14數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用（講義典型例題小練）

1.4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用（講義+典型例題+小練）例述數(shù)列在生活中的應(yīng)用數(shù)學(xué)不僅僅是我們生活中的工具，更大程度上是我們生活中的必需品，并影響著人們的生活。以生活中的一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題為例：例1：1．為了防止某種新冠病毒感染，某地居民需服用一種藥物預(yù)防.規(guī)定每人每天定時(shí)服用一次，每次服用m毫克.已知人的腎臟每24小時(shí)可以從體內(nèi)濾除這種藥物的80%，設(shè)第n次服藥后（濾除之前）這種藥物在人體內(nèi)的含量是毫克，（即）.(1)已知，求?；(2)該藥物在人體的含量超過(guò)25毫克會(huì)產(chǎn)生毒副作用，若人需要長(zhǎng)期服用這種藥物，求m的最大值.【答案】(1)，；(2)20毫克【解析】【分析】（1）由，計(jì)算可得．（2）由每次服藥，藥物在人體內(nèi)的含量為本次服藥量加上前次含量的可得遞推關(guān)系式，變形后構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，求得通項(xiàng)公式后，由數(shù)列不等式恒成立及數(shù)列的單調(diào)性可得．(1)，；(2)依題意，，所以，，所以是等比數(shù)列，公比為，所以，，，，數(shù)列是遞增數(shù)列，且，所以，即，所以m的最大值是毫克．舉一反三：1．顧客采用分期付款的方式購(gòu)買一件5000元的商品，在購(gòu)買一個(gè)月后第一次付款，且每月等額付款一次，在購(gòu)買后的第12個(gè)月將貨款全部付清，月利率0.5％.按復(fù)利計(jì)算，該顧客每月應(yīng)付款多少元（精確到1元）？【答案】430【解析】【分析】根據(jù)題目條件，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式建立方程關(guān)系可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)每月應(yīng)付款元，那么至最后1次付款時(shí)(即商品購(gòu)買12個(gè)月后)付款金額的本利和為:（元），另外,5000元商品在購(gòu)買后12個(gè)月后的本利和為（元），根據(jù)題意,，即x=（元）.銀行儲(chǔ)蓄與分期付款中的數(shù)列應(yīng)用儲(chǔ)蓄與貸款與國(guó)計(jì)民生、社會(huì)生活發(fā)展息息相關(guān)，大到支援國(guó)家建設(shè)，小到個(gè)人家庭的財(cái)政支出管理，處處都嵌套著數(shù)列的應(yīng)用。在人們?nèi)粘５纳钜?guī)劃中，為未來(lái)進(jìn)行資金儲(chǔ)備的零存整取的存儲(chǔ)模式是銀行儲(chǔ)蓄中常見(jiàn)的一種金融計(jì)算方式。下面將以某一常見(jiàn)模式為例，進(jìn)行數(shù)列在儲(chǔ)蓄領(lǐng)域應(yīng)用的解析。（1）儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)種類①活期儲(chǔ)蓄②定期儲(chǔ)蓄（整存整取定期儲(chǔ)蓄、零存整取定期儲(chǔ)蓄、整存零取定期儲(chǔ)蓄、存本取息定期儲(chǔ)蓄、定活兩便儲(chǔ)蓄）③教育儲(chǔ)蓄④個(gè)人通知存款⑤單位協(xié)定存款（2）銀行存款計(jì)息方式：①單利單利的計(jì)算是僅在原有本金上計(jì)算利息,對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息.其公式為：利息=本金×利率×存期以符號(hào)P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下簡(jiǎn)稱本利和),則有②復(fù)利把上期末的本利和作為下一期的本金,在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的.復(fù)利的計(jì)算公式是（3）零存整取模型例1：1．復(fù)利是指一筆資金產(chǎn)生利息外，在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)，以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息也計(jì)算利息的計(jì)息方法，單利是指一筆資金只有本金計(jì)取利息，而以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)不計(jì)算利息的計(jì)息方法.小闖同學(xué)一月初在某網(wǎng)貸平臺(tái)貸款10000元，約定月利率為1.5%，按復(fù)利計(jì)算，從一月開(kāi)始每月月底等額本息還款，共還款12次，直到十二月月底還清貸款，把還款總額記為x元.