專(zhuān)題21-相似三角形中的壓軸題專(zhuān)練(二)(解析版)九下數(shù)學(xué)專(zhuān)題培優(yōu)訓(xùn)練

第=page22頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)專(zhuān)題21相似三角形中的壓軸題專(zhuān)練（二）班級(jí)：___________姓名：___________得分：___________一、選擇題如圖，點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=1x(x>0)，y=ax(x<0)的圖象上．若OA⊥OB，OBA.?4

B.4

C.?2

D.2

【答案】A【分析】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵．

過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S△AOM：S△BON=1：(?a)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

【解答】

解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，

∴∠AMO=∠BNO=90°，

∴∠AOM+∠OAM=90°，

∵OA⊥OB，

∴∠AOM+∠BON=90°，

∴∠OAM=∠BON，

∴△AOM∽△OBN，

∵點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=1x(x>0)，y=ax(x>0)的圖象上，

∴S△AOM：S△BON=1：(?a)，

∴AO：BO=1如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P為BC邊上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，且∠APD=60°，PD交AB于點(diǎn)D.設(shè)BP=x，BD=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是(????)

A. B.

C. D.【答案】C【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可證得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

此題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、二次函數(shù)的圖象以及相似三角形的判定與性質(zhì)．證得△BPD∽△CAP是關(guān)鍵．

【解答】解：∵△ABC是正三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°=∠C，

∴∠BPD=∠CAP，

∴△BPD∽△CAP，

∴BP：AC=BD：PC，

∵正△ABC的邊長(zhǎng)為4，BP=x，BD=y，

∴x：4=y：(4?x)，

∴y=?14x2+x=?14如圖，菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，∠BAD<90°，⊙O與邊AB，AD都相切，AO=10，則⊙O的半徑長(zhǎng)等于(????)A.5 B.6 C.25 D.3【答案】C【分析】本題考查切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．如圖作DH⊥AB于H，連接BD，延長(zhǎng)AO交BD于E.利用菱形的面積公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得OA：BD=OF：BH，即可解決問(wèn)題．

【解答】解：如圖，作DH⊥AB于H，連結(jié)BD，延長(zhǎng)AO交BD于E．∵菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，∴AB?DH=320，∴DH=16，在Rt△ADH中，AH=A∴HB=AB?AH=8，在Rt△BDH中，BD=D設(shè)⊙O與AB相切于F，連結(jié)OF．∵AD=AB，AO平分∠DAB，∴AE⊥BD，∵∠OAF+∠ABE=90°，∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90∴△AOF∽△DBH，∴OA∴1085

如圖，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面積為1，△ABC的面積為42，則四邊形DBCE的面積是(

)

A.20 B.22 C.24 D.26【答案】D【分析】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方．

利用△AFH∽△ADE得到，所以設(shè)S△AFH=9x，S△ADE=16x，則16x?9x=7，解得x=1，從而得到S△ADE=16，然后計(jì)算兩個(gè)三角形的面積差得到四邊形DBCE的面積．

【解答】

解：如圖，

根據(jù)題意得△AFH∽△ADE，

設(shè)S△AFH=9x，則S△ADE=16x，

∴16x?9x=7，解得x=1，

∴S△ADE=16如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是AC上一點(diǎn)，PH⊥AB于點(diǎn)H，以PH為直徑作⊙O，當(dāng)CH與PB的交點(diǎn)落在⊙O上時(shí)，AP的值為(

)

A.52 B.32 C.2 【答案】A【分析】

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理．

先由勾股定理求出AB=5，再由PB與CH交點(diǎn)D在⊙O上，所以∠PDH=90°，再證三角形相似，再由相似三角形性質(zhì)證PH=PC，然后證△PAH∽△BAC，得PHBC=APAB，因PH=PC=AC?AP=4?AP，求解即可．

【解答】

解：如圖，設(shè)PB交CH于D，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=5，

∵點(diǎn)D在⊙O上，PH是⊙O直徑，∴∠PDH=90°，

∵PH⊥AB，

∴∠PHB=90°=∠PDH，

∵∠DPH=∠HPB，

∴△DPH∽△HPB，

同理得△DPC∽△CPB，

∴PHPB=PDPH,PCPB=PDPC，

∴PH2=PD·PB=PC2，

如圖，已知正方形ABCD，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF將△AEF沿EF折疊得△HEF，延長(zhǎng)FH交BC于M，現(xiàn)在有如下5個(gè)結(jié)論：①△BEM≌△HEM；②△EFM定是直角三角形；③當(dāng)M與C重合時(shí)，有DF=3AF；④MF平分正方形ABCD的面積；⑤FH·MH=14AB2，在以上5個(gè)結(jié)論中，正確的有(

