江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研試題 數(shù)學(xué) 含解析

蘇州市2023～2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研卷高二數(shù)學(xué)2024.1注意事項(xiàng)：學(xué)生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1．本卷共6頁(yè)，包含單項(xiàng)選擇題（第1題～第8題）、多項(xiàng)選擇題（第9題～第12題）、填空題（第13題～第16題）、解答題（第17題～第22題）．本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘．答題結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．2．答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置3～請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效．作答必須用0.5毫黑色墨水的簽字筆．請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線：的傾斜角為（）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．43．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，4．已知是等比數(shù)列，若，，則（）A． B． C．2 D．45．在平面直角坐標(biāo)系中，直線：被圓：截得的最短弦的長(zhǎng)度為（）A． B．2 C． D．46．在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面，其中點(diǎn)，法向量，則下列各點(diǎn)中不在平面內(nèi)的是（）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)，且與圓：相切，則圓心的軌跡是（）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線8．2020年7月23日，“天問(wèn)一號(hào)”在中國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)發(fā)射升空，經(jīng)過(guò)多次變軌后于2021年5月15日頭現(xiàn)軟著陸火星表面．如圖，在同一平面內(nèi)，火星輪廓近似看成以為圓心、為半徑的圓，軌道Ⅰ是以為圓心、為半徑的圓，著陸器從軌道Ⅰ的點(diǎn)變軌，進(jìn)入橢圓形軌道Ⅱ后在點(diǎn)著陸．已知直線經(jīng)過(guò)，，與圓交于另一點(diǎn)，與圓交于另一點(diǎn)，若恰為橢圓形軌道Ⅱ的上焦點(diǎn)，且，，則橢圓形軌道Ⅱ的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線：，則下列說(shuō)法正確的有（）A．若，則是橢圓 B．若，則是橢圓C．若，則是雙曲線 D．若，則是雙曲線10．已知數(shù)列滿足，（，，），設(shè)的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的有（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則11．如圖，在平行六面體中，已知，，為棱上一點(diǎn)，且，則A． B．平面C． D．直線與平面所成角為12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為上異于不同兩點(diǎn)，故，的斜率分別為，，是的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)．若，則（）A．以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切 B．存在，，使得C．面積的最小值為 D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知荾形的邊長(zhǎng)為2，一個(gè)內(nèi)角為60°，頂點(diǎn)，，，均在坐標(biāo)軸上，以，為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的的標(biāo)準(zhǔn)方程：______．14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，記拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為_(kāi)_____．15．已如圓臺(tái)的高為2，上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為4，，兩點(diǎn)分別在圓、圓上，若向量與向量的夾角為60°，則直線與直線所成角的大小為_(kāi)_____．16．函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其中為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如：，．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)的前項(xiàng)和為，則使得的最大正整數(shù)的值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形為平行四邊形，，，．（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線過(guò)且垂直于直線，求的方程；（2）求以點(diǎn)為圓心、與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）如圖，在直三棱柱中，已知，，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，．（1）求該直三棱柱的高；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值20．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，焦距為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為的直線（不過(guò)原點(diǎn)）交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，求四邊形的面積．21．（12分）已知數(shù)列滿足，（）．（1）求，及的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足且，（），記的前項(xiàng)和為，試求所有的正整數(shù)，使得成立．22．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率不為0的直線與的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，與的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)（從左到右依次為、、、），記以為直徑的圓為圓．（1）當(dāng)與圓相切時(shí)，求；（2）求證：直線與直線的交點(diǎn)在圓內(nèi)．