江蘇專用2025版高考物理一輪復(fù)習第5章機械能及其守恒定律第3節(jié)機械能守恒定律及其應(yīng)用學案

PAGE12-第3節(jié)機械能守恒定律及其應(yīng)用一、重力做功與重力勢能1．重力做功的特點(1)重力做功與路徑無關(guān)，只與初、末位置的高度差有關(guān)。(2)重力做功不引起物體機械能的變更。2．重力勢能(1)公式：Ep＝mgh。(2)特性：①標矢性：重力勢能是標量，但有正、負，其意義是表示物體的重力勢能比它在參考平面上大還是小，這與功的正、負的物理意義不同。②系統(tǒng)性：重力勢能是物體和地球所組成的“系統(tǒng)”共有的。③相對性：重力勢能的大小與參考平面的選取有關(guān)。重力勢能的變更是肯定的，與參考平面的選取無關(guān)。3．重力做功與重力勢能變更的關(guān)系(1)定性關(guān)系：重力對物體做正功，重力勢能就削減；重力對物體做負功，重力勢能就增加。(2)定量關(guān)系：重力對物體做的功等于物體重力勢能的削減量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。二、機械能守恒定律1．機械能動能和勢能統(tǒng)稱為機械能，其中勢能包括重力勢能和彈性勢能。2．機械能守恒定律(1)內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能保持不變。(2)守恒的條件：只有重力或系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功。(3)守恒表達式：mgh1＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝mgh2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)。1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)重力勢能的大小與零勢能參考面的選取有關(guān)。 (√)(2)重力勢能的變更與零勢能參考面的選取有關(guān)。 (×)(3)克服重力做功，物體的重力勢能肯定增加。 (√)(4)做曲線運動的物體機械能可能守恒。 (√)(5)物體初、末狀態(tài)的機械能相等，則物體的機械能守恒。 (×)(6)只有彈簧彈力對物體做功，則物體機械能守恒。 (×)2．(粵教版必修2P70探討與溝通改編)在同一位置以相同的速率把三個小球分別沿水平、斜向上、斜向下方向拋出。不計空氣阻力，則落在同一水平地面時的速度大小()A．一樣大B．水平拋出的最大C．斜向上拋出的最大D．斜向下拋出的最大[答案]A3．(人教版必修2P78T3改編)如圖所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上。若以地面為零勢能面，而且不計空氣阻力，則下列說法中正確的是()A．重力對物體做的功為mghB．物體在海平面上的勢能為mghC．物體在海平面上的動能為eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－mghD．物體在海平面上的機械能為eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mgh[答案]A4．(人教版必修2P80T2改編)一小球以肯定的初速度從圖示位置進入光滑的軌道，小球先進入圓軌道1，再進入圓軌道2，圓軌道1的半徑為R，圓軌道2的半徑是軌道1的1.8倍，小球的質(zhì)量為m，若小球恰好能通過軌道2的最高點B，則小球在軌道1上經(jīng)過A處時對軌道的壓力為()A．2mgB．3mgC．4mgD．5mgC[小球恰好能通過軌道2的最高點B時，有mg＝eq\f(mv\o\al(2,B),1.8R)，小球在軌道1上經(jīng)過A處時，有F＋mg＝eq\f(mv\o\al(2,A),R)，依據(jù)機械能守恒，有1.6mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，解得F＝4mg，C正確。]機械能守恒定律的推斷eq\o([依題組訓練])1．如圖所示，下列關(guān)于機械能是否守恒的推斷正確的是()甲乙丙丁A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，物體A的機械能守恒B．乙圖中，物體A固定，物體B沿斜面勻速下滑，物體B的機械能守恒C．丙圖中，不計任何阻力和定滑輪質(zhì)量時，A加速下落，B加速上升過程中，A、B組成的系統(tǒng)機械能增加D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的機械能守恒D[甲圖中重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，但物體A的機械能不守恒，A錯誤。乙圖中物體B除受重力外，還受到彈力和摩擦力作用，彈力不做功，但摩擦力做負功，物體B的機械能不守恒，B錯誤。丙圖中繩子張力對A做負功，對B做正功，代數(shù)和為零，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，C錯誤。丁圖中小球的動能不變，勢能不變，機械能守恒，D正確。]2．如圖所示，一輕彈簧一端固定在O點，另一端系一小球，將小球從與懸點O在同一水平面且使彈簧保持原長的A點無初速度釋放，讓小球自由擺下。不計空氣阻力。