有關(guān)直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

專(zhuān)題課－－對(duì)稱(chēng)問(wèn)題00前情回顧1.到角公式：2.三類(lèi)直線系方程(1)平行直線系:與Ax+By+C＝0平行的直線:Ax+By+m＝0（m≠C）.(2)垂直直線系:與Ax+By+C＝0垂直的直線:Bx-Ay+n＝0.(3)中心直線系：過(guò)直線A1x+B1y+C1＝0與A2x+B2y+C2＝0交點(diǎn)的直線：

A1x+B1y+C1

+

λ（A2x+B2y+C2）＝000前情回顧

1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)目錄2線關(guān)于點(diǎn)、線關(guān)于線對(duì)稱(chēng)3題型：光的反射與最值問(wèn)題00課題引入思考：在直線方程中，對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題都可以分成哪幾類(lèi)？點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)幾類(lèi)常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題目錄1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)01新知探究

結(jié)論：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為“中點(diǎn)問(wèn)題”練一練例1

已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1,y)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－2,－3)，求點(diǎn)P(x，y)？練一練

解：∵C為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴a=3×2-1=5，b=5×2-(-2)=12∴a+b=1701新知探究

點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“垂直＋中點(diǎn)”或“垂直＋距離相等”問(wèn)題.練一練例1求點(diǎn)P(－1,2)關(guān)于直線l：y＝2x＋1對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R的坐標(biāo)？解：設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(x，y)，練一練例2求點(diǎn)(3,9)關(guān)于直線x＋3y－10＝0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)？解：設(shè)點(diǎn)(3,9)關(guān)于直線x＋3y－10＝0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，所以該點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－3).目錄2線關(guān)于點(diǎn)、線關(guān)于線對(duì)稱(chēng)02新知探究

線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線轉(zhuǎn)化為：“平行＋距離相等”或“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)代入已知直線方程”.練一練例1求直線l：y＝3x＋3關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱(chēng)直線的方程？解：在直線l上取兩點(diǎn)E(0,3)，F(xiàn)(－1,0)，則E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為E′(6,1)，F(xiàn)′(7,4).因?yàn)辄c(diǎn)E′，F(xiàn)′在所求直線上，即3x－y－17＝0.練一練例2

求直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱(chēng)的直線方程？解：∵直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱(chēng)的直線斜率不變，∴設(shè)對(duì)稱(chēng)后的直線方程l′為2x＋3y＋c＝0，又點(diǎn)(1，－1)到兩直線的距離相等，∴l(xiāng)′的方程為2x＋3y－6＝0(舍)或2x＋3y＋8＝0，即直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱(chēng)的直線方程是2x＋3y＋8＝0.化簡(jiǎn)得|c－1|＝7，解得c＝－6或c＝8，02新知探究

線關(guān)于平行直線的對(duì)稱(chēng)直線轉(zhuǎn)化為：“平行＋距離相等”或“對(duì)稱(chēng)點(diǎn)代入已知直線方程”.02新知探究

線關(guān)于線的對(duì)稱(chēng)直線轉(zhuǎn)化為：“交點(diǎn)＋對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”或“交點(diǎn)＋斜率”.練一練

解得：m=3（舍）或－5

練一練例2求直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)的直線方程？練一練

目錄3題型：光的反射與最值問(wèn)題題型1－

光的反射問(wèn)題03例1

一束光線從原點(diǎn)O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過(guò)直線l：8x＋6y＝25反射后通過(guò)點(diǎn)P(－4,3)，求反射光線的方程及光線從O點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)所走過(guò)的路程？解：如圖，設(shè)原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，由直線OA與l垂直和線段AO的中點(diǎn)在l上得：∴A的坐標(biāo)為(4,3)，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)A(4,3)，又由反射光線過(guò)P(－4,3)，A，P兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，故反射光線所在直線的方程為y＝3.由于反射光線為射線，由光的性質(zhì)可知，光線從O到P的路程即為AP的長(zhǎng)度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，即光線從O經(jīng)直線l反射后到達(dá)P點(diǎn)所走過(guò)的路程為8.總結(jié)光的反射問(wèn)題思路：根據(jù)平面幾何知識(shí)和光學(xué)知識(shí)，入射光線、反射光線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是關(guān)于法線對(duì)稱(chēng)的.利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系可以求解.題型1－

光的反射問(wèn)題03例2如圖所示，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，求光線所經(jīng)過(guò)的路程？

題型1－

光的反射問(wèn)題03例3

已知A(3,0)，B(0,3)，從點(diǎn)P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過(guò)直線AB反射回到P點(diǎn)，求光線所經(jīng)過(guò)的路程？解：由題易知直線AB的方程為x＋y＝3，點(diǎn)P(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1(0，－2)，設(shè)點(diǎn)P(0,2)關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2(a，b)，如圖，題型2－－距離的最值問(wèn)題03例4唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為B(－1，－4)，若將軍從點(diǎn)A(－1,2)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x＋y＝3，求“將軍飲馬“的最短總路程？解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x＋y＝3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C(a，b)，在直線x＋y＝3上取點(diǎn)P，由對(duì)稱(chēng)性可得|PB|＝|PC|，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，總結(jié)利用對(duì)稱(chēng)求距離的最值問(wèn)題思路：(1)由平面幾何得：三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊;(2)若這兩點(diǎn)A，B位于直線l的同側(cè)，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線

的交點(diǎn)，即得所求的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若A，B兩點(diǎn)位于直線l的異側(cè)，則先求A，B兩點(diǎn)中某一點(diǎn)，如A關(guān)于直線l的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點(diǎn)即可（將軍飲馬）.(4)對(duì)于在直線l上求一點(diǎn)P，使P到平面上兩點(diǎn)A，B的距離之和最小的問(wèn)題類(lèi)比求解.例5在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別是x軸、y軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，又有一定點(diǎn)M(3,4)，則|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是()A.10 B.11 C.12 D.13A題型2－－距離的最值問(wèn)題03解:如圖，設(shè)點(diǎn)M(3,4)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(－3,4)，關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q(3，－4)，則|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.當(dāng)A與B重合于坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，當(dāng)A與B不重合時(shí)，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10.綜上可知，當(dāng)A與B重合于坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值為10.題型2－－距離的最值問(wèn)題03例6已知A(－3,8)，B(2,2)，在x軸上有一點(diǎn)M，使得|MA|＋|MB|取

最小值，求點(diǎn)M的坐標(biāo)？解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(－3，－8)，

連接A′B，則A′B與x軸的交點(diǎn)即為M，連接AM.因?yàn)锽(2，2)，即2x－y－2＝0.令y＝0，得x＝1，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0).題型2－－距離的最值問(wèn)題03例7已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點(diǎn)A(2,0)，B(－2，－4).(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使||PB|－|PA||最大？(2)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA|＋|PB|最小？解：(1)A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，P是直線l上的一點(diǎn)，則||PB|－|PA||≤|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，||PB|－|PA||取得最大值，為|AB|，點(diǎn)P即是直線AB與直線l的交點(diǎn)，又直線AB的方程為y＝x－2，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,10).解：(2)設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(m，n)，因?yàn)镻為直線l上的一點(diǎn)，則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，A′三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值，為|A′B|，點(diǎn)P即是直線A′B與直線l的交點(diǎn)，即所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,3).所以A′(－2,8).課堂小結(jié)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“垂直＋中點(diǎn)”或“垂直＋距離相等”問(wèn)題.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為“中點(diǎn)問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“平行＋距離相