)A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．利用正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一一判斷即可．

【解答】

解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

∵E為AB的中點(diǎn)，

∴EA=EB，

由翻折可知：FA=FH，EA=EH，∠A=∠FHE=90°，

∵∠EHM=∠B=90°，EM=EM，EH=EB，

∴Rt△EMH≌Rt△EMB(HL)，

∴∠MEH=∠MEB，

∵∠FEH=∠FEA，

∴∠FEM=∠FEH+∠MEH=12(∠AEH+∠BEH)=90°，

故①②正確，

如圖2中，當(dāng)M與C重合時(shí)，設(shè)AE=EB=2a.則AB=BC=AD=CD=4a，

∵△AEF∽△BCE，

∴AFEB=AEBC，可得AF=a，

∴DF=3a，

∴DF=3AF，故③正確，

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，顯然直線MF不平分正方形的面積，故④錯(cuò)誤，

如圖1中，∵EH⊥FM于H，∠FEM=90°，

∴△EHF∽△MEH，

∴EH2=HF?HM，二、填空題如圖，在?ABCD的一邊AB上取點(diǎn)M，使AM：MB=1：3，對(duì)角線AC與DM相交于點(diǎn)N，則AN：AC=______．【答案】1：5【分析】由平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，得到三角形AMN與三角形CND相似，由相似得比例求出所求即可．

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴DC//AB，DC=AB，

∴∠CDN=∠AMN，∠DCN=∠MAN，

∴△CND∽△ANM，

∵AM：MB=1：3，

∴AM：AB=AM：DC=1：4，

∴AM：DC=AN：NC=1：4，

則AN：AC=1：5，

如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為8，A、C兩點(diǎn)分別位于x軸、y軸上，點(diǎn)P在AB上，CP交OB于點(diǎn)Q，函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，若S△BPQ=19S△OQC【答案】?36【分析】

本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．解決該題型題目時(shí)，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方結(jié)合給定條件求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可．

由PB//OC可得出△PBQ∽△COQ，結(jié)合三角形面積比等于相似比的平方可得出PB=13OC，結(jié)合正方形OABC的邊長(zhǎng)為8可得出點(diǎn)C、點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線CP的函數(shù)解析式，聯(lián)立直線OB與直線CP的函數(shù)解析式即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出k值．

【解答】

解：由四邊形OABC為正方形，得PB//OC，

∴△PBQ∽△COQ，

∴S△BPQS△OQC=PBOC2=19，

∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為8，

∴PB=13OC=83，

∴AP=8?83=163，

∴點(diǎn)C(0,8)，點(diǎn)P(?8,163)，

由題意易得直線OB的解析式為y=?x①，

∴設(shè)直線CP的解析式為y=ax+8，

∵點(diǎn)P(?8,163)在直線CP上，

∴163=?8a+8，解得：a=13，

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，且AE=2EB，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PE交射線CD于點(diǎn)Q.若點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在邊AD上，則BP的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】2或6【分析】

此題主要考查相似三角形的性質(zhì)及判定，本題關(guān)鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解．

過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，可證得四邊形CPFD是矩形，可證得△BEP∽△CPQ和△PFC′∽△C′DQ，從而得BECP=BPCQ，PFC′D=FC′DQ=PC′C′Q，可設(shè)BP=x，則DF=PC=8?x，可求得CQ，繼而可求得C′D，F(xiàn)C′與BP的關(guān)系，而DF=C′D+FC′，通過(guò)解一元二次方程，解得x，即可求得BP．