在小球由A點擺向最低點B的過程中，下列說法正確的是()A．小球的機械能守恒B．小球的機械能增加C．小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和不變D．小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒D[小球由A點下擺到B點的過程中，彈簧被拉長，彈簧的彈力對小球做了負功，所以小球的機械能削減，故選項A錯誤，B錯誤；在此過程中，由于有重力和彈簧的彈力做功，所以小球與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，即小球削減的重力勢能等于小球獲得的動能與彈簧增加的彈性勢能之和，故選項C錯誤，D正確。]3．質(zhì)量分別為m和2m的兩個小球A和B，中間用輕質(zhì)桿相連，在桿的中點O處有一水平固定轉(zhuǎn)動軸，把桿置于水平位置后釋放，在B球順時針轉(zhuǎn)動到最低位置的過程中()A．B球的重力勢能削減，動能增加，B球和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒B．A球的重力勢能增加，動能也增加，A球和地球組成的系統(tǒng)機械能不守恒C．A球、B球組成的系統(tǒng)機械能守恒D．A球、B球和地球組成的系統(tǒng)機械能不守恒B[B球從水平位置轉(zhuǎn)到最低點的過程中，重力勢能削減，動能增加，A球重力勢能增加，動能增加，A球和地球組成的系統(tǒng)機械能增加。由于A球、B球和地球組成的系統(tǒng)只有重力做功，故系統(tǒng)機械能守恒，A球和地球組成的系統(tǒng)機械能增加，則B球和地球組成的系統(tǒng)機械能肯定削減，選項B正確。]機械能是否守恒的三種推斷方法(1)利用做功及守恒條件推斷。(2)利用機械能的定義推斷：若物體或系統(tǒng)的動能、勢能之和保持不變，則機械能守恒。(3)利用能量轉(zhuǎn)化推斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒有能量交換，內(nèi)部也沒有機械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則機械能守恒。單物體機械能守恒問題eq\o([講典例示法])1．表達式2．一般步驟3．選用技巧在處理單個物體機械能守恒問題時通常應(yīng)用守恒觀點和轉(zhuǎn)化觀點，轉(zhuǎn)化觀點不用選取零勢能面。eq[典例示法]如圖所示，在豎直平面內(nèi)有由eq\f(1,4)圓弧AB和eq\f(1,2)圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為eq\f(R,2)。一小球在A點正上方與A相距eq\f(R,4)處由靜止起先自由下落，經(jīng)A點沿圓弧軌道運動。(1)求小球在B、A兩點的動能之比；(2)通過計算推斷小球能否沿軌道運動到C點。審題指導：題干關(guān)鍵獲得信息光滑固定圓弧軌道小球在軌道內(nèi)運動過程中不受摩擦力，彈力與速度方向垂直小球能否運動到C點由小球經(jīng)C點的最小速度確定[解析](1)設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點的動能為EkA，由機械能守恒定律得EkA＝mgeq\f(R,4)設(shè)小球在B點的動能為EkB，同理有EkB＝mgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,4)))解得eq\f(EkB,EkA)＝5。(2)若小球能沿軌道運動到C點，小球在C點所受軌道的正壓力N應(yīng)滿意N≥0設(shè)小球在C點的速度大小為vC，由牛頓運動定律和向心力公式有N＋mg＝meq\f(v\o\al(2,C),\f(R,2))應(yīng)滿意mg≤meq\f(2v\o\al(2,C),R)由機械能守恒定律有mgeq\f(R,4)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)得出小球恰好可以沿軌道運動到C點。[答案](1)5(2)見解析[跟進訓練]1．如圖所示，光滑圓軌道固定在豎直面內(nèi)，一質(zhì)量為m的小球沿軌道做完整的圓周運動。已知小球在最低點時對軌道的壓力大小為N1，在最高點時對軌道的壓力大小為N2。重力加速度大小為g，則N1－N2的值為()A．3mgB．4mgC．5mgD．6mgD[設(shè)小球在最低點時速度為v1，在最高點時速度為v2，依據(jù)牛頓其次定律有，在最低點：N1－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，在最高點：N2＋mg＝meq\f(v\o\al(2,2),R)；從最高點到最低點，依據(jù)機械能守恒有mg·2R＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，聯(lián)立可得：N1－N2＝6mg，故選項D正確。]2．取水平地面為重力勢能零點。一物塊從某一高度水平拋出，在拋出點其動能與重力勢能恰好相等。假如拋出點足夠高，當物塊的動能等于重力勢能的兩倍時，速度與水平方向的夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(5π,12)A[設(shè)物塊水平拋出的初速度為v0，拋出時的高度為h。