如果前十一個(gè)月因故不還貸款，到十二月月底一次還清，則每月按照貸款金額的1.525%，并且按照單利計(jì)算利息，這樣的還款總額記為y元.則yx的值為（）(參考數(shù)據(jù)：1.01512≈1.2)A．0 B．1200 C．1030 D．900【答案】C【解析】【分析】設(shè)小闖同學(xué)每個(gè)月還款元，則可依次求每次還款元后，還欠本金及利息，由題意可得，求出，從而可求出的值，再利用單利求出，進(jìn)而可求出的值【詳解】解：由題意知，按復(fù)利計(jì)算，設(shè)小闖同學(xué)每個(gè)月還款元，則小闖同學(xué)第一次還款元后，還欠本金及利息為元，第二次還款元后，還欠本金及利息為，第三次還款元后，還欠本金及利息為，依次類推，直到第十二次還款后，全部還清，即，即，解得，故元，按照單利算利息，12月后，所結(jié)利息共元，故元，所以，故選：C2.銀行有一種叫作零存整取的儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù),即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利(暫不考慮利息稅).(1)若每月存入金額為x元,月利率r保持不變,存期為n個(gè)月,試推導(dǎo)出到期整取是本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率為0.3%,到第36個(gè)月末整取時(shí)的本利和是多少?(3)若每月初存入一定金額,月利率為0.3%,希望到第12個(gè)月末整取時(shí)取得本利和2000元.那么每月初應(yīng)存入的金額是多少?分析：零存整取儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利，即按單利即息：利息=本金×利率×存期解：（1）根據(jù)題意,第一個(gè)月存入的x元,到期利息為x?r?n元;第二個(gè)月存入的x元,到期利息為x?r?（n1）元;第n個(gè)月存入的x元,到期利息為x?r?1元.不難看出,這是一個(gè)等差數(shù)列求和的問(wèn)題.各利息之和為而本金為nx元,這樣就得到本利和公式為即①（2）每月存入500元,月利率為0.3﹪,根據(jù)①式,本利和為（3）依題意,在①式中,，所以答：每月應(yīng)存入163.48元.舉一反三：1．某企業(yè)在2013年年初貸款M萬(wàn)元，年利率為m，從該年年末開(kāi)始，每年償還的金額都是a萬(wàn)元，并恰好在10年間還清，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知條件和分期付款公式列方程求解即可【詳解】由已知條件和分期付款公式，可得，∴．故選：C2.銀行有一種叫作零存整取的儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù),即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利.銀行按國(guó)家規(guī)定到期扣除20﹪的利息稅(應(yīng)納稅額=應(yīng)納稅利息額×稅率).(1)若每月存入金額為x元,月利率r保持不變,存期為n個(gè)月,試推導(dǎo)出到期整取時(shí)本利和的公式;(2)若每月初存入500元,月利率為0.3%,到第36個(gè)月末整取時(shí)的本利和是多少?解：(1)根據(jù)例1，各月利息之和為，稅后實(shí)得利息為.而本金為nx元,這樣就得到本利和公式，②(2)若每月存入500元,月利率為0.3﹪,根據(jù)②式,本利和為答：到第36個(gè)月末整取時(shí)的本利和是18799.2元.環(huán)境資源利用中的數(shù)列應(yīng)用進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，能源的短缺成為困擾人類社會(huì)發(fā)展的主要問(wèn)題之一，尤其是不可再生資源的合理有效利用問(wèn)題，更是人類社會(huì)進(jìn)一步發(fā)展需要解決的首要問(wèn)題。在土地資源、森林資源、某些再生資源的利用方面，我們可以運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)列知識(shí)，通過(guò)建立合適的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)資源的合理分配和有效利用。在不可再生資源的利用方面，通常會(huì)遇到年使用量與年開(kāi)采量之間的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題等，通過(guò)數(shù)列中的建模，可形成相應(yīng)的等比等差數(shù)列關(guān)系，從而進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)列計(jì)算得到需要的解答；在生物保護(hù)方面的植物研究，數(shù)列中的斐波那契數(shù)列對(duì)于植物葉序與深層組織結(jié)構(gòu)關(guān)系的研究也提供了相應(yīng)的指導(dǎo)；數(shù)列在土地荒漠化治理、河流污染控制、水資源與森林資源的開(kāi)采與控制等方面都有著不同程度的應(yīng)用。