專題29-2022年江蘇高考數(shù)學滿分限時題集

專題29大題限時練291．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足：．（1）求數(shù)列，的通項公式（2）證明：數(shù)列中的任意三項不可能成等差數(shù)列．【答案】（1），（2）見解析【詳解】（1）由題意可知，令，則又，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即，故，又，故因為，故（2）假設數(shù)列存在三項，，按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是有成立，則只有可能有成立，化簡整理后可得，，由于，且為整數(shù)，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故等式不可能成立，導致矛盾．故數(shù)列中任意三項不可能成等差數(shù)列．2．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由正弦定理知，，，，即，由余弦定理知，，，．（2）由（1）知，，即，，，，解得，，的面積．3．如圖，在四棱錐中，，，在以為直徑的半圓上（不包括端點），平面平面，，分別為，的中點．（1）求證：平面；（2）當四棱錐體積最大時，求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：取中點，連接，，，，分別為，的中點，，，，，，平面平面，平面，平面；（2）當四棱錐體積最大時，是中點，此時，以為坐標原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如圖，設，則，，0，，，，，，，，，，，，0，，，，，，，，設平面的法向量，，，則，取，得，0，，平面的法向量，0，，設二面角的平面角為，則．二面角的余弦值為．4．冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征和嚴重急性呼吸綜合征等較嚴重疾病，而新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株人，感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀，發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等在較嚴重病例中，感染可導致肺炎，嚴重急性呼吸綜合征，腎衰竭，甚至死亡．假如某醫(yī)藥研究機構(gòu)合成了甲、乙兩種抗“新冠病毒”的藥物．經(jīng)試驗，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為，，現(xiàn)已進入藥物臨床試用階段．每個試用組由4位該病毒的感染者組成．其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物．如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)超過乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù)，則稱該組為“甲類組”．（1）求一個試用組為“甲類組”的概率；（2）觀察3個試用組，用表示這3個試用機組“甲類組”的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】見解析【詳解】（1）設表示事件“一個試驗組中，服用甲種抗病毒藥物有效的人數(shù)人”，，1，2，表示事件“一個試驗組中，服用乙種抗病毒藥物有效的人數(shù)人”，，1，2，由題意可得，，，，，所以一個試用組為“甲類組”的概率為；（2）的可能取值為0，1，2，3，且，則，，，，所以的分布列為：0123故的數(shù)學期望為．5．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．【答案】見解析【詳解】（1）由函數(shù)，得．另，得．列表如下：，0極小值因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為．（2）由（1）可知，．當時，由，得函數(shù)的零點個數(shù)為0．當時，因在，上是單調(diào)增，在上單調(diào)減，故，，時，．此時，函數(shù)的零點個數(shù)為1．當時，．①時，因為當，時，，所以，函數(shù)在區(qū)間，上無零點；另一方面，因為在，單調(diào)遞增，且，由，，且，此時，函數(shù)在，上有且只有一個零點．所以，當時，函數(shù)零點個數(shù)為1．②時，因為在，上單調(diào)遞增，且（1），，所以函數(shù)在區(qū)間，上有且只有一個零點；另一方面，因為在，上是單調(diào)遞減，且又，且，（當時，成立）此時，函數(shù)在上有且只有一個零點．所以，當，函數(shù)的零點個數(shù)為2．綜上所述，當時，的零點個數(shù)為0；當時，或時，的零點個數(shù)為1；當時，的零點個數(shù)為2．6．設橢圓的離心率，過橢圓上一點作兩條不重合且傾斜角互補的直線、分別與橢圓交于、兩點，且中點為．（1）求橢圓方程．（2）橢圓上是否存在不同于的定點，使得的面積為定值，如果存在，求定點的坐標；如果不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）見解析【詳解】（1）依題意得，解得，，，所以橢圓．（2）解法一：因為直線、的傾斜角互補，所以設直線、的方程為，，所以，，，，聯(lián)立方程消元得：，所以，所以，所以，同理得，，設，則，，所以，所以點在直線上，所以當時，的面積為定值．此時的直線方程為，即，因為消元得：，解得或（舍去）．所以橢圓上存在不同于的定點，使得的面積為定值．（2）解法二：設直線、的斜率為，，，，，，因為直線、的傾斜角互補，所以，設直線的方程為，聯(lián)立方程消元得：，所以，，，所以，