依據(jù)題意，有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mgh，則v0＝eq\r(2gh)；設(shè)當物塊的動能等于重力勢能的兩倍時，物塊距離地面的高度為h′，由機械能守恒定律得mg(h－h(huán)′)＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，又2mgh′＝eq\f(1,2)mv2，解得h′＝eq\f(2,3)h，則此時物塊在豎直方向上的分速度為vy＝eq\r(2gh－h(huán)′)＝eq\r(\f(2,3)gh)，則tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(\r(3),3)，即速度與水平方向的夾角為eq\f(π,6)，選項A正確。]3．(2024·寧夏石嘴山三中月考)如圖所示，P是水平面上的固定圓弧軌道，從高臺邊B點以速度v0水平飛出質(zhì)量為m的小球，恰能從左端A點沿圓弧切線方向進入。O是圓弧的圓心，θ是OA與豎直方向的夾角。已知m＝0.5kg，v0＝3m/s，θ＝53°，圓弧軌道半徑R＝0.5m，g取10m/s2，不計空氣阻力和全部摩擦，求：(1)A、B兩點的高度差；(2)小球能否到達最高點C？如能到達，小球?qū)點的壓力大小為多少？[解析](1)小球從B到A做平拋運動，到達A點時，速度與水平方向的夾角為θ，則有vA＝eq\f(v0,cosθ)＝5m/s依據(jù)機械能守恒定律，有mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得A、B兩點的高度差h＝0.8m。(2)假設(shè)小球能到達C點，由機械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＋mgR(1＋cosθ)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)代入數(shù)據(jù)解得vC＝3m/s小球通過C點的最小速度為v，則mg＝meq\f(v2,R)，v＝eq\r(gR)＝eq\r(5)m/s因為vC>v，所以小球能到達最高點C在C點，由牛頓其次定律得mg＋F＝meq\f(v\o\al(2,C),R)代入數(shù)據(jù)解得F＝4N由牛頓第三定律知，小球?qū)點的壓力大小為4N。[答案]見解析多物體機械能守恒問題eq\o([講典例示法])1．解決多物體系統(tǒng)機械能守恒的留意點(1)對多個物體組成的系統(tǒng)要留意推斷物體運動過程中，系統(tǒng)的機械能是否守恒。(2)留意找尋用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。(3)列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。2．幾種實際情景的分析(1)速率相等情景用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變更的關(guān)系。(2)角速度相等情景桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。(3)關(guān)聯(lián)速度情景兩物體速度的關(guān)聯(lián)實質(zhì)：沿繩(或沿桿)方向的分速度大小相等。[典例示法]如圖所示，A、B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上?，F(xiàn)用手限制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細線豎直、右側(cè)細線與斜面平行。已知A的質(zhì)量為4m，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計。起先時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面。求：(1)斜面的傾角α；(2)A球獲得的最大速度vm。審題指導：關(guān)鍵語句獲得信息固定的光滑斜面上系統(tǒng)機械能守恒使細線剛剛拉直但無拉力作用彈簧處于壓縮狀態(tài)，且彈力等于B的重力A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面彈簧處于伸長狀態(tài)，且彈力等于C的重力B、C的質(zhì)量均為m彈簧壓縮量同伸長量相等，彈性勢能相同A球獲得的最大速度vmA的加速度此時為零[解析](1)由題意可知，當A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面，A的加速度此時為零。由牛頓其次定律得4mgsinα－2mg＝0，則sinα＝eq\f(1,2)，α＝30°。(2)由題意可知，mg＝kΔx，B球上升的高度x＝2Δx＝eq\f(2mg,k)。A、B兩小球及輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)在初始時和A沿斜面下滑至速度最大時彈簧的彈性勢能相等，對A、B、C三小球和彈簧組成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律得4mgxsinα－mgx＝eq\f(1,2)(5m)veq\o\al(2,m)聯(lián)立化簡得vm＝2geq\r(\f(m,5k))。