【解答】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，

∴∠PFC′=90°，

∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，

∴∠FAB=∠B=∠C=∠QDC′=90°，CD=AB=6，

∴四邊形CPFD是矩形，

∴DF=PC，PF=CD=6，

∵AE=2EB，

∴AE=4，EB=2，

設(shè)BP=x，則DF=PC=8?x，

∵點(diǎn)C與C′關(guān)于直線PQ對(duì)稱(chēng)，

∴△PC′Q≌△PCQ，

∴PC′=PC=8?x，C′Q=CQ，∠PC′Q=∠C=90°，

∵PE⊥PQ，

∴∠BPE+∠CPQ=90°，

∵∠BEP+∠BPE=90°，

∴∠BEP=∠CPQ，

∴△BEP∽△CPQ，

同理可得：△PFC′∽△C′DQ，

∴BECP=BPCQ，PFC′D=FC′DQ=PC′C′Q，

∴CQ=CP·BPBE=x(8?x)2，如圖，將面積為322的矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，連接AP交BC于點(diǎn)E，若BE=2，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】16【分析】設(shè)AB=a，AD=b，則ab=322，構(gòu)建方程組求出a、b即可解決問(wèn)題；

本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．

【解答】解：設(shè)AB=a，AD=b，則ab=322，

由△ABE∽△DAB可得：BEAB=ABAD，

∴b=22a2，

∴a3=64，

∴a=4，b=82，

設(shè)PA交BD于O．

如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是OD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC(不與B、C兩點(diǎn)重合)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EG⊥EF，交CD于G，當(dāng)△DEG為等腰三角形時(shí)，CF的長(zhǎng)為_(kāi)____________．

【答案】1或3【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵注意分類(lèi)討論；本題當(dāng)△DEG為等腰三角形時(shí)，根據(jù)(1)DE=DG，(2)GE=GD，(3)ED=EG三種情況討論，并且注意是否都成立．

【解答】

解：∵在正方形ABCD中，AB=AD=4，

∴BD=AB2+AD2=42，

∵E是OD的中點(diǎn)，

∴DE=12OD=14AD=2，

當(dāng)△DEG為等腰三角形時(shí)，

(1)若DE=DG，

過(guò)E作EM⊥CD,EN⊥BC，垂足分別為M、N，

∵∠BDC=45°,DE=2，

∴EM=DM=1，

∴MG=DG?DM=2?1,EN=CM=DC?DM=3，

又∵EG⊥EF，∠MEN=90°，

∴∠FEN=∠GEM,∠ENF=∠EMG=90°，

∴△MEG∽△NEF，

∴MEEN=MGFN，

∴FN=MG·ENME=2?1×31=32?3，

∴CF=FN+CN=FN+EM=32?2；

(2)若GE=GD，

∵∠GDE=45°，

∴∠DGE=90°，DE=2，

EG=2如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4)，反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖象分別交邊BC、AB于點(diǎn)D、E，連結(jié)DE，△DEF與△DEB關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng)，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在線段OA上時(shí)，則【答案】12【分析】

本題考查了反比例函數(shù)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OA，垂足為G.由于四邊形OABC是矩形，且△DEF與△DEB關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng)．當(dāng)點(diǎn)F正好落在邊OA上，可得△DGF∽△FAE，然后把D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)用含k的代數(shù)式表示出來(lái)，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AF的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出k的值即得到答案．

【解答】

解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OA，垂足為G，如圖所示．

由題意知D(k4,4)，E(8,k8)，DG=4．

又∵△DEF與△DEB關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F在邊OA上，

∴DF=DB，∠B=∠DFE=90°，

∵∠DGF=∠FAE=90°，∠DFG+∠EFA=90°如圖，在一塊直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，將另一個(gè)含30°角的△EDF的30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上，E，F(xiàn)分別在AC，BC上，當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上移動(dòng)時(shí)，DE始終與AB垂直，若△CEF與△DEF相似，則AD=________．【答案】65或【分析】

本題考查相似三角形的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是對(duì)△DEF的直角頂點(diǎn)分類(lèi)討論.由∠A=∠EDF=30°，ED⊥AB得∠FDB=∠B=60°，從而得到△BDF是等邊三角形，利用三角形邊的關(guān)系得到AD=CF+1.①當(dāng)∠FED=90°時(shí)△CEF∽△EDF，得CFEF=EFDF，②當(dāng)∠EFD=90°時(shí)△CEF∽△FED，得CFFD=CEFE，將EF和DF轉(zhuǎn)化為只含CF的式子，解之即可求解．