例3：1．資料表明，2000年我國(guó)工業(yè)廢棄垃圾達(dá)，每噸占地.環(huán)保部門每回收或處理1t廢舊物資，相當(dāng)于消滅4t工業(yè)廢棄垃圾.如果某環(huán)保部門2002年共回收處理了廢舊物資，且以后每年的回收量遞增20％.(1)2018年能回收多少噸廢舊物資？（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示，保留一位小數(shù)）(2)從2002年到2018年底，可節(jié)約土地多少平方米？（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示，保留一位小數(shù)）【答案】(1)噸(2)平方米【解析】【分析】（1）由題意可得，再化簡(jiǎn)求值即可；（2）從2002年到2018年底的回收廢舊物資累加后可求解.(1)依題意可知，2003年共回收廢舊物資噸；2004年共回收廢舊物資噸；2005年共回收廢舊物資噸；2018年共回收廢舊物資噸(2)從2002年到2018年底共回收廢舊物資：噸.由于每噸占地，故可節(jié)約土地平方米舉一反三：1．某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)．已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為（單位：噸），但如果年產(chǎn)量超過(guò)150噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害．為保護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限是（）A．5年 B．6年 C．7年 D．8年【答案】C【解析】【分析】由題意可得以后各年年產(chǎn)量為，然后由，求出的范圍，從而可得答案【詳解】由題意知，第一年年產(chǎn)量為．以后各年年產(chǎn)量為，∴，令，得，∴，故生產(chǎn)期限最長(zhǎng)為7年．故選：C2．為了治理沙塵暴，西部某地區(qū)政府經(jīng)過(guò)多年努力，到2019年年底，將當(dāng)?shù)厣衬G化了40%．從2020年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象：原有沙漠面積的12%被綠化，即改造為綠洲（被綠化的部分叫綠洲），同時(shí)原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠，問(wèn)至少經(jīng)過(guò)幾年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過(guò)50%（可參考數(shù)據(jù)）?【答案】年【解析】【分析】利用等比數(shù)列的知識(shí)列不等式，解不等式求得需要經(jīng)過(guò)的年數(shù).【詳解】設(shè)地區(qū)總面積為，則年年底綠化面積，沙漠面積，設(shè)表示第年年底的綠洲面積，則，即，也即（），所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.，由得，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，，所以至少要進(jìn)過(guò)年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過(guò)50%.鞏固提升一、單選題1．假設(shè)一個(gè)蜂巢里只有1只蜜蜂，第1天它飛出去找回了2個(gè)伙伴：第2天，3只蜜蜂飛出去，各自找回了2個(gè)伙伴……如果這個(gè)找伙伴的過(guò)程繼續(xù)下去，則到第4天所有蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只數(shù)是（

）．A．1 B．3 C．9 D．81【答案】D【解析】【分析】先由前幾天結(jié)束時(shí)，蜂巢中的蜜蜂數(shù)量觀察出其組成了首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，把4直接代入即可.【詳解】由題意知，第一天所有蜜蜂歸巢后，蜂巢中一共有1+2=3只蜜蜂，第二天所有蜜蜂歸巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，第三天所有蜜蜂歸巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，第n天所有蜜蜂歸巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂，所以歸巢后的蜜蜂數(shù)列組成了首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以其通項(xiàng)公式為：，所以，第四天共有只蜜蜂.故選：D2．一種預(yù)防新冠病毒的疫苗計(jì)劃投產(chǎn)兩月后，使成本降64%，那么平均每月應(yīng)降低成本（

