2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課后素養(yǎng)落實(shí)十二2.2.3兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(十二)兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．直線(xiàn)l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置關(guān)系是()A．垂直B．平行C．相交D．重合B[∵A1B2－A2B1＝0且B1C2≠B2C1，∴l(xiāng)1∥l2．]2．已知M(0，2)，N(－2，2)，則直線(xiàn)MN與直線(xiàn)x＝0的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．重合D．相交B[直線(xiàn)MN的斜率為kMN＝0，x＝0的傾斜角為90°，所以直線(xiàn)x＝0與直線(xiàn)MN垂直．]3．已知直線(xiàn)2ax＋y－1＝0與直線(xiàn)(a－1)x＋ay＋1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(3,2)C．0或eq\f(1,2)D．0或eq\f(3,2)C[由已知，得2a(a－1)＋a＝0，∴a＝0或a＝eq\f(1,2)．]4．直線(xiàn)x＋a2y＋6＝0和直線(xiàn)(a－2)x＋3ay＋2a＝0沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的值是()A．0或3 B．－1或3C．0或－1或3 D．0或－1D[兩直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，即兩直線(xiàn)平行，∴1×3a－a2(a－2)＝0，∴a＝0或－1或3，經(jīng)檢驗(yàn)知a＝3時(shí)兩直線(xiàn)重合．∴a＝0或－1．]5．直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(－1，2)且與直線(xiàn)2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程為()A．2x－3y＋5＝0 B．3x＋2y－1＝0C．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0B[與2x－3y＋4＝0垂直的直線(xiàn)方程為3x＋2y＋m＝0，將(－1，2)代入直線(xiàn)方程得m＝－1．]二、填空題6．過(guò)點(diǎn)(1，0)且與直線(xiàn)x－2y－2＝0平行的直線(xiàn)方程是________．x－2y－1＝0[與直線(xiàn)x－2y－2＝0平行的直線(xiàn)方程設(shè)為x－2y＋C＝0，將點(diǎn)(1，0)代入得C＝－1，故直線(xiàn)方程為x－2y－1＝0．]7．已知直線(xiàn)mx＋4y－2＝0與2x－5y＋n＝0相互垂直，垂足為(1，p)，則m＋n－p＝________．0[由兩條直線(xiàn)垂直，得k1·k2＝－1，即－eq\f(m,4)×eq\f(2,5)＝－1，∴m＝10，直線(xiàn)為10x＋4y－2＝0，又∵垂足為(1，p)，故p＝－2，∴垂足為(1，－2)，代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，故m＋n－p＝10＋(－12)－(－2)＝0．]8．已知直線(xiàn)l的傾斜角為135°，直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，2)，B(a，－1)，且直線(xiàn)l1與l垂直，直線(xiàn)l2：2x＋by＋1＝0與直線(xiàn)l1平行，則a＋b＝________．－2[依題意，知直線(xiàn)l的斜率k＝tan135°＝－1，則直線(xiàn)l1的斜率為1，于是有eq\f(2＋1,3－a)＝1，所以a＝0．又直線(xiàn)l2與l1平行，所以1＝－eq\f(2,b)，即b＝－2，所以a＋b＝－2．]三、解答題9．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使CD⊥AB，且BC∥AD．[解]設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，由題意知直線(xiàn)CD，AD的斜率都存在．因?yàn)閗AB＝eq\f(2－－1,2－1)＝3，kCD＝eq\f(y,x－3)且CD⊥AB，所以kAB·kCD＝－1，即3×eq\f(y,x－3)＝－1．①因?yàn)閗BC＝eq\f(2－0,2－3)＝－2，kAD＝eq\f(y＋1,x－1)且BC∥AD，所以kBC＝kAD，即－2＝eq\f(y＋1,x－1)．②由①②可得，x＝0，y＝1，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)．10．已知在?ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)試判定?ABCD是否為菱形？[解](1)設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(a，b)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6，))所以D(－1，6)．(2)因?yàn)閗AC＝eq\f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq\f(6－0,－1－5)＝－1，所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以?ABCD為菱形．1．(多選題)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．若直線(xiàn)l1與l2傾斜角相等，則l1∥l2B．若直線(xiàn)l1⊥l2，則k1k2＝－1C．若直線(xiàn)的斜率不存在，則這條直線(xiàn)肯定平行于y軸D．若兩條直線(xiàn)的斜率不相等，則兩直線(xiàn)不平行ABC[直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2的傾斜角相等，l1與l2可能平行也可能重合，故A錯(cuò)；l1⊥l2，它們中可能有斜率不存在的狀況，故k1k2＝－1錯(cuò)誤；若直線(xiàn)的斜率不存在，這條直線(xiàn)可能平行于y軸或與y軸重合，故C錯(cuò)；兩直線(xiàn)斜率不相等，它們肯定不平行，故D正確．]2．若直線(xiàn)l：y＝kx－eq\r(3)與直線(xiàn)x＋y－3＝0相交，且交點(diǎn)在第一象限，則直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍是()A．(0°，60°) B．(30°，60°)C．(30°，90°) D．(60°，90°)C[聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\r(3)，,x＋y－3＝0))得交點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),1＋k)，\f(3k－\r(3),1＋k)))，由交點(diǎn)在第一象限知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),1＋k)>0，,\f(3k－\r(3),1＋k)>0，))解得k>eq\f(\r(3),3)，即tanα>eq\f(\r(3),3)，α是銳角，故30°<α<90°，故選C．]3．設(shè)點(diǎn)P(2，5)關(guān)于直線(xiàn)x＋y＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______，過(guò)Q且與直線(xiàn)x＋y－3＝0垂直的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______．(－4，－1)x－y＋3＝0[設(shè)Q(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－5,a－2)×－1＝－1，,\f(a＋2,2)＋\f(b＋5,2)＝1，))解得a＝－4，b＝－1．即對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為Q(－4，－1)，設(shè)與直線(xiàn)x＋y－3＝0垂直的直線(xiàn)方程為x－y＋C＝0，將(－4，－1)代入上式得C＝3，所以直線(xiàn)方程為x－y＋3＝0．]4．已知兩點(diǎn)A(2，0)，B(3，4)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B，且交y軸于點(diǎn)C(0，y)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，有O，A，B，C四點(diǎn)共圓，那么y的值是________．eq\f(19,4)[由于O，A，B，C四點(diǎn)共圓，CO⊥OA，所以AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即eq\f(4－0,3－2)×eq\f(4－y,3－0)＝－1，解得y＝eq\f(19,4)．]一個(gè)矩形花園里要鋪兩條筆直的小路，已知矩形花園長(zhǎng)AD＝5m，寬AB＝3m，其中一條小路定為AC，另一條小路過(guò)點(diǎn)D，問(wèn)如何在BC上找到一點(diǎn)M，使得兩條小路AC與DM相互垂直？[解]法一：如圖所示，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由AD＝5m，AB＝3m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)．直線(xiàn)AC的方程為eq\f(x,5)＋eq\f(y,3)＝1，即3x＋5y－15＝0，設(shè)與直線(xiàn)AC垂直的直線(xiàn)的方程為5x－3y＋t＝0，把D(5，3)代入得t＝－25＋9＝－16，即過(guò)點(diǎn)D(5，3)且與直線(xiàn)AC垂直的直線(xiàn)的方程為5x－3y－16＝0．令y＝0，得x＝eq\f(16,5)＝3.2，即BM＝3.2m時(shí)，兩條小路AC與DM相互垂直．法二：如圖所示，以點(diǎn)B為坐