典例1如圖所示，在空間四邊形ABCD(不共面的四邊形稱為空間四邊形)中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)假如AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形.[證明](1)因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq\f(1,2)AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.(2)因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD.因?yàn)镋F＝eq\f(1,2)AC，AC＝BD，所以EH＝EF.又因?yàn)镋FGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH是菱形.[歸納提升]證明空間兩條直線平行的方法(1)平面幾何法三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等.(2)定義法用定義證明兩條直線平行，要證明兩個(gè)方面：一是兩條直線在同一平面內(nèi)；二是兩條直線沒有公共點(diǎn).(3)基本領(lǐng)實(shí)4用基本領(lǐng)實(shí)4證明兩條直線平行，只需找到直線b，使得a∥b，同時(shí)b∥c，由基本領(lǐng)實(shí)4即可得到a∥c.【對點(diǎn)練習(xí)】?如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，若E，F(xiàn)分別為AA′，CC′的中點(diǎn)，求證：四邊形BFD′E是平行四邊形.[證明]如圖所示，取BB′的中點(diǎn)G，連接GC′，GE.因?yàn)镕為CC′的中點(diǎn)，所以BG∥FC′，且BG＝FC′.所以四邊形BFC′G是平行四邊形.所以BF∥GC′，BF＝GC′，又因?yàn)镋G∥A′B′，EG＝A′B′，A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′，所以EG∥C′D′，EG＝C′D′.所以四邊形EGC′D′是平行四邊形.所以ED′∥GC′，ED′＝GC′，所以BF∥ED′，BF＝ED′，所以四邊形BFD′E是平行四邊形.題型二等角定理的應(yīng)用典例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分別是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中點(diǎn).求證(1)EFE1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1[分析](1)eq\x(EF\f(1,2)BD，E1F1\f(1,2)B1D1)→eq\x(BDB1D1)→eq\x(EFE1F1)(2)eq\x(CF1∥A1E，A1F∥CE1)→eq\x(∠EA1F＝∠E1CF1)[解析](1)如圖，連接BD、B1D1，在△ABD中，因?yàn)镋、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，所以EFeq\f(1,2)BD.同理，E1F1eq\f(1,2)B1D1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，所以BDB1D1，又EFeq\f(1,2)BD，E1F1eq\f(1,2)B1D1，所以EFE1F1．(2)取A1B1的中點(diǎn)M，連接F1M、BM，則MF1B1C1又B1C1BC，所以MF1BC，所以四邊形BMF1C所以BM∥CF1．因?yàn)锳1M＝eq\f(1,2)A1B1，BE＝eq\f(1,2)AB，且A1B1AB，所以A1MBE，所以四邊形BMA1E為平行四邊形，所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.同理可證A1F∥CE1因?yàn)椤螮A1F與∠E1CF1的兩邊分別對應(yīng)平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF[歸納提升]求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相像.【對點(diǎn)練習(xí)】?在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)，試證明：∠BGC＝∠FD1E[證明]因?yàn)镕為BB1的中點(diǎn)，所以BF＝eq\f(1,2)BB1，因?yàn)镚為DD1的中點(diǎn)，所以D1G＝eq\f(1,2)DD1．又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1所以四邊形D1GBF為平行四邊形.所以D1F∥GB，同理D1E∥GC所以∠BGC與∠FD1E的對應(yīng)邊平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.易錯警示等角定理理解不精確典例3設(shè)已知空間兩個(gè)角α，β且α，β的兩邊分別平行，α＝60°，則β＝__60°或120°__.[錯解]60°[錯因分析]在應(yīng)用等角定理解題時(shí)肯定要留意“兩組邊對應(yīng)平行且方向相同”這一條件，在求解本題時(shí)簡單忽視此條件而出錯誤答案60°.[正解]因?yàn)榻铅?，β的兩邊分別平行，所以α，β相等或互補(bǔ)，又α＝60°，所以β＝60°或120°.【對點(diǎn)練習(xí)】?下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有(B)①假如一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②假如兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行