）A．20% B．32% C．40% D．50%【答案】C【解析】【分析】設(shè)成本為，平均每月應(yīng)降低成本，根據(jù)題意得解方程可得答案.【詳解】設(shè)成本為，平均每月應(yīng)降低成本，所以，解得，平均每月應(yīng)降低成本.故選：C.3．某高一學(xué)生家長(zhǎng)于月日在某購(gòu)物平臺(tái)采用分期付款的形式購(gòu)買了一臺(tái)價(jià)值元的平板電腦給學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)使用，該平臺(tái)規(guī)定：分個(gè)月還清，從下個(gè)月日，即月日，開(kāi)始償還，每月日還款，且每個(gè)月還款錢數(shù)都相等．若購(gòu)物平臺(tái)的月利率為，則該家長(zhǎng)每月的償還金額是（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【解析】【分析】設(shè)每月的償還金額都是元，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于的等式，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)每月的償還金額都是元，則，即，得．故選：B.4．某單位制作了一個(gè)熱氣球用于廣告宣傳.已知熱氣球在第一分鐘內(nèi)能上升30米，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的，則該氣球上升到70米至少要經(jīng)過(guò)（

）A．3分鐘 B．4分鐘 C．5分鐘 D．6分鐘【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知熱氣球在每分鐘上升的高度構(gòu)成等比數(shù)列，，公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求得，然后由即可解出．【詳解】由題意知，熱氣球在每分鐘上升的高度構(gòu)成等比數(shù)列，則表示熱氣球在第分鐘上升的高度（單位：米），且，公比.經(jīng)過(guò)分鐘，熱氣球上升的總高度.因?yàn)椋栽摎馇蛑辽僖?jīng)過(guò)4分鐘才能上升到70米.故選：B.5．復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息.某同學(xué)有壓歲錢1000元，存入銀行，年利率為1.75%，若按復(fù)利計(jì)算，將這1000元存滿5年，可以獲得利息（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．110元 B．91元 C．72元 D．88元【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知求出存滿5年后的本息和，再減去本金，即可得出答案.【詳解】解：將1000元錢按復(fù)利計(jì)算，則存滿5年后的本息和為，故可以獲得利息（元）.故選：B.6．從2017年到2020年期間，甲每年1月1日都到銀行存入元的一年定期儲(chǔ)蓄.若年利率保持不變，且每年到期的存款本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期儲(chǔ)蓄.2021年1月1日，甲去銀行不再存款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是（

）A．元 B．元C．元 D．元【答案】D【解析】【分析】先分別計(jì)算每一年存入元到2021年的本息和，然后將所有存款的本息相加，根據(jù)等比數(shù)列求得求和公式解之即可．【詳解】解：2017年的元到了2021年本息和為，2018年的元到了2021年本息和為，2019年的元到了2021年本息和為，2020年的元到了2021年本息和為，所有金額為即所有金額為故選：．二、多選題7．某牧場(chǎng)2022年年初牛的存欄數(shù)為500，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為20%，且在每年年底賣出60頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從2022年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，，，…，，…，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）（附：，，，．）A．B．與的遞推公式為C．按照計(jì)劃2028年年初存欄數(shù)首次突破1000D．令，則（精確到1）【答案】ABD【解析】【分析】可以利用“每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為”和“每年年底賣出60頭”建立與的關(guān)系，用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由題意得，并且，故B正確；則，故A正確；設(shè)，則，則0.2x＝60，則x＝300，∴，即數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為1.2的等比數(shù)列，則，則，令，則，∵，，∴n－1≥7，則n≥8，故2029年年初存欄數(shù)首次突破1000，故C錯(cuò)誤；≈3000＋1000×(6.1917－1)≈8192，故D正確.故選：ABD.8．參加工作年的小郭，因工作需要向銀行貸款萬(wàn)元購(gòu)買一臺(tái)小汽車，與銀行約定：這萬(wàn)元銀行貸款分年還清，貸款的年利率為，每年還款數(shù)為萬(wàn)元，則（