[答案](1)30°(2)2geq\r(\f(m,5k))[跟進訓練]輕繩連接的物體系統(tǒng)1．如圖所示，可視為質(zhì)點的小球A、B用不行伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍。當B位于地面上時，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()A．2RB．eq\f(5R,3)C．eq\f(4R,3)D．eq\f(2R,3)C[設(shè)B球質(zhì)量為m，A球剛落地時，兩球速度大小都為v，依據(jù)機械能守恒定律2mgR－mgR＝eq\f(1,2)(2m＋m)v2得v2＝eq\f(2,3)gR，B球接著上升的高度h＝eq\f(v2,2g)＝eq\f(R,3)，B球上升的最大高度為h＋R＝eq\f(4,3)R，故選項C正確。]輕桿連接的物體系2．(2024·揚州市邗江區(qū)蔣王中學高三月考)如圖所示，一長為6L的輕桿一端連著質(zhì)量為m的小球，另一端固定在鉸鏈O處(輕桿可繞鉸鏈自由轉(zhuǎn)動)。一根不行伸長的輕繩一端系于輕桿的中點，另一端通過輕小定滑輪連接在小物塊上，物塊放置在傾角θ＝30°的斜面上。已知滑輪距正下方地面上的A點的距離為3L，鉸鏈O距A點的距離為L，不計一切摩擦。整個裝置由圖示位置靜止釋放，當輕桿被拉至豎直位置時，小球的速度v＝3eq\r(gL)，物塊仍在斜面上，求：(1)此時小球?qū)p桿的作用力F；(2)此過程中輕繩對輕桿做的功W；(3)小物塊的質(zhì)量M。[解析](1)當輕桿被拉至豎直位置時，小球的速度v＝3eq\r(gL)，依據(jù)豎直平面內(nèi)圓周運動的規(guī)律，小球受到的重力和輕桿對小球的作用力的合力供應(yīng)向心力mg＋F′＝meq\f(v2,6L)依據(jù)牛頓第三定律，可得F＝F′＝eq\f(1,2)mg豎直向上。(2)將小球和輕桿看作一個整體，依據(jù)動能定理W＋WG＝eq\f(1,2)mv2因為WG＝－6mgL，所以W＝eq\f(21,2)mgL。(3)將小球、輕桿、輕繩和小物塊看作一個系統(tǒng)，則系統(tǒng)機械能守恒ΔEk＝ΔEp小球和小物塊動能增大，則動能增加量為ΔEk＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,2)))eq\s\up12(2)小球重力勢能增大，小物塊重力勢能減小，則重力勢能削減量為ΔEp＝Mg·2L－mg·6L解得M＝12m。[答案](1)eq\f(1,2)mg，豎直向上(2)eq\f(21,2)mgL(3)12m輕彈簧連接的物體系3．如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上，一勁度系數(shù)為k＝200N/m的輕質(zhì)彈簧一端連接固定擋板C上，另一端連接一質(zhì)量為m＝4kg的物體A，一輕細繩通過定滑輪，一端系在物體A上，另一端與質(zhì)量也為m的物體B相連，細繩與斜面平行，斜面足夠長。用手托住物體B使繩子剛好沒有拉力，然后由靜止釋放。求：(1)彈簧復(fù)原原長時細繩上的拉力大?。?2)物體A沿斜面對上運動多遠時獲得最大速度；(3)物體A的最大速度的大小。[解析](1)復(fù)原原長時對B有mg－FT＝ma對A有FT－mgsin30°＝ma解得FT＝30N。(2)初態(tài)彈簧壓縮x1＝eq\f(mgsin30°,k)＝10cm當A速度最大時mg＝kx2＋mgsin30°彈簧伸長x2＝eq\f(mg－mgsin30°,k)＝10cm所以A沿斜面上升x1＋x2＝20cm。(3)因x1＝x2，故彈性勢能變更量ΔEp＝0，由系統(tǒng)機械能守恒mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin30°＝eq\f(1,2)×2mv2得v＝geq\r(\f(m,2k))＝1m/s。[答案](1)30N(2)20cm(3)1m/s用機械能守恒定律解決非質(zhì)點問題eq\o([講典例示法])1．在應(yīng)用機械能守恒定律處理實際問題時，常常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發(fā)生形變，其重心位置相對物體也發(fā)生變更，因此這類物體不能再視為質(zhì)點來處理。2．物體雖然不能視為質(zhì)點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。一般狀況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布勻稱的規(guī)則物體各部分的重心位置，依據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢能的變更列式求解。[典例示法]如圖所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為α的足夠長的光滑斜面，斜面體固定不動。AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連。一條長為L的勻稱松軟鏈條起先時靜置在ABC面上，其一端D至B的距離為L－a?，F(xiàn)自由釋放鏈條，則：(1)鏈條下滑過程中，系統(tǒng)的機械能是否守恒？簡述理由；(2)鏈條的D端滑到B點時，鏈條的速率為多大？[解析](1)鏈條在下滑過程中機