蘇州市2023～2024學(xué)年第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽(yáng)光指標(biāo)調(diào)研卷高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】A【解析】，選A2．【答案】D【解析】由雙曲線的定義知，選D3．【答案】C【解析】對(duì)于A，，三個(gè)向是，，共面對(duì)于B，，三個(gè)向量，，共面對(duì)于D，，所以三個(gè)向量，，共面對(duì)于C，若，不存在實(shí)數(shù)，使得等式成立，所以，，不共面選C4．【答案】A【解析】由，所以，則，由，所以所以，選A5．【答案】C【解析】直線：過(guò)定點(diǎn)，圓：，圓心，半徑因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時(shí)，弦長(zhǎng)最短為，選C6．【答案】B【解析】對(duì)于B，若點(diǎn)，則，則，所以點(diǎn)不在平面內(nèi)，選B7．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓內(nèi)切與圓，由兩圓內(nèi)切的關(guān)系可知，從而，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓8．【答案】A【解析】法1：不妨設(shè)，，，則，，所以所以①，②聯(lián)立①②解得，，所以橢圓離心率選A法2：，，設(shè)軌道Ⅱ得長(zhǎng)軸和焦距分別為和，則，得：則，，得：，故，選A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】BC10．【答案】AD【解析】若，，則，，兩式相減可得，所以為周期2的周期數(shù)列，，則，A正確；，B錯(cuò)誤若，，則，因?yàn)椋詳?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，則，所以，C錯(cuò)誤，D正確故選AD11．【答案】ACD【解析】易知，所以，設(shè)，為中點(diǎn)，則，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，所以平面，平面，所以，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以與不垂直，即與不垂直所以與平面不垂直，B錯(cuò)誤對(duì)于C，，所以，C正確對(duì)于D，選項(xiàng)A中已經(jīng)證明平面，所以直線與平面所成角即為直線與所成角的余角，，而，所以，所以直線與所成角為所以直線與平面所成角為，D正確故選ACD法2：為空間基底來(lái)解決問(wèn)題由題意知：，則：故A正確，B錯(cuò)誤；，則：，C正確；顯然有，且又故，從而易得：是平面的一個(gè)法向量設(shè)與平面所成角為，則，D正確；因此，選ACD．12．【答案】ABD【解析】，，則得：，故直線過(guò)焦點(diǎn)，選項(xiàng)AD正確，故選項(xiàng)B正確；設(shè)直線的傾斜角為，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；（或注意到當(dāng)為通徑時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤）因此，選ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【答案】（答案不唯一）14．【答案】【解析】由拋物線的定義知，，所以當(dāng)點(diǎn)位于射線與拋物線交點(diǎn)時(shí)，取最大值15．【答案】【解析】法1：在上的投影向量為，故設(shè)直線與直線所成角為，則，即法2：如圖，，則，為等邊三角形，點(diǎn)在圓上的射影為，則為中點(diǎn)，所以，，在中，則即與所成角為法3：以為原點(diǎn)建系，，，故，即所成角為．16．【答案】59【解析】，故時(shí)，，共項(xiàng)其和為又時(shí)，，故，因此，所求正整數(shù)的最大值為59.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【解析】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，所以．因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，由，，得，所以．由知直線的斜率為，所以直線的方程為，即所求直線的方程為．（2）因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，，，設(shè)，由得解得，又由得，且，所以點(diǎn)為圓心，與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18．【解析】（1）令得因?yàn)椋ǎ?，所以（，），兩式相減得（，），即．所以（，），所以，即，所以（，），又，所以（）．（2）由（1），所以．19．【解析】（1）在直三棱柱中，因?yàn)椋?，，兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)（），（）又，所以可得，，，，，，，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，即該直三棱柱的高?．（2）在直三棱柱中，有平面，又，由（1）知，（），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”即點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大．此時(shí)，，，所以，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即取，得，又平面的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為銳角，所以．20．【解折】（1）由題意，所以，又因?yàn)?，所以，，所以的?biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線：（），，，．將代入：中，化簡(jiǎn)整理得，于是有所以，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，所以解得即因?yàn)樵谏?，所以，解得．又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以由對(duì)稱性得第二問(wèn)法2：設(shè)：，：，則，，，解得，則代入：，得：，則，則故．21．【解析】（1）將代入，得，，令，得，，所以，又，從而，所以，從而（2）由，又，，所以是以2為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，所以，所以因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，即?dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值1，即的解為．綜上所述，滿足題意的的值為2．第2問(wèn)法2：（2），，，則故是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則，即，即，即令，則時(shí)，，即時(shí)，，即，時(shí)，故滿足方程的正整數(shù)只有2即使得成