）A． B．小郭第年還款的現(xiàn)值為萬(wàn)元C．小郭選擇的還款方式為“等額本金還款法” D．小郭選擇的還款方式為“等額本息還款法”【答案】BD【解析】【分析】因?yàn)樾」磕赀€款錢數(shù)相等，所以小郭選擇為“等額本息還款法”，所以利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再設(shè)小郭第3年還款的現(xiàn)值為，根據(jù)復(fù)利規(guī)則求出．【詳解】解：小郭與銀行約定，每年還一次欠款，并且每年還款的錢數(shù)都相等，小郭靖選擇的還款方式為“等額本息還款法”，故D正確，C錯(cuò)誤，設(shè)每年應(yīng)還元，還款10次，則該人10年還款的現(xiàn)金與利息和為，銀行貸款元10年后的本利和為．，，即，故A錯(cuò)誤．設(shè)小郭第三年還款的現(xiàn)值為，則，所以，故B正確；故選：BD三、填空題9．“三分損益法”是古代中國(guó)發(fā)明制定音律時(shí)所用的方法，其基本原理是以一根確定長(zhǎng)度的琴弦為基準(zhǔn)，取此琴弦長(zhǎng)度的得到第二根琴弦，第二根琴弦長(zhǎng)度的為第三根琴弦，第三根琴弦長(zhǎng)度的為第四根琴弦，第四根琴弦長(zhǎng)度的為第五根琴弦.琴弦越短，發(fā)出的聲音音調(diào)越高，這五根琴弦發(fā)出的聲音按音調(diào)由低到高分別稱為“宮?商?角（jué）?徵（zhǐ）?羽”，則“角”和“徵”對(duì)應(yīng)的琴弦長(zhǎng)度的比值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)基準(zhǔn)琴弦的長(zhǎng)度為1，然后求出另外四根琴弦的長(zhǎng)度，然后判斷出它們的大小關(guān)系，然后可得答案.【詳解】設(shè)基準(zhǔn)琴弦的長(zhǎng)度為1，則根據(jù)“三分損益法”得到的另外四根琴弦的長(zhǎng)度依次為，，，，五根琴弦的長(zhǎng)度從大到小依次為1，，，，，所以“角”和“徵”對(duì)應(yīng)的琴弦長(zhǎng)度分別為和，其長(zhǎng)度的比值為.故答案為：10．某人實(shí)施一項(xiàng)投資計(jì)劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個(gè)項(xiàng)目.已知2020年他的工資是10萬(wàn)元，預(yù)計(jì)未來(lái)十年每年工資都會(huì)逐年增加1萬(wàn)元；若投資年收益是10%，一年結(jié)算一次，當(dāng)年的投資收益自動(dòng)轉(zhuǎn)入下一年的投資本金，若2031年1月1日結(jié)束投資計(jì)劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應(yīng)有__________萬(wàn)元.（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】24【解析】【分析】根據(jù)條件求得每一年投入在最終結(jié)算時(shí)的總收入，利用錯(cuò)位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，2022年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，，2030年的投入在結(jié)算時(shí)的收入為，則結(jié)算時(shí)的總投資及收益為：①，則②，由①②得，，則，故答案為：24四、解答題11．大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)已成為當(dāng)代潮流．某大學(xué)大三學(xué)生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬(wàn)元作開(kāi)店資金，全部用作批發(fā)某種商品．銀行貸款的年利率為6%，約定一年后一次還清貸款．已知夏某每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的15%，每月月底需要交納個(gè)人所得稅為該月所獲利潤(rùn)的20%，當(dāng)月房租等其他開(kāi)支1500元，余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營(yíng)，如此繼續(xù)，假定每月月底該