【解答】

解：∵∠A=∠EDF=30°，ED⊥AB，

∴∠FDB=∠B=60°．

∴FD=FB

∴△BDF是等邊三角形．

∵BC=1，

∴AB=2．

∵BD=BF，

∴2?AD=1?CF．

∴AD=CF+1．

①如圖，

若∠FED=90°，

∵∠A=30°，

∴∠AED=90°?30°=60°，

∴∠CEF=180°?90?°?60°=30°，

∵△BDF是等邊三角形，

∴∠FDB=60°，

∵∠EDF=180°?60°?90°=30°，

∴∠CEF=∠EDF，

∴△CEF∽△EDF，

∴CFEF=EFDF，即CF2CF=2CF1?CF．

解得CF=15．

∴AD=15+1=65．

②如圖，

若∠EFD=90°，

∵∠BFD=60°，

∴∠CFE=180°?90°?60°=30°，

即∠CFE=∠FDE，

又∠C=∠EFD=90°，

∴△CEF∽△FED，三、解答題

在直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A(8,0)，C(0,6)作矩形OABC，連接OB，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE，作DF垂直于DE，交OA于點(diǎn)F，連接EF，已知點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AB上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒

(1)如圖1，當(dāng)t=3時(shí)，求DF的長(zhǎng)(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過(guò)程中，DFDE的大小是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不變，請(qǐng)求出DF(3)連接AD，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1:2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值【答案】解：(1)當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

∵A(8,0)，C(0,6)，

∴OA=8，OC=6，

∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，

∴DE//OA，DE=12OA=4，

∵四邊形OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴DE⊥AB，

∴∠OAB=∠DEA=90°，

又∵DF⊥DE，

∴∠EDF=90°，

∴四邊形DFAE是矩形，

∴DF=AE=3；

(2)DFDE的大小不變；

理由如下：

如圖2所示：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，

∵四邊形OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴四邊形DMAN是矩形，

∴∠MDN=90°，DM//AB，DN//OA，

∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，

∴M、N分別是OA、AB的中點(diǎn)，

∴DM=12AB=3，DN=12OA=4，

∵∠EDF=90°，

∴∠FDM+∠MDE=∠MDE+∠EDN=90°

∴∠FDM=∠EDN，

又∵∠DMF=∠DNE=90°，

∴△DMF∽【分析】

本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、一次函數(shù)解析式的求法等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大．

(1)當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得出DE//OA，DE=12OA=4，再由矩形的性質(zhì)證出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，證出四邊形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；

(2)作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，證明四邊形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM//AB，DN//OA，由平行線分線段成比例和三角形中位線的性質(zhì)證明△DMF∽△DNE，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；

(3)作作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD將△DEF的面積分成1：2的兩部分，設(shè)AD交EF于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)；①當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)中點(diǎn)之前時(shí)，NE=3?t，由△DMF∽△DNE得：MF=34(3?t)，求出AF=4+MF=?34t+254求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，求出直線AD的解析式，將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入即可求出t的值；②當(dāng)點(diǎn)E越過(guò)中點(diǎn)之后，NE=t?3，由△DMF∽△DNE得：MF=34(t?3)，求出AF=4?MF=?34t+254，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，求出直線AD的解析式，將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入即可求出t的值．

【解答】

解：

(3)作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，

若AD將△DEF的面積分成1：2的兩部分，

設(shè)AD交EF于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)；

①當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)中點(diǎn)之前時(shí)，如圖3所示，NE=3?t，

由△DMF∽△DNE得：MF=34(3?t)，

∴AF=4+MF=?34t+254，

∵點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)，

∴G(3t+7112,23t)，

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，

把A(8,0)，D(4,3)代入得：

8k+b=04k+b=3,

解得：k=?34b=6,

∴直線AD的解析式為y=?34x+6，

把G(3t+7112,23t)代入得：

?34×3t+7112+6=23t，

解得：t=7541;

②當(dāng)點(diǎn)E越過(guò)中點(diǎn)之后，如圖4所示，NE=t?3，

(1)嘗試探究

如圖1，Rt△ABC中，AB=AC，AD是高，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，CE與AD交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE交BC于點(diǎn)F.若AE=2BE，則EF與EG的數(shù)量關(guān)系是________________．

(2)類(lèi)比延伸

如圖2，在(1)的條件下，若AE=nBEn>0，則EF與EG的數(shù)量關(guān)系是________________(用含n的代數(shù)式表示)

(3)拓展遷移

如圖3，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，CE與AD交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE交BC于點(diǎn)F，若AE=aBE，AB=bACa>0,b>0，則EF與EG

【答案】解：(1)EG=2EF；

(2)EG=nEF．

理由：

如圖2中，過(guò)點(diǎn)E分別作EP⊥BD于點(diǎn)P，作EQ⊥AD于點(diǎn)Q．

∴∠BPE=∠AQE=90°．

∵AD是等腰直角三角形的高，

∴∠B=∠EAQ=45°，

∴△BPE∽△AQE，

∴EPEQ=BEAE，

∵AE=nBE，

∴EQ=nEP．

∵∠FEP+∠PEG=90°，∠GEQ+∠PEG=90°，

∴∠FEP=∠GEQ．

又∵∠EPF=∠EQG=90°，

∴△EPF∽△EQG，

∴EPEQ=EFEG，

【分析】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，本題需要用到多次相似，屬于中考常考題型．

(1)如圖1中，過(guò)點(diǎn)E分別作EP⊥BD于點(diǎn)P，作EQ⊥AD于點(diǎn)Q，先證明△BPE∽△AQE，再證明△EPF∽△EQG即可；

(2)如圖2中，過(guò)點(diǎn)E分別作EP⊥BD于點(diǎn)P，作EQ⊥AD于點(diǎn)Q，證明方法類(lèi)似(1)；

(3)如圖3中，過(guò)點(diǎn)E分別作EP⊥BD于點(diǎn)P，作EQ⊥AD于點(diǎn)Q，由△EPF∽△EQG，得AEBE=AQEP①，由△AEQ∽△CBA，得ABAC=EQAQ

②，①×②得EQEP=ab，由此即可解決問(wèn)題．

【解答】

解：(1)EG=2EF；

理由：如圖1中，過(guò)點(diǎn)E

∴∠BPE=∠AQE=90°．

∵AD是等腰直角三角形的高，

∴∠B=∠EAQ=45°，

∴△BPE∽△AQE，

∴EPEQ=BEAE=12，

∴EQ=2EP，

∵∠FEP+∠PEG=90°，∠GEQ+∠PEG=90°，

∴∠FEP=∠GEQ．

又∵∠EPF=∠EQG=90°，

∴△EPF∽△EQG，

∴EPEQ=EFEG=12，

∴EG=2EF．

故答案為EG=2EF；

(2)見(jiàn)答案；

(3)EG=abEF

∵△EPF∽△EQG，

∴AEBE=AQEP①，

∵∠AQE=∠BAC，∠EAQ=∠ACB，

∴△AEQ∽△CBA，

∴AQAC=EQAB，

∴ABAC=EQAQ②，

①×②得AEBE·

如圖，一路燈AB與墻OP相距20米，當(dāng)身高CD=1.6米的小亮在離墻17米的D處時(shí)，影長(zhǎng)DG為1米；當(dāng)小亮站在點(diǎn)F時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己頭頂?shù)挠白诱媒佑|到墻的底部O處．

(1)求路燈AB的高度．

(2)請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出小亮EF的位置，并求出此時(shí)的影長(zhǎng)．(3)如果小亮繼續(xù)往前走(如圖2)，在距離墻2米的N處停下，那么小亮MN在墻上的影子有多高？【分析】本題考查了相似三角形在測(cè)量高度時(shí)的應(yīng)用，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．

(1)求出BD的長(zhǎng)，再求出BG的長(zhǎng)，然后根據(jù)△ABG和△CDG相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可；

(2)根據(jù)△ABO和△EFO相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到影長(zhǎng)FO；

(3)設(shè)影子在墻上的落點(diǎn)為L(zhǎng)，過(guò)M作HK//BO交AB于H，交PO于K，求出AH、HM的長(zhǎng)，然后根據(jù)△AHM和△LKM相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出KL，再根據(jù)MN的長(zhǎng)度列式計(jì)算即可得解．

【解答】解：(1)∵BO=20米，OD=17米，∴BD=BO?OD=20?17=3米，

∵DG=1米，

∴BG=BD+DG